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• Gabriel Montani Suca

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SUPERFICIES

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

MOTIVACIÓN Alrededor nuestro podemos encontrar ciertas superficies que son modelados matemáticamente. Balón de football

Autostadt en Wolfsburg, Alemania

Antena parabólica Reactor Nuclear DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

SUPERFICIES Sea 𝐹: ℝ3 → ℝ una función tal que .

Una superficie 𝑺 es el conjunto 𝑺 = { 𝒙, 𝒚, 𝒛 : 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝟎} Ejemplo: 1. 𝑆 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 , donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 no son todos nulos, es un representa un plano. 2. 𝑆 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 𝑟 2 = 0 representa una esfera.

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Gráfica de una superficie Para trazar una superficie, primero se discute la ecuación. 1. Intercepción con lo s ejes coordenados. 2. Trazas sobre planos paralelos a los planos coordenados. 3. Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen. 4. Extensión de la superficies.

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Test de simetría Sea 𝑺 =

𝒙, 𝒚, 𝒛 : 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝟎 ≠ ∅ una superficie.

Condición

Simetría respecto al

𝐹 −𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 𝐹 𝑥, −𝑦, 𝑧 = 0 𝐹 𝑥, 𝑦, −𝑧 = 0

Plano 𝑌𝑍 Plano X𝑍 Plano 𝑋𝑌

𝐹 −𝑥, −𝑦, 𝑧 = 0 𝐹 −𝑥, 𝑦, −𝑧 = 0

Eje 𝑍 Eje 𝑌

𝐹 𝑥, −𝑦, −𝑧 = 0 𝐹 −𝑥, −𝑦, −𝑧 = 0

Eje 𝑋 Origen

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Ejercicios Trace la superficie cuya ecuación es

𝑥 2 + 𝑦 2 − 9𝑧² = 9

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SUPERFICIES CILÍNDRICAS Sea Γ una curva en un plano y sea 𝐿 una recta no paralela a ese plano. Al conjunto de todos los puntos contenidos en todas las rectas paralelas a 𝐿 que cortan a Γ se le llama superficie cilíndrica. A 𝐶 se le llama directriz del cilindro y la recta 𝐿 se le llama generatriz.

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Si la generatriz de una superficie cilíndrica es perpendicular al plano de su directriz, se le llama superficie cilíndrica recta, en caso contrario se le llama superficie cilíndrica oblicua.

Superficie cilíndrica oblicua

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Superficie cilíndrica recta

Ejercicios En cada caso, hallar la ecuación de la superficie cilíndrica cuya directriz Γ y dirección 𝒖 de la generatriz son dadas. a) Γ: 𝑥 2 = 4𝑦, 𝑧 = 0 y 𝒖 = 1, −1,1 b) Γ: 𝑥 2 − 𝑦 2 = 1, 𝑧 = 0 y 𝒖 = 2,1, −1 c) Γ: 4𝑥 2 + 𝑧 2 + 4𝑧 = 0, 𝑦 = 0 y 𝒖 = 4,1,0

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Ejercicios Demuestre que la ecuación dada representa una superficie cilíndrica y halle las ecuaciones de sus directrices y los vectores direcciones de las generatrices. a) Γ: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5𝑧 2 + 2𝑥𝑧 + 4𝑦𝑧 − 4 = 0 b) Γ: 17𝑥 2 + 2𝑦 2 + 𝑧 2 − 8𝑥𝑦 − 6𝑥𝑧 − 2 = 0

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Teorema Una ecuación representa una superficie cilíndrica recta, cuya generatriz son perpendiculares a plano coordenado que contiene a la directriz si y solo si carece de la variable no medida en ese plano.

