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• Nico Amaya

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Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias

Cálculo en Varias Variables

Departamento de Matemáticas

2020-I

Taller 1 Estos ejercicios son propuestos para un mejor entendimiento del curso. Se sugiere sean analizados, discutidos y resueltos de forma individual o grupal. Ante cualquier duda, recuerde usar las herramientas ofrecidas por la Universidad: monitorias, grupos de estudio autónomo, etc.

Cilindros, superficies cuádricas, gráficas y curvas de nivel I. Determine y grafique el dominio de la función. 1. f (x, y) =

√

2. f (x, y) =

√

3. f (x, y) =

√

4. f (x, y) = arcsin(x2 + y 2 − 2) p 5. f (x, y, z) = 1 − x2 − y 2 − z 2

xy y+

p 25 − x2 − y 2

2x − y

6. f (x, y, z) = ln(16 − 4x2 − 4y 2 − z 2 )

II. Trace las siguientes superficies. 9. x2 + y 2 = z 2

1. x2 + y 2 = 4 2. z = y 2 − 1

10. x = 4 − 4y 2 − z 2

3. x = y 2

11. y 2 + z 2 − x2 = 1

4. yz = 1

12. y 2 − x2 = z

5. 4x2 + 4y 2 + z 2 = 16

13. z = 1 + y 2 − x2

6. 9x2 + 4y 2 + 36z 2 = 36

14. z = x2 + y 2 + 1

7. z = x2 + 9y 2

15. (x2 /4) + (y 2 /4) − (z 2 /9) = 1

8. x = 4 − 4y 2 − z 2

16. (x2 /4) + y 2 − z 2 = 1

III. Esbozar curvas de nivel y gráfica de las siguientes funciones. 1. f (x, y) = y − x

5. f (x, y) = y/x2

2. f (x, y) = x − y + 2

6. f (x, y) = e−(x

3. f (x, y) = yx

7. f (x, y) = sin−1 (y − x)

4. f (x, y) = x2 − y 2

8. f (x, y) = ln(x2 + y 2 )

2 +y 2 )

IV. Realice el ejercicio 32 del libro de Stewart (Calculo de varias variables. Trascendentes tempranas Séptima edición) pagina 889 capitulo 14 sección 1. V. Trazar las curvas de nivel (en el plano xy) para las funciones dadas f y valores especificados de c. Esbozar la gráfica de z = f (x, y). 1. f (x, y) = 4 − 3x + 2y, c = 0, 1, 2, 3, −1, −2, −3.

1

2. f (x, y) = (100 − x2 − y 2 )1/2 , c = 0, 2, 4, 6, 8, 10. 3. f (x, y) = (x2 + y 2 )1/2 , c = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 4. f (x, y) = x2 + y 2 , c = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 5. f (x, y) = x/y, c = 0, 1, 2, 3, −1, −2, −3. VI. La función f (x, y, z) = xyz ¿tiene un valor máximo sobre la recta x = 20 − t, y = t z = 20? Si lo tiene, ¿cuál es? Justifique su respuesta. (Sugerencia: A lo largo de la recta w = f (x, y, z) es una función diferenciable de t.) VII. Demuestre que si el punto (a, b, c) se encuentra sobre el paraboloide hiperbólico z = y 2 − x2 , entonces las rectas con ecuaciones paramétricas x = a + t, y = b + t, z = c + 2(b − a)t y x = a + t y = b − t, z = c − 2(b + a)t se encuentran completamente sobre este paraboloide1 VIII. Demuestre que la curva de intersección de las superficies x2 + 2y 2 − z 2 + 3x = 1 y 2x2 + 4y 2 − 2z 2 − 5y = 0 se encuentran en un plano. IX. Para las coordenadas polares se definen las curvas de nivel a través del siguiente conjunto Sθ {(x, y, z) | y = x tan θ} para una constante θ dada. Expresando z como función de r, donde x = r cos θ. y = r sin θ. Usando esto describir las curvas de nivel (las definidas en clase y usando coordenadas polares) de la función

f (x, y) =

 

2xy x2 +y 2

si (x, y) 6= (0, 0)



0

si (x, y) = (0, 0)

