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• yineskacamacho

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SUPERFICIES CUÁDRICAS 2 2 2 Ecuación general: ax + by + cz + dx + ey + fz = g

Se pede decir que para que la ecuación de la forma F(x,y,z) = ctte represente una superficie cuádrica esta debe poseer la siguientes características: i.

Deben Estar presentes las tres variables (x,y,z).

ii.

Debe ser una expresión polinómica de segundo grado.

iii.

Al menos dos de las variables deben estar elevados al cuadrado.

Es importante destacar que con esta clasificación no se estarían tomando los cilindros generados por cónicas como pertenecientes a la familia de superficies cuádricas, a pesar que en muchos textos se les incluya, debido a que estos fueron estudiados en su respectivo momento como un tipo de superficie diferente, las Superficies Cilíndricas. Así podemos establecer si las siguientes ecuaciones representan o no una superficie cuádrica:

a) x 2 − y 2 + 4 z 2 − z = 2  es una superficie cuádrica. b) z = sen ( x 2 + y 2 )

 No es una superficie cuádrica.

c) x − y + z = 4

 No es una superficie cuádrica.

2

3

d) π x + π y 2 − π z 2 = e  es una superficie cuádrica. e) x 2 − y + z = 2 f)

x −y +z =2

g) x 2 − y 2 = 4

 No es una superficie cuádrica.  No es una superficie cuádrica.  No es una superficie cuádrica.

Se puede apreciar que dentro de todas las superficies que pueden ser obtenidas mediante la ecuación F(x,y,z) = ctte las superficies cuádricas representan una pequeña parte, más sin embargo su importancia radica en el amplio empleo de estas en todas las ramas de la ingeniería. Es por ello que se realiza un estudio detallado de ellas. Clasificación de las Superficies Cuádricas: Las superficies cuádricas se clasifican en cinco grandes familias, a saber: 1) Los Paraboloides. Su característica principal es que una de sus variables no aparece como termino cuadrático, es decir, presentan dos variables elevadas al cuadrado y una lineal. Estos a su vez se subclasifican en tres grupos, que para ser distinguidos mediante su ecuación se hace necesario observar los coeficientes de los términos cuadráticos, así:

 Paraboloide Elíptico: los coeficientes de los términos cuadráticos presentan igual signo pero distinto valor.

Grafica:

Características:

Eje Elipse

- Dos de sus trazas son parábolas que comparten el mismo eje (eje del paraboloide), el mismo vértice (vértice del paraboloide) y abren hacia un mismo lado. - Sus secciones transversales son elipses, que en algunos casos puede representar una tercera traza.

Parábola

Parábola

Vértice

 Paraboloide Circular o de revolución: los coeficientes de los términos cuadráticos presentan igual signo e igual valor. Grafica:

Características: Eje Circunferencia

- Dos de sus trazas son parábolas que comparten el mismo eje (eje del paraboloide), el mismo vértice (vértice del paraboloide) y abren hacia un mismo lado. - Sus secciones transversales son circunferencias, que en algunos casos puede representar una tercera traza.

Parábola

Parábola

Vértice

 Paraboloide Hiperbólico: los coeficientes de los términos cuadráticos presentan signos diferentes.

Grafica:

Características: - Dos de sus trazas son parábolas que comparten el mismo eje (eje del paraboloide), el mismo vértice (centro del paraboloide “punto de silla”) pero abren hacia lados opuestos.

Hipérbola Parábola Eje

- Sus secciones transversales son Hipérbolas.

Centro Hipérbola Parábola

La traza restante es representada por un par de rectas que se cruzan en el centro del paraboloide.

Los otros cuatros tipos de superficie cuádrica que se estudiaran tienen en común que las tres variables presentes se encuentran elevadas al cuadrado, así que se procederá a una observación de los coeficientes de dichos términos para determinar cada tipo.

2) Los Elipsoides. Se obtiene cuando los coeficientes de los tres términos cuadráticos presenten igual signo pero valores diferentes. Es importante señalar que además de esta condición se hace necesario el estudio del término independiente que se realiza despejándolo. Si el término independiente es nulo entonces la ecuación representaría un punto en el espacio, en cambio si este es diferente de cero se debe observar que una vez despejado presente el mismo signo que los términos cuadráticos ya que en caso contrario la ecuación no representaría lugar geométrico alguno. Grafica:

Características: Elipse o circunferencia

- Al menos dos de sus trazas deben ser elipses que comparten el mismo centro (centro del elipsoide) - su tercera traza puede ser otra elipse o una circunferencia en cuyo caso se dirá que es un elipsoide generado por revolución - Las secciones trasversales pueden ser elípticas o circulares.

Elipses

3) Las Esferas. Se obtiene cuando los coeficientes de los tres términos cuadráticos presenten igual signo e igual valor. Al igual como se realizo con los elipsoides se debe realizar el mismo estudio para el término independiente de la ecuación. Grafica:

Características: - Sus tres trazas son circunferencias que comparten el mismo centro (centro de la esfera) y tienen el mismo radio (radio de la esfera).

Circunferencias

- Sus secciones circulares.

transversales

son

4) Los Hiperboloides. Se obtiene cuando uno de los coeficientes de los tres términos cuadráticos presente signo diferente y el término independiente de la ecuación es diferente de cero. Los hiperboloides a al igual que los paraboloides se subclasifican en dos tipos para ello se recomienda que el término independiente se despeje como un número positivo (TI>0 y despejado), con esta condición se define lo siguiente:

 Hiperboloide de dos hojas: los coeficientes de los términos cuadráticos presentan dos signos negativos y un signo positivo. (1 + ; 2 - ) Grafica:

Características: Vértices

Eje

Circunferencia o elipse Hipérbolas

- Dos de sus trazas son hipérbolas que comparten el mismo eje focal (eje del Hiperboloide) por lo que comparten los mismos vértices (vértice del hiperboloide). - Su tercera traza no existe ya que esta el plano restante estaría constituido por los ejes transversos de las hipérbolas (plano transverso del hiperboloide) - Sus secciones transversales pueden ser elipses o circunferencias.

 Hiperboloide de una hoja: los coeficientes de los términos cuadráticos presentan dos signos positivos y un signo negativo. (2 + ; 1 - )

Grafica:

Características: Eje Circunferencia o elipses

- Dos de sus trazas son hipérbolas que comparten el mismo eje transverso (eje del Hiperboloide). - Sus secciones transversales pueden ser elipses o circunferencias, al igual que su tercera traza.

Hipérbola

Hipérbola

5) Los Conos. Se obtiene cuando uno de los coeficientes de los tres términos cuadráticos presente signo diferente y el término independiente de la ecuación sea igual a cero. Grafica:

Características: Eje

Rectas

Circunferencia o elipse

Rectas

Centro

- Dos de sus trazas son dos rectas que se cruzan en un mismo punto (centro de cono). - su eje es coincidente al variable consigo cual por lo despejada.

paralelo eje de diferente, general

o la la es

- Sus secciones transversales pueden ser elipses (Conos Elípticos) o circunferencias (Conos Circulares).