Ejemplos:

Ecuación del cilindro:

Directriz: Γ: 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 4, DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

𝑥=0

Γ: 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 4

SUPERFICIES CUÁDRICAS Una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables 𝑥, 𝑦, 𝑧. Hay seis tipos básicos de superficies cuádricas: • Elipsoide • Hiperboloide de una hoja • Hiperboloide de dos hojas • Cono elíptico • Paraboloide elíptico • Paraboloide hiperbólico. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

Elipsoide

𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 + 𝟐+ 𝟐=𝟏 𝟐 𝒂 𝒃 𝒄

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Trazas

Planos paralelo

Elipse

XY

Elipse

XZ

Elipse

YZ

Ejercicios Reduzca la ecuación y bosqueje la superficie que representa. a) 4𝑥² + 𝑦² + 4𝑧² − 4𝑦 − 24𝑧 + 36 = 0

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Hiperboloide de una hoja

𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 + 𝟐− 𝟐=𝟏 𝟐 𝒂 𝒃 𝒄

Hiperboloide de dos hojas

𝒛𝟐 𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟐− 𝟐=𝟏 𝟐 𝒄 𝒂 𝒃

Trazas

Planos paralelo

Trazas

Planos paralelo

Elipse

XY

Elipse

XY

Hipérbola

XZ

Hipérbola

XZ

Hipérbola

YZ

Hipérbola

YZ

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Ejercicios Reduzca la ecuación y bosqueje la superficie que representa. a) −𝑥 2 + 4𝑦 2 − 𝑧 2 = 4

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b) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑧 2 = 4

Cono

𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 + 𝟐= 𝟐 𝟐 𝒂 𝒃 𝒄

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Trazas

Planos paralelo

Elipse

XY

Hipérbola

XZ

Hipérbola

YZ

Ejercicios Reduzca la ecuación y bosqueje la superficie que representa.

a) 𝑦 2 = 𝑥 2 + 2𝑧 2

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Paraboloide Elíptico

𝒙𝟐

Paraboloide Hiperbólico

𝒛 𝒙𝟐 𝒚𝟐 = 𝟐− 𝟐 𝒄 𝒂 𝒃

𝒚𝟐

𝒛 = 𝟐+ 𝟐 𝒄 𝒂 𝒃 Trazas

Planos paralelos

Elipse

XY

Hipérbola

XY

Parábola

XZ

Parábola

XZ

Parábola

YZ

Parábola

YZ

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Trazas

Planos paralelo

Ejercicios Reduzca la ecuación y bosqueje la superficie que representa. a) 2𝑥 2 + 2𝑦 − 2𝑧 2 = 0 b) 4𝑦 2 + 𝑧 2 − 𝑥 − 16𝑦 − 4𝑧 + 20 = 0

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Ejercicios 1. Reduzca la ecuación a una de las formas estándar y clasifique la superficie a) 4𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑧 2 − 4𝑦 − 24𝑧 = −36 b) 4𝑦 2 + 𝑧 2 − 𝑥 − 16𝑦 − 4𝑧 + 20 = 0 2. Bosqueje las siguientes superficies a) 𝑥 2 + 2𝑦 − 2𝑧 2 = 0 b) 4𝑥 2 − 3𝑦 2 + 12𝑧 2 + 12 = 0 c) 𝑥 2 + 𝑧 2 + 𝑦 = 1 d) 25𝑥 2 + 4𝑦 2 − 100 = 0

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Ejercicios 3. Determine a ecuación de la superficie sabiendo que

Γ: Λ:

𝑦−3 2 𝑏 𝑥−2 2 𝑎

= =

𝑧−2 2 + 1, 𝑥 1 𝑧−2 2 1

y 𝐴𝐵 = 6, 𝐶𝐷 = 4.

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=2

+ 1, 𝑦 = 3

Ejercicios 4. Modele la ecuación que describe la superficie de la antena parabólica, sabiendo que ℎ = 3, 𝑑 = 4.

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Ejercicios 3. Una torre de enfriamiento para un reactor nuclear ha de construirse en forma de hiperboloide de una hoja. El diámetro de la base es 280 m y el diámetro mínimo, 500 m sobre la base, es 200 m. Encuentre una ecuación para la torre.

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