• Author / Uploaded
• john_smith_cr70

Citation preview

´ Sumario de topicos matem´aticos Edward Parra Salazar

eπ

A mis musas: mi madre, mi abuela y mi t´ıa (que est´a ausente f´ısicamente).

´ Prologo

´ es producto de extensos y divertidos per´ıodos de investigacion ´ Esta recopilacion sobre historia de la matem´atica y de la ciencia en general. Han surgido de ah´ı, una ´ serie de topicos que a la postre han servido como trabajos finales de algunos cursos, ´ o inquietudes planteadas sobre esos temas, que he otros solo han sido continuacion desarrollado de manera vaga y nada sistem´atica. ˜ compendio. Desde una biograf´ıa Son variados los temas tratados en este pequeno de Arqu´ımedes, fracciones continuadas, problemas matem´aticos, teor´ıa del caos y ´ fractales, hasta curiosidades matem´aticas. He intentado exponer estos topicos de una ´ manera sencilla, precisa y sin caer en detalles irrelevantes. El proposito final es que ˜ herramienta de divulgacion ´ matem´atica, es presentar estas notas sean una pequena estos temas de manera contextualiza y que sirvan de referente para que el lector ´ su investigacion ´ sobre el tema que se sienta parcializado. continue La lista de personas que me han apoyado durante este breve proyecto tiende a ´ infinito. A todos ellos, mis amigos anonimos, les agradezco por cada comentario ˜ sobre el tema y por cada voz de a´ nimo que me han dado: ¡Gracias companeros y amigos!. ´ por la cual todas las sugerencias que usteEste no es un proyecto acabado, razon des consideren convenientes ser´an bienvenidas. Edward Parra Salazar, 28 de julio de 2010.

Digitado en pdfLATEX, eps – eπ .

3

´ Indice

1. Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna ´ Historica ´ 1.1. Ubicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. La matem´atica del siglo III aec . . . . . . . . . . . . . 1.2. Arqu´ımedes de Siracusa (circa 287 − 212 aec) . . . . . . . . . 1.2.1. An´ecdotas sobre Arqu´ımedes . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Aportes de Arqu´ımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Caracter´ısticas de sus tratados . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Principales trabajos de Arqu´ımedes . . . . . . . . . . 1.3.3. Trabajos perdidos de Arqu´ımedes . . . . . . . . . . . 1.3.4. Arqu´ımedes y sus principales influencias . . . . . . . 1.4. Estudio de una obra de Arqu´ımedes: El M´etodo . . . . . . . . 1.4.1. El M´etodo de Arqu´ımedes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

2. Fracciones Continuadas: un recorrido historico ´ ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Introduccion 2.2. La teor´ıa de las fracciones continuadas . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Fracciones continuadas finitas e infinitas . . . . . . . . 2.2.2. Algoritmo para el c´alculo de fracciones continuadas . . 2.2.3. Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Historia de las fracciones continuadas . . . . . . . . . . . . . . ˜ historica ´ 2.3.1. Breve Resena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ de las fracciones continuadas . . . . . 2.3.2. Sobre la notacion 2.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. C´alculo de fracciones continuadas de ra´ıces cuadradas ´ de ecuaciones diof´anticas lineales . . . . . . 2.4.2. Resolucion 2.4.3. Algunas fracciones continuadas . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Fracciones continuadas y geometr´ıa . . . . . . . . . . . 2.4.5. Fracciones continuadas ascendentes . . . . . . . . . . . 2.4.6. El problema del calendario . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

6 6 6 7 10 13 13 13 25 26 29 30 33

. . . . . . . . . . . . . . . .

34 34 35 35 37 38 40 40 41 42 42 43 45 51 52 53 54

´ INDICE

5

3. Problemas Matem´aticos 55 3.1. Los 23 problemas de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2. Los 7 problemas del Milenio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4. Caos: una breve resena ˜ ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Introduccion ´ historica ´ 4.2. Teor´ıa del Caos: una aproximacion 4.2.1. Efecto Mariposa . . . . . . . . . . . . ˜ del caos . . . . . 4.2.2. Los primeros anos 4.3. Im´agenes del caos . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. A modo de cierre . . . . . . . . . . . . . . . 5. Curiosidades Matem´aticas ´ . . . . . . . . 5.1. Introduccion 5.2. Signos matem´aticos . . . . 5.3. Curiosidades Matem´aticas 5.4. Reflexiones . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

59 59 61 61 64 65 66 70

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . .

71 . . . . 71 . . . . 72 . . . . 73 . . . . 86

Cap´ıtulo

1

Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna There was more imagination in the head of Archimedes then in that of Homer. Voltaire ´ El proposito de este trabajo es realizar un recorrido por las principales obras de Arqu´ımedes de Siracusa, algunas de las an´ecdotas que rodean su figura, as´ı como realizar un estudio de sus principales aportes a la matem´atica moderna y su did´actica. Tambi´en revisaremos algunos aspectos importantes de su obra El M´etodo.

1.1.

Ubicacion ´ Historica ´

1.1.1.

La matem´atica del siglo III aec

En el siglo III aec, Roma era la potencia mediterr´anea por excelencia. Roma, en su af´an de conquista, se apodera de los estados hel´enicos y de la poderosa Cartago. ´ La unica ciudad que resiste a los embates de los romanos es Siracusa, pero ya en el 212 aec cae en manos de Roma. Durante III aec, el poder pol´ıtico y militar estaba en manos de los romanos, pero el poder cient´ıfico, continuaba en manos de los griegos. No era la gran cultura hel´enica ´ del siglo V aec, en el que hab´ıan florecido tantos filosofos, artistas y cient´ıficos, ´ ´ Esquilo, Sofocles, ´ tales como Herodoto, Hipocrates, Her´aclito, Parm´enides, Zenon, ´ ´ Aristofanes y Democrito. La cultura cient´ıfica hel´enica se ve obligada a emigrar a las colonias griegas de ´ que sufr´ıan por parte de los Asia Menor, Egipto, Italia y dem´as, debido a la invasion romanos. Es as´ı como en Alejandr´ıa - Egipto nace el centro cient´ıfico m´as importante del ´ de los m´as grandes mundo griego y tambi´en el m´as duradero, sitio de comunicacion investigadores de la e´ poca, tanto de griegos como de romanos. (V´ease [3]).

Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna

7

En Alejandr´ıa se construye la Biblioteca y el Museo, donde centenares de sabios ˜ y estudiosos se ensenan, trabajan e investigan. La Biblioteca fue dirigida, especial´ mente en la e´ poca de mayor brillo, por grandes sabios, como por ejemplo Eratostenes. Es a este ambiente cient´ıfico de Alejandr´ıa al que se vinculan directa e indirecta¨ mente las tres figuras m´as importantes de la matem´atica de la antiguedad: Euclides, Arqu´ımedes y Apolonio. Estos fueron los miembros m´as representativos del per´ıodo de oro de la matem´atica griega. En el siglo III aec nace uno de los m´as grandes matem´aticos de todos los tiempos: Arqu´ımedes de Siracusa.

Figura 1.1: Grecia Antigua

1.2.

Arqu´ımedes de Siracusa (circa 287 − 212 aec)

´ [3], Arqu´ımedes fue una figura c´elebre y famosa en Siracusa, ya fuera Segun por sus m´eritos cient´ıficos o por sus excentricidades y grandes inventos que se le ´ con la familia real. Para [7], “el m´as grande mateatribuyeron, o por su vinculacion ¨ ´ de Platon ´ y el procedimienm´atico de la antiguedad, tuvo la fortaleza de innovacion to correcto de Euclides”. Las fuentes primarias sobre la vida de Arqu´ımedes se perdieron, en especial ´ biogr´afica de Arel trabajo de Heracleides Vida de Arqu´ımedes y la reconstruccion qu´ımedes es producto de varios fragmentos de diversos autores, especialmente his´ toriadores de las guerras punicas. Con base en estas observaciones se sabe que Arqu´ımedes nacio´ en 287 aec, vivio´ 75 ˜ y murio´ a causa del saqueo que siguio´ a la ca´ıda de Siracusa en manos de Marceanos lo en el 212 aec. ´ Su padre fue Pheidias el astronomo. En virtud del rigor, la originalidad y la trascendencia de sus resultados se le con´ momento de su formasidera el primer matem´atico moderno. Arqu´ımedes en algun ´ visito´ Alejandr´ıa y estuvo en contacto con los sucesores de Euclides. Particularcion ´ estrecha con Conon de Samos (280 − 220 aec), Dositeo mente mantuvo una relacion ´ de Pelusa y Eratostenes de Cirene (276 − 194 aec) (estos tres fueron sus maestros en Alejandr´ıa). El primero fue el descubridor de la espiral que hoy conocemos con ´ entre dos el nombre de espiral de Arqu´ımedes y estudio´ los puntos de interseccion

8

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

´ secciones conicas. El tercero fue director de la biblioteca de Alejandr´ıa a partir de ´ de numeros ´ 235 aec y autor del conocido m´etodo de la Criba para la determinacion primos. ´ Cuando Arqu´ımedes regreso´ a Siracusa, dedico´ toda su vida a la investigacion cient´ıfica. Mientras a Euclides se le consideraba el maestro por excelencia, creador de, lo que en el lenguaje moderno podr´ıa decirse, un libro de texto. Apolonio, era un profesor ˜ que ensenaba e investigaba. Arqu´ımedes era un investigador innato, sus escritos son verdaderas memorias cient´ıficas.(V´ease [3] y [29]). La obra de Arqu´ımedes fue desarrollada fundamentalmente a trav´es de cartas escritas en el m´as absoluto rigor euclidiano y con un marcado e´ nfasis en la ´ de los m´etodos matem´aticos a aplicacion la Mec´anica y la F´ısica. As´ı por ejemplo en Sobre el equilibrio de las figuras planas expone la ley de las palancas, Sobre los cuerpos que flotan estudia los principios b´asicos de la hidrost´atica, etc. Tambi´en a e´ l pertenecen toda una serie de inventos pr´acticos y artefactos b´elicos ´ como: el tornillo sinf´ın, la rueda dentada, los sistemas de palancas, la polea movil, el planetario, las catapultas, etc. Durante su estancia en el valle del Nilo, se cuenta que Arqu´ımedes invento´ el llamado Tornillo de Arqu´ımedes, un dispositivo para elevar agua desde un nivel bajo hasta otro m´as alto. Lo cierto es que este invento se usa en la actualidad. Su ´ da evidencia del doble car´acter creacion de Arqu´ımedes, pod´ıa preocuparse de materias pr´acticas o pod´ıa investigar en ´ topicos m´as abstracto. ´ de probleEn lo fundamental su obra matem´atica estuvo vinculada a la solucion mas sobre cuadraturas, curvaturas y c´alculo de tangentes por lo que se le considera ´ un precursor del C´alculo Diferencial e Integral. En el terreno metodologico llevo el ´ a alcanzar sus m´aximas conquistas demostrativas. Muchas de M´etodo de Exhaucion estas fueron previamente divisadas por un grupo importante de m´etodos; que en ´ este momento ten´ıan un valor fundamentalmente heur´ıstico, pero cuya maduracion posterior constituir´ıa los principios del C´alculo Infinitesimal y el M´etodo Experimental en ciencias naturales. Entre ellos son de inter´es: el m´etodo Mec´anico-Geom´etrico, el m´etodo de Sumas Integrales y el m´etodo de Tangencia.

Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna

9

´ de Arqu´ımedes por la Mec´anica que no solo ´ se ocupo´ de Tal fue la fascinacion buscar basamento geom´etrico para sus principios sino que tambi´en logro´ que e´ sta penetrara en sus m´etodos matem´aticos. As´ı en su Carta a Erat´ostenes tambi´en conocida como Tratado del M´etodo redescubierta en 1906, afirma: Estoy...convencido de que el m´etodo no es menos util ´ para la demostraci´on de los teoremas. Pues algunas de las cosas que se me hicieron claras por v´ıa mec´anica, se demostraron m´as tarde de forma geom´etrica, porque el modo de observaci´on de este tipo carece de fuerza probatoria. Pues es m´as f´acil realizar la demostraci´on cuando previamente se ha obtenido una idea de la cuesti´on por v´ıa Mec´anica, que cuando no se cuenta con este conocimiento previo ´ y su aspecto aritm´etico a producir Arqu´ımedes llevo´ el M´etodo de Exhaucion ´ 3,14085 ≤ π ≤ 3,14286 en Medida del sorprendentes resultados como la estimacion C´ırculo haciendo inscripciones y circunscripciones de pol´ıgonos de hasta 96 lados. Al decir del historiador norteamericano E.T. Bell, citado por [47]: Aplicando el M´etodo de Exhauci´on, Arqu´ımedes se revel´o como un maestro consumado del rigor matem´atico y un artista perfecto. En Sobre Conoides y Esferoides determina el volumen de paraboloides e hiper´ (Conoides), as´ı como de Elipsoides de revolucion ´ (esferoides) boloides de revolucion estratificando en cada paso con cilindros de igual altura. En Sobre espirales repite el m´etodo para calcular el a´ rea de la primera espiral de la hoy conocida como espiral de Arqu´ımedes, estratificando con sectores circulares de igual amplitud en cada caso. A diferencia de sus predecesores griegos, Arqu´ımedes, tambi´en desarrollo´ una ´ maestr´ıa de computo original. Esto se manifiesta en: el Problema de los bueyes (resuelve ´ ´ no bien aclarado), y en Arenario (o la ecuacion), el m´etodo de c´alculo de ra´ıces (aun El contador de arena). En El Arenario haciendo uso magistral y reiterativo del conocido hoy como Axioma de Arqu´ımedes (Las magnitudes tienen una raz´on entre si, cuando multiplicadas ´ la definicion ´ 4 de los Elementos y que son capaces de superarse la una a la otra, segun ´ de su teor´ıa de antes fue ampliamente utilizado por Eudoxio en la fundamentacion proporciones) se propone estimar la cantidad de granos de arena que existen en el ´ de lo que hoy llamamos notacion ´ cient´ıfica o exponencial mundo usando un embrion ´ para denotar numeros muy grandes. Este trabajo es adem´as importante por contener ´ una de las pocas referencias conocidas a los trabajos del matem´atico y astronomo Aristarco de Samos (310 − 230 a.C.), exponente de la teor´ıa helioc´entrica del universo ´ del tamano ˜ y la distancia entre la (el sol como centro) y pionero en la determinacion luna y el sol. ´ importante La obra matem´atica de Arqu´ımedes fue una fuente de inspiracion para los precursores del C´alculo Infinitesimal a partir del siglo XVI. Al decir de W. Leibniz (1646 − 1716), citado por [19], estudiando a Arqu´ımedes, dejas de asombrarte por los e´xitos de los matem´aticos actuales.

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

10

1.2.1.

An´ecdotas sobre Arqu´ımedes

La corona de oro de Hieron ´ La an´ecdota m´as conocida de Arqu´ımedes es la de la corona de oro de Hier´on, que se conoce a trav´es de Vitruvio (v´ease [3]). Textualmente es la siguiente: ´ Entre el gran numero admirables descubrimientos realizados por Arqu´ımedes, ˜ hay que senalar el que voy a citar y en el que puso de manifiesto una su´ reinaba en Siracusa, este pr´ıncipe, tileza casi incre´ıble. Cuando Hieron por los e´ xitos logrados en sus empresas, se propuso ofrecer en un cierto ´ templo una corona de oro a los dioses inmortales. Convino la confeccion de la obra con un artesano mediante una buena suma de dinero y la entrega de la cantidad de oro en peso. El artesano entrego´ la corona en la fecha convenida con el rey, quien la encontro´ perfectamente ejecutada, pareciendo que contuviera todo el oro que le hab´ıa entregado. Pero habiendo obtenido indicios de que el artesano hab´ıa retenido una parte de ˜ y no teniendo a mano los medios oro, el rey, indignado ante ese engano para demostrar al artesano su fraude, encargo´ a Arqu´ımedes que se ocupase del asunto y que con su inteligencia encontrase esos medios. Un d´ıa que Arqu´ımedes, preocupado por este asunto, entro´ por casualidad en ˜ ˜ una casa de banos, advirtio´ que a medida que se introduc´ıa a la banera, ´ le hizo descubrir la es agua se desbordaba de la misma. Esta observacion ´ que buscaba, y sin aguardar m´as por la alegr´ıa que este hecho le razon ˜ aun ´ desnudo y corriendo hacia su casa gritaba produc´ıa, salio´ del bano ¡Eureka! ¡Eureka!, es decir, ¡lo he encontrado!, ¡lo he encontrado!. A ra´ız de este descubrimiento encargo´ entonces dos masas de igual peso que el de la corona, una de oro y otra de plata. Sumergio´ luego la masa de plata en un vaso , lo que hizo salir una cantidad de agua igual al volumen de esa masa y volvio´ a llenar el vaso con una igual cantidad de agua que hab´ıa salido y que se preocupo´ de medir, de manera que pudo conocer la cantidad de agua que correspond´ıa a la masa de plata que hab´ıa introducido en el vaso. Despu´es de esa experiencia sumergio´ igualmente la masa de oro en el vaso lleno de agua, y despu´es de haberla retirado midio´ nuevamente el agua desalojada, encontrando que la masa de oro no hab´ıa desalojado tanta agua como la de plata y que la diferencia en menos era igual a la

Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna

11

´ diferencia entre los volumenes de la masa de oro y de la masa de plata de igual peso. Finalmente volvio´ a llenar el vaso sumergi´endole esta vez la corona, que desalojo´ m´as agua de la que hab´ıa desalojado la masa de oro de igual peso, pero menos de la respectiva de la masa de plata. Calculando entonces, de acuerdo con esas experiencias, en cu´anto la cantidad de agua que la corona hab´ıa desalojado era mayor de aquella que hab´ıa desalojado la masa de oro, conocio´ cu´anta era la plata que se hab´ıa mezclado al oro, mostrando claramente el fraude del artesano. Dadme un punto de apoyo. . . ´ la cual e´ ste habr´ıa pronunciado Otra an´ecdota conocida de Arqu´ımedes, segun ´ la c´elebre frase, tan retorica como absurda (v´ease[3]): Dadme un punto de apoyo y le´ con el problema: vantar´e el mundo, est´a narrada por Pappus1 y Plutarco, en conexion mover un peso dado, mediante una fuerza dada. ´ le escribio´ que con una poArqu´ımedes, pariente y amigo de Hieron, tencia dada se puede mover un peso igualmente dado, y jugando, como ´ le aseguro´ que si le diersuele decirse, con la fuerza de la demostracion an otra tierra mover´ıa e´ sta despu´es de trasladarse a aquella. Maravilla´ y pidi´endole que verificar´a con obras este problema e hiciese do Hieron ´ ˜ ostensible como se mov´ıa alguna gran mole con una potencia pequena, utilizo´ un gran transporte de tres velas del arsenal del rey, que fue saca´ do a tierra con mucho trabajo y a fuerza de un gran numero de brazos; carg´andole de gente y del peso que sol´ıa ech´arsele, y sentado lejos de e´ l, sin esfuerzo alguno y con solo mover la mano al cabo de una m´aquina de una fuerza atractiva, lo llevo´ as´ı derecho y sin detenerse como si corriese ´ el rey, y convencido del poder de arte encargo´ a por el agua. Pasmose Arqu´ımedes que le construyese toda especie de m´aquinas de sitio, bien fuese para defenderse, o m´as bien para atacar; de las cuales e´ l no hizo uso, habiendo pasado la mayor parte de su vida exenta de guerra y en la mayor comodidad; aunque luego tuvieron los siracusanos menester de aquellas m´aquinas y de su art´ıfice. La muerte de Arqu´ımedes Plutarco se refiere a la muerte de Arqu´ımedes (v´ease [3]), despu´es que el ej´ercito romano hubo conquistado las partes m´as importantes de Siracusa: Tomadas tambi´en e´ stas, al mismo amanecer marcho´ Marcelo por los He´ x´apilos, d´andole el parabi´en todos los jefes que estaban a sus ordenes; m´as de e´ l mismo se dice que al ver y registrar desde lo alto la grandeza y la hermosura de semejante ciudad, derramo´ muchas l´agrimas, compade´ qu´e cambio ci´endose de lo que iba a suceder, por ofrecer a su imaginacion 1 Pappus

de Alejandr´ıa, siglo III de nuestra era.

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

12

iba a tener de ah´ı a poco en su forma y aspecto, saqueada por el ej´ercito. En efecto, ninguno de los jefes se atrev´ıa a oponerse a los soldados, que hab´ıan pedido se les concediese el saqueo, y aun muchos clamaban por que se le diese fuego y se le asolase. En nada de esto convino Marcelo, y solo por fuerza y repugnancia condescendio´ en que se aprovecharan de los bienes y de los esclavos, sin que ni siquiera tocaran a las personas libres, mandando expresamente que no se diese muerte, ni se hiciese violencia, ni se esclavizase a ninguno de los siracusanos. . . M´as lo que principalmente afligio´ a Marcelo fue lo que ocurrio´ con Arqu´ımedes: hall´abase e´ ste casualmente entregado al examen de cierta figura matem´atica y fijos ´ de los romanos ni la toma en ella su a´ nimo y su vista, no sintio´ la invasion ´ de la ciudad. Presentosele repentinamente un soldado, d´andole orden de que lo siguiese a casa de Marcelo; pero e´ l no quiso antes de resolver el ´ con lo que irritado el soldado, problema y llevarlo hasta la demostracion; desenvaino´ la espada y le dio muerte.

