Superficies Cil´ındricas y cu´adricas Oscar Del Moral April 10, 2011 1 Objetivos did´ acticos 1. Definir una superfici
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Superficies Cil´ındricas y cu´adricas Oscar Del Moral April 10, 2011
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Objetivos did´ acticos 1. Definir una superficie cil´ındrica 2. Graficar un cilindro dada su ecuaci´on 3. Definir superficies cu´ adricas 4. Graficar algunas superficies cu´adricas (elipsoide, hiperboloides de una y dos hojas, paraboloide el´ıptico, paraboloide hiperb´olico y cono el´ıptico), dada su ecuaci´ on y/o calculando la secci´on transversal de los planos coordenados.
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Superficies Cilindricas
Definici´ on 1 (Cilindro). Sea C una curva plana y l una recta que corta a C pero que no est´ a en el plano de C. El conjunto de todos los puntos sobre rectas que son paralelas a l y que corten a C se llama un cilindro. Los cilindros que aparecen de manera natural al graficar una ecuaci´on en el espacio tridimensional, que implique a solo dos variables Ejemplo 1. Consideremos la ecuaci´ on z = sen x donde falta la variable y. Esta ecuaci´ on determina una curva C en el plano xz, una curva senoidal. Como esta ecuaci´ on no impone condici´ on sobre la variable y, la gr´ afica de dicha superficie es la que se muestra en la sigiente figura
Fig1: Cilindro z = sen x 1
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Superficies Cu´ adricas
Definici´ on 2. Si una superficie es la grafica en el espacio tridimensional de la ecuaci´ on de segundo grado Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0 se le llama una superficie cu´ adrica. Las secciones planas de una superficie cu´adrica son c´onicas. Se puede mostrar que toda ecuaci´ on cu´ adrica se puede reducir a unas de las formas mediante rotaci´ on y traslaci´ on de los ejes de coordenadas Ax2 + By 2 + Cz 2 + J = 0 Ax2 + By 2 + Iz = 0
3.1 3.1.1
Algunas Superficies Cu´ adricas Elipsoide
Fig1: Elipsoide x2 y2 z2 + + =1 a2 b2 c2 Plano Plano xy Plano xz Plano yz Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz
Secci´ on transversal Elipse Elipse Elipse Elipse, punto o conjunto vac´ıo Elipse, punto o conjunto vac´ıo Elipse, punto o conjunto vac´ıo
2
3.1.2
Hiperboloide de una hoja
Fig2: Hip´erboloide de una hoja y2 z2 x2 + − =1 a2 b2 c2 Plano Plano xy Plano xz Plano yz Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz 3.1.3
Secci´ on transversal Elipse Hip´erbola Hip´erbola Elipse Hip´erbola Hip´erbola
Hip´ erboloide de dos hojas
Fig3: Hip´erboloide de dos hojas x2 y2 z2 − 2 − 2 + 2 =1 a b c
3
Plano Plano xy Plano xz Plano yz Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz 3.1.4
Secci´ on transversal Conjunto vac´ıo Hip´erbola Hip´erbola Elipse, punto o conjunto vac´ıo Hip´erbola Hip´erbola
Paraboloide el´ıptico
Fig4: Paraboloide el´ıptico x2 y2 z= 2 + 2 a b Plano Plano xy Plano xz Plano yz Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz
Secci´ on transversal Punto Par´abola Par´abola Elipse, punto o conjunto vac´ıo Par´abola Par´abola
4
3.1.5
Paraboloide hiperb´ olico
Fig5: Paraboloide hiperb´olico y2 x2 z= 2 − 2 b a Plano Plano xy Plano xz Plano yz Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz 3.1.6
Secci´ on transversal Lineas rectas que se cortan Par´abola Par´abola Hip´erbolas o rectas que se cortan Par´abola Par´abola
Cono El´ıptico
Fig6: Cono El´ıptico x2 y2 z2 + 2 − 2 =0 2 a b c
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Plano Plano xy Plano xz Plano yz Paralelo al plano xy Paralelo al plano xz Paralelo al plano yz
Secci´ on transversal Punto Rectas que se cortan Rectas que se cortan Elipse o punto Hip´erbolas o rectas que se cortan Hip´erbolas o rectas que se cortan
Ejemplo 2. Clasificar y dibujar la superficie 4x2 − 3y 2 + 12z 2 + 12 = 0 Soluci´ on. Para empezar escribimos su ecuaci´on en forma can´onica 4x2 − 3y 2 + 12z 2 + 12 = 0 ⇒ ⇒
x2 y2 z2 + + −1=0 −3 4 −1 x2 y2 z2 − + − =1 3 4 1
Para dibujarlas conviene hallar sus trazas en los planos coordenados Traza xy (z = 0)
y2 x2 − =1 4 3
Hip´erbola
Traza xz (y = 0)
z2 x2 + = −1 3 1
No hay traza
Traza yz (x = 0)
y2 z2 − =1 4 1
Hip´erbola
La gr´ afica se muestra en la figura
Fig7
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