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Universidad Politécnica Salesiana. Coronel, Pánchez, Tenezaca, Ortega. Trabajo Integrador C Vectorial

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IDENTIFICACIÓN, CLASIFICACIÓN Y ANÁLISIS DE SUPERFICIES CUÁDRICAS Y DE REVOLUCIÓN EN DIFERENTES EDIFICIOS Y ELEMENTOS CONSTRUCTIVOS Coronel Roberto, Pánchez Andrés, Tenezaca Freddy y Ortega Edison {rcoronelb, ftenezacaq0, apanchez, eortega}@est.ups.edu.ec Universidad Politécnica Salesiana

Resumen—Este documento presenta el desarrollo y el uso de conocimientos adquiridos dentro de la materia de cálculo vectorial para el análisis de estructuras regulares e irregulares, de manera que podamos obtener de ellos las ecuaciones que las generan y datos como su centro de masa, momentos de inercia, volumen, etc.

B. Tabulación de mediciones del sólido 1) La medición de este solido se ha realizado en una de sus imágenes. Se utilizó el software “Autocad” (Fig. 1) para la medición de las dimensiones:

Índice de Términos—Superficies cuadráticas, centro de masa, momento de inercia.

I. INTRODUCCIÓN En el transcurso de una carrera de ingeniería y/o en el área de trabajo encontraremos superficies o volúmenes de las cuales es necesario saber ciertos valores, es fácil determinar las ecuaciones mediante el uso de ecuaciones cuadráticas, para obtener masas, áreas y volúmenes de un objeto irregular podemos utilizar las integrales lo cual nos da el valor con mucha exactitud de lo que necesitamos saber cómo podremos ver a continuación en la realización de este trabajo. II. PROCEDIMIENTO A. Selección de una obra arquitectónica para realizar su estudio y construcción Se seleccionó una edificación, la “Torre Shukov, siendo esta la primera realización de un hiperboloide en el año de 1896 por el ingeniero ruso Vladimir Shukov. Esta torre fue un depósito de agua que sirvió como modelo a otras 30 estructuras similares construidas en toda Rusia y a miles, posteriormente, en el resto del mundo” (No se ha encontrado mucha información acerca de esta torre). [1]

Fig. 1: Medicion de las dimenciones en AutoCad

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2) Tabulación de las medidas. Dimensiones de cada figura comenzando desde arriba. (Tabla 1) Figura 1 -- Cilindro (r=1.5) Radio: Altura: Centro de tapa (inf): Centro de tapa (sup): Figura 2 -- Cono Radio (mayor): Radio (menor): Altura: Centro radio (mayor): Centro radio (menor): Figura 3 -- Cilindro (r=2.25) Radio: Altura: Centro de tapa (inf): Centro de tapa (sup): Figura 4 -- Cilindro (r=5) Radio: Altura: Centro de tapa (inf): Centro de tapa (sup): Figura 5 -- Hiperboloide Radio (inf): Radio Central Hip: Radio (sup): Centro radio (inf): Centro radio central H: Centro radio (sup):

1.5m 4m C(0,0,49) C(0,0,53) 2.25m 1.5m 3m C(0,0,46) C(0,0,49) 2.25m 3m C(0,0,43) C(0,0,46) 5m 3m C(0,0,40) C(0,0,43) 10m 2.5m 2.7m C(0,0,0) C(0,0,34) C(0,0,40)

Tabla 1: Tabulación de las medidas

3) Figura 3 – Cilindro circular (r=2.25):

4) Figura 4 – Cilindro circular (r=5):

5) Figura 5 – Hiperboloide circular 1h:

D. Ecuaciones Paramétricas: 1) Figura 1 – Cilindro circular(r=1,5):

C:

2) Figura 2 – Cono circular:

C:

C. Ecuaciones cartesianas de las superficies que conforman el sólido 1) Figura 1 – Cilindro circular(r=1,5):

2) Figura 2 – Cono circular:

3) Figura 3 – Cilindro circular (r=2.25):

C:

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4) Figura 4 – Cilindro circular (r=5): 3) Figura 3 – Cilindro circular (r=2.25):

C:

5) Figura 5 – Hiperboloide circular 1h:

4) Figura 4 – Cilindro circular (r=5): C:

E. Gráfica de las superficies parametrizadas en el Winplot. (Fig. 2) 1) Figura 1 – Cilindro circular(r=1,5):

5) Figura 5 – Hiperboloide circular 1h:

2) Figura 2 – Cono circular:

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Fig. 2: Grafica de la estructura en Winplot.