Sobre la tumba de Arqu´ımedes El deseo expresado por Arqu´ımedes era que en su tumba se grabara una figura geom´etrica que recordara uno de sus m´as grandes descubrimientos geom´etricos, el ´ Un siglo y medio despu´es Ciceron ´ lo encontro´ ya cuando los miscual se cumplio. ´ Ciceron ´ (v´ease [3].): mos siracusanos se hab´ıan olvidado de su figura y fama. Segun . . . Arqu´ımedes, cuyo sepulcro ignorado por los siracusanos, rodeado de zarzas y espesos matorrales hasta el punto de haberse perdido todo rastro de e´ l, yo descubr´ı siento cuestor de Siracusa. Yo conoc´ıa ciertos versos senarios, copias de otros que hab´ıan sido inscriptos en su monumento, las cuales declaraban que hab´ıan en su sepulcro una esfera con un cilindro. Despu´es de haber recorrido todos los innumerables sepulcros que ˜ columna que no hay cerca de la puerta de Agrigentum, vi una pequena se levantaba mucho de los matorrales, en la cual estaba la figura de una esfera y de un cilindro. Dije entonces a los principales siracuanos que estaban conmigo que cre´ıa haber encontrado lo que tanto buscaba. Comenzaron muchos a hacer abrir el camino hasta descubrir el sepulcro. De este modo pudimos penetrar hasta el otro lado de la base. Aparecio´ un epigra´ ma, medio borradas las ultimas palabras de los versos. De esta manera, una ciudad de las m´as ilustres de Grecia, en otros tiempos la m´as docta, hubiera ignorado el monumento sepulcral de un ciudadano suyo tan ˜ ciudad de ilustre, si no lo hubiese aprendido de un hombre de la pequena Arpinum. Hoy d´ıa la tumba no existe, pero en las proximidades de Siracusa existe un lugar denominado la tumba de Arqu´ımedes.

Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna

13

Figura 1.2: Figura inscrita sobre la tumba de Arqu´ımedes

1.3.

Aportes de Arqu´ımedes

1.3.1.

Caracter´ısticas de sus tratados

´ alguna, monumentos de la exposicion ´ matem´atica, Los tratados son, sin excepcion ´ gradual del plan de ataque, la maestr´ıa en el orcomo lo menciona [31], la revelacion ´ de las cosas que eran irrelevantes den de las proposiciones, la severa eliminacion ´ para sus propositos, y todo el compendio de su obra, son impresionantes en su per´ como creador de magnificas obras para sus lectores. feccion Las demostraciones geom´etricas de Arqu´ımedes presentan los siguientes rasgos principales: ´ de la teor´ıa de las proporciones. Descansan en la tradicion Parten de algunas asunciones b´asicas y especialmente significativas para los teoremas considerados. Los resultados conocidos o teoremas ya aprobados, aducidos en el curso de la ´ se usan sin cita o referencia expresa, como objetos de dominio demostracion, ´ publico. ´ y aproximacion ´ que incluyen Utilizan m´etodos resolutivos de comprension ´ al absurdo. sustancialmente la reduccion ´ Ocasionalmente tambi´en recurren a otras t´ecnicas de construccion. ´ de Las demostraciones de Arqu´ımedes suelen contraerse a la consideracion unos pocos problemas y constituyen deducciones rigurosas, pero informales, al servicio de un desarrollo sustancial del conocimiento matem´atico.

1.3.2.

Principales trabajos de Arqu´ımedes

A lo largo de la historia cuando se hace referencia a que un descubrimiento fue realizado por un determinado personaje es dif´ıcil demostrar que es as´ı. En este apartado se estudiar´an algunas de las muchas obras o trabajos que se le atribuyen a Ar´ la bibliograf´ıa consultada. El objetivo de este apartado qu´ımedes de Siracusa, segun

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

14

´ de algunos temas no es hacer un estudio exhaustivo de cada libro; si no una revision para que el lector obtenga un conocimiento general de los trabajos que realizo´ Arqu´ımedes. ´ de las matem´aticas de Arqu´ımedes desde sus fuentes griegas ha La recuperacion sido un proceso dif´ıcil y no se tiene certeza de la originalidad de sus aportes. Se dice que este matem´atico inicio´ sus estudios al intentar resolver tres problemas conocidos ´ del cubo y la triseccion ´ del en esta e´ poca: La cuadratura del c´ırculo, la duplicacion a´ ngulo. Estos problemas deb´ıan resolverse utilizando solamente regla (sin marcas) y comp´as, instrumentos que, al parecer son los que utiliza Euclides en su obra. Son ´ exacta usando regla y comp´as, cosa que se ha probado mucho problemas sin solucion ´ por otros m´etodos. despu´es, aunque tienen solucion Las obras que hoy conocemos suelen encuadrarse dentro de tres grupos m´as o menos caracter´ısticos: ´ de proporciones sobre a´ reas 1. Escritos matem´aticos dirigidos a la demostracion ´ y volumenes de figuras limitadas por l´ıneas o superficies curvas. 2. Obras que proceden a an´alisis geom´etricos de problemas est´aticos e hidrost´aticos, o se sirven de consideraciones mec´anicos en el tratamiento de cuestiones geom´etricas. 3. Trabajos con un aire de miscel´anea matem´atica. ´ Las obras de Arqu´ımedes que desde la Edad Media se conocen por medio del codice de Heiberg y el de Valla, que se encontraron en Constantinopla, son las siguientes: Sobre la esfera y el cilindro.

Stomachion.

Sobre la medida del c´ırculo.

El libro de los lemas.

Sobre conoides y esferoides.

El problema de los bueyes.

Sobre las espirales.

´ Trabajos sobre mec´anica y optica.

El arenario.

Cuerpos flotante.

Cuadratura de la par´abola.

Equilibrio de los plano.

El M´etodo.

Sobre las espirales.

Sobre los cuerpos flotantes.

Medida del c´ırculo.

´ realizaremos una breve resena ˜ de sus principales: A continuacion El M´etodo. ´ posteEl estudio de este trabajo de Arqu´ımedes se profundizar´a en una seccion rior.

Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna

15

Cuerpos flotantes. ´ de equilibrio de un segmento Se enuncian algunos resultados sobre la posicion ´ parcialmente sumergido en un fluido. En este tratado, de paraboloide de revolucion elaborado tambi´en a la manera eucl´ıdea, aparece el famoso Principio de Arqu´ımedes de la Hidrost´atica. Para ejemplificar el contenido del libro, se presentar´an algunos postulados y proposiciones de los dos libros que Arqu´ımedes escribe sobre los cuerpos flotantes. Postulados 1. Supongamos que un fluido es de tal car´acter, que sus partes reposan de igual forma y siendo continuas, la parte que est´a menos empujada es conducida por la que est´a m´as empujada, y que cada una de sus partes es empujada por el flu´ı´ vertical, si el fluido est´a sumergido do que est´a encima de ella en una direccion en cualquier sustancia y comprimida por algo m´as. 2. Los cuerpos que son impulsados hacia arriba en un fluido, son impulsados hacia arriba a lo largo de la perpendicular (de la superficie) que pasa a trav´es de su centro de gravedad. Proposiciones 1. Si una superficie es cortada por un plano que pasa a trav´es de cierto punto y si ´ es siempre una circunferencia (de un c´ırculo) y el centro es el punto la seccion mencionado, la superficie es de una esfera. 2. La superficie de cualquier fluido est´a en reposo, si es la superficie de una esfera cuyo centro es el mismo que el de la tierra. ´ ˜ a tamano, ˜ son de igual peso con el fluido, si 3. Los solidos aquellos que, tamano los deja caer en el fluido, se sumergen de tal forma que no se proyectan sobre la superficie pero no se hunden m´as abajo. ´ 4. Un solido m´as ligero que un fluido, si es colocado en e´ ste, no estar´ıa completamente sumergido, pero parte de e´ ste se proyectar´ıa sobre la superficie. ´ 5. Cualquier solido m´as ligero que un fluido, si se sumerge parte de e´ l, el peso del ´ solido ser´ıa igual al peso del fluido desplazado. ´ 6. Si un solido es m´as ligero que un fluido y se sumerge fuertemente en e´ l, el ´ solido ser´ıa llevado hacia arriba por una fuerza igual a la diferencia entre su peso y el peso del fluido desplazado. ´ 7. Cualquier solido m´as pesado que un fluido y situado en e´ l, se sumergir´ıa hasta ´ el fondo del fluido, y si se pesa dicho solido dentro del fluido resultar´ıa m´as ligero que su verdadero peso, por el peso del fluido desplazado.

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

16

´ 8. Si un solido con la forma de un segmento de una esfera, y de una sustancia m´as ligera que el fluido, es colocado en e´ ste, de tal manera que su base no toca ´ ´ en que su eje es perpendicular a la el fluido; el solido reposar´ıa en la posicion ´ ´ semejante que su superficie del fluido; y si el solido es forzado en una posicion base toca el fluido sobre un lado y luego se libera, este no permanecer´ıa en esta ´ pero retornar´ıa a una posicion ´ sim´etrica. posicion, ´ 9. Si un solido con la forma de un segmento de esfera, y de una sustancia m´as ligera que un fluido, es colocado en e´ ste, de tal manera que su base est´a comple´ ´ tamente bajo la superficie del fluido; el solido estar´ıa en reposo en la posicion que su eje es perpendicular a la superficie del fluido. ´ 10. Si un solido m´as ligero que un fluido est´a en reposo dentro de e´ ste, el peso del ´ ´ sumergida del solido es al peso del mismo volumen en fluido, como la porcion ´ ´ solido es a todo el solido. ´ cuyo eje no es m´as 11. Si un segmento de un paraboloide recto en revolucion, 3 grande que 4 p, y con una gravedad espec´ıfica menor que la del fluido, es colo´ a´ ngulo, asimismo la cado en el fluido con su eje inclinado a la vertical en algun base del segmento no toca la superficie del fluido, el segmento del paraboloide ´ sino que retornar´ıa a la posicion ´ en la que su no permanecer´ıa en esta posicion, eje es vertical. ´ cuyo eje no es m´as grande que 12. Si un segmento de un paraboloide en revolucion, 3 4 p y cuya gravedad espec´ıfica es menor que la del fluido, con su eje inclinado ´ a´ ngulo a la vertical, asimismo su base esta completamente sumergida, en algun ´ ´ y regresar´ıa a la posicion ´ en la que el solido no permanecer´ıa en esta posicion, su eje es vertical. En estas proposiciones se observa que Arqu´ımedes utiliza por primera vez al para´ y lo estudia desde un corte transversal: la par´abola. boloide como cuerpo de flotacion Equilibro de los planos. Se estudian los resultados sobre el centro de gravedad de figuras poligonales, del ´ segmento de par´abola y del trapecio parabolico. Aunque es un tratado de Est´atica, formalmente sigue la l´ınea eucl´ıdea con definiciones, postulados y demostraciones en los que adem´as de conceptos geom´etricos se utilizan el peso y el centro de gravedad de figuras. En este escrito Arqu´ımedes formula la famosa Ley de la palanca. Algunos postulados que se utilizan en el libro dicen lo siguiente: El centro de gravedad de un paralelogramo est´a en la recta que une los puntos medios de los lados opuestos. Si AB es una magnitud cuyo centro de gravedad es C, y AD es una parte de la misma, cuyo entro de gravedad es F, entonces el centro de gravedad de la diferencia estar´a en el punto G de FC tal que : GC : CF = AD : DE

Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna

17

Medida del c´ırculo. Se estudian los resultados sobre la equivalencia entre el c´ırculo y el tri´angulo de ´ de la cuadratubase la circunferencia del c´ırculo y altura el radio (es decir, reduccion ´ de la circunferencia), y c´alculo aproximado de la razon ´ ra del c´ırculo a la rectificacion ´ entre la circunferencia y el di´ametro (valor aproximado del numero π). Algunos resultados son: 1. El a´ rea de cualquier c´ırculo es igual a la de un tri´angulo rect´angulo en el cual uno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del c´ırculo. Lo demuestra comprobando que el a´ rea del c´ırculo no es mayor, y tampoco menor, ´ puede ser igual. que a´ rea del tri´angulo, por lo tanto solo

Figura 1.3: a´ rea del C´ırculo - a´ rea del tri´angulo 2. El a´ rea del c´ırculo es al cuadrado de su di´ametro 11 a 14 (el c´ırculo es los 11/14 del cuadrado circunscrito si la longitud de la circunferencia es 3 17 veces el valor del di´ametro). 3. El per´ımetro de todo c´ırculo es igual al triple del di´ametro aumentando en un 10 segmento comprendido entre 71 y 17 de dicho di´ametro (lo que equivale a decir que el per´ımetro del c´ırculo es menor que los 3 17 del di´ametro puesto que es superior a los 3 10 ametro). 71 de este di´ √ ´ para 3: 4. Arqu´ımedes encontro´ la siguiente acotacion

√ 265 1351 < 3< 153 780 Sobre la esfera y el cilindro Muestra los resultados sobre la esfera, el cono y el cilindro, en particular la pro´ de 2 a 3 entre la esfera y el cilindro circunscrito, tanto en superficie piedad de la razon total como en volumen. Consta de dos libros en los que Arqu´ımedes determina las

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

18

´ a´ reas y volumenes de esferas y cuerpos relacionados con ellas. Euclides hab´ıa demostrado en sus Elementos que el volumen de dos esferas es entre s´ı como los cubos de sus di´ametros, o el volumen de una esfera es proporcional al cubo de su di´ametro. Adem´as de determinar el a´ rea y el volumen de la esfera, tambi´en encuentra el a´ rea ´ lateral del cilindro. Arqu´ımedes comienza con definiciones e hipotesis. La primera ´ hipotesis o axioma es que entre todas las l´ıneas que tienen los mismos extremos, la recta es la m´as corta. Otros axiomas se refieren a las longitudes de las curvas como el segundo axioma, que dice: de dos l´ıneas planas convexas que unen dos puntos situados en el mismo lado de la recta que los une, y donde una de las cuales envuelve a otra, la envolvente es la de mayor longitud. Despu´es de una serie de proposiciones preliminares, en el libro I, llega a las proposiciones de gran inter´es que son: La superficie de cualquier esfera es cuatro veces la de su c´ırculo m´aximo, i.e., 4πr2 . Cualquier esfera es igual a cuatro veces el cono que tiene su base igual al c´ırculo m´aximo de la esfera, y su altura igual al radio de la esfera. ´ Cortar una esfera con un plano de manera que los volumenes de los segmentos ´ dada. obtenidos est´en en una razon Sobre el Arenario Aunque la mayor´ıa de la obra de Arqu´ımedes radica en la geometr´ıa y en aplicaciones f´ısicas en esta obra se puede apreciar su creatividad. En esta obra Arqu´ımedes ´ intenta probar que el numero de gramos de arena no es infinito sino que existen unos ´ ´ numeros cuyo orden de magnitud es como el numero de granos de arena que hay en el universo. Arqu´ımedes lo expresa as´ı: ´ Hay algunos que creen que el numero de granos de arena es infinito en ´ la que existen en Siracusa y el resto cantidad y por arena entiendo no solo ´ habitada de Sicilia, sino tambi´en la que se encuentra en cualquier region o sin habitar. Hay tambi´en algunos que, sin considerarlo infinito, creen que no existe una cifra lo bastante grande para exceder a su magnitud. Y ´ si imaginasen una masa est´a claro que quienes mantienen esta opinion, hecha de arena en otros aspectos tan grande como la masa de la Tierra, incluyendo en ella todos los mares y las cavidades de la Tierra llenadas ˜ m´as altas estar´ıan muchas vehasta una altura igual a la de las montanas ´ numero ´ ces lejos de reconocer que se pueda expresar ningun para exceda a la magnitud de la arena as´ı conseguida. Pero intentar´e demostraros por medio de puntos geom´etricos que ser´eis capaces de seguir, que los ´ ´ al numero ´ numeros nombrados por m´ı. . . algunos exceden no solo de la masa de arena igual en magnitud a la de la Tierra llena de la forma descrita, sino al de la masa igual en magnitud al Universo.

Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna

19

´ de Arqu´ımedes consist´ıa en lo siguiente, utilizaba al prinEl sistema de numeracion cipio una mir´ıada o 10,000, como unidad de primer orden y obten´ıa por exten´ el numero ´ sion 100,000,000 = (10,000)2 . Despu´es partiendo de la mir´ıada como ´ hasta 100,000,0002 que se conmagnitud de primer orden llegaba por extension vierte en la unidad de tercer orden que extendiendo llega hasta 100,000,0003 , pode´ mos continuar hasta llegar al t´ermino 1,000,000,000-´esimo que termina en el numero ´ 100,000,000100,000,000 al que llamaremos N. Arqu´ımedes utilizaba este numero N co´ mo el ultimo t´ermino del primer per´ıodo. Utilizaba este N como unidad del segundo per´ıodo el cual se extend´ıa hasta 100,000,000 N para el primer orden, el segundo or´ den de este periodo termina con el numero 100,000,0002 y el 100,000,000-´esimo orden del segundo periodo termina con 100,000,000100,000,000 N o´ lo que es lo mismo N 2 . As´ı de esta manera se puede llegar hasta el 100,000,000-´esimo per´ıodo o lo que es lo mismo N elevado a 108 . Se puede comprobar que la magnitud de este sistema de nu´ es enorme, el ultimo ´ ´ meracion numero del primer per´ıodo se representar´ıa como un ´ 1 seguido de 800,000,000 ceros. Una establecido este sistema y con una evaluacion que hizo Arqu´ımedes sobre el universo y la de un gramo de arena, afirmo´ que el ´ numero de granos de arena que hab´ıa en el universo era menor que 1051 . Arqu´ımedes, tambi´en prueba que el di´ametro del sol es m´as grande que el lado de 2 , o figura con mil lados iguales, inscrito en un gran c´ırculo del universo. ´ un kilogono

´ Figura 1.4: El di´ametro del sol es m´as grande que el lado de un kilogono

De los conoides y esferoides ´ Conoides: son solidos producto de revolucionar una par´abola o hip´erbola sobre sus ejes. Esferoides: son producto de revolucionar una elipse y son gruesos o delgados, de acuerdo a si se revolucionan sobre el eje mayor o menor. ´ del trabajo sobre la esfera y el cilindro, Arqu´ımedes Se considera una continuacion ´ estudia las propiedades y comparaciones de otros solidos que trascienden la ge´ alrededor de uno de sus ejes, de ometr´ıa elemental, son los obtenidos por la rotacion ´ ´ paraboloide de revolucion ´ e hiperboloide las tres conicas, el elipsoide de revolucion, ´ (de dos hojas)de revolucion. 2 Kilogono ´

1000 lados.

proviene del ingl´es chiliagon, y este del griego χιλαγωνoν, es decir, un pol´ıgono de

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

20

De las espirales Es un estudio monogr´afico de una curva plana, hoy llamada espiral de Arqu´ı´ de movimientos de rotacion ´ y medes, que se genera por una simple combinacion ´ Aunque se trata de una l´ınea, este escrito tiene las mismas caracter´ısticas traslacion. y dificultades de los anteriores. Cuadratura de la par´abola ´ de un pol´ıgono Ofrece el primer ejemplo de cuadratura, es decir, de determinacion equivalente, de una figura mixtil´ınea: el segmento de par´abola, en este escrito aparecen consideraciones no estrictamente matem´aticas (en el sentido actual) pues adem´as ´ geom´etrica del resultado principal, e´ ste se obtiene por un prode una demostracion cedimiento mec´anico, utilizando la teor´ıa de la palanca y de los centros de gravedad, que Arqu´ımedes hab´ıa estudiado en otros escritos. Stomachion Es un juego geom´etrico, una especie de puzzle, formado por una serie de piezas poligonales que completan un rect´agulo, se le denomino loculus Archimedium por algunos gram´aticos latinos.

Figura 1.5: Stomachion

El Libro de Lemas ´ de proposiciones de geometr´ıa plana, sin conexion ´ entre si, que Es una reunion ´ se conoce a trav´es de una version ´ en a´ rabe, y se le atribuye a Arqu´ımedes. Es solo ´ algunas de sus proposiciones sean realmente de Arqu´ımedes. probable que solo Entre las proposiciones que forman este escrito, se encuentran las siguientes: Proposicion ´ 1: Si dos circunferencias se intersecan en un punto A, y sea BD, EF los di´ametros de estas, adem´as estos son paralelos, entonces ADF es una recta. Proposicion ´ 2: Sea AB el di´ametro de una semic´ırculo y considere las dos rectas tangentes tal que una pase por B y la otra por D, sea T el punto de intersecci´on de estas. Si se traza DE perpendicular a AB, adem´as AT, DE se intersecan en F, entonces DF = FE

Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna

21

Proposicion ´ 3: Sea P un punto cualquiera de un segmento de c´ırculo de base AB, PN es perpendicular a AB. Se elige un punto D que pertenezca a AB tal que AN = ND. Ahora si el arco PQ es congruente con el arco PA, y si se traza BQ, entonces BQ y BD ser´an iguales.

´ 3 Figura 1.6: Proposicion Proposicion ´ 4: Si AB es el di´ametro de un semic´ırculo y N un punto cualquiera en AB, si se trazan dos semic´ırculos en el interior del primero, cuyos di´ametros son AN y BN respectivamente, entonces el a´ rea de la figura comprendida por los tres semic´ırculos (a lo que Arqu´ımedes llam´o: αρβηλoς, cuchillo o navaja de zapatero) es igual al a´ rea del c´ırculo de di´ametro PN, donde PN es perpendicular a AB y corta al semic´ırculo original en P

´ 4: Cuchillo de zapatero Figura 1.7: Proposicion Proposicion ´ 5: Sea AB el di´ametro de un semic´ırculo, C un punto cualquiera en AB, y sea CD un segmento perpendicular a este. Si se trazan dos semic´ırculos en el interior del primero cuyos di´ametros son AC, CB. Entonces si se dibujan dos c´ırculos que intersequen a CD en lados opuestos, y a la vez cada uno de estos intersequen a dos de los semic´ırculos, se obtiene que los c´ırculos dibujados son iguales

´ 5 Figura 1.8: Proposicion Proposicion ´ 6: Sea AB el di´ametro de un semic´ırculo, C es un punto en este, tal que 3 AC = 2 CB (o cualquier otra proporci´on), si se traza dos semic´ırculos en el interior del

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

22

primero, cuyos di´ametros son AC y CB, suponga que se dibuja un c´ırculo que interseca a los tres semic´ırculos. Si GH es el di´ametro de este c´ırculo, entonces se encuentra alguna relaci´on entre GH y AB. Proposicion ´ 7: Si se circunscribe e inscribe c´ırculos en un cuadrado, el c´ırculo circunscrito es el doble del c´ırculo inscrito. Proposicion ´ 8: Si AB es una cuerda cualquiera de un c´ırculo de centro O, y si AB se prolonga hasta C tal que BC es igual al radio, y CO interseca al c´ırculo en D y su prolongaci´on corta al c´ırculo en E, el arco AE es igual a tres veces el arco BD.

