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Superficies Cil´ındricas y cu´adricas Oscar Del Moral April 10, 2011

1

Objetivos did´ acticos 1. Definir una superficie cil´ındrica 2. Graficar un cilindro dada su ecuaci´on 3. Definir superficies cu´ adricas 4. Graficar algunas superficies cu´adricas (elipsoide, hiperboloides de una y dos hojas, paraboloide el´ıptico, paraboloide hiperb´olico y cono el´ıptico), dada su ecuaci´ on y/o calculando la secci´on transversal de los planos coordenados.

2

Superficies Cilindricas

Definici´ on 1 (Cilindro). Sea C una curva plana y l una recta que corta a C pero que no est´ a en el plano de C. El conjunto de todos los puntos sobre rectas que son paralelas a l y que corten a C se llama un cilindro. Los cilindros que aparecen de manera natural al graficar una ecuaci´on en el espacio tridimensional, que implique a solo dos variables Ejemplo 1. Consideremos la ecuaci´ on z = sen x donde falta la variable y. Esta ecuaci´ on determina una curva C en el plano xz, una curva senoidal. Como esta ecuaci´ on no impone condici´ on sobre la variable y, la gr´ afica de dicha superficie es la que se muestra en la sigiente figura

Fig1: Cilindro z = sen x 1

3

Superficies Cu´ adricas

Definici´ on 2. Si una superficie es la grafica en el espacio tridimensional de la ecuaci´ on de segundo grado Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0 se le llama una superficie cu´ adrica. Las secciones planas de una superficie cu´adrica son c´onicas. Se puede mostrar que toda ecuaci´ on cu´ adrica se puede reducir a unas de las formas mediante rotaci´ on y traslaci´ on de los ejes de coordenadas Ax2 + By 2 + Cz 2 + J = 0 Ax2 + By 2 + Iz = 0

3.1 3.1.1

Algunas Superficies Cu´ adricas Elipsoide

Fig1: Elipsoide x2 y2 z2 + + =1 a2 b2 c2 Plano Plano xy Plano xz Plano yz Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz

Secci´ on transversal Elipse Elipse Elipse Elipse, punto o conjunto vac´ıo Elipse, punto o conjunto vac´ıo Elipse, punto o conjunto vac´ıo

2

3.1.2

Hiperboloide de una hoja

Fig2: Hip´erboloide de una hoja y2 z2 x2 + − =1 a2 b2 c2 Plano Plano xy Plano xz Plano yz Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz 3.1.3

Secci´ on transversal Elipse Hip´erbola Hip´erbola Elipse Hip´erbola Hip´erbola

Hip´ erboloide de dos hojas

Fig3: Hip´erboloide de dos hojas x2 y2 z2 − 2 − 2 + 2 =1 a b c

3

Plano Plano xy Plano xz Plano yz Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz 3.1.4

Secci´ on transversal Conjunto vac´ıo Hip´erbola Hip´erbola Elipse, punto o conjunto vac´ıo Hip´erbola Hip´erbola

Paraboloide el´ıptico

Fig4: Paraboloide el´ıptico x2 y2 z= 2 + 2 a b Plano Plano xy Plano xz Plano yz Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz

Secci´ on transversal Punto Par´abola Par´abola Elipse, punto o conjunto vac´ıo Par´abola Par´abola

4

3.1.5

Paraboloide hiperb´ olico

Fig5: Paraboloide hiperb´olico y2 x2 z= 2 − 2 b a Plano Plano xy Plano xz Plano yz Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz 3.1.6

Secci´ on transversal Lineas rectas que se cortan Par´abola Par´abola Hip´erbolas o rectas que se cortan Par´abola Par´abola

Cono El´ıptico

Fig6: Cono El´ıptico x2 y2 z2 + 2 − 2 =0 2 a b c

5

Plano Plano xy Plano xz Plano yz Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz

Secci´ on transversal Punto Rectas que se cortan Rectas que se cortan Elipse o punto Hip´erbolas o rectas que se cortan Hip´erbolas o rectas que se cortan

Ejemplo 2. Clasificar y dibujar la superficie 4x2 − 3y 2 + 12z 2 + 12 = 0 Soluci´ on. Para empezar escribimos su ecuaci´on en forma can´onica 4x2 − 3y 2 + 12z 2 + 12 = 0 ⇒ ⇒

x2 y2 z2 + + −1=0 −3 4 −1 x2 y2 z2 − + − =1 3 4 1

Para dibujarlas conviene hallar sus trazas en los planos coordenados Traza xy (z = 0)

y2 x2 − =1 4 3

Hip´erbola

Traza xz (y = 0)

z2 x2 + = −1 3 1

No hay traza

Traza yz (x = 0)

y2 z2 − =1 4 1

Hip´erbola

La gr´ afica se muestra en la figura

Fig7

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