X. La función f : U ⊂ R2 → R es tal que f (x − y, y/x) = y 2 − x2 . Determine f (x.y). ¿Cuáles el dominio U de esta función? XI. Considere la función R2 → R dada por f (x, y) = sgn(x − y 2 ), donde la función sgn(signo) está dada por  1 si α > 0      0 si α = 0 sgn(α) =      −1 si α < 0 Describa el conjunto de puntos (x, y) ∈ R2 tales que: a) f (x, y) > 0; b) f (x.y) = 0; c) f (x, y) < 0. XII. Sea f : R2 → R la función f (x, y) = ln(sgn(1 + x2 + y 2 )). ¿Cuál es el dominio de f ?, ¿cuál es su rango? XIII. Repita el ejercicio anterior con la función f (x, y) = sgn(ln(1 + x + y)). XIV. Considere la función f : U ⊂ R2 → R, z = f (x, y). 1. Sea g(x, y) = f (x, y) + k, en donde k es un número real dado. ¿Dónde se define la función g? ¿Cómo es la gráfica de la función g respecto de la gráfica de la función f ? Ejemplifique con la función g(x, y) = x2 + y 2 + 3. 1 Esto demuestra que el paraboloide hiperbólico es lo que se llama superficie reglada, esto es, pude ser generada por el movimiento de una recta. De hecho, este ejercicio demuestra que por cada punto del paraboloide hiperbólico pasan dos rectas generatrices. Las únicas otras superficies cuadráticas regladas son los cilindros, los conos y los hiperboloides de una hoja.

2

2. Sea g(x, y) = f (x − x0 , y − y0 ), donde (x0 , y0 ) es un punto de R2 dado. ¿Dónde se define la función g? ¿Cómo es la gráfica de la función g respecto de la gráfica de la función f ? Ejemplifique con la función g(x, y) = (x − 2)2 + (y + 3)2 XV. Describa las curvas de nivel de una función lineal f (x, y) = ax + by + c. XVI. Se define la función mínimo de dos números, mínR2 → R como   x si x ≤ y mín(x, y) =  y si y < x Obtenga mín(1, −1), mín(3, π), mín(3, e). Demuestre que la gráfica de esta función es simétrica respecto del plano y=x. Describa las curvas de nivel de esta función. XVII. Se define la función máximo de dos números, máxR2 → R como   x si x ≥ y máx(x, y) =  y si y > x Obtenga máx(23/2 , 21/2 ), máx(2−3/2 , 2−1/2 ). Demuestre que la gráfica de esta función es simétrica respecto del plano y=x. Describa las curvas de nivel de esta función. ¿A qué es igual la función z = mín(máx(x, y), mín(x, y))? XVIII.

1. Describa las curvas de nivel de la función z = mín(|x|, |y|) 2. Describa las curvas de nivel de la función z = máx(|x|, |y|) 3. Describa las curvas de nivel de la función z = mín(x2 , y)

XIX. (Superficies de revolución). Situémonos en el espacio R3 . Piense en una curva en el semiplano superior del plano yz, digamos la gráfica de una función no negativa z = f (y). Si ponemos a girar esta gráfica, teniendo como eje de giro el eje z, obtenemos una superficie S en R3 , llamada superficie de revolución. Obsérvese que un punto p = (0, y, z) ∈ R3 de la gráfica de z = f (y), girará en un círculo C alrededor del eje z. Este círculo deberá ser una curva de nivel de la superficie S. Es decir, todos los puntos (x, y) del circulo C (viéndolo proyectado en el plano xy), pdeben tener la misma imagen z. La distancia de un punto cualquiera (x, y) de C al origen es x2p+ y 2 . Es claro entonces que la función cuya gráfica es la superficie de revolución S es z = f ( x2 + y 2 ). 1. Considere la parábola z = y 2 en el plano yz. Demuestre que la superficie de revolución que se obtiene al girar esta parábola alrededor del eje z es el paraboloide z = x2 + y 2 . 2. Considere la función valor absoluto z = |y| en el plano yz. Demuestre que lap superficie de revolución que se obtiene al girar la gráfica alrededor del eje z es el cono z = x2 + y 2 . 3. Detemine la superficie de revolución que se obtiene al girar el semicírculo superior z = p a2 − y 2 alrededor del eje z. 4. Determine la superficie de revolución que se obtiene al girar la función z = cosh y alrededor del eje z. 5. Demuestre que la superficie z = e−(x tiene?

2 +y 2 )

) es una superficie de revolución. ¿Qué aspecto

6. ¿Podría considerar un plano como superficie de revolución?

3

Coordenadas cilíndricas y esféricas I. A partir de los siguientes puntos dados en coordenadas cilíndricas, llevar cada uno a coordenadas rectangulares y coordenadas esféricas. 1. (1, π/4, 1)

3. (1, −π/6, 0)

2. (2, π/2, −4)

4. (3, π/6, 4)

II. A partir de los siguientes puntos dados en coordenadas rectangulares, llevar cada uno a coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas. 1. (2, 1, −2)

√ 3. ( 2, 1, 1)

2. (0, 3, 4)

III. Mostrar que para representar cada punto en R3 por medio de coordenadas esféricas es necesario tomar solo los valores de θ entre 0 y 2π, los valores de φ entre 0 y π, y los valores de ρ ≥ 0. ¿Serían únicas estas coordenadas si permitimos que ρ ≤ 0? IV. Escriba la ecuación en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas. 1. x2 + y 2 + z 2 = 16

4. x2 + y 2 = 2y

2. x + 2y + 3z = 6 3. z = x2 − y 2

5. x2 + y 2 + z 2 = 2x

Límites y Continuidad I. Encuentre el límite, si existe, o demuestre que el límite no existe. 1. 2.

lim

x3 y

lim

(x2 + y 2 + 3)

(x,y)→(0,1)

5.