´ 8 Figura 1.9: Proposicion Proposicion ´ 9: Si AB y CD son dos cuerdas de un c´ırculo, tal que no pasen por el centro de este y se interseque perpendicularmente, entonces (arc AD)+(arc CD)=(arc AC)+(arc EF).

´ 9 Figura 1.10: Proposicion Proposicion ´ 10: Suponga que TA y TB son dos tangentes a un c´ırculo, y TC una secante. Sea BD una cuerda paralela a TC, adem´as AD interseca a TC en E . Entonces si se traza EH perpendicular a BD, este lo biseca en H.

´ 10 Figura 1.11: Proposicion

Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna

23

Proposicion ´ 11: Si dos cuerdas de un c´ırculo AB y CD, se intersecan formando a´ ngulos rectos, en un punto O, que no sea el centro del c´ırculo, entonces AO2 + BO2 + CO2 + DO2 = (di´ametro)2 . Proposicion ´ 12: Si AB es el di´ametro de un semic´ırculo, y TP, TQ son tangentes a este desde cualquier punto T, y si AQ, BP se intersecan en R, entonces RT es perpendicular a AB.

´ 12 Figura 1.12: Proposicion Proposicion ´ 13: Si en un c´ırculo el di´ametro AB se interseca con una cuerda cualquiera CD, que sea un di´ametro, en el punto E, y si AM, BN son perpendiculares a CD, entonces CN = DM.

´ 13 Figura 1.13: Proposicion Proposicion ´ 14: Sea ACB un semic´ırculo de di´ametro AB, adem´as AD y BE medidas conmensurable iguales, a lo largo de AB desde A hasta B respectivamente. Si hacia el lado de C se trazan los semic´ırculos de di´ametros AD y BE, al lado opuesto de este se traza el semic´ırculo de di´ametro DE. Considere la perpendicular a AB que pasa por O, que es el centro del primer semic´ırculo, adem´as interseca al semic´ırculo opuesto a C, en F. Entonces el a´ rea de la figura formada por los todos semic´ırculos (a la que Arqu´ımedes llam´o Salinon) es igual al a´ rea del c´ırculo de di´ametro CF. Proposicion ´ 15: Sea AB el di´ametro de un c´ırculo, AC el lado de un pent´agono regular inscrito en este, D el punto medio del arco AC. La intersecci´on de las prolongaciones de BA y CD es el punto E, adem´as DB, AC se intersecan en F y se traza FM perpendicular a AB, entonces EM =(radio del c´ırculo). El problema de los bueyes Este es un problema dif´ıcil en An´alisis de indeterminadas. Este requiere encon´ trar el numero de toros y vacas de cada uno de cuatro colores, o encontrar ocho

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

24

cantidades desconocidas. La primera parte del problema est´a conectada con variables de siete ecuaciones simples; y la segunda parte se le suman dos condiciones m´as ´ a las cuales las variables pueden ser sujetas. Si W, w son el numero de toros y vacas ´ blancas respectivamente y ( X, x ), (Y, y), ( Z, z) representan el numero de los otros tres colores, tenemos las primeras ecuaciones (v´ease [31], o [29]):   1 1 + X + Y, (1.1) W= 2 3   1 1 + X= Z + Y, (1.2) 4 5   1 1 Z= + W + Y, (1.3) 6 7   1 1 w= + ( X + x ), (1.4) 3 4   1 1 + ( Z + z ), (1.5) x= 4 5   1 1 z= + (Y + y ) , (1.6) 5 6   1 1 y= + (W + w ) (1.7) 6 7 ´ es requerido que Luego, como segunda condicion, ´ W + X = un numero cuadrado

(1.8)

´ Y + Z = un numero triangular

(1.9)

´ general de las primeras siete ecuaciones es La solucion W = 10366482n, X = 7460514n, Y = 4149387n, Z = 7358060n, w = 7206360n, x = 4893246n, y = 5439213n, z = 3515820n. La segunda parte del problema, para encontrar un valor de n tal que W + X = α ´ sea un numero cuadrado, si consideramos n = 4456749ξ 2 , donde ξ es un entero,

Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna

25

´ ´ se satisface la hipotesis. Para encontrar un numero triangular Y + Z, es decir, un 1 ´ de Pell: ´ numero de la forma 2 q(q + 1), hay la siguiente ecuacion t2 − 4729494u2 = 1 la cual, solo una de las ocho variables tiene m´as de 206500 d´ıgitos. Este problema de Arqu´ımedes, al que se le conoce como el problema de los bueyes ´ del sol, est´a relacionado con los numeros triangulares y cuadrados.3 ˜ Desde muy pronto los matem´aticos reconocieron que la manada m´as pequena ´ que cumple las siete primeras condiciones contiene 50389082 animales. Las dos ultimas condiciones hacen el problema mucho m´as dif´ıcil. En 1965, un grupo canadiense ´ completa con ayuda de un ordenador. encontro´ la primera solucion Este problema ha servido para poner a prueba superordenadores, como el CRAY1 de un laboratorio de California. La ventaja de este tipo de problemas es que las soluciones pueden comprobarse f´acilmente sustituyendo directamente en las ecuaciones.

1.3.3.

Trabajos perdidos de Arqu´ımedes

´ Heath, estos son algunos de los trabajos perdidos de Arqu´ımedes: Segun ´ relativa a poliedros. 1. Una investigacion 2. Un libro de contenidos aritm´eticos llamado Principles (αρχαι). 3. Sobre balanzas→ περι ζυγων. 4. Sobre centros de Gravedad→ κεντρoβαρικα. 3 V´ ease

[3], el problema dice lo siguiente:

Calcula, oh amigo, los bueyes del sol, d´andole a tu mente entretenimiento, si tienes parte ´ de la sabidur´ıa. Calcula el numero que alguna vez pasto´ en la isla siciliana de Trinacria y estaban divididos de acuerdo a su color en cuatro manadas, una blanca, una negra, una amarilla y otra moteada. Los toros eran mayor´ıa en cada una de ellas. Adem´as: Toros blancos = toros amarillos +(1/2 + 1/3) toros negros, toros negros = toros amarillos +(1/4 + 1/5) toros moteados, toros moteados = toros amarillos +(1/6 + 1/7) toros blancos, vacas blancas = (1/3 + 1/4) manada negra, vacas negras = (1/4 + 1/5) manada moteada, vacas moteadas = (1/5 + 1/6) manada amarilla, vacas amarillas = (1/6 + 1/7) manada blanca. ´ oh amigo, puedes dar el numero ´ Si tu, de toros y vacas en cada manada, tu´ eres ni sabio ´ ´ no puede cont´arsete entre los sabios. Considera sin ni torpe con los numeros, pero aun embargo las siguientes relaciones entre los toros del sol: ´ Toros blancos + toros negros = numero cuadrado, toros moteados + toros amarillos = ´ numero triangular. Cuando hayas entonces calculado los totales de la manada, oh amigo, ve como conquis´ tador, y descansa seguro, que te has probado h´abil en la ciencia de los numeros.

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

26

5. Sobre o´ ptica→ κατoπτρικα 6. Sobre hacer esferas→ περι σφαιρoπoιας. 7. Calendario.

1.3.4.

Arqu´ımedes y sus principales influencias en la matem´atica moderna

Triseccion ´ de un a´ ngulo ´ de un a´ ngulo (v´ease [14]) mediante la A Arqu´ımedes se le atribuye la triseccion ´ siguiente construccion:

´ de un a´ ngulo de Arqu´ımedes Figura 1.14: Triseccion

C´alculo de π Arqu´ımedes fue el primero en dar un m´etodo para calcular π con el grado de ´ deseado. aproximacion Esto es basado en el hecho de que el per´ımetro de un pol´ıgono regular de n lados ˜ que la circunferencia de un c´ırculo. inscrito en una circunferencia es m´as pequeno De igual manera, el per´ımetro de un pol´ıgono similar circunscrito al c´ırculo es mayor que la circunferencia. Haciendo n suficientemente grande, los dos per´ımetros se aproximar´an a la circunferencia arbitrariamente cercana, una por debajo y otra por encima. ´ Arqu´ımedes inicio con un hex´agono y progresivamente doblando el numero de lados, llego´ a un pol´ıgono de 96 lados donde obtuvo, 3

10 1 B y a partir de all´ı deriva una contradicci´on l´ogica, con lo que elimina esa posibilidad. Seguidamente, supone que A < B, lo cual lo lleva de nuevo a una contradicci´on. Una vez eliminado estas posibilidades, solo queda una posibilidad, que A y B son iguales (V´ease [19], pp. 129). El Postulado de Arqu´ımedes En [47], se enuncia el postulado o axioma de Arqu´ımedes de la siguiente manera ˜ que sea, puede hacerse tan grande Cualquier cantidad, por m´as pequena ´ como se quiera multiplic´andose por un numero suficientemente grande. Esto se puede reformular de la siguiente manera: Dadas dos magnitudes diferentes α y β (con β < α) existe entonces: ´ ´ se encuentra en el Libro un numero n tal que nβ > α. (Est´e definicion V de los Elementos de Euclides). ´ un numero n tal que n(α − β) > γ, donde γ es cualquier magnitud de la misma clase. (Este es el llamado axioma de Arqu´ımedes y se encuentra en su trabajo Sobre la esfera y el cilindro, Libro I). Este postulado se le atribuye a Euclides y a Eudoxio. Algunos problemas arquimedianos Encontrar el a´ rea de una zona esf´erica de altura h y radio r. Encontrar el centroide de un segmento esf´erico. ˜ cil´ındrica, fuera de un cilindro circular recto Encontrar el volumen de una cuna por un plano que pasa entre el di´ametro de la base del cilindro. ´ de dos cilindros circulares rectos de igual radio y Encontrar el volumen comun teniendo sus ejes intersecando perpendicularmente. Formula ´ para calcular el a´ rea de un tri´angulo ´ [20], un escritor a´ rabe le atribuye a Arqu´ımedes el descubrimiento de la Segun ´ c´elebre formula: q K = s(s − a)(s − b)(s − c) ´ para el a´ rea de un tri´angulo en t´ermino de sus lados, formula que tambi´en se le atribuye a Heron de Alejandr´ıa.

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

28

Otro problema tambi´en atribuido a Arqu´ımedes es la de encontrar las perpendiculares de un tri´angulo cuando la medida de los lados son dados. V´ease tambi´en [31]. Volumen de la Esfera Vamos a calcular el volumen de la esfera usando varios m´etodos, el primero de ellos se basa en un m´etodo usado por Arqu´ımedes usando infinitesimales (v´ease ´ doble y triple, con [39]), luego, calcularemos dicho volumen utilizando integracion coordenadas polares y coordenadas esf´ericas respectivamente, los cual nos refleja, la importancia que han tenido los trabajos de Arqu´ımedes en la matem´atica moderna. Infinitesimales Considere una esfera de radio R, sea V un hemisferio, o bien, la mitad de la esfera. Dividimos el hemisferio, mediante planos paralelos a la tapa de la semiesfera, en n porciones cada una de grosor Rn . Cada una de estas capas ser´an aproximadas como cilindros. Sea rk el radio del cilindro en la k −e´ sima capa, entonces su volumen se aproxima Vk ∼ π (rk )2 ·

R n

Por Pit´agoras k 2 R2 r k = R2 − + 2 n   k 2 R2 R 2 ⇒ Vk ∼ π R − 2 · n n Entonces el volumen de hemisferio se aproxima V∗ =

∼ πR

3



Si n → ∞, V ∗ ∼

n

1 1 − 3 n n k =1

∑ Vk ∼ πR3 ∑

1 n(n + 1)(2n + 1) 1− 3 6 n πR3 6 (6 − 4)

=

2πR3 3 ,



πR3 ∼ 6



n

∑ k2

!

k =1



1 6− 1+ n



1 2+ n

entonces, el volumen de la esfera es

Coordenadas Polares Considere la esfera x2 + y2 + z2 = a2 x = r cos θ y = r sin θ



4πR3 3

Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna

⇒z=

29

p

a2 − r 2

El volumen de la esfera es Z 2π Z a Z √ a2 −r2 0

=−

√ − a2 −r 2

0

Z 2π Z 0 √ a2

0

dzrdrdθ = 2

Z 2π Z a 0

0

rdrdθ

Z 2π 3 Z 2π 3 u2 0 2a ududθ = − | dθ = dθ 3 a2 0

=

0

2

3

2a3 · 2π 4πa3 = 3 3

Coordenadas esf´ericas El volumen de la misma esfera se representa como Z 2π Z a Z 0

=

Z 2π Z a 0

=2

0

0

− π2 π 2

2

1 · r2 cos θdθdrdφ

r sin θ |− π = 2

Z 2π Z a 0

0

r2 (1 − −1)drdφ

Z 2π Z a 0

Z Z 2 2π 3 a 2 2π 3 2 r drdφ = r |0 dφ = a dφ 3 0 3 0 0

=

1.4.

π 2

2a3 · 2π 4a3 π = 3 3

Estudio de una obra de Arqu´ımedes: El M´etodo

´ de este seccion ´ se toma como referencia a [29], que realiza una Para la elaboracion de las fidedignas traducciones de los trabajos de Arqu´ımedes. Esta es la obra m´as estudiada de Arqu´ımedes puesto que nos ha llegado con mayor exactitud. El texto fue descubierto en 1906 por Heiberg. Tuvo noticias del hallazgo en el convento del Santo Sepulcro de Constantinopla de un palimpsesto de contenido matem´atico. Examinando el texto con t´ecnicas fotogr´aficas, Heiberg descubrio´ que en el pergamino hab´ıa escritas obras de Arqu´ımedes que hab´ıan sido copiadas alrededor del siglo X. En sus 185 p´aginas estaban Sobre la esfera y el cilindro, Sobre las espirales, La medida del c´ırculo, Sobre el equilibrio de los planos y Sobre los cuerpos flotantes ´ adem´as de la unica copia de El m´etodo. ´ que no solo ´ le Arqu´ımedes se propone a dar a conocer una v´ıa de investigacion ´ de ciertos problemas matem´aticos, permite hacerse una idea previa de la solucion sino que adem´as, sugiere un planteamiento plausible y facilita el acceso de la de´ mostracion.

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

30

En este libro, Arqu´ımedes nos dice como descubrio´ sus teoremas de cuadratura y cubatura, a saber por el uso de la mec´anica. Al mismo tiempo, es muy cuidadosa en insistir en la diferencia entre lo que puede sugerir la veracidad de un teorema y ´ de los mismos usando m´etodos geom´etricos ortodoxos. la rigurosa demostracion

1.4.1.

El M´etodo de Arqu´ımedes tratando de problemas mec´anicos a Eratostenes ´

´ y aplicacion ´ de un m´etodo geom´etrico-mec´anico. Es Se dedica a la descripcion ´ una larga carta dirigida a Eratostenes. En El M´etodo, Arqu´ımedes revela aspectos o partes de los procesos mentales consistentes en un m´etodo mec´anico, que e´ l utilizo´ en sus descubrimientos y que no aparec´ıa en sus escritos cient´ıficos (v´ease [3]). ´ ´ En la busqueda de las a´ reas de los segmentos parabolicos, el volumen de segmen´ ´ Arqu´ımedes uso´ un proceso mec´anico, en tos esf´ericos y otros solidos de revolucion, el cual consideraba el peso de los elementos infinitesimales, el cual el llamaba l´ıneas rectas o a´ rea de planos, pero los cuales son realmente barras infinitamente delgadas o l´aminas. Pareciera que, en sus grandes investigaciones, el modo de proceder de Arqu´ı´ medes fue, iniciar con mec´anica (centro de masa de superficies y solidos) y por su m´etodo mec´anico infinitesimal descubrir nuevos resultados, los cuales luego e´ l dedujo y publico´ con pruebas muy rigurosas. ´ [3], Arqu´ımedes en El M´etodo cuando se refer´ıa al contenido de este, afirSegun ma que: . . . , como ya he dicho, un estudioso y excelente maestro de filosof´ıa y que sabes apreciar, llegado el caso, las investigaciones matem´aticas que se te presentan, he pensado en exponerte e ilustrar en este mismo libro la naturaleza particular de un m´etodo que te permitir´a eventualmente adquirir, con cierta facilidad, proposiciones matem´aticas mediante consideraciones mec´anicas. Por lo dem´as estoy convencido de que este ´ misma de las m´etodo mostrar´a tambi´en su utilidad en la demostracion proposiciones, pues algunas de ellas que se tornaron para m´ı evidentes primero mediante este m´etodo mec´anico, las demostr´e de inmediato por ´ mediante este m´etodo no comporla geometr´ıa, pues la investigacion ´ Pues sin duda es m´as f´acil encontrar ta una verdadera demostracion. ´ despu´es de haber adquirido con este m´etodo un cierto la demostracion conocimiento del asunto, que buscarla sin tener conocimiento previo alguno . . . Todas las proposiciones de el M´etodo corresponden a propiedades m´etricas: a´ reas, ´ ´ exige la doble reduccion ´ al abvolumenes, centros de gravedad, cuya demostracion ´ en conexion ´ con el postulado de Arqu´ımedes. surdo, involucra el m´etodo de exhaucion, ´ tan audaz como geEl m´etodo mec´anico de Arqu´ımedes es una combinacion nial, de consideraciones geom´etricas y mec´anicas, que en su esencia encierra pro-

Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna

31

cedimientos de an´alisis infinitesimal, lo que muestra que mediante ese m´etodo Arqu´ımedes logre resultados, que hoyZse obtienen con el c´alculo integral. ´ [9], Arqu´ımedes conoc´ıa Segun

x3 dx.

M´etodo del equilibrium de Arqu´ımedes ´ es riguroso, Siguiendo la cr´ıtica de [20], se considera que el m´etodo de exhauscion ´ pero es un m´etodo est´eril. Es decir, una vez que conocemos la formula, el m´etodo de ´ se vuelve una herramienta elegante para establecer un resultado, pero exhauscion ´ ´ es en el m´etodo no nos da una idea de como llegar a e´ l. El m´etodo de exhauscion, ´ matem´atica. El modo como Arqu´ımedes llego´ a sus este sentido como la induccion principales resultados es expuesto en “El M´etodo”, este es el llamado m´etodo del equilibrium, v´ease [20] p´aginas 324 en adelante. La idea fundamental de este m´etodo es el siguiente: para encontrar el a´ rea o ´ volumen de un solido requerido, se debe trazar una serie de planos paralelos que ´ corten el solido en capas muy delgadas, e´ stas se separan y (mentalmente) se sujetan en el extremo final de una palanca, tal que la figura contenida se ubique en equilibrio sobre e´ ste, y as´ı localizar su centro de masa. ´ se muestra la utiEn la ilustracion, ´ del m´etodo para determinarla lizacion ´ formula para el volumen de una esfera. Sea r el radio de una esfera. Puesta la esfera con su di´ametro polar a lo largo del eje horizontal x con el polo norte N en origen. Construya el cilindro y el cono de rev´ obtenidas por rotacion ´ del rect´angulo N ABS y el tri´angulo NCS sobre el eje olucion ´ x. Ahora se le corta a los tres solidos capas delgadas de manera vertical (asumiendo que es un cilindro delgado) a la distancia x de N y de grosor ∆x. El volumen de estas capas es aproximadamente, esfera = πx (2r − x )∆x cilindro = πr2 ∆x cono = πx2 ∆x Sujetemos a T las capas de la esfera y el cono, donde TN = 2r. Su momento combinado4 sobre N es h i πx (2r − x )∆x + πx2 ∆x 2r = 4πr2 ∆x 4 Por

momento de un volumen sobre un punto entendemos el producto del volumen y la distancia perpendicular desde el punto a la l´ınea vertical pasando por el centroide del volumen.

