• Author / Uploaded
• Pablo Felipe Corrales Maldonado

Citation preview

Superficies Cuadricas

Alumno: Pablo Corrales Maldonado

1

Índice Superficies cuadricas……………………………………………………………………………………………………………...........3 Esfera……………………………………………………………………………………………………………………………………………..4 Paraboloide elíptico……………………………………………………………………………………………………………………….5 Paraboloide hiperbólico………………………………………………………………………………………………………………….6 Hiperboloide hiperbólico………………………………………………………………………………………………………………..7 Hiperboloide Eliptico………………………………………………………………………………………………………………………8 Cono……………………………………………………………………………………………………………………………………………….9 Elipsoide……………………………………………………………………………………………………………………………………….10 Maple…………………………………………………………………………………………………………………………………………..11

2

Superficies cuadricas Una cuadrica es una superficie determinada por una ecuación de la forma:

3

Esfera Una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. La esfera es la figura geométrica que para igual volumen presenta la menor superficie externa.

Ecuación utilizada en Maple: x^2+y^2+z^2=25 Ecuación de la esfera centrada en el origen de radio R

4

Paraboloide elíptico Se trata de una cuadrica, cuya ecuación respecto al sistema de referencia es: Ecuación utilizada en Maple: x^2+y^2=5z

La función anterior es par en x y en y, no así en z. Ello significa que los planos OXZ y OYZ son planos de simetría y se llaman planos principales. Dichos planos se cortan en el eje OZ que es eje de simetría del paraboloide dado por la ecuación anterior. No hay centro de simetría.

5

Paraboloide hiperbólico Tomando un sistema de referencia adecuado, la ecuación de esta superficie es: Ecuación usada en Maple: x^2-y^2=5z

El paraboloide hiperbólico se denomina vulgarmente silla de montar. Tiene los mismos elementos de simetría que el paraboloide elíptico, pues la ecuación tampoco varia si se cambia x por –x ó y por –y. Entonces los planos principales son OXZ y OYZ y el eje de simetría es OZ. No hay centro de simetría.

6

Hiperboloide hiperbólico o de una hoja Es la superficie que se engendra al deslizar un segmento inclinado sobre dos círculos horizontales y se expresa en un sistema de coordenadas cartesiano mediante la fórmula: Ecuación usada en Maple: x^2/2+y^2/3-z^2/4=1

Los cortes con los planos coordenados son:

7

Hiperboloide elíptico o de dos hojas Una ecuación del tipo Ecuación usada en Maple: x^2/2+y^2/3-z^2/3=-1

Corresponde a una superficie denominada hiperboloide elíptico o de dos hojas. Notemos que al cortar esta superficie con planos

8

Cono Se puede considerar como un caso límite de los dos tipos de hiperboloides que se acaban de ver Ecuación usada en Maple: x^2/15+y^2/18-z^2/19=0

Sin más que despejar, podemos escribir la ecuación anterior de la forma:

Notemos que al cortar esta superficie con planos Z = k paralelos al plano OXY se obtienen elipses (salvo en el caso k = 0) y al cortar con planos paralelos a los otros dos planos coordenados se obtienen hipérbola

9

Elipsoide Ecuación usada en Maple: x^2/15+y^2/18-z^2/26=0

Es una superficie que es simétrica respecto a cada uno de los planos coordenados. Si un punto (X, Y, Z) pertenece a dicha superficie (sus coordenadas verifican la ecuación), los puntos (−X, Y, Z),(X, −Y, Z),(X, Y, −Z) también pertenecen. Por tanto, dicha superficie también es simétrica respecto a los ejes coordenados (rectas de corte de los planos de simetría) y respecto del origen de coordenadas (punto de corte de los tres planos de simetría). Por otra parte, cuando cortamos dicha superficie con un plano paralelo a alguno de los planos coordenados.

10

En Maple Elipsoide:

Cono:

Hiperboloide elíptico o de dos hojas:

Hiperboloide hiperbólico o de una hoja:

Paraboloide hiperbólico:

Paraboloide elíptico:

Esfera:

11