(x − y)2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2

6.

cos x − 1 − x2 /2 x4 + y 4 (x,y)→(0,0)

lim

(x,y)→(0,0)

exy 3. lim (x,y)→(0,1) x + 1 xy 4. lim 2 (x,y)→(0,0) x + y 2 + 2 II. Mostrar que

lim

7.

sin(xy) y xy (x,y)→(0,0) lim

sin(x2 + y 2 ) es igual a 1. x2 + y 2 (x,y)→(0,0) lim

III. Para cada una de las funciones z = f (x, y) dadas • Diga dónde están definidas. • Demuestre que los límites   lim lim f (x, y) x→0

  lim lim f (x, y)

y→0

y→0

4

x→0

(llamados límites iterados) existen y valen cero. ¿Cómo estamos haciendo tender el punto (x, y) al origen al hacer el cálculo de estos límites? ¿Puede concluir de aquí que el límite lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y)

existe y vale 0 ? • Demuestre que

lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0 si el punto (x, y) se acerca a (0, 0) por rectas del tipo

y = kx. ¿Puede concluír de aquí que tal límite existe y vale 0? • Demuestre que

lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0 si el punto (x, y) se acerca a (0, 0) por parabolas del tipo

y = kx2 . ¿Puede concluír de aquí que tal límite existe y vale 0? • Use la definición de límite para demostrar que el límite de f (x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0) efectivamente existe y vale 0. • Use coordenadas polares para concluir nuevamente que el límite de f (x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0) existe y vale 0. 1. f (x, y) =

y3 x2 +y 2

3. f (x, y) =

7x2 y 2 2x2 +2y 2

2. f (x, y) =

3x2 y 2 x2 +y 2

4. f (x, y) =

x3 y 4 x4 +y 4

IV. Para cada una de las funciones z = f (x, y) demuestre que el límite 1. f (x, y) =

x2 −y 2 x2 +y 2

5. f (x, y) =

x3 y 2 x6 +y 4

2. f (x, y) =

x2 y x3 +y 3

6. f (x, y) =

x4 y x8 +y 2

3. f (x, y) =

xy 2 x2 +y 4

7. f (x, y) =

8x3 y 2 x9 +y 3

4. f (x, y) =

2xy 4 x5 +6y 5

8. f (x, y) =

xy 3 x2 +y 6

V. Demuestre que una condición necesaria para que el límite que si los límites (iterados)   lim lim f (x, y) x→x0

lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

lim

y→y0

lim

(x,y)→(0,0)



y→y0

f (x, y) no existe.

f (x, y) exista y sea L, es

lim f (x, y)



x→x0

existen, deben valer L. 1. ¿Cuál es la negación de la afirmación anterior? 2. Use la función f (x, y) =

x2 y 2 x2 y 2 + (x − y)2

para demostrar que tal condición no es suficiente. 3. Para la función f (x, y) = (x + y) sin x1 sin y1 , demuestre que los límites iterados no existen, pero que el límite lim f (x, y) si existe. ¿Contradice este ejemplo el resultado general (x,y)→(x0 ,y0 )

establecido en este ejercicio? VI. Calcule los siguientes límites

5

1. 2. 3. 4.

lim

(x,y)→(1,1)

h

x2 −1 x−1

+

y−1 y 2 −1

i

5.

(x3 −1)(y 4 −1) 2 (x,y)→(1,1) (x−1)(y −1)

6.

lim lim

(x,y)→(0,0)

sin x sin 3y 2xy

7.

(y 2 +2y−3)(1−cos x) x2 (y−1) (x,y)→(0,1)

lim

8.

6

(x,y)→(0,0)

lim

(1−cos 2x)(cos 3y−1) 5x2 y

lim

arcsin(2x) arctan(3y) xy

(x,y)→(0,0)

(x3 +x2 −5x+3)(y 2 −4y−4) 4 −4y 3 +7y 2 −12y+12)(x3 −4x2 +5x−2) (y (x,y)→(1,2)

lim

lim

(x,y)→(0,0)

(ex −1)(e2y −1) xy