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

32

Esto es cuatro veces el momento de la capa cortada del cilindro cuando esta capa es ´ retirada. Sumando un gran numero de estas capas juntas, encontramos 2r [volumen de la esfera + volumen del cono] = 4r [volumen del cilindro] o 2r [volumen de la esfera +

8πr3 = 8πr4 ] 3

o

4πr3 volumen de la esfera = 3 ´ Este fue el m´etodo como Arqu´ımedes descubrio´ la formula para el volumen de ´ como una la esfera. Su conciencia matem´atica no le permit´ıa aceptar su construccion prueba y e´ l siempre aplicaba sus rigurosas pruebas para resultados como este. La figura representa un segmento ´ parabolico que tiene AC como cuerda. CF es tangente a la par´abola en C y AF es paralelo al eje de la par´abola. OPM es tambi´en paralelo al eje de la par´abola. K es el punto medio de FA y HK = KC. Tome K como un fulcrum, puesto OP con su centro en H y se retira la caAC OM = pa OM. Usando el hecho que PO AO muestra por el m´etodo del equilibrio de Arqu´ımedes, que el a´ rea del segmento ´ parabolico es una tercera parte del a´ rea del tri´angulo AFC. La idea expuesta anteriormente revela varias cosas: primero, Arqu´ımedes ya conoc´ıa sobre los centro de gravedad, lo cual nos indica que Arqu´ımedes se le adelanto´ a Pappus y sus teoremas sobre centroides. Segundo, los m´etodos empleados por Arqu´ımedes de alguna manera nos muestran que e´ ste se adelanto´ a las ideas ´ sucesiva de la idea empleada b´asicas del c´alculo integral, dado que la aplicacion ´ para encontrar el a´ rea del segmento parabolico nos da como resultado el valor de la integral. Importancia de la did´actica de Arqu´ımedes ´ del conocimiento matem´atico a lo largo de la hisEn el estudio de la evolucion toria, se debe considerar la obra de Arqu´ımedes como protot´ıpica, dadas sus caracter´ısticas entre las que podemos destacar: ´ orientadas a la consecucion ´ Arqu´ımedes desarrolla t´ecnicas de demostracion ´ del rigor, concepto e´ ste de vital importancia en el desarrollo historico de la

Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la matem´atica moderna

33

Matem´atica. En este sentido se puede destacar la maestr´ıa de Arqu´ımedes en ´ del M´etodo de Exhauscion, ´ cuyo objetivo es evitar el uso del inla aplicacion ´ filosofica ´ finito en las demostraciones, siguiendo la tradicion griega que exclu´ıa ´ del conocimiento racional, es decir, el uso de este concepto para la adquisicion del conocimiento verdadero, debido a la multitud de contradicciones en las que nos hace caer. ´ del M´etodo de Exhauscion ´ presenta un problema: se debe conoLa aplicacion cer a priori el resultado que se quiere demostrar. En consecuencia es necesario disponer de otros m´etodos para obtener estos resultados que luego ser´an demostrados rigurosamente, es decir, sin hacer intervenir el infinito. Estos m´etodos suelen ser bastante intuitivos y basados en el conocimiento emp´ırico. Arqu´ımedes descompone a´ reas en infinitos segmentos que luego pesa con su balanza; halla centros de gravedad, donde supone concentrado todo el peso de una figura, llegando as´ı a resultados que luego demuestra por el M´etodo de ´ Exhauscion. ´ del La obra de Arqu´ımedes es un conjunto cerrado respecto a la construccion conocimiento matem´atico: dispone de m´etodos exploratorios para obtener nuevos resultados y de m´etodos demostrativos para confirmar la verdad matem´atica de dichos resultados. Esta caracter´ıstica convierte la obra de Arqu´ımedes en ´ una herramienta did´actica unica, que deber´ıa ser considerada obligatoria en ´ de los estudiantes, en particular, en la formacion ´ de los futuros la formacion matem´aticos. En el m´etodo existe un dualismo entre la v´ıa del descubrimiento y la v´ıa de la ´ Donde el primero incluye sugerencias heur´ısticas y razonamiendemostracion. ´ imaginada o propuesta. tos que hacen veros´ımil la solucion

1.5.

Conclusiones

Se puede ver que en las obras de Arqu´ımedes a una figura entregada a la inves´ que se dedico´ a no solo a la geometr´ıa, sino tambi´en a diversas a´ reas de la tigacion, ´ matem´atica: as´ı por ejemplo, teor´ıa de numeros, Es importante resaltar la parte polifac´etica de Arqu´ımedes, esto refleja en que e´ ste ´ pudo dedicarse a cuestiones tantas teoricas como pr´acticas. ´ Dejamos como temas abiertos para investigaciones de car´acter historico lo rela´ cionado con el problema del hept´agono, adem´as de los denominados solidos de Arqu´ımedes y dem´as, ya que estos trabajos est´an incompletos y del cual no se puede ´ a Arqu´ımedes, v´ease [29]. verificar la veracidad de la atribucion

Cap´ıtulo

2

Fracciones Continuadas: un recorrido ´ historico 2.1.

Introduccion ´

´ Las fracciones continuadas son un topico matem´atico relativamente sencillo. Su ´ inicialmente, no excede a conocimientos m´as all´a de la complejidad de comprension, aritm´etica elemental. ´ es un tema que juega un papel predominate en la teor´ıa de numeros. ´ M´as aun, ´ Permite aproximar de manera eficiente a los numeros irracionales, adem´as es un m´etodo con el cual se pueden resolver ecuaciones diof´anticas, entre otras de sus aplicaciones. ´ El proposito de este art´ıculo realizar un breve recoorrido sobre las fracciones con´ algunas aplicaciones a la geometr´ıa. Adem´as, se ejemplifica el tinuadas, su notacion, ´ de ecuaciones lineales diof´anticas, uso de las fracciones continuadas en la resolucion as´ı como tambi´en se calculan algunas fracciones continuadas de ra´ıces cuadradas. Se enuncian algunos teoremas importantes sobre fracciones continuadas, adem´as ´ de convergentes; su definicion ´ y uso en el c´alculo de aproximaciones de la nocion num´ericas. ´ Como parte del recorrido historico, se muestran algunas de las fracciones continuadas m´as famosas y quienes las descubrieron. As´ı como tambi´en algunas curiosidades que involucran a dichas fracciones.

´ Fracciones Continuadas: un recorrido historico

35

2.2.

La teor´ıa de las fracciones continuadas

2.2.1.

Fracciones continuadas finitas e infinitas

´ de la forma Una expresion 1

2+

5

3+

7

4+

1 2 ´ continuada. Est´a fraccion ´ puede ser evaluada calcues un ejemplo de una fraccion lando y simplificando las siguientes expresiones en el orden considerado: 1+

1 3 = 2 2 7 7 26 4+ = 4+ = , 3 1 3 1+ 2 2 5 93 5 3+ = = 3+ 26 26 7 4+ 3 1 1+ 2 1 1 212 2+ = 2+ = ; 93 5 93 3+ 26 7 4+ 1 1+ 2 1+

esto es, 212 = 2+ 93

1 5

3+ 4+

7

1 2 ´ continuada es una expresion ´ de la forma Una fraccion 1+

b1

a1 +

(2.1)

b2

a2 + a3 + · · ·

···+

bn − 2 bn − 1 a n −1 + an

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

36

´ En general, los ai y bi , pueden ser numeros reales o complejos. Sin embargo, si cada ´ bi es igual a 1 y cada ai es un entero mayor que cero, para i > 1, entonces la fraccion continuada se dice fraccion ´ continuada simple. ´ continuada. Si el numero ´ Los ai en (2.1) se llaman los t´erminos de la fraccion de ´ continuada simple es finito, se dice que es una fraccion t´erminos de una fraccion ´ ´ continuada simple finita. Si el numero de t´erminos es infinito, se dice que es una fraccion ´ continuada simple infinita. ´ se enunciaran algunos teoremas importantes1 que fueron deA continuacion mostrados por L. Euler en el siglo XVIII, con los cuales se puede asociar a todo ´ ´ continuada. numero real una fraccion Teorema 2.2.1 Todo numero ´ racional puede ser expresado como una fracci´on continuada simple finita. ´ de un numero ´ ´ continuada simple finiLa representacion racional como una fraccion ´ ta no es unica, e´ ste puede ser representado en exactamente dos formas; una repre´ tiene un numero ´ ´ un numero ´ sentacion impar de t´erminos y la otra representacion, par de t´erminos. As´ı, se tiene: Teorema 2.2.2 Toda fracci´on continuada simple finita representa un numero ´ racional. Otro teorema tambi´en importante es el an´alogo a fracciones continuadas infinitas. Teorema 2.2.3 Todo numero ´ irracional puede expresarse como una unica ´ fracci´on continuada infinita. Teorema 2.2.4 Toda fracci´on continuada simple infinita representa un numero ´ irracional. De aqu´ı, se puede entonces concluir, Teorema 2.2.5 Todo numero ´ real puede ser expresado por una fracci´on continuada. Ejemplo 2.2.1 Expresar Como 2
p1 . Por el algoritmo de la ´ eucl´ıdea (v´ease [8]), tenemos que division pk = pk+1 qk + pk+2 con 0 ≤ pk+1 < pk ; k = {0, 1, . . .}, qk ∈ N Luego, pk p k +1

= qk +

1

p k +1 p k +2 ´ con esta recursion, ´ tenemos que: si se continua

,

1

q0 + q1 +

1 q2 + · · ·

10463 . 43200 ´ eucl´ıdea, tenemos Utilizando el algoritmo de la division Ejemplo 2.2.2 Calcular la fracci´on continuada de

43200 = 4 · 10463 + 1348 10463 = 7 · 1348 + 1027 1348 = 1 · 1027 + 321 1027 = 3 · 321 + 64 321 = 5 · 64 + 1 64 = 64 · 1

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

38

De aqu´ı se concluye entonces, 10463 = 43200

1 1

4+

1

7+

1

1+ 3+

1 5+

2.2.3.

1 64

Convergentes

Una de las razones por las cuales las fracciones continuadas son importantes es ´ que ellas pueden ser utilizadas para obtener aproximaciones num´ericas de numeros irracionales (v´ease [38]). Las fracciones continuadas simples finitas c1 = [ a1 ] = a1 , c2 = [ a1 ; a2 ] = a1 +

1 a2

c3 = [ a1 ; a2 , a3 ] = a1 +

1 a2 +

1 a3

.. . 1

c n = [ a1 ; a2 , a3 , . . . , a k ] = a1 + a2 +

1 a3 + · · ·

..

.+

1 ak

´ continuada [ a1 ; a2 , . . .]. Los ck se dicen los convergentes2 o reducidos de la fraccion Ejemplo 2.2.3 Determinar los convergentes de la fracci´on continuada simple finita dada por [1; 3, 4, 2, 3]. 2 El primer matem´ atico que investigo´ el m´etodo para calcular los convergentes fue Daniel Schwen-

ter (1585-1636).

´ Fracciones Continuadas: un recorrido historico

39

c1 = [1] = 1, 1 4 = 3 3 1 17 c3 = [1; 3, 4] = 1 + = 1 13 3+ 4

c2 = [1; 3] = 1 +

1

c4 = [1; 3, 4, 2] = 1 +

=

1

3+

4+ c5 = [1; 3, 4, 2, 3] = 1 +

38 29

1 2 1

=

1

3+

131 100

1

4+

2+

1 3

´ ´ continuada Notese que el valor del convergente c5 es igual al valor de la fraccion ´ ´ continuada simple, que representa en general, el ultimo convergente de la fraccion ´ simple finita es siempre igual al valor del racional representado por esa fraccion continuada. ´ Ahora se mostrar´a una formula para evaluar m´as r´apidamente los convergentes ´ continuada. de una fraccion Sea cn el n−e´ simo convergente. Sea rn y sn el numerador y denominador, respectivamente de Cn . c1 = a1 ; aqu´ı, r1 = a1 y s1 = 1 c2 = a1 +

a1 a2 + 1 1 = donde r2 = a1 a2 + 1 y s2 = a2 a2 a2 c3 =

Note que:

a3 ( a1 a2 + 1) + a1 a3 a2 + 1

a1 a2 + 1 + a1 = r2

a1 = r1

a2 = s2

Sustituyendo, se tiene que c3 =

a3 r2 + r1 a3 s2 + s1

dado que

r3 = a3 r2 + r1 s3 = a3 s2 + s1

De este modo, se puede ver que cn =

rn a n r n −1 + r n −2 = sn a n s n −1 + s n −2

1 = s1

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

40

´ Para que la formula anterior sea v´alida n = 1, 2, . . ., considere aqu´ı, las siguientes definiciones: r−1 = 0, s−1 = 1, r0 = 1 y s0 = 0 As´ı, por ejemplo, los convergentes de

384 157

384 = 2+ 157

1

.

1

2+ 4+

1 8+

Los primeros 5 convergentes de n an rn sn Cn

1 2

384 son 157

−1

0

0 1 0

1 0 −

1 2 2 1

2 2 5 2

3 4 22 9

4 8 181 74

5 2 384 157

2 1

5 2

22 9

181 74

384 157

2.3.

Historia de las fracciones continuadas

2.3.1.

Breve Resena ˜ historica ´

Euclides (c. 300 a.C.) en su libro Elementos en el algoritmo para sacar el m´axi´ divisor genera fracciones continuadas. mo comun En 1579, Rafael Bombelli (1526-1572), en su libro L ‘Algebra Opera, asocia las ´ de ra´ıces cuadradas. fracciones continuadas con su m´etodo de extraccion En 1613 Pietro Cataldi (1548-1626), en su libro “Trattato del modo brevissimo di trovare la radica quadra delli numeri, et regole da approssimarsi di continuo al vero nelle radice de numeri non quadrati, con le cause et inuentioni loro, et anco il modo di pigliarne la radica cuba, applicando il tutto alle operationi militari et altro” utiliza la ´ para las fracciones continuadas. primera notacion En 1695, John Wallis (1616-1703), en Opera Mathematica, introduce el t´ermino de fraccion ´ continuada. ´ a la ecuacion ´ de Pell3 En 1780, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) da la solucion (v´ease [34]) usando fracciones continuadas, similar a las usadas por Bombelli. 3 En

honor a John Pell (1611-1685)

´ Fracciones Continuadas: un recorrido historico

41

En 1748, Leonhard Euler (1707-1783), en Introductio in analysin infinitorium, volumen I, cap´ıtulo 18, prueba la equivalencia entre las fracciones continuadas y las series infinitas generalizadas. Fue Leonhard Euler, en el siglo XVIII que uso´ el nombre de fractio continua para las fracciones continuas. En alem´an las fracciones continuas se denominan ¨ kettenbr uche (fracciones cadena). En 1813, Karl Friedrich Gauss (1777-1855), en su libro Werke, calcula una frac´ continuada con valor complejo v´ıa series hipergeom´etricas. cion

2.3.2.

Sobre la notacion ´ de las fracciones continuadas

´ una pequena ˜ resena ˜ de la historia de la notacion ´ de las fracciones A continuacion continuadas (v´ease [8]). ´ para fracciones continuadas usada en la actualidad, fue introducida La notacion por Alfred Pringsheim (1850-1941) en 1898, esto es, a1

b0 + b1 +

a2 . b2 + . .

pero previamente se usaron otras. ´ El matem´atico italiano Pietro Antonio Cataldi, en 1613 usaba la notacion 2 2 4·& & , 8. 8. ´ es una fraccion ´ del denominador. donde los puntos significa que la siguiente fraccion ´ la notacion ´ actual Esto es, segun 2 2 4·& & ... = 4+ 8. 8.

2 8+

2 . 8 + ..

Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones arithmeticæ publicado en 1801 usa´ ba la notacion A0 = [b0 ] = b0 , A1 = [b0 ; b1 ] = b1 A0 + 1 A2 = [b; b1 , b2 ] = b2 A1 + A0 Konrad Knopp, en el libro Theory and Application of Infinite Series de 1944, ´ para la representacion ´ de las fracciones continuadas inutiliza la siguiente notacion finitas (v´ease [36], p´ag. 105.)

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

42

∞

b0 +

K ba

n

n =1 n

Maritz Abraham Stern(1807-1894), designo´ las fracciones continuadas finitas por b0 +

a1 | a2 | + +··· |b1 |b2

´ de las fracciones En lo que sigue de este trabajo vamos a utilizar como notacion continuadas, tanto la de Prisgsteim como la de Stern.

2.4.

Aplicaciones

2.4.1.

C´alculo de fracciones continuadas de ra´ıces cuadradas

Rafael Bombelli, un ingeniero y arquitecto, que nacio´ en Bologna, Italia en 1526, y ´ murio´ en 1572, fundador de los numeros imaginarios, da un algoritmo para calcular las ra´ıces cuadradas, este es: Considere p √ A = a2 + r = a + x ´ o,

a2 + r = a2 + 2ax + x2

o´

r = 2ax + x2

´ no se obtiene x2 , entonces considere Si al realizar la primera aproximacion r = 2ax y

Pero x =

√

A = a+

r 2a

r rx o´ x2 = . As´ı, 2a 2a r = 2ax +

 rx r  = 2a + x 2a 2a

´ de x, se obtiene Usando esta nueva aproximacion

√

A = a+

r| r| + . |2a |2a

´ continuada inEste proceso se puede hacer indefinidamente, obteniendo la fraccion finita √ r| r| A = a+ + +··· |2a |2a

´ Fracciones Continuadas: un recorrido historico

43

Otro modo de explicar como Bombelli podr´ıa haber obtenido ese m´etodo es escribiendo √ √ A − a2 = ( A + a)( A − a) = r As´ı,

√

A = a+

r √ a+ A

√ ´ repetidamente en el denominador se llega a la Reemplazando A por su expresion ´ continuada. fraccion Ejemplo 2.4.1 Calcule una fracci´on continuada para

√

2

Considere

√ √ √ √ 1 1 ( 2 − 1)( 2 + 1) = 1 ⇐⇒ 2 − 1 = √ ⇐⇒ 2 = 1 + √ 2+1 2+1 √

1

2 = 1+

1+1+ √

1 2+1

Luego,

√

2 = 1+

1 2+ √

2.4.2.

1 2+1

Resolucion ´ de ecuaciones diof´anticas lineales mediante fracciones continuadas

Las fracciones continuadas simples permiten encontrar las soluciones particu´ diof´antica lineal. lares de una ecuacion Ejemplo 2.4.2 Resolver la siguiente ecuaci´on 124x − 72y = 16. ´ notando que 4 Divida primero por el mcd(124, 72) = 4 ambos lados de la ecuacion, ´ diof´antica tiene soluciones enteras. Ahora, hay divide a 16 y por lo tanto, la ecuacion que resolver 31x − 18y = 4 ´ Separe la parte entera de la fraccion

31 18 31 13 = 1+ 18 18

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

44

luego, camb´ıe

1 13 , por otra equivalente 1 + , obteniendo entonces: 18 18 13 1 31 = 1+ 18 18 13

´ Realizando nuevamente el mismo proceso con la fraccion 1 18 5 = 1+ = 1+ 13 13 13 5 ´ inicial tiene la forma Ahora, la fraccion 31 = 1+ 18

1 1+

´ Realizando el mismo proceso con la fraccion

1 13 5

13 : 5

1 13 3 = 2+ = 2+ 5 5 5 3 se tiene entonces que: 31 = 1+ 18

1 1

1+

1

2+

1+

1 3 2

Al continuar con el proceso, se llega a que 31 = 1+ 18

1 1

1+

1

2+ 1+

1 1+

1 2

18 : 13

´ Fracciones Continuadas: un recorrido historico

45

1 , transfor2 ´ continuada en una fraccion ´ ordinaria y restando la fraccion ´ origimamos la fraccion 31 nal : 18 ´ ´ continuada, es decir, Suprimiendo el ultimo t´ermino de esta fraccion

31 = 1+ 18

1 1

1+ 2+

1

= 1+ 1

1+

1

1+

2+

1 1

1

= 1+

1+

1 2

1 5

= 1+

5 12 = 7 7

31 12 31 · 7 − 18 · 12 1 − = = 18 7 18 · 7 18 · 7 ´ obtenida a un denominador comun ´ y suprimiendo este Reduciendo la expresion denominador, se obtiene: 31 · 7 − 18 · 12 = 1 Multiplicando por 4 a ambos lados de la igualdad, tenemos: 31 · 28 − 18 · 48 = 4 Finalmente 31x − 18y = 4 ´ diof´antica donde x = 28 y y = 48. Por lo tanto, todas las soluciones de la ecuacion estar´an dadas por x = 28 − 18n,

2.4.3.

n∈Z

y = 48 − 31n,

Algunas fracciones continuadas

Se realizar´a un viaje a trav´es de la historia, mostrando las fracciones continuadas m´as famosas y quienes las descubrieron (v´ease [38]). As´ı por ejemplo: ´ moderna, descubrio´ que esencialmente 1. Bombelli, en 1572, con la notacion

√

4

13 = 3 + 6+

4 . 6 + ..

´ continuada de 2. Cataldi, en 1613, expreso´ la fraccion

√

2 2 2 18 = 4 · & & & . . . = 4 + 8. 8. 8.

√

18 como: 2 2

8+ 8+

2 . 8 + ..

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

46

3. Lord Brouncker, alrededor de 1658, 4 = 1+ π

1 9

2+

25 49 2+ 81 2+ . 2 + .. ´ est´a ligada historicamente ´ Est´a expansion con el producto infinito 2+

2·2·4·4·6·6·8·8 π = ··· 2 1·3·3·5·5·7·7·9 dada por Wallis en 1655; ambos descubrieron importantes pasos en la historia de π ´ que lleva 4. Leonhard Euler, en 1737 encontro´ la siguiente expresion,   1 n e = 2,7182818284590 . . . = l´ım 1 + n→∞ n la base de los logaritmos naturales 1

e−1 = 1+

1

1+

1

2+

1

1+

1

1+

. 4 + .. = [1; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8 . . .] As´ı por ejemplo, 1

e − 1 = 1, 71828;

= 1, 66667

1

1+

1 2 ´ a pesar de trabajar con una fraccion ´ lo cual brinda una buena aproximacion ˜ continuada pequena. 1+

Luego, e−1 = e+1

1 1

2+

1

6+ 10 +

1 . 14 + . .

´ Fracciones Continuadas: un recorrido historico

47

e−1 = 2

1 1

1+

1

6+

1

10 +

. 14 + . . ´ ´ permite r´apidamente aproximar a e. Por ejemplo, el Esta ultima expansion s´etimo convergente es aproximadamente: e=

1084483 = 2,71828182458 . . . , 398959

el cual difiere del valor de e en el doceavo decimal. 5. Lambert, en 1766, mostro´ que 1 ex − 1 = x e +1 2 1 + x 6 1 + x 10 1 + x 14 . . + . x y adem´as que 1

tan( x ) =

1 1 − x 3 1 − x 5 1 − x 7 .. − . x Lambert uso´ estas expresiones para concluir que a. Si x ∈ Q, x 6= 0, entonces e no es racional. b. Si x ∈ Q, x 6= 0, entonces tan( x ) no es racional. 6. Tambi´en Johann Heinrich Lambert (1728-1777), en 1770, mostro´ que 1

π = 3+

1

7+

1

15 + 1+

1 . 292 + . .