F. Centro de Masa y Momentos de Inercia A continuación se presenta cada una los valores de cada elemento que conforma el sólido (Tabla 2). Los respectivos cálculos se anexaran al final con formato “Derive”. Figura 1 -- Cilindro (r=1.5) Masa (= Volúmen) Momento YZ: Momento XZ: Momento XY: Centro de masa: Momento de inercia X: Momento de inercia Y: Momento de inercia Z: Figura 2 -- Cono Masa (= Volúmen) Momento YZ:

28,274 0,000 0,000 1441,991 (0,0,51) 73595,146 73595,146 31,809 33,578 0,000

Momento XZ: Momento XY: Centro de masa: Momento de inercia X: Momento de inercia Y: Momento de inercia Z: Figura 3 -- Cilindro (r=2.25) Masa (= Volúmen) Momento YZ: Momento XZ: Momento XY: Centro de masa: Momento de inercia X: Momento de inercia Y: Momento de inercia Z: Figura 4 -- Cilindro (r=5) Masa (= Volúmen) Momento YZ: Momento XZ: Momento XY: Centro de masa: Momento de inercia X: Momento de inercia Y: Momento de inercia Z: Figura 5 -- Hiperboloide Masa (= Volúmen) Momento YZ: Momento XZ: Momento XY: Centro de masa: Momento de inercia X: Momento de inercia Y: Momento de inercia Z:

Figura Total Masa (= Volúmen) Momento YZ: Momento XZ: Momento XY: Centro de masa: Momento de inercia X: Momento de inercia Y: Momento de inercia Z:

4

0,000 1588,222 (0,0,47.3) 75172,773 75172,773 62,921 47,713 0,000 0,000 2123,226 (0,0,44.5) 94579,718 94579,718 120,773 235,619 0,000 0,000 9778,207 (0,0,41.5) 73595,146 73595,146 2945,243 3270,381 0,000 0,000 33516,298 (0,0,10.25) 682104,398 682104,398 81854,984

3615,563 0,000 0,000 33516,298 (0,0,13.3998) 1332896,966 1332896,966 85015,731

Tabla 2: Centros de Masa y Momentos de Inercia

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III. ANÁLISIS DE RESULTADOS Para poder hacer una comparación y sacar los errores, diseñamos la figura el AutoCad 3D (Fig. 3), donde una opción nos permite visualizar las propiedades de la figura. (Fig. 4).

5

IV. CUADRO DE ERRORES Valores

AutoCad

Calculados

% Error

Volúmen:

3615,563

3615,563

0,00000

Momento YZ:

0,000

0,000

0,00000

Momento XZ:

0,000

0,000

0,00000

Momento XY:

33516,298

Centro masa(z):

(0,0,13.3999)

(0,0,13.3998)

7.46E-4

MI X:

1332906,890

1332896,966

0.003

MI Y:

1332906,890

1332896,966

0.003

MI Z:

85015,730

85015,731

-1.17E-6

V. OBSERVACIONES Al ver la tabla de errores entre los datos obtenidos en Autocad con los datos calculados, podemos darnos cuenta que el porcentaje de error es mínimo. VI. CONCLUSIONES

Fig. 3: Diseño de la figura en 3D.

El uso de integrales en figuras irregulares para obtener valores de área, volúmen, centro de masa, etc., no permite obtener una respuesta igual a la real a diferencia de la sumatoria de Rieman (cuando i, m, n no tienden al infinito) que solo nos da un valor aproximado del que esperamos. Los conocimientos adquiridos en la materia de cálculo vectorial son adecuados para conseguir lo desarrollado en este documento. Las ecuaciones paramétricas a diferencia de las ecuaciones rectangulares, nos permiten generar la figura deseada con los límites que son requeridos. REFERENCIAS

[1] http://blog.ql-ingenieria.es/2012/vladimir-shukov/.

VII. ANEXOS: Archivo con el desarrollo de las ecuaciones realizado en Derive. Formato Derive.

Fig 4: Propiedades del solido.