= [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 84, 2, . . .]

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

48

Si se calcula aqu´ı el tercer convergente, se tiene 1 1

3+

7+

= 3, 14151 1 15

lo cual da 4 cifras de exactitud. 7. p

b

a2 + b = a +

b

2a + 2a + 8.

√

b . 2a + . . 1

2 = 1+

1

2+ 2+ 9.

a2 + b > 0

,

√ 1+ 5 = 1+ 2

1 . 2 + .. 1 1

1+ 1+

1 . 1 + ..

Los convergentes son 1 2 3 5 8 , , , , ··· , 1 1 2 3 5 ´ de Fibonacambos, numerador y denominador empiezan formando la sucesion ci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .). 10. Stern, en 1833, expreso´ como fracciones continuadas a π = 1− 2

π 2

1 2·3 3− 1·2 1− 4·5 3− 3·4 1− 6·7 3− 5·6 1− . 3 − ..

´ Fracciones Continuadas: un recorrido historico

49

11. x

sen( x ) =

x2

1+

2 · 3x2

(2 · 3 − x 2 ) +

(4 · 5 − x 2 ) +

4 · 5x2 . (6 · 7 − x 2 ) + . .

´ sen x. Calculando los primeros 2 t´erminos de la serie de potencias de la funcion Esto es: x3 +··· sen x = x − 6 ´ sen x es Luego, el convergente de orden 2 de la funcion x x2 1+ 6 − x2

= x−

x3 6

12. Lambert, en 1770 x

tan( x ) =

x2

1− 3−

x2 x2 5− . 7 − ..

13. Gauss, en 1812 x

tanh( x ) = 1+

x2 x2 3+ . 5 + ..

14. Lambert en 1770 y Lagrange en 1776 x

arctan( x ) =

,

x2

1+

4x2

3+

9x2

5+ 7+

16x2 . 9 + ..

|x| < 1

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

50

15. Lambert en 1770 y Lagrange en 1776 x

log(1 + x ) =

,

12 x

1+

|x| < 1

12 x

2+

22 x

3+

22 x

4+

32 x

5+ 6+

32 x . 7 + ..

16. Lagrange en 1813  log

1+x 1−x

2x



= 1−

|x| < 1

,

x2 4x2

3−

9x2

5− 7−

16x2 . 9 − ..

17. Lagrange en 1776

(1 + x ) k =

1 kx 1− 1 · (1 + k ) x 1·2 1+ 1 · (1 − k ) x 2·3 1+ 2(2 + k ) x 3 · 4 1+ 2(2 − k ) x 4·5 1+ 3(3 + k ) x 1+ 5·6 . 1 + ..

,

|x| < 1

´ continuada de 18. Laplace, en 1805 y Legendre en 1826, descubrieron la fraccion la integral de probabilidad, usada en la Teor´ıa de Probabilidad y Estad´ıstica.

´ Fracciones Continuadas: un recorrido historico

51

Esto es, Z x 0

√ e

− u2

π − du = 2

1 − x2 2e

x+

x > 0.

,

1 2

2x +

3

x+ 2x +

4 . x + ..

´ paquete computacional, se puede ver que Si se calcula mediante algun Z 1 0

2

e− x dx = 0, 746824

´ en fracciones continuada de Ahora, usando la expansion riando entre 0 y 1. De aqu´ı, se tiene Z 1 0

√ e

− x2

π − dx = 2

1 −12 2e

0

2

e−u du, con u va-

= 0, 615158

1

1+

Z x

2

2·1+

1+

3 2·1

´ v´alida tomando en consideracion ´ que los paquelo cual es una aproximacion tes computacionales aplican algoritmos muy complejos para el c´alculo de esta integral y solo hemos calculado 3 convergentes.

2.4.4.

Fracciones continuadas y geometr´ıa

´ √existente entre las fracciones continuadas y la geSe presentar´a ahora la relacion ometr´ıa. Esto es, se mostrar´a que 2 es irracional usando las fracciones continuadas (v´ease [40]). Dado un cuadrado con lado igual a 1 y un c´ırculo indicado como en la figura. Se tiene AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 12 = 2 √ luego, AC = 2. Observe que: √ √ 2 AC AC CD + AD = ⇒ 2= = = BC 1 BC BC 1 1 AD = 1+ = 1+ = 1+ BC BC AD 2+ AD AB

E

C

1 D

A

B

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

52

Aqu´ı se tiene que AD y AE son segmentos de una secante que pasa por el c´ırculo con centro C. AB es tangente al arco con centro C. Luego, de las nociones de geometr´ıa plana, se sigue: AB2 = AE · AD,

o´

AE AB = ; AD AB

AE = AD + DE = AD + 2BC,

y

BC = AB

BC AB AE AD + 2BC AD + 2AB AD = = = = = 2+ AD AD AB AB AB AB Ahora bien, se tiene entonces 1+

= 1+

1 1 = 1+ AD 1 2+ 2+ AB AB AD 1 1 = 1+ AD 1 2+ 2+ AB AB 2+ AD

´ continuada infinita, luego representar´a a un numero ´ Observe que e´ sta ser´a una fraccion irracional. √ ´ irracional. Por lo tanto, se concluye que 2 es un numero

2.4.5.

Fracciones continuadas ascendentes

Otra curiosidad que brinda la teor´ıa de las fracciones continuadas es la de las fracciones continuadas ascendentes. ´ de las fracciones continuadas, las fracciones Consideremos ahora, una variacion continuadas ascendentes4 que datan de Leonardo de Pisa5 . Siguiendo a Fibonacci, se tiene: eca a = f db b

= 4 De

ad f + c f + e a c1 e 11 = + + bd f b db f bd

´ consultese ´ ascending continued fractions. Para m´as informacion [8]. como Fibonacci (c. 1170- c.1250 ). Fue un mercantil italiano que viajo´ principalmente a Egipto, Siria, Grecia y Silicia. En 1202 escribio´ Liber Abaci. Ah´ı, e´ l introduce las fracciones continuadas ascendentes. 5 Conocido

´ Fracciones Continuadas: un recorrido historico

53

Luego, c+

e f

a+ a eca d = = f db b b ´ continuada ascendente para π es As´ı por ejemplo, una fraccion 5+··· 10 1+ 10 4+ 10 1+ 10 π = 3+ 10 1+

2.4.6.

El problema del calendario

˜ segun ´ el calendario Gregoriano, tiene Se sabe que un ano, ˜ = 365 d´ıas 5 horas 48 minutos 46 segundos. 1 ano ´ como una fraccion ´ continuada (v´ease [5], p´ag. 93.). Se tratar´a de expresar esa relacion ´ Para esto, considere la siguiente proporcion: 20926 segundos 10463 5 horas 48 minutos 46 segundos = = 1 d´ıa 86400 segundos 43200 ´ eucl´ıdea, se tiene Luego, utilizando el algoritmo de la division 43200 = 4 · 10463 + 1348 10463 = 7 · 1348 + 1027 1348 = 1 · 1027 + 321 1027 = 3 · 321 + 64 321 = 5 · 64 + 1 64 = 64 · 1 ´ continuada que expresa 1 ano, ˜ De aqu´ı, se puede concluir entonces que la fraccion est´a dada por: ˜ = [365; 4, 7, 1, 3, 5, 64]; 1 ano esto es, 1

˜ = 365 + 1 ano

1

4+

1

7+

1

1+ 3+

1 5+

1 64

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

54

2.5.

Observaciones

Al realizar el estudio sobre las fracciones continuadas, se puede ver que en la matem´atica a trav´es de los tiempos, conceptos esencialmente elementales, muestran un inter´es entre la comunidad matem´atica. As´ı, se observa que en el desarrollo de la teor´ıa de las fracciones continuadas, los m´as grandes matem´aticos de la historia se han visto envueltos. Matematicos como Cataldi, Bombelli, Brounker, Euler, Lagrange, Lambert, Gauss, han sido part´ıcipes en el desarrollo de esta teor´ıa: la teor´ıa de las fracciones continuadas. ´ Podemos ver, que la idea de la matem´atica acabada es erronea. Ya Euclides en 300 a.C. hacia uso de una manera impl´ıcita de las fracciones continuadas. Pasaron mas ˜ y volvieron a resurgir con todo su potencial las fracciones continuadas. de 1800 anos Aqu´ı, Cataldi, Bombelli, entre otros, siguieron desarroll´andolas. M´as adelante, Euler, ´ Lagrange, Lambert, Gauss continuaron con este topico. Adem´as, las fracciones continuadas jugaron un papel muy importante en la de´ de la trascendencia de π. mostracion Actualmente, la teor´ıa de las fracciones continuadas se usa por ejemplo en expansiones de Engel6 Otros trabajos importantes sobre fracciones continuadas son: Music and Ternary Continued Fractions de J. M. Barbour en The American Mathematical Monthly, Vol. 55, No. 9. (Nov., 1948), pp. 545-555. Corrections to Continued Fractions for the Incomplete Beta Function de Leo A. Aroian en The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 30, No. 4. (Dec., 1959), p. 1265. On Some Recent Developments in the Theory and Application of Continued Fractions de P. Wynn en Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics: Series B, Numerical Analysis, Vol. 1. (1964), pp. 177-197. y el trabajo de Irvin, en [33]. Esto lo que refleja, es que las fracciones continuadas no es un tema muerto, es un tema de gran aplicabilidad a la matem´atica y sus aplicaciones. Sin lugar a dudas, la parte m´as importante de las fracciones continuadas es que, ´ al ser muy sencillo, el gran potencial que posee a la hora de realizar aproximaaun ciones.

6 Kraaikamp

´ de Engel puede expresarse como una y Wu en el 2004 observaron que toda expansion ´ continuada ascendente. fraccion

Cap´ıtulo

3

Problemas Matem´aticos Resumen ´ de los 23 problemas que David Hilbert propuso en Se realiza una breve descripcion 1900, adem´as de los 7 problemas propuestos por el Instituto de Matem´aticas Clay en el 2000.

3.1.

Los 23 problemas de Hilbert

El 8 de agosto de 1900, David Hilbert pronuncio´ una conferencia en el Congreso Internacional de Matem´atica en Par´ıs, en la que formulaba y razonaba 23 problemas matem´aticos. Los problemas son los siguientes (V´ease [53] y [57]): ´ ˜ este estricta1. La hipotesis del continuo (i.e., no existe conjunto cuyo tamano ´ ´ mente entre el de los numeros enteros y el de los numeros reales). 2. Probar que los axiomas de la aritm´etica son consistentes. 3. ¿Se puede probar que dos tetraedros tiene igual volumen (bajo ciertas asunciones)? 4. Construir todas las m´etricas cuyas rectas sean geod´esicas. 5. ¿Son los grupos continuos grupos diferenciables de forma autom´atica? 6. Axiomatizar la f´ısica. 7. ¿Es ab trascendental, siendo a 6= 0, a 6= 1, a algebraico y b irracional algebraico? ´ 8. La hipotesis de Riemann y la Conjetura de Goldbach. 9. Encontrar la ley m´as general del teorema de reciprocidad en cualquier campo num´erico algebraico. ´ diof´antica polinomica ´ 10. Encontrar un algoritmo que determine si una ecuacion ´ entera. dada con coeficientes enteros tiene solucion

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

56

11. Resolver las formas cuadr´aticas con coeficientes num´ericos algebraicos. ´ 12. Extender el teorema de Kronecker sobre extensiones abelianas de los numeros racionales a cualquier campo num´erico base. 13. Resolver todas las ecuaciones de s´etimo grado usando funciones de dos par´ametros. 14. Probar la finitud de ciertos sistemas completos de funciones. 15. Fundamento riguroso del c´alculo enumerativo de Schubert. 16. Topolog´ıa de las curvas y superficies algebraicas. ´ de una funcion ´ definida racional como cociente de la suma de cuadra17. Expresion dos. 18. ¿Existe un poliedro regular y que construya otros poliedros? ¿Cu´al es el apilamiento compacto m´as denso? 19. ¿Son siempre anal´ıticas las soluciones de los Lagrangianos? ´ todos los problemas variacionales con ciertas condiciones de 20. ¿Tienen solucion contorno? 21. Probar la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que tengan un grupo ´ monodromico preescrito. ´ de las relaciones anal´ıticas por medio de funciones automorfi22. Uniformizacion cas. ´ de los m´etodos del c´alculo de variaciones. 23. Extension ¿Y cu´antos de los problemas de Hilbert han sido resueltos? Di´eciseis de los problemas han sido resueltos. Estos problemas son: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 21 y 22. Cuatro problemas –12, 19, 20 y 23– sus enunciados son muy vagos o el problema en s´ı no es claro. Y tres de esos problemas –6, 8 y 16– no han sido resueltos. ´ la lista de matem´aticos que han trabajado arduamente hasta conA continuacion ´ de uno de estos problemas, matem´aticos que Benjamin Yandell seguir la resolucion los ha denominado la clase de honor de Hilbert: ¨ Kurt Godel

Martin Davis

Andrew Gleason

Paul Cohen

Max Dehn

Dean Montgomery

Yuri Matiyasevich

Herbert Busemann

Leo Zippin

Julia Robinson

Aleksei V. Pogorelov

Alexander Gelfond

Problemas Matem´aticos

57

Theodor Schneider

Helmut Hasse

Carl Siegel

Masayoshi Nagata

Teiji Takagi

Ludwing Bieberbach

Emil Artin

¨ Paul Kobe

J. Henri Poincar´e Josip Plemelj

3.2.

Andrei Bolibruch

Los 7 problemas del Milenio

El 24 de mayo de 2000, en Par´ıs, el Instituto de Matem´aticas Clay de Cambridge, ´ de dolares ´ Massachusetts anuncio´ que siete premios de un millon cada uno eran ofrecidos para quien resolviera alguno de los siete problemas que pronto enuncia´ de estos problemas se conto´ con un Comit´e Internacional de remos. Para la eleccion Matem´aticos que los escogieron como los m´as dif´ıciles e importantes en el campo de la matem´atica actual. Sir Michael Atiyah y John Tate, dos influyentes matem´aticos, los anunciaron. Estos problemas son los siguientes (v´ease por ejemplo [18]): 1. La hipotesis ´ de Riemann: Formulada por Bernhard Riemann en 1859. ´ La hipotesis dice: Los ceros de la funci´on zeta de Riemann tiene parte real igual a un medio. ´ Es v´alida para los primeros mil quinientos millones de ceros. La demostracion ´ definitiva a varias cuestiones sobre la frecuencia de los nu´ dar´ıa informacion meros primos. 2. P versus NP: Formulada por Stephen Cook en 1971. ¿Es cierto que P es igual a NP?. La pregunta equivale a determinar si todo lenguaje aceptado por un algorit´ mo no determin´ıstico en un tiempo polinomial es tambi´en aceptado por algun algoritmo determin´ıstico en tiempo polinomial. ´ Una respuesta afirmativa permitir´ıa disponer de algoritmos utiles para muchos problemas computacionales, pero al mismo tiempo destruir´ıa la seguridad de transacciones financieras hechas a trav´es del Internet. ´ con la criptograf´ıa. Este problema tiene relacion 3. La conjetura de Hodge: Formulada por William Hodge en 1950. En una variedad algebraica proyectiva no singular sobre los complejos toda clase de Hodge es una combinaci´on lineal racional de clases de ciclos algebraicos. ´ geSi la conjetura es cierto, los ciclos de Hodge admitir´ıan una interpretacion ´ om´etrica y eso permitir´ıa conocer como las piezas se adjuntan a determinados espacios para construir otros. 4. La conjetura de Poincar´e1 : Formulada por Henri Poincar´e en 1904. 1 Resuelta

por Grigori “Grisha” Perelman en 2003

58

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

Toda 3−variedad cerrada simplemente conexa es homeomorfa a la 3−esfera 5. La Teor´ıa de Yang-Mills: Formulada por Chen-Ning Yang y Robert Mills en 1950. Demostrar que para todo grupo gaunge simple compacto, la teor´ıa cu´antica de YangMills en el espacio de dimensi´on 4 existe y tiene defecto de masa positivo. 6. Las ecuaciones de Navier-Stokes: En honor a los matem´aticos Claude Louis Henri Navier y George Gabriel Stokes. ¿Existen soluciones diferenciables, f´ısicamente razonables para las ecuaciones de NavierStokes en 3 dimensiones? La importancia de las ecuaciones de Navier-Stokes radica en que describen el movimiento de un fluido en el espacio. 7. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer: Propuesta por Brian Birch y Peter Swinnerton-Dyer en 1965. M´as o menos dice: Las soluciones racionales de determinadas ecuaciones algebraicas est´an ´ıntimamente ligadas con una cierta funci´on zeta como la de Riemann, de manera que si la funci´on se anula en el punto 1, entonces hay una infinidad de puntos racionales y si no se anula, solo hay un numero ´ finito. ´ de las Matem´aticas durante Estos problemas no pretenden marcar la direccion ´ quiere centrar la atencion ´ en un pequeno ˜ conjunto de cuestiones el siglo XXI, solo matem´aticas pendientes desde hace tiempo.

Cap´ıtulo

4

˜ Caos: una breve resena A lo largo de un per´ıodo de varios miles de anos, ˜ la humanidad fue comprendiendo lentamente que la naturaleza posee muchas regularidades, que pueden ser registradas, analizadas, predichas y explotadas. En el siglo XVIII, la ciencia hab´ıa tenido tal e´xito en el descubrimiento de las leyes de la naturaleza que muchos pensaron que quedaba poco por develar. Leyes inmutables determinaban el movimiento de cada part´ıcula del universo, de forma exacta y para siempre: la tarea del cient´ıfico consist´ıa en dilucidar las implicaciones de dichas leyes para cualquier fen´omeno de inter´es. El caos hab´ıa sido sustituido por un mundo hecho de engranajes mec´anicos. Ian Stewart, ¿Juega Dios a los dados?. La Matem´atica del caos.

Resumen Este es un recorrido atrav´es de la historia de uno de las m´as grandes revoluciones tanto en la ciencia como en la matem´atica: el caos. Se realiza un viaje a trav´es de sus inventores y sus principales pioneros, as´ı como sus principales influencias en la contemporaneidad.

4.1.

Introduccion ´

La batalla eterna entre el orden y el desorden, armon´ıa y caos, debe interpretar ´ humana muy profunda del universo, pues forma parte del imagiuna percepcion nario de muchas culturas. En la cosmolog´ıa de la antigua Grecia, el caos era el vac´ıo primitivo del universo y el submundo donde habitaba la muerte. En una historia ba´ bilonica, el universo surge del caos que sobrevino cuando una ingobernable familia de los dioses de los abismos fue destru´ıda por su propio padre. El orden es considerado equivalente al bien y el desorden al mal. El orden y el ´ de caos considerados como polos opuestos, sobre los que gira nuestra interpretacion mundo. Parece que el ser humano trae consigo impulsos que pretenden comprender regularidades de la naturaleza, pretende encontrar leyes ocultas tras las inexplicables complejidades del universo, pretende extraer orden del caos.

60

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

La matem´atica surge como apasiguador de estos impulsos innatos del ser humano. La matem´atica surge a partir de cuestiones sobre un mundo f´ısico y justifica su existencia al darnos algunas respuestas. Quiz´a la matem´atica es efectiva porque ´ representa un lenguaje creado por el ser humano, quiz´a las unicas pautas que somos capaces de percibir son la matem´atica, porque la matem´atica es el instrumento ´ Quiz´a, el e´ xito de la matem´atica sea una ilusion ´ cosmica, ´ de nuestra percepcion. quiz´a no existen verdaderas pautas, sino que son las construcciones creadas las que determinan nuestro devenir. Todas estas cuestiones nos invaden, pero la realidad pr´actica es que la matem´atica constituye el m´etodo m´as efectivo para poder comprender nuestros alrededor. ´ del pensamiento cient´ıfico que culmino´ con Isaac Newton, nos La revolucion ´ de mundo como un engranaje gigantesco, que funcionaba de maheredo´ un vision ´ absoluta. El mensaje que nos dejo´ esta nera mec´anica, determin´ıstica, de precision e´ poca fue que la naturaleza pose´ıa unas leyes y que el ser humano era capaz de encontrarlas. Y este mensaje definio´ la estela a seguir de la ciencia que reci´en nac´ıa. Esta idea de un mundo predeterminado, era la idea de muchos de los m´as grandes pensadores del siglo XVIII, es as´ı como Pierre Simon Laplace, es su Ensayo filos´ofico sobre las probabilidades lo expresa (citado por Ian Stewart en su libro ¿ Juega Dios a los dados?):

Un ser inteligente que en un instante dado conociera todas las fuerzas que animan la Naturaleza y las posiciones de los seres que la forman, y que fuera lo sufientemente inmenso para poder analizar dichos datos, podr´ıa condensar en una unica ´ f´ormula el movimiento de los objetos m´as grandes del universo y el de los a´ tomos m´as ligeros: nada ser´ıa incierto para dicho ser; y tanto el futuro como el pasado estar´ıan presentes ante sus ojos.

Esto nos refleja el idealismo deterministico de toda una e´ poca, de todo un paradigma. El paradigma del determinismo cl´asico hab´ıa nacido: si las ecuaciones describen ´ del sistema un´ıvocamente, en ausencia de perturbaciones externas aleala evolucion torias, su comportamiento est´a entonces un´ıvocamente especificado en todo instante. Funcionaba. Aunque nos parezca un poco absurdo hoy d´ıa, ese era la consigna de los precursos de la ciencia moderna. La ciencia poco a poco ha ido sustituyendo el esquema, ha ´ completamente cuantitativa y determin´ıstica, hacia ido cambiando de una posicion una ciencia un poco m´as cualitativa y probabil´ıstica. Aunque muchos no lo consideren as´ı, la ciencia moderna se encuentra reemplazando el orden por el caos, ya que este supuesto orden, genera m´as caos. Pero, ¿Qu´e es el caos?. Para Ian Stewart en su libro ¿Juega Dios a los dados?, Caos es el comportamiento estoc´astico que ocurre en un sistema deterministico, es el comportamiento sin ley, gobernado completamente por la ley.

˜ Caos: una breve resena

4.2.

61

Teor´ıa del Caos: una aproximacion ´ historica ´

´ irregular de la naLa ciencia cl´asica acaba donde el caos empieza. La porcion turaleza, su parte discontinua y variable, ha sido un rompecabezas a los ojos de la ´ una monstruosidad. ciencia, o peor algun, En 1970, muchos cient´ıficos estadounidenses y europeos iniciaron el camino en el ´ desorden (el caos). Eran matem´aticos, f´ısicos, biologos. Una de las pocas veces en que la interdisciplinaridad colmo´ las ciencias. Todos buscan nexos entre las diferentes ´ ´ los clases de irregularidades. As´ı pues, los fisiologos encontraron caos en el corazon, ´ de mariposas, los ecologistas exploraron el aumento y decrecimiento de la poblacion economistas empezaron a realizar an´alisis de datos considerando el caos. La nueva ciencia, el caos, ha inventado un nuevo l´exico caracter´ıstico, una jerga distinguida de fractales, bifurcaciones, intermitencias, periodicidades, difeomorfismos de toalla doblada y diagramas de fideos blandos. El caos aparece por doquier. Una columna de humo ascendente, la bandera ondeada por la brisa, el tiempo atmosf´erico. Los m´as fervorosos defensores del caos, declaraban que el siglo XX se recordar´ıa ´ por tres cosas: la relatividad, la mec´anica cu´antica y el caos. Quiz´a tuvieron solo ´ razon. ´ algunos f´ısicos1 , la relatividad acabo´ con la ilusion ´ del espacio y tiemSegun po absoluto de Newton (Sir Isaac Newton (1643-1727)); la teor´ıa cu´antica arruino´ el ˜ del mismo sabio de un proceso de medicion ´ controlable; y el caos acabo´ con sueno la fantas´ıa de Laplace (Pierre-Simon Laplace (1749-1827)) de la predecibilidad determinista.

4.2.1.

Efecto Mariposa

Edward Lorenz2 creo´ en 1960, un tiempo de juguete que fascino´ a sus colegas. ˜ Con su m´aquina, una Royal Mc Bee, se senalaba cada minuto el paso de un d´ıa, ´ imprimiendo una hilera de numeros en papel. Quien sab´ıa leer estos datos, pod´ıa percatarse de vientos, ciclones digitalizados y dem´as. Lorenz despu´es de una cantidad de tanteos y equivocaciones, escogio´ 12 ecua´ velocidad del ciones diferenciales que expresan nexos entre temperatura, presion, viento, entre otras, para as´ı poder moldear el tiempo atmosf´erico. En un principio, Lorenz hab´ıa encontrado cierta regularidad en sus predicciones y formas de ver y analizar el tiempo. 1 Joseph

Ford, en What is Chaos, that we should be mindful of it?. Georgia Institute of Technology. ´ Norton Lorenz es un matem´atico y meteorologo estadounidense, contribuyo´ en la teor´ıa ˜ del caos e inventor de lo que se conoce como atractores extranas. Acun˜ o´ el t´ermino efecto mariposa. Lorenz construyo´ un modelo matem´atico muy simplificado, que intentaba capturar el comportamien´ en la atm´esfera. Lorenz estudio´ las soluciones de su modelo y se dio cuenta que to de la conveccion alteraciones m´ınimas en los valores de las variables iniciales resultaban en soluciones ampliamente divergentes. Esta sensible dependencia de las condiciones iniciales fue conocida despu´es como el ´ dio origen a un renovado inter´es en la teor´ıa del caos. efecto mariposa. Su investigacion 2 Edward

62

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

En un d´ıa del invierno de 1961, Edward Lorenz tomo´ un atajo en sus algorit´ del tiempo. Para no comenzar por el principio, empezo´ a mos para la prediccion medio camino (inicio´ su an´alisis de las ecuaciones en su Royal Mc Bee a medio ´ ´ anterior, pensando en que camino), copio´ los numeros directamente de la impresion ´ las condiciones iniciales, se fue a tomar un caf´e, y su m´aquina funcionase segun ´ una hora despu´es, se encontro´ con lo inesperado, algo que eran los cuando regreso, cimientos de una nueva ciencia (desconocida hasta entonces). ´ de numeros, ´ Lorenz vio en la nueva impresion que su tiempo diverg´ıa muy r´apido. Todas las similitudes con los datos anteriores se hab´ıan borrado. Primero penso´ que su Royal Mc Bee hab´ıa fallado, luego Lorenz comprendio´ que no hab´ıa ´ hab´ıa entrado una expresion ´ m´as corta, redondeada, convencido de desperfecto. El que la diferencia no ten´ıa importancia. Su input fue 0, 506, en vez del original 0, 506127. Ver figura 4.1.

Figura 4.1: Experimento de Lorenz ´ razonable, pero el pequeno ˜ error num´erico, que era Se trataba de una suposicion ´ como el soplo de aire, provoco´ que los errores ´ınfimos fueran catastroficos. Las computadoras empezaron a jugar un papel muy importante en la meteorolog´ıa, su predicciones de tiempos atmosf´ericos eran buenas en los primeros dos d´ıas, m´as o menos al tercer d´ıa se volv´ıan especulativos y a partir del sexto o s´etimo d´ıa, se volv´ıan despreciables. ´ de todo ello, el efecto mariposa. La razon

Figura 4.2: Dependencia sensitiva a valores iniciales. El descubrimiento de Lorenz fue accidente, al igual que el de Arqu´ımedes de ˜ Sin embargo, Lorenz se propuso descubrir las Siracusa (287 aec.-212 aec.) y su bano. consecuencias de su hallazgo y averiguar que significaba lo descubierto, por ejemplo, para los fluidos.

˜ Caos: una breve resena

63

El efecto mariposa no era accidental, sino necesario. Luego, fue adquiriendo diferentes connotaciones, por ejemplo, dependencia sensitiva de los valores iniciales. Existe una frase anglosajona que representa muy bien al efecto mariposa: Por un clavo, se perdi´o la herradura; por una herradura, se perdi´o el caballo; por un caballo, se perdi´o el jinete; por un jinete, se perdi´o la batalla; por una batalla, se perdi´o el reino. Un sistema determinista puede producir mucho m´as que un comportamiento ´ periodico. Lorenz, abandono´ el tiempo y busco´ formas m´as sencillas de producir comportamientos complejos. Encontro´ en un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales tal comportamiento. La clave del caos, sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales. Lorenz, encontro´ el siguiente:     

dx dt dy dt dz dt

= σ(y − x ) = σx − y − xz = xy − βz

el cual genera al Atractor de Lorenz.

Figura 4.3: Atractor de Lorenz

´ de Navier-Stokes, En la din´amica de fluidos casi todo depende de la ecuacion ´ densidad y viscosidad, pero muy breve, que hace referencia a la velocidad, presion, es no es lineal. ! Dui ∂2 u i ∂P 1 ∂∆ ρ = ρFi − + + Dt ∂xi ∂xi ∂x j 3 ∂xi ´ Richard Feynmann: Antes del caos, segun Los f´ısicos se complacen en pensar que basta decir: e´stas son las condiciones iniciales. Pero, ¿Qu´e sucede a continuaci´on?

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

64

4.2.2.

Los primeros anos ˜ del caos

´ Quienes reconocieron el caos desde el principio se debatieron en como dar forma publicable a sus pensamientos y hallazgos. Era una tarea muy complicada: demasiada abstracta para los f´ısicos y muy experimental para los matem´aticos. El caos se consideraba disparatado y acient´ıfico. Ciertas revistas establecieron reglas no escritas contra el caos, otras en cambio, vieron el d´ıa exclusivo para tratar con e´ l. ´ Los caotistas o caologos, comparecieron con frecuencia en las listas de plazas pensionadas y premios importantes. Se fundaron centros e institutos para especializarse en din´amicas no lineales y sistemas complejos. El caos se convirtio´ en una ciencia experimental para investigadores y matem´aticos, en la que el computador sustituyo´ los laboratorios llenos de tubos de ensayo y microscopios. En est´a ciencia, la rata de laboratorio fue el p´endulo de la mec´anica cl´asica. ˜ Newton y su manzana, Galileo Galilei (1564Al igual que Arqu´emedes y su bano, 1630) observaba una l´ampara de la iglesia que oscilaba de aqu´ı para all´a, una y otra vez. Galileo al contemplar un p´endulo, observaba una regularidad que se pod´ıa ´ percib´ıa est´a regularidad, porque hab´ıa formulado una teor´ıa que as´ı lo medir. El predec´ıa. Tan seguro estaba, que vio regularidad donde no exist´ıa. ´ f´ısico se molestaba en estudiar el p´endulo. Durante el siglo XX, ningun Al haber un nuevo paradigma los f´ısicos empezaron a replantearse detalles como el movimiento de un p´endulo, aprendieron a considerar sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales. As´ı por ejemplo, para poder comprender la turbulencia se necesitaba comprender a fondo los p´endulos. Las reacciones qu´ımicas ten´ıan com´ tambi´en. portamiento pendular, el latido del corazon Steven Smale, un matem´atico de la Universidad de California, ganador de la Medalla Field3 por haber resuelto una de las conjetura de Poincar´e sobre espacios de cinco o m´as dimensiones en Topolog´ıa, intento´ comprender como difer´ıa la conducta global de lo local. ´ un joven f´ısico le pregunto´ a Smale, que ¿a qu´e se Durante una conversacion, ´ dedicaba?, la respuesta lo dejo´ atonico: en osciladores. Era absurdo, como un gran matem´atico iba a estudiar f´ısica muy elemental. Luego el f´ısico se dio cuenta que ´ Smale, trabajaba en osciladores no lineales, es decir, en osciladores caoticos y que ve´ıa en ellos cosas que los f´ısicos no hab´ıan aprendido a ver. En la d´ecada de 1960, Smale abandono´ la Topolog´ıa y se dedico´ a estudiar sistemas din´amicos. Tanto la topolog´ıa como los sistemas din´amicos hab´ıan nacidos muy cercanos a la f´ısica, pero los matem´aticos se olvidaron de ello y empezaron su estudio en abstracto. En un principio Smale, consideraba que el caos era equivalente a la inestabilidad4 , luego se dio cuenta de que eran definiciones distintas y no conectadas. 3 La

medalla Field es el equivalente al Premio Nobel en F´ısica, es otorgado a matem´aticos que ˜ realizan aportes sobresalientes al a´ rea y que sean menores de 40 anos. 4 Aqu´ı se hace alusion ´ a sistemas din´amicos o sistemas de ecuaciones diferenciales estables o inestables.

˜ Caos: una breve resena

65

Para muchos f´ısicos, Smale devolvio´ toda una rama matem´atica, los sistemas din´amicos, al mundo real, ya que como mencionamos, los matem´aticos estaban si´ sin asociar sus teor´ıas a la naturaleza. guiendo por el camino de la abstraccion ´ Sovi´etica y Pronto, el caos se extendio´ por todo el mundo, en la antigua Union ´ trabajaron cosas importantes referentes al caos. Japon,

4.3.

Im´agenes del caos

Benoit Mandelbrot, un matem´atico que trabajaba con la International Business Machine (IBM), presentado en una conferencia como “. . . ensen´ ˜ o econom´ıa en Harvard, ´ al o´ır la lista ingenier´ıa en Yale, fisiolog´ıa en Einstein School of Medicine. . . ”, comento: ´ de tales de mis pasadas ocupaciones, llego a dudar de mi existencia. La interseccion ´ conjuntos est´a indudablemente vac´ıa. Mandelbrot se dedico´ a estudiar el fenomeno ´ ´ por escalas. Mandelbrot era un refugiado de los Bourbaki5 . Este de medicion estudio´ la longitud de las costas de Inglaterra, observando que cuando consideraba una ˜ lograba encontrar grandes discrepancias en sus longiescala mucho m´as pequena tudes. Benoit, en cierto sentido, afirmo´ que los litorales eran infinitos, considerando escalas diferentes escalas las grandes discrepancias est´an presentes. Ya Henri Poincar´e, en 1912, hab´ıa definido las dimensiones enteras. Una nueva ´ fue inventada por Felix Hausdorff en 1919 y desarrollada ampliamente dimension por A.S. Besicovitch. en 1930. Se trata las dimensiones entre 0 y 1 (o dimensiones fraccionarias). Estas dimensiones llamadas dimension ´ de Hausdorff-Besicovitch, actualmente se llaman dimensiones fractales.

´ Fractal Figura 4.4: Dimension

Es as´ı como Benoit Mandelbrot, que trabajaba con estas dimensiones le dio el nombre de fractales6 . 5 Bourbaki

nacio´ como un club, fundado durante durante la inquieta estela de la Primera Guerra ´ Mundial por Szolen Mandelbrojt, t´ıo de Benoit Mandelbrot, y un grupito de jovenes que buscaban el ´ en parte, como reaccion ´ en contra de modo de rectificar las matem´aticas francesas. Este grupo surgio, Henri Poincar´e, el gran hombre de la segunda mitad del siglo XIX, pensador de formidable produc´ y escritor, al que el rigor preocupaba menos que a otros hombres de ciencia. Bourbaki, opinaba cion que Poincar´e hab´ıa legado una base insegura a la matem´atica, y escrib´ıan un tratado enorme para llevar a la matem´atica al sendero formal. 6 Del verbo lat´ın frangere; romper, y jugando con vocablos afines ingleses, fraction; fraccion. ´

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

66

4.3.1.

Fractales

¿Qu´e es un fractal? ´ de Benoit Mandelbrot: un fractal es un conjunto en el que su dimenDefinicion ´ Hausdorff Besicovich excede extrictamente la dimension ´ topologica. ´ sion ´ solo ´ es importante si eres ¿Todav´ıa en tinieblas? No te preocupes. Esta definicion un matem´atico. Un fractal es, simplemente, una figura que es construida a partir de piezas cada una de las cuales es aproximadamente una copia reducida del fractal completo. Este proceso se repite hasta completar el fractal. Hay muchos hechos sorprendentes sobre los fractales: son independientes de la escala, son autosimilares, ˜ y recuerdan objetos encontrados en la naturaleza como nubes, montanas, o costas. ´ Edison De Far´ıa en su art´ıculo Fractales, otra definicion ´ informal de fractal Segun podr´ıa ser: “la dimensi´on fractal de un objeto es una medida de su grado de irregularidad, considerada en todas sus escalas, y puede ser mayor que la dimensi´on cl´asica del objeto...Un fractal es algo irregular, pero lo m´as importante es que si lo ampliamos arbitrariamente, e´l aun ´ sigue siendo irregular”. Hay muchas estructuras matem´aticas que son fractales. Muchos fractales son creados por un proceso iterativo por ejemplo: el fractal conocido como la curva de von Koch ¨ es creada dividiendo una l´ınea hasta obte´ del proceso. Luego repetimos este cambio y ner 4 l´ıneas. Esta es la primera iteracion despu´es de una cantidad infinita de iteraciones, obtenemos un fractal. Su forma se parece a la tercera parte de un copo de nieve. Muchas otras figuras pueden ser constru´ıdas por m´etodos similares. Por ejemplo, cambiando una l´ınea de manera distinta obtenemos un a´ rbol. Las iteraciones pueden ser introducir posiblemente algo de ruido aletario en un fractal dividiendo una l´ınea en dos l´ıneas y agregando un poco de error puedes obtener fractales que se parezcan a una costa de playa. ˜ Un proceso similar podr´ıa crear nubes, montanas, y muchas otras formas de la naturaleza. Un fractal es una manera de ver lo infinito con el ojo de la mente. Ian Stewart, en el ap´endice del libro What is the Mathematics?, de Richard Courant, define fractal como objetos geom´etricos con estructuras en todas las escalas. La matem´atica detr´as de los fractales ´ existen Los fractales son un campo muy nuevo de las matem´aticas, as´ı que aun muchas preguntas sin resolver. Incluso las definiciones no est´an claras. Usualmente llamamos a algo fractal, si muestra alguna auto-similitud.

˜ Caos: una breve resena

67

Una de las posibles definiciones es la de Benoit Mandelbrot: un fractal es un con´ Hausdorff-Besicovich excede extrictamente la dimenjunto en el que su dimension ´ topologica. ´ sion ¿Qu´e significa esto? Para explicarlo, primero necesitamos entender ´ qu´e son las dimensiones topologicas y de Hausdorff Besicovich. ´ topologica ´ ´ normal. Un punto tiene 0 dimensiones. La dimension es la dimension ´ Una superf´ıcie tiene dos, etc . . . Una l´ınea tiene una dimension. ´ de la dimension ´ Hausdorff Besicovich proviene de este simple heLa definicion cho: El lado de una l´ınea ampliada dos veces (zoom) crece tambi´en a lo m´as dos ˜ de un cuadrado crece cuatro veces como mucho. Reveces. Por otro lado, el tamano glas similares funcionan para mayores dimensiones tambi´en. ´ Para calcular las dimensiones para este hecho, debes usar la siguiente ecuacion: ´ = dimension

log s log z

˜ para una l´ınea con zoom donde z es el cambio de zoom y s es el cambio del tamano ˜ del cambio tambi´en es 2: log 2/ log 2 = 1, para un cuadrado con zoom 2, el tamano ˜ del cambio es 4: log 4/ log 2 = 2. As´ı, esta definicion ´ da los mismos 2, el tamano resultados para formas normales. Las cosas se tornan m´as interesantes con los fractales: Considere una curva de un copo de nieve que se crea cambiando repetidamente una l´ınea por cuatro l´ıneas. Las ˜ de la l´ınea original Despu´es de acercar (zoom) 3 venuevas l´ıneas son 13 del tamano ˜ que las l´ıneas originales. Esto ces, estas l´ıneas ser´an exactamente del mismo tamano ´ infinita de esta metamorfosis, ocurre por la auto-similitud creada por la repeticion cada una de estas partes se convierte en una copia exacta del fractal original. ˜ del fractal crece 4 veces porque hay cuatro copias del mismo. Despu´es El tamano de colocar estos valores en las ecuaciones: log 4 = 1,261 log 3 ´ topologica ´ Obtenemos un valor mayor que uno! (La dimension de la curva). ´ Hausdorff Besicovich (1,261) es mayor que la dimension ´ topologi´ La dimension ´ se concluye que nuestro copo de nieve es un ca. De acuerdo con esta definicion, fractal. ´ sin embargo, no es perfecta ya que excluye muchas figuras que Esta definicion, son fractales. Pero demuestra una de las propiedades interesantes de los fractales, y ´ Hausdorff Besicovich tambi´en se conoce como la que es muy popular. La dimension ´ fractal. dimension Generar fractales ´ Se toma el El m´etodo para generar los fractales basado en el uso de la iteracion. plano complejo El eje real es colocado horizontalmente y el eje imaginario es colo´ cado verticalmente. Cada punto tiene su propia orbita. La trayectoria sobre la que ´ iterativa, f (z, c) donde z es la posicion ´ previa y c es se calcula utilizando la funcion

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

68

´ en el plano. Por ejemplo, en el conjunto Mandelbrot, la funcion ´ la nueva posicion 2 iterativa es z = z + c. En caso de que queramos examinar el punto 0 − 0, 6i, asig´ de la orbita ´ namos este par´ametro a c la iteracion comienza en z = 0 + 0i. Luego, ´ iterativa, y repetidamente obtenemos un nuerepetidamente calculamos la funcion ´ Revisamos si el punto que pertenece al vo valor para z para la siguiente iteracion. ´ conjunto, es decir, si la orbita permanece finita. En este caso, s´ı lo est´a. As´ı que el punto est´a dentro del conjunto. En otros casos, ir´a r´apidamente hacia el infinito (por ´ es 110, la segunda es 12110, etc. . . . ) ejemplo, el valor 10 + 0i cuya primera iteracion As´ı que estos puntos est´an fuera del conjunto. ´ estamos hablando de numeros ´ ´ Aun infinitos y de iteraciones de numeros infinitos pero los computadores son finitos, as´ı que no pueden calcular fractales de forma exacta. ´ Se puede probar que, en caso de que la distancia de la orbita desde cero es mayor que 2, siempre se ir´a al infinito. Entonces podemos interrumpir los c´alculos para ´ orbitas que fallan este test. Esto se conoce como el test de borde. En los casos de estar ´ un cantidad finita calculando puntos que est´an fuera del conjunto, necesitamos solo de iteraciones. Ejemplos de Fractales Conjunto de Mandelbrot: Sin lugar a dudas el fractal m´as famoso es El conjunto Mandelbrot. Es generado ´ por una formula muy simple. El conjunto de Mandelbrot, consiste de todos ´ los numeros complejos representados en el plano que cumplen: c, c2 + c, (c2 + 2 c) , . . ., pero es uno de los fractales m´as hermosos. Ver figura 4.5.

Figura 4.5: Conjunto de Mandelbrot

˜ Puesto que el conjunto Mandelbrot es un fractal, sus l´ımites contienen pequenas copias del conjunto completo. El conjunto Mandelbrot no es completamente ˜ es diferente. Otras copias en las distinautosimilar, luego cada copia pequena tas partes del conjunto difieren m´as.

˜ Caos: una breve resena

69

´ contienen copias del conjunto, sino una verdadera varLos l´ımites no solo iedad de figuras diferentes. Algunas de ellas son sorprendentemente similares a aquellas encontradas en la naturaleza: puedes ver a´ rboles, rios con lagos, galaxias, y cascadas. El conjunto Mandelbrot tambi´en contiene figuras completamente nuevas. Curva de Koch: ¨ ¨ En honor a Helge von Koch, qui´en lo descubrio´ originalmente en 1904. Este ´ 1, 2618. Ver figura 4.6. tiene dimension

¨ Figura 4.6: Curva de Koch

Conjunto de Julia: En honor al matem´atico franc´es Gaston Julia. Ver figura 4.7. El conjunto Man´ ´ delbrot no es el unico fractal generado por la formula z = z2 + c. El otro es el conjunto Julia.

Figura 4.7: Conjunto de Julia. f (z) = z2 − 1 . ´ No hay un unico conjunto Julia, sino una variedad infinita de ellos. Cada uno es construido a partir de una “semilla”, que es un punto elegido del conjunto Mandelbrot. El conjunto Mandelbrot puede considerarse como un mapa de varios conjuntos Julia. Puntos dentro del conjunto Mandelbrot corresponden a Julias con grandes a´ reas negras conexas, mientras que los puntos fuera del conjunto Mandelbrot corresponden a Julias inconexos. Los Julias m´as interesantes tienen su semilla en los l´ımites del conjunto Mandelbrot. El tema de un conjunto Julia tambi´en depende fuertemente de la semilla que escojas. Cuando te aproximas al conjunto Mandelbrot, obtendras un fractal

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

70

tem´aticamente muy similar cuando cambias a su correspondiente Julia. Al´ejate de nuevo, y descubres que estas en un fractal completamente diferente. Los conjuntos Julia pueden parecer aburridos puesto que no cambian de tema y permanecen fieles a la semilla elegida del conjunto Mandelbrot. Pero si eliges cuidadosamente la semilla puedes generar preciosas imagenes.

4.4.

A modo de cierre

Estas formas de observar las cosas con sus dimensiones fractales, dejo´ ver que superficies que parec´ıan lisas, presentaban abultamientos caprichosos, es decir, eran ´ ´ caoticos. Con el uso de las dimensiones fractales, muchos fenomenos que parec´ıan ´ lisos o lineales, pod´ıan estudiarse m´as a fondo como sistemas caoticos. As´ı por ejemplo, las ramificaciones de los bronquios eran fractales. A la comunidad matem´atica en general no le gustaba hablar de Mandelbrot, pues consideraban su trabajo con poco rigor, con conceptos oscuros, no era matem´atico su trabajo, m´as bien computacional. Para referirse a los fractales, se refer´ıan a lo ´ Hausdorff-Besicovitch. fraccional como dimension ´ c´alculo y pensamienEl t´ermino fractal denoto´ un procedimiento de descripcion, to de las figuras irregulares y fragmentadas, dentadas y descoyuntadas, figuras que iban desde las l´ıneas cristalinas de los copos de nieve hasta el polvo discontinuo de las galaxias. As´ı pues, Robert May y James Yorke, mostraron que eran fractales todas las estructuras que proporcionaron la clave de la din´amica no lineal. Muchos estaban convencidos que la geometr´ıa de Mandelbrot, era la propia geometr´ıa de la naturaleza. Podemos ver que el estudio del caos mantuvo ocupado a los m´as grandes matem´aticos, f´ısicos y cient´ıficos en general de la segunda mitad del siglo XX. Algunos de ellos como A.N. Kolmogorov, V.I. Arnold, Henri Poincar´e, Birkhoff, Levinson, ¨ Smale, Guckenheimer, Ruelle, Ulam, Metropolis, Stein, Rossler, Yorke, May, Mandelbrot, Feigenbaum, Barnsley, Devaney, Julia, Fatou, entre otros, nos muestran la gran multidisciplinariedad existente entre las ramas de las ciencias. El caos, hoy d´ıa se aplica al comportamiento social, a la econom´ıa. Si desea profundizar en el tema, puede consultar An Introduction to Chaotic Dynamical System de Robert Devaney. Tambi´en del mismo autor, puede consultarse Chaos and Fractals: the mathematics behind the computer graphics. El descubrimiento del caos requirio´ muchas cosas y mucha gente. Hicieron fal´ topologica ´ ta matem´aticos puros para el desarrollo de una aproximacimacion a la din´amica cualitativa y para preguntarse cuestiones suficientemente generales. Se necesitaron f´ısicos para enlazar las respuestas con el mundo real. Se necesitaron experimentadores para comprobar que las teor´ıas ten´ıan sentido. ´ fue la m´as importante?, es equivalente a pregunPreguntarse ¿cu´al contribucion ´ los pulmones o el cerebro?. Lo importante tarse ¿qu´e es m´as importante, el corazon, ´ de ellos. es la combinacion

Cap´ıtulo

5

Curiosidades Matem´aticas Resumen El presente trabajo intenta mostrar algunas curiosidades matem´aticas que pueden ´ ˜ ser utiles en la ensenanza y aprendizaje de la matem´atica. Incluye un breve esbozo ´ ´ matem´atica, curiosidades num´ericas, an´ecdotas, entre otros. historico de la notacion

5.1.

Introduccion ´

˜ En los procesos de ensenanza y aprendizaje de la matem´atica, un rasgo conflictivo que se presenta es el abordaje de la matem´atica como una asignatura misteriosa, ´ casi m´agica. As´ı, la unica forma de hacerla accesible a los estudiantes es mediante la ´ de formulas ´ utilizacion y algoritmos. La matem´atica se presenta a los estudiantes co´ dejando de lado la parte creativa y creadora mo una materia de completa aplicacion, que ella nos presenta. ´ Esto no quita m´erito a la necesidad de los algoritmos y formulas para algunas aplicaciones cotidianas, pero si limita la capacidad creadora. ´ Ahora bien, ¿como podemos hacer la clase de matem´atica m´as amena?. Existe ´ ´ muchas modelaciones teoricas que nos dan una aproximacion. En mi pr´actica matem´atica, una de las cosas que intento es sorprender a mis estudiantes con alguna curiosidad que se logr´e asociar con la naturaleza plausible y porque no, a la naturaleza propia de la matem´atica. ´ presento una recopilaci´on de algunas curiosidades que pueden A continuacion, sembrar una espina de asombro al lector hacia la matem´atica. Vale mencionar adem´as, que este trabajo surge como una inquietud obtenida en el I Campamento de Ensenanza ˜ de Matem´atica Jonathan Castillo Solano, UCR-UNA, el ˜ cual trato´ sobre juegos en la Ensenanza Matem´atica.

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

72

5.2.

Signos matem´aticos

˜ escolares a reconocer, junto Estamos habituados desde nuestros primeros anos con las cifras, una serie de s´ımbolos aritm´eticos tales como el de la suma + y la ´ ×, etc. Muchos pensar´an que estos s´ımbolos son tan antiguos como multiplicacion ´ las letras o tal vez como los propios numeros, sin embargo, no es as´ı. A medida que el a´ lgebra fue progresando, los matem´aticos, para facilitar la escritura de las ´ formulas, fueron introduciendo, con m´as o menos e´ xito, nuevos s´ımbolos operativos. ´ ´ del lenguaje Al principio las formulas matem´aticas eran una especie de imitacion hablado, algo as´ı como si en vez de 40 + 50 − 3 = 87 escribi´esemos 40 m´as 50 menos 3 igual a 87. Tal manera de proceder se ha llamado c´alculo literal o a´ lgebra retorica. ´ 1. Girolamo Cardano (1501-1576), en Italia, escribe su Ars Magna, primer tratado ´ Rey Pastor, en el que da un salto de a´ lgebra merecedor de este nombre, segun ´ ´ notable del a´ lgebra retorica a la simbolica. 2. Michael Stifel (1485-1567), alem´an, en su obra Arithmetica Integra, popularizo´ los ´ Arguelles. ¨ s´ımbolos + y − desplazando a los signos p (plus) y m (minus), segun Rey Pastor dice que los signos + y − aparecen utilizados por primera vez por ´ de las el alem´an Widmann (1489), y no se sabe si proceden de la deformacion iniciales de plus y minus. Stifel utilizaba expresiones como xxxx, o´ xx, para las potencias cuarta o segunda de x. 3. Christoph Rudolff (1500-1545), alem´an, publica en 1525, el primer tratado de a´ lgebra en alem´an vulgar titulado Coss. La cosa era el nombre que se daba a ´ la incognita, que hoy representar´ıamos por x y el arte c´oisico era el a´ lgebra. En ¨ corrupcion ´ de la inicial de la esta obra aparece, por primera vez, el s´ımbolo O, ´ palabra radix, para indicar la ra´ız cuadrada. La ra´ız cuadrada de un numero se ´ designaba antes del siglo XVI poniendo un punto delante del numero. 4. Robert Recorde, ingl´es, publica en 1557 su obra The Whetstone of Witte, primer tratado ingl´es de a´ lgebra, en que introduce el signo = por no haber nada m´as ˜ antes igual que estos dos trazos paralelos; sin embargo pasar´an m´as de cien anos de que este signo triunfe sobre otras notaciones rivales. 5. Adriano Van Roomen, holand´es, hacia 1598, en un comentario al a´ lgebra de Alhwarazmi, escrib´ıa A(3), B(2), etc. para expresar el cubo de A o el cuadrado de B; Herigone en su Cursus mathematicus, (Paris, 1634), escrib´ıa a3, b2, etc.; Descartes en su Geometr´ıa escribio´ como lo hacemos ahora: a3 , b2 , etc. y popu´ algebraica es ya larizo´ el signo = de Recorde. A partir de Descartes la notacion poco m´as o menos la que empleamos hoy. 6. Tomas Harriot (1560 - 1621) perfecciono´ los s´ımbolos de Vi`ete y a e´ l se debe la ´ y uso por primera vez de los signos actuales de mayor que y menor introduccion ´ utilizo´ el punto como s´ımbolo de multiplicacion, ´ que < , >. En alguna ocasion m´as tarde difundido por Leibniz.

Curiosidades Matem´aticas

73

7. William Oughtred (1574-1660), cl´erigo ingl´es, propuso, entre propios y ajenos, unos 150 signos matem´aticos. De ellos se han conservado el de la multipli´ ×, los signos : y :: para la razon ´ y proporcion, ´ aunque ya en desuso, y la cacion abreviatura log para logaritmo. 8. Albert Girard (1590-1633) introdujo el uso de los par´entesis ( ), creo´ las primeras abreviaciones trigonom´etricas, e introdujo en los c´alculos el s´ımbolo ∞ para el infinito. 9. John Wallis (1616-1703) tambi´en utilizo´ el s´ımbolo ∞ para designar infinito, aunque desde Vi`ete hasta el siglo XVIII se utilizaba como s´ımbolo de igualdad ´ de la inicial de æquale). (deformacion 10. Pierre Bouguer (1698-1758) introdujo los signos de mayor o igual que y menor o igual que: ≥ y ≤. 11. Leonhard Euler (1707-1783) introdujo el s´ımbolo i primera letra de imagina√ rius para denotar −1, la ra´ız cuadrada de menos uno; diversas notaciones trigonom´etricas; la letra e para la base de los logaritmos neperianos y la letra griega Σ como s´ımbolo sumatorio. 12. Kramp (1808) introduce el s´ımbolo ! , para designar los factoriales.

5.3.

Curiosidades Matem´aticas

1. Curiosidades sobre π (PI): ´ con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras a) La notacion de origen griego περιϕερεια (per´ıferia) y περιµετρoν (per´ımetro) de un c´ırculo. ´ fue usada por primera vez en 1706 por el matem´atico gal´es b) Esta notacion William Jones y popularizada por el matem´atico Leonhard Euler ´ no oficial para c) El 14 de marzo (3/14) se ha convertido en una celebracion ´ de tres d´ıgitos de pi: 3,14. el “D´ıa Pi”, deriv´andose de la aproximacion ´ se concentra a la 1:59 PM (en reconocimienNormalmente la celebracion ´ de seis d´ıgitos: 3.14159), aunque algunas personas to de la aproximacion afirman que en realidad son las 13:59, por lo que lo correcto ser´ıa celebrar a la 1:59 AM. d) Johann Heinrich Lambert (1749-1777), en 1770, mostro´ que 1

π = 3+

1

7+

1

15 + 1+

1 . 292 + . .

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

74

e) arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = π. √ f ) 3 31 = 3, 1413806 . . ., o lo que es lo mismo, es casi π. ´ g) Una forma de aprender los 20 primeros d´ıgitos es con este poema, solo hay que contar las letras de cada palabra: Soy y ser´e a todos definible mi nombre tengo que daros cociente diametral siempre inmedible soy de los redondos aros.

h) El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, el japon´es Akira Haraguchi rompio´ el record recitando 100.000 d´ıgitos ´ del numero π, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire. 2. El matem´atico a´ rabe IBN ALBANNA (siglo XII) publico´ las siguientes curiosidades:

9 × 9 + 7 = 88 98 × 9 + 6 = 888

1×8+1 = 9 12 × 8 + 2 = 98

987 × 9 + 5 = 8888

123 × 8 + 3 = 987

9876 × 9 + 4 = 88888

1234 × 8 + 4 = 9876

98765 × 9 + 3 = 888888

12345 × 8 + 5 = 98765

987654 × 9 + 2 = 8888888 9876543 × 9 + 1 = 88888888

123456 × 8 + 6 = 987654 1234567 × 8 + 7 = 9876543

98765432 × 9 + 0 = 888888888 11 × 11 = 121

1 × 9 + 2 = 11

111 × 111 = 12321

12 × 9 + 3 = 111 123 × 9 + 4 = 1111 1234 × 9 + 5 = 11111 12345 × 9 + 6 = 111111 123456 × 9 + 7 = 1111111 1234567 × 9 + 8 = 11111111 12345678 × 9 + 9 = 111111111 123456789 × 9 + 10 = 1111111111

Curiosidades Matem´aticas

75

3. Reconstruir la suma: 1 4 6

∗ 5 ∗ + 1 ∗ 7 ∗ 8 6

R: 1959 + 4127

4. Reconstruir las multiplicaciones:

× ∗ ∗ ∗ 1 ∗

4 ∗ ∗ ∗ 7

6 ∗ ∗

× ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

8

∗ ∗ ∗

5 5 5 5 5 5

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

R: 46 × 48 y 517 × 521

∗ ∗

´ cuando ese 5. Los ejemplos anteriores reciben el nombre de criptogramas, aun nombre engloba tambi´en a otros presentes en todos los idiomas de los tipos siguientes:

S

C Aˇ

D E Y

+

M

S E N M O R O N E

M I R

U N N S Aˇ C

Aˇ E E

+

C T I

R: 1

R:

9 5 6 7 1 0 8 5 0 6 5 2

+

8 3 7 9 0 9 5 7 1 6 2 1 0 4 0 9 5 2

+

´ Este ultimo est´a escrito en rumano y se traduce como: TRABAJO + HONESTIDAD = POBREZA o del tipo: A a)

b)

B

(x)

C

C N B A

A

B

C

(x)

D

C

B

D N A

A

B

C

D

E N A

R: Imposible

c) E

D

C

B

R: 2178X4

(x) R: 21978X4

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

76

o del tipo: a) 7 · ( FRYH AM ) = 6 · ( H AMFRY ) b) ab × ac = acb Criptogramas con divisiones * c)

R: 1

d)

* * * * * * * * * * * * * * 0 0 2 0 9 9 2 1 0 0 9 9 1 1

*

*

*

* * * * * * 3 3 2 1 1

* *

* *

* 8

*

*

4 8

0

* * 1

1 1

6

1 8

2 0

9

6 6

AHH AAH = HA JOKE

377337 = 73 5169

Lo cierto es que desde hace siglos son muy populares en los libros de juegos matem´aticos y matem´atica recreativa. Cada uno de los juegos anteriores trae impl´ıcito un mensaje que se debe descifrar. ´ usando t´ecnicas La criptograf´ıa es la ciencia que se ocupa de cifrar informacion matem´aticas que hagan posible el intercambio de mensajes de manera que solo pueden ser le´ıdos por las personas a quienes van dirigidos. 6. La teor´ıa de los cuadrados m´agicos fue desarrollada desde e´ pocas remotas por los chinos y parece haber tenido un origen m´astico. Los antiguos magos de Persia pretend´ıan curar las enfermedades, aplicando a la parte enferma un cuadrado m´agico siguiendo el conocido principio de medicina: “Primum non nocire”. Es bien conocido el hecho de que no existe un cuadrado m´agico de orden 2. ¨ El siguiente cuadrado m´agico se llama Lho Shu, data de la antiguedad y simbolizo´ para los chinos la armon´ıa y el equilibrio: el yin-yang. 4 3 8 Otro cuadrado m´agico de orden 4 es:

9 8 1

2 7 6

Curiosidades Matem´aticas

77

1 12 8 13

15 6 10 3

14 7 11 2

4 9 5 10

Los cuadrados m´agicos dieron origen a los pol´ıgonos y a los poliedros m´agicos. ´ aurea ´ 7. La seccion ´ Aurea ´ y otros numeros. ´ Cuando hablamos de seccion nos ´ estamos refiriendo a un segmento de recta que representa a un numero real denotado por la letra φ (phi) cuyo valor es: √ 1+ 5 φ= 2 ´ en honor al escultor griego Fidias. Aunque la letra φ fue una notacion ´ aurea ´ Existen muchos t´erminos equivalentes para φ, adem´as de seccion ten´ ´ ´ ´ ´ aurea, ´ emos: numero de oro, numero dorado, numero aureo, proporcion pro´ divina y muchos otros. porcion AC AB ´ en media y extrema razon) ´ = ; (Division AC CB En el caso CB = 1 obtenemos: AC + 1 AC = AC 1 lo cual nos da AC = φ ' 1, 618033988 . . .. ´ anterior fue recopilada por Euclides en sus Elementos. La construccion He aqu´ı algunas representaciones de φ: φ2 = φ + 1 1

φ = 1+

1

1+

1 1+··· s r q √ φ = 1+ 1+ 1+ 1+··· 1+

φ = 1 + 2 sin 18 φ=

∞ 13 (−1)n+1 (2n + 1)! +∑ 2n+3 8 n=0 ( n + 2) !n!4

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

78

8. En la tumba de Diofanto de Alejandr´ıa, aparecio´ el siguiente p´arrafo: “Su juventud ocup´o la sexta parte, despu´es durante la doceava parte su cara se cubri´o de barba. Pas´o una s´etima parte de su vida antes de casarse y cinco anos ˜ despu´es tuvo un hijo que una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre muri´o. Su padre le sobrevivi´o aun ´ cuatro anos”. ˜ ´ sobre la edad de Diofanto. En el p´arrafo anterior se encuentra la informacion ´ Descubrala. 9. Los primeros en utilizar un s´ımbolo que representara el cero fueron los babilo˜ 200 nios. Las tabletas de arcilla que se encontraron, que se remontan al ano A.C., dan cuenta del empleo de este s´ımbolo. En Europa, el cero fue introducido reci´en en los siglos IX o X de nuestra era. 10. Srinivasa Ramanujan (1897-1920) fue uno de los m´as grandes genios de las ´ matem´aticas, e´ l conjeturo´ que el numero: √

θ = eπ

163

´ era un numero entero. En 1974 con la ayuda de las modernas computadoras de ´ la e´ poca se concluyo que el numero anterior era el entero: N = 262537412640768744 Hoy d´ıa, con la ayuda de casi cualquier computadora se prueba que: 0 < N − θ < 10−29 ´ de los 11. Multiplicacion ´ Fulm´ınea: Es interesante el proceso de multiplicacion ´ numeros de varias cifras utilizando por eminentes matem´aticos como: Fourier (1831), Cauchy (1840) y otros. ´ Supongase que se desea multiplicar 5817 × 423 colocamos as´ı: 5

8

1

7

4 2

...

...

...

...

...

2

0

4

...

...

...

...

...

4

2

4

...

...

...

...

...

3

5

4

...

...

...

...

...

5

4

4

...

...

...

...

...

1

7

4

...

...

...

...

...

2

2

2 3

5817 × 423 = 2460591

1

2 3

2 3

2 3 3

3

Curiosidades Matem´aticas

79

12. Cuando se le pregunto´ a Pit´agoras que era para e´ l un amigo el maestro respon´ “un segundo yo” y puso como ejemplo a los numeros ´ dio: 284 y 220. Escribamos en dos columnas los divisores propios de cada uno de ellos. Divisores de 284 1 4 71 142

Divisores de 220 1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110

Si se suman los divisores de 284 obtenemos 220 y si sumamos los divisores de 220 obtenemos 284. Los numeros ´ amigos eran conocidos por los indios muchos tiempo antes de Pit´agoras. ´ ˜ Los numeros amigos han sido parte de la historia del hombre m´as de 3000 anos ´ no se han descubierto. y sus grandes misterios aun ¨ Pasaron muchos siglos desde la antiguedad hasta que Fermat descubriera otro ´ par de numeros amigos en 1636: 17296 y 18416. Descartes descubrio´ otro par ´ de numeros amigos 9363584 y 9437056. ´ En en siglo XVIII Euler escribio´ una lista con 63 pares de tales numeros. Nicolo Paganini en 1967 asombro´ al mundo matem´atico al descubrir que los ´ numeros amigos 1184 y 1210 no hab´ıan sido citados hasta ahora. ´ Todos los numeros amigos encontrados hasta ahora tienen la misma paridad, ´ se desconocen si existen con distinta paridad, lo mismo que no tienen formulas ´ para generarlos, tampoco se sabe si su numero es finito o infinito. ´ ´ Algunos numeros amigos son los pares de numeros siguientes: 220 1184 2620 5020 6232 10744 12285 17296 63020

y y y y y y y y y

284 1210 2924 5564 6368 10856 14595 18416 76084

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

80

´ 13. Tablas misteriosas: Con las siguientes 5 tablas de numeros, podemos adivinar ´ ´ el numero que habr´a pensado una persona, desde 1 al 31, sabiendo unicamente en cuales de las tablas se encuentra. 1 9 17 25

3 5 7 11 13 15 19 21 23 27 29 31 8 12 24 28

2 10 18 26

3 11 19 27

6 14 22 30

7 15 23 31

4 12 20 28

5 13 21 29

9 10 11 13 14 15 25 26 27 28 30 31

16 20 24 28

17 21 25 29

18 22 26 30

19 23 27 31

6 14 22 30

7 15 23 31

´ ´ El numero pensado es la suma de los primeros numeros de las tablas donde se ´ encuentra. As´ı, por ejemplo, si nos dice que el numero pensado se encuentra en las tablas 1, 3 y 4, ser´a: 1 + 4 + 8 = 13; si est´a en la 3 y 5, ser´a: 4 + 16 = 20. 14. Multiplicacion ´ Rusa: Algunos pueblos de Rusia multiplican si emplear tablas ´ comunmente usadas. Para ello se escriben los dos factores uno al otro lado y se forma con ellos dos columnas: debajo del factor que est´a a la izquierda se toma ´ la mitad en numeros enteros y de esta mitad se toma la mitad y as´ı sucesivamente hasta llegar a 1; debajo del factor que est´a a la derecha, y paralelamente, ´ ´ se escribe el duplo, y as´ı sucesivamente hasta emparejar con el ultimo numero de la columna izquierda. Por ejemplo: 22 11 5 2 1

× 6 12  24  48 96  132

´ Hecho esto, considero todos los numeros de la columna de la derecha colocados ´ enfrente de los numeros impares de la otra columna y se suman dichos los ´ ´ ˜ numeros, es decir, se suman los numeros senalados; esta suma ser´a el resultado ´ 22 × 6 = 12 + 24 + 96 = 132 de la multiplicacion: 15. El problema de los cuatro cuatros: El objetivo del juego es obtener todos los ´ ´ numeros naturales del 0 al 100 usando unicamente cuatro cuatros. Las opera´ division, ´ conciones permitidas son las siguientes: suma, resta, multiplicacion, ´ (usar el 44 es v´alido y en ese caso habr´ıamos utilizado ya dos cuacatenacion tros), el punto decimal (es l´ıcito escribir 0,4 si queremos poner cero coma cuatro), potencias (44 est´a permitido gastando as´ı dos cuatros), ra´ıces cuadradas (si

Curiosidades Matem´aticas

81

√ queremos poner ra´ız cuadrada de 4 escribiremos 4 para entendernos), facto´ ´ riales y numeros periodicos (para entendernos pondremos 0, 4 . . . si queremos ´ poner cero coma cuatro periodico). Tambi´en podemos usar par´entesis como ´ para ilustrar, se presentan los numeros ´ creamos conveniente. Solo del 0 al 30. 44 44 11 = √ √ 22 = √ √ ( 4 · 4) ( 4 · 4) √ √ √ √ √ √ 12 = ( 4 + 4 + 4) · 4 4· 4 23 = 4! − 44 √ 4 13 = + 4 4 √ √ 24 = 4! + 4 − 4 − 4 4 14 = 4 · 4 − √ √ √ 4 4· 4 25 = 4! + 44 4 15 = +4 √ 4 √ √ √ √ √ 4 26 = 4! + 4 · √ 16 = 4 · 4 · 4 · 4 4 √ 4 4 4 17 = 4 + = 4 · 4 + 4 √ 4 4 27 = 4! + + 4 √ 4 √4 44 18 = 4 4 + 4 = √ − 4 4 4 28 = 4! + 4 · 4 4 19 = 4! − 4 − 4 4 29 = 4! + 4 + 4 4 20 = ( + 4) · 4 4 (4 + 44 )! 4 √ 21 = 4! − − 4 30 = 4 4

0 = 4−4+4−4 4 +4−4 4 4 4 2= + 4 4 (4 · 4) − 4 3= 4 4 = 4 · (4 − 4) + 4 √ √ 4 5 = 4+ 4+ 4 √ 4 6 = 4 · (4 − ) 4 4 7 = 4+4− 4 √ 8 = 4· 4+4−4 4 √ 9 = (4 − ) 4 4 √ 4 10 = 4 · 4 + √ 4 1=

´ ´ 16. El numero 1888081808881 es un numero muy especial. Viendo cada uno de los 1 como una l´ınea vertical | cumple lo siguiente: ´ Es un numero primo. ´ por lo que si lo leemos de derecha a izquierda tambi´en es un Es capicua, ´ numero primo (´el mismo). ´ Si lo giramos 180◦ tambi´en es un numero primo (´el mismo). ´ Si lo vemos reflejado en un espejo tambi´en es un numero primo (´el mismo). ´ Realmente curiosa la simetr´ıa de este numero. ´ 17. El numero 40337956 tiene la siguiente propiedad: 40 − 33 + 79 − 56 = 40337956

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

82

18. 12 + 22 + 32 + . . . + 242 = 702 . ´ ´ de este tipo (sumas de cuadrados Y adem´as es la unica secuencia (o sucesion) ´ de los primeros n numeros enteros positivos) cuyo resultado es otro cuadrado. Lo demostro´ G. N. Watson en 1918. ´ 19. El numero 666 tiene curiosas propiedades. ´ Aparte del significado negativo que todos conocemos (es el numero de la bestia), cumple las siguientes propiedades: Podemos obtenerlo a partir de operaciones elementales con las potencias sextas de los tres primeros enteros positivos: 666 = 16 − 26 + 36 Podemos obtenerlo sumando sus d´ıgitos y los cubos de los mismos: 666 = 6 + 6 + 6 + 63 + 63 + 63 ´ Por cierto, al parecer hay pocos numeros que cumplen esta propiedad. ´ Podemos obtenerlo sumando los cuadrados de los primeros siete numeros primos: 666 = 22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 ´ φ(n), cuyo valor es la cantidad de enteros positivos menores o La funcion ´ iguales que n que son primos relativos con n, y el numero 666 cumplen lo siguiente: φ(666) = 6 · 6 · 6 ´ ´ 20. Como promedio, el numero de representaciones de un numero entero positivo ´ s como suma de dos cuadrados de numeros enteros (es decir, s = n2 + m2 con n, m ∈ Z) es π. ¿Qu´e es eso del promedio? Muy sencillo: a) 0 : Representaciones: 1 : 0 = 02 + 02 b) 1 : Representaciones: 4 : 1 = 12 + 02 , 1 = (−1)2 + 02 , 1 = 02 + 12 , 1 = 02 + (−1)2 c) 2 : Representaciones: 4 : 2 = 12 + 12 , 2 = (−1)2 + 12 , 2 = 12 + (−1)2 , 2 = (−1)2 + (−1)2 d) 3 : Representaciones: 0 y as´ı, respectivamente, el 4 tiene 4; el 5 tiene 8; el 6 tiene 0, el 7 tiene 0, el 8 tiene 4, el 9 tiene 4, el 10 tiene 8.

Curiosidades Matem´aticas

83

El promedio para cada n se hace as´ı: se suman las representaciones de ca´ da numero entre 0 y n y se divide el resultado entre n. Por ejemplo, para los ´ numeros del 0 al 10 har´ıamos el siguiente c´alculo: 1+4+4+0+4+8+0+0+4+4+8 = 3, 7 10 Bueno, pues al parecer si hacemos crecer n ese promedio tiende a π. ´ 21. El numero 1033 (mil quintillones) es la potencia de 10 m´as grande conocida que ´ ´ puede representarse como producto de dos numeros que no contienen ningun cero. En efecto: 1000000000000000000000000000000000 = 233 · 533

= 8589934592 · 116415321826934814453125 ´ Es claro que cualquier numero de este tipo debe ser de la forma 2x · 5x , ya que si no fuera as´ı alguno de los factores contendr´ıa al menos un 2 y un 5 y por ´ tanto ser´ıa multiplo de 10, conteniendo entonces al menos un cero. Parece ser que lo complicado es encontrar una potencia de 5 que no contenga ´ cero, pero al calcular 258 vemos que ceros. Se sabe que 558 no contiene ningun contiene al menos un cero. Por tanto no nos vale. ´ 22. El numero equivalente a la palabra GOOGLE si la giramos π radianes (180◦ ), ´ es decir, el 379009, es un numero primo 23. Se puede construir un pol´ıgono regular de 65537 lados con regla y comp´as pero no se puede construir un pol´ıgono regular de 7 lados de esa forma. ´ entre la construccion ´ de pol´ıgonos regulares con Esto es debido a la relacion 1 ´ regla y comp´as y los numeros de Fermat . ´ ´ ´ 24. El numero 2646798 es el unico numero natural de 7 cifras que cumple la siguiente propiedad: 21 + 62 + 43 + 64 + 75 + 96 + 87 = 2646798 ´ ´ numeros de Fermat son numeros de la forma Fn = 22n + 1, desde n = 0 en adelante. Los primeros son: F0 = 220 + 1 = 3 1 Los

F1 = 221 + 1 = 5 F2 = 222 + 1 = 17 F3 = 223 + 1 = 257 F4 = 224 + 1 = 65537 ´ Es sencillo comprobar que todos estos numeros son primos.

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

84

25. Las siguientes curiosas igualdades son ciertas: 13 + 33 + 63 = 244 23 + 43 + 43 = 136 Adem´as:

84 + 24 + 04 + 84 = 8208

´ 26. El numero 1741725 tiene una curios´ısima propiedad: 17 + 77 + 47 + 17 + 77 + 27 + 57 = 1741725 ´ ´ Al parecer es el unico numero con el que se sabe que ocurre. ´ 27. El numero 26 est´a situado entre un cuadrado y un cubo: 52 < 26 < 33 ´ Esto es, el numero natural que hay justo antes es un cuadrado y el que hay justo despu´es es un cubo. Este hecho no despertar´ıa la curiosidad de nadie si no fuera porque el 26 es el ´ ´ ´ de este hecho unico numero natural que tiene esa propiedad. La demostracion se debe a Pierre de Fermat. 28. Augustin Louis Cauchy (matem´atico franc´es, 1789-1857) recibio´ una vez un art´ıculo que pretend´ıa demostrar que x 3 + y3 + z3 = t3 ´ no ten´ıa soluciones enteras (algo del estilo al ultimo teorema de Fermat). ˜ se env´ıa a un gran matem´atico En principio esto no tendr´ıa nada de extrano, un art´ıculo para que lo revise. Lo curioso fue la respuesta: Cauchy devolvio´ el manuscrito con una simple nota en la que se pod´ıa leer: 33 + 43 + 53 = 63 29. 1 = 13 (el primer impar vale 1 al cubo) 3 + 5 = 23 (la suma de los dos siguientes impares vale 2 al cubo) 7 + 9 + 11 = 33 (la suma de los tres siguientes impares vale 3 al cubo) 13 + 15 + 17 + 19 = 43 (la suma de los cuatro siguientes impares vale 4 al cubo) y as´ı sucesivamente. ´ de los numeros ´ ´ 30. Un motivo de la extincion romanos, en favor de los numeros a´ rabes o indios, fue el problema de realizar operaciones aritm´eticas como el ´ producto o la division. ´ 31. El numero 153 tiene propiedades muy curiosas. Ve´amoslo: ´ ˜ que puede ser expresado como la suma de los Es el numero m´as pequeno cubos de sus d´ıgitos: 153 = 13 + 53 + 33

Curiosidades Matem´aticas

85

´ Es igual a la suma de los factoriales de los numeros del 1 al 5: 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! La suma de sus d´ıgitos es un cuadrado perfecto: 1 + 5 + 3 = 9 = 32 ´ La suma de sus divisores (excluyendo al propio numero) tambi´en es un cuadrado perfecto: 1 + 3 + 9 + 17 + 51 = 81 = 92 Adem´as, como se puede ver, es el cuadrado de la suma de sus d´ıgitos. ´ Puede ser expresado como la suma de todos los numeros enteros del 1 al 17: 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 15 + 16 + 17 ´ Esto significa que 153 es el decimos´eptimo numero triangular. Como su ´ inverso, 351, tambi´en es un numero triangular (suma del 1 hasta el 26) ´ podemos decir que 153 es un numero triangular invertible. ´ ´ Es un numero de Harshad (o numero de Niven), es decir, es divisible por la suma de sus d´ıgitos: 153 = 17 1+5+3 ´ Como 351 tambi´en es un numero de Harshad podemos decir que 153 es ´ un numero de Harshad invertible . ´ Los numeros de Harshad fueron definidos por el matem´atico indio D. R. Kaprekar. ´ Puede ser expresado como el producto de dos numeros formados por sus d´ıgitos: 153 = 3 · 51 La sumas de las potencias 0, 1 y 2 de sus d´ıgitos es igual al producto de ellos: 10 + 51 + 32 = 1 · 5 · 3 ´ Realmente curioso el numero, ¿verdad?. 32. 0, 999 . . . = 1. Ve´amoslo: x = 0, 999 . . . 10x = 9, 999 . . . Restamos (2) - (1): 9x = 9

(1) (2)

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

86

Despejando x: x=1

(3)

Por (1) y (3): 0, 999 . . . = 1 Curioso, ¿verdad? 33. 199 es primo. Y que si lo giramos 180◦ obtenemos el 661, que tambi´en es primo. ´ Y que si permutamos sus cifras obtenemos los numeros 919 y 991 que tambi´en resultan ser primos. ´ 34. El numero primo m´as grande que se conoce en la actualidad es el 230402457 − 1 y tiene 9152052 cifras (s´ı, s´ı, m´as de 9 millones de cifras). ´ 35. El menor numero primo palindromico ´ (se lee igual de izquierda a derecha que ´ de derecha a izquierda) y pandigital (contiene todos los numeros del 1 al 9) es: 1023456987896543201 36. Dirichlet odiaba tanto escribir cartas que para avisar a sus suegros de que su mujer y e´ l hab´ıan tenido un hijo les mando´ un telegrama que dec´ıa: 1 + 1 = 3.

5.4.

Reflexiones

´ de juegos matem´aticos nos proporcionan una manera efectiva de La utilizacion ´ de dichos juegos nos proque la clase de Matem´atica sea m´as amena. La utilizacion porcionan una manera en la cual se puede aprender de manera divertida los conceptos matem´aticos tratar. Adem´as, los juegos matem´aticos permiten desarrollar algunas destrezas cogniti´ asociacion, ´ delimitacion, ´ entre otros. vas, por ejemplo, ubicacion, Ahora bien, hay que ser cuidadosos con otras implicaciones directas de la apli´ y utilizacion ´ de juegos matem´aticos, as´ı por ejemplo, algunas veces estos escacion ´ de los contenidos tem´aticos, es decir, se presta pacios son tomados como sustitucion ´ entretenida y aislada para sustituir conceptos propios matem´aticos por una vision del concepto a estudiar. ´ En este sentido, hay que tener un equilibrio entre la parte teorica y pr´actica, entre la parte concreta y la abstracta de la tem´atica por abordar.

Bibliograf´ıa

[1] Artemiadis, N. History of Mathematics. American Mathematical Society. Providence, Rhode Island, 2004. ´ Austral. Espasa-Calpe. Buenos [2] Babini, J. (1948). Arqu´ımedes. Coleccion Aires-Argentina. [3] Barrantes, H. Introduccion ´ a la Teor´ıa de Numeros. ´ EUNED. San Jos´e. 1998. [4] Beckmann, P. (1971). A history of π. St. Martin’s Press. New York. ´ 1985. [5] Beskin, N. Fracciones Maravillosas. Editorial MIR. Moscu. [6] Bourbaki, N. Elementos de historia de las matem´aticas. [7] Boyer, C. (1949). The history of the Calculus. Dover Publications, Inc. New York. [8] Brezinski, C. History of Continued Fractions and Pad´e Approximants. Springer Verlag. U.S.A. 1991 [9] Cajori, F. (1961). A History of mathematics. Macmillan Company. New York. [10] Cantor, Georg. Fundamentos para una teor´ıa general de conjuntos. Barcelona: Editorial Cr´ıtica. 978-84-8432-695-3. [11] Castellet, M. De Hilbert a los problemas del milenio. La Gaceta de la RSME. Vol 6.3(2003). pp. 367-376. [12] Castro, E. Introduccion ´ a la Teor´ıa de Numeros. ´ Apuntes, 2009. [13] Colerus, E. Breve historia de las matem´aticas. [14] Courant, R.; Robbins, H. (1996). What is mathematics?. Oxford University Press. Oxford. ˜ [15] De Faria Campos, E. Cuadrados M´agicos. La Matem´atica y su Ensenanza. 12-13(5). 7-13, 1993.

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

88

˜ [16] De Far´ıa, E. Fractales. Revista: Las Matem´aticas y su ensenanza 6(17): 4751,1995. [17] Degrazia, J. Math is Fun. Emerson Books Inc. New York 1961. [18] Devlin, K. The millenium problems. Basic Book. 2002. [19] Dunham, W. (1993). Viaje a trav´es de los genios. Ediciones Pir´amide. Madrid˜ Espana. [20] Eves, H. (1964). An introduction to the history of mathematics. Holt Rinehart and Winston, Inc. USA. [21] Eves, H. Great moments in Mathematics (after 1650). MAA. 1983. [22] Gardner, M. Miscel´anea Matem´atica. Biblioteca Cient´ıfica Salvat. (Cap´ıtulo 4). [23] Gardner, M. Aha! Gotcha. Paradoxes to puzzle and delight. Scientific American Inc. 1975. [24] Gardner, M. Aj´a: Inspiracion. ´ Scientific American Inc. 1985. [25] Gaussinos.com, http://gaussianos.com/category/ %C2 %BFsabia-que/ [26] Gazeta Mathematica. Vol. XLII [27] Gleick, J. Caos: la creacion ´ de una ciencia. Traducido por Juan Antonio ˜ 1998. Guti´errez. Editorial Seix Barral. Espana. [28] Hawking, S. (ed) Dios creo´ los numeros. ´ Barcelona, Cr´ıtica, 2007. Incluye las Contribuciones a la fundamentaci´on de la teor´ıa de conjuntos, 1895 y 1897. [29] Heath, T.L. The Works of Archimedes. Dover Publications, Inc. New York. [30] Heath, T.L. (1931). A manual of Greek Mathematics. Dover Publications, Inc. New York. [31] Heath, T.L. (1921). A history of Greek Mathematics. Volumen II. Dover Publications, Inc. New York. [32] Hoffman, P. (1988). Archimedes’s Revenge. Fawcett Crest. New York. [33] Irwin, M. Geometry of Continued Fractions. The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 8. (Oct., 1989), pp. 696-703. 1989 [34] Jones, B. The Theory of Numbers. Holt, Rinehart and Winston. New York. 1964. [35] Koblitz, Neal. A Course in Number Theory And Crytography. Springer Verlag. New York 1987.

´ BIBLIOGRAFIA

89

[36] Knopp, K. Theory and Applications of Infinite Series. Blackie and Son Limited. Great Britain. 1944. [37] Malba, T. El hombre que calculaba. [38] Moore, C. An Introduction to Continued Fractions. The National Council of Teachers of Mathematics. Washington. 1964. [39] Natanson, I. P. (1988). La suma de las cantidades infinitamente pequenas. ˜ Editorial Limusa. M´exico. [40] Olds, C. D. Continued Fractions. The L.W. Singer Company. Yale University. 1963. [41] Parra, E. Arqu´ımedes: su vida, obras y aportes a la Matem´atica moderna. ´ e Internet. Instituto Tecnologico ´ Revista Digital: Matem´atica, Educacion de Costa Rica. http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate. Vol 9, n1, 2008. [42] Pettofrezzo, A., Byrkit, D. Introduccion ´ a la Teor´ıa de Numeros. ´ Editorial Prentice-Hall Internacional. New Jersey. 1972. ´ Desaf´ıos Matem´aticos [43] Pickover, C. La maravilla de los numeros. ´ Coleccion de RBA. [44] Rey Pastor, J. Elementos de an´alisis algebraico. [45] Rey Pastor, J.; Babini, J. Historia de la matem´atica. [46] Ribnikov. K. Historia de las matem´aticas. [47] Ru´ız, A. (2003). Historia y Filosof´ıa de las Matem´aticas. EUNED. San Jos´eCosta Rica. ´ [48] Salinero. P. Historia de la Teor´ıa de las Probabilidades. Universidad Autono˜ 2002. ma de Madrid. Espana, [49] Sirkov, A. Elementary Cryptanalysis a Mathematical Approach. Mathematical Association of America. Washington 1966. [50] Stark, Harold. An Introduction to Number Theory. MIT Press. Cambridge, Massachusetts. 1998. [51] Stewart, I. Concepts of modern mathematics. Dover Publications Inc. 1995. [52] Stewart, I. ¿Juega Dios a los dados?. La Matem´atica del caos. Barcelona: Editorial Cr´ıtica. 1991 [53] Struik, D. (1988). A conscise history of mathematics. Dover Publications, Inc. New York.

´ Sumario de topicos matem´aticos – eπ

90

[54] Trigg W, C. Mathematical Quickies. 270 stimulating problems with solutions. Dover Publications Inc. New York. 1985 ¨ [55] Tsijli Murillo, M.; Gonz´ales Arguello, F. Teor´ıa de los Numeros. ´ Editorial Tec´ nologica de Costa Rica 2006. [56] Wieleitner, H. Historia de la matem´atica. [57] Yandell, B. The honor class: Hilbert’s problems and their solvers. A K Peters, Ltd. 2002