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Manual de imagen Universidad del Pacífico

Solucionario Lista de Ejercicios: Clase 4 Matem´ aticas I

2018

1. Resuelva 9 − 2|x|

b) |4 − 9x| ≤ 5

=

2

|x| − 4|x| =

|x|(|x| − 4)

=

9 − 2|x| 0 0

M

|x|2 − 6|x| + 9

M

M

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1

a) De la expresi´ on tenemos la siguiente restricci´on 3 − |x| ≥ 0 → |x| ≤ 3. Por otro lado p (3 − |x|)2 = ( 9 − 2|x|)2

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1

Soluci´ on.

1

UP

p

UP

a) 3 − |x| =

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Como |x| ≤ 3 → |x|−4 ≤ −1 esto es |x|−4 es negativo. Por lo tanto |x| = 0. Por lo tanto C.S = {0}. b) Utilizando las propiedades del valor absoluto tenemos |4 − 9x| ≤ 5

↔

−5 ≤ 4 − 9x ≤ 5

↔

−9 ≤ −9x ≤ 1

−1 ≤ 9x ≤ 9 1 ↔ − ≤x≤1 9  1 ↔ x ∈ − ;1 9

√

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a) |a + b| = |a| + |b| si s´ olo si ab ≥ 0.

M

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2. Demuestre que para todo a, b ∈ R:

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1

1

  1 Luego el CS= − ; 1 . 9

1

UP

UP

↔

b) Si a2 + b2 = 1, entonces |a + b| ≤

2.

Soluci´ on.

UP

UP

a) de la expresi´ on tenemos |a + b| = |a| + |b| ↔ (|a + b|)2 = (|a| + |b|)2 ↔ |a|2 + |b|2 + 2ab = 2 2 |a| + |b| + 2|ab| ↔ ab = |ab|, de esto tenemos |a + b| = |a| + |b| ↔ ab = |ab|, adem´as es claro que ab = |ab| ↔ ab ≥ 0. Luego |a + b| = |a| + |b| si s´olo si ab ≥ 0. b) En primer lugar veamos que |a + b|2 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = 1 + 2ab, entonces |a + b|2 = 1 + 2ab; 2 2 2 2 en segundo lugar de (a−b) √ ≥ 0 → a +b −2ab ≥ 0 obtenemos 1 ≥ 2ab. Luego |a+b| = 1+2ab ≤ 2 y por lo tanto |a + b| ≤ 2.

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©2018 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducci´on parcial o total.

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Logotipo institucional

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∀x ∈ R,

2x2 − (a + 3)x + 2a > 0.

Soluci´ on.

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a) Para que la ecuaci´ on admita soluci´ on u ´nica el discriminante debe ser cero, luego 4(k − 1)2 − 4k(k + 2 2 1) = 0 → 4(k − 2k + 1) − 4(k + k) = 0 → 4k 2 − 8k + 4 − 4k 2 − 4k = 0; resolviendo tenemos k = 31 .

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1

b) Como 2 > 0, el conjunto soluci´ on de la 2x2 − (a + 3)x + 2a > 0 es R si el discriminante de la expresi´ on cuadr´ atica es menor a cero, es decir:

1

UP

UP

c) Sea a > 0 y p(x) = ax2 + (1 − 2a)x + a, halle el conjunto de valores de a tal que p(x) > 0, para todo x ∈ R.

Luego a ∈]1; 9[.

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(a + 3)2 − 4(2)(2a) < 0 ↔ a2 + 6a + 9 − 16a < 0 ↔ a2 − 10a + 9 < 0 ↔ (a − 1)(a − 9) < 0

c) Como el coeficiente principal es positivo basta que el discriminante sea negativo, entonces (1 − 2a)2 − 4a2 < 0 ↔ 4a2 − 4a + 1 − 4a2 < 0 ↔ 1 < 4a; por lo tanto el conjunto de valores que puede tomar a es ] 41 , +∞[.

M

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2



 1 x∈R: < 1 , halle M − N . |2x − 3|

UP

4. Si M = {x ∈ R : |9 − x | ≥ 7} y N =

1

UP

2 2 Soluci´ on. La desigualdad que define a los elementos √ √ de M es equivalente a 2 ≥ x ∨ 16 ≤ x , luego el conjunto M es M =] − ∞, −4] ∪ [4, +∞[∪[− 2, 2]; por otro lado la inecuaci´on que√defina a N es equivalente a 1 < |2x − 3| y x 6= 23 , de donde N =] − ∞, 1[∪]2, +∞[, luego M − N = [1, 2].

at e

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M

Soluci´ on. Seg´ un enunciado vamos a probar ||x| − |y|| ≤ |x − y| para todo x, y, ∈ R. Usando desigualdad triangular se tiene |x| = |x − y + y| ≤ |x − y| + |y|, de donde |x| − |y| ≤ |x − y|. Adem´ as usando desigualdad triangular se tiene |y| = |y −x+x| ≤ |x−y|+|x|, de donde |y|−|x| ≤ |x−y|, luego ||x| − |y|| ≤ |x − y| para todo x, y, ∈ R.

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5. Dados x, y ∈ R, pruebe que la distancia entre |x| e |y| es a lo m´as la distancia entre x e y.

1 at e M

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6. La raz´ on circulante de un negocio es el cociente de sus activos circulantes (como efectivo, inventario de mercanc´ıas y cuentas por cobrar), sobre sus pasivos circulantes (como pr´estamos a corto plazo e impuestos). Despu´es de consultar con el contralor, el presidente de la compa˜ n´ıa Ace Sports Equipment decide pedir un pr´estamo a corto plazo para aumentar su inventario. La compa˜ n´ıa tiene activos circulantes de 350 000 d´ olares y pasivos de 80 000 d´ olares. Determine cu´anto puede pedir prestado si quiere que su raz´ on de circulante no sea menor que 2,5. (Nota: los fondos recibidos se consideran como activo circulante y pr´estamo como pasivo circulante)

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a) Halle el valor de k de tal modo que la ecuaci´on (k + 1)x2 + 2(k − 1)x + k = 0 admita soluci´on u ´nica. b) Sea a 6= 0. Halle el conjunto de los posibles valores de a si

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3.

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Soluci´ on. Sea x : cantidad que la compa˜ n´ıa puede pedir prestada. Entonces sus activos circulantes ser´ an 350000 + x y sus pasivos circulantes 80000 + x. 350000 + x activo circulante = As´ı, raz´ on circulante = pasivo circulante 80000 + x 350000 + x Seg´ un dato ≥ 2,5, adem´ as como x es positiva, tambi´en lo es 80000 + x, luego 350000 + x ≥ 80000 + x 2,5(80000 + x). Resolviendo dicha desigualdad se llega a x ≤ 100000. En consecuencia, la compa˜ n´ıa puede pedir prestado hasta 100 000 d´olares y a´ un mantener una raz´ on circulante no menor que 2,5.

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7. Sean a; b; c ∈ R tales que a > b y c > a − b. Determine el conjunto soluci´on de la ecuaci´on

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a) Para x < b, en este caso tenemos x−b < 0 y x−a < 0; luego la ecuaci´on queda as´ı −(x−a)−(x−b) = c, resolviendo x = a+b−c (compruebe que este valor verifica x < b ) 2

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b) Para b ≤ x < a, en este caso tenemos x−b ≥ 0 y x−a < 0; luego la ecuaci´on es −(x−a)+(x−b) = c, lo cual implica a − b = c. No cumple la condici´on c > a − b, en este caso no hay soluci´on.

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Soluci´ on. Tomando casos:

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1

|x − a| + |x − b| = c

c) Para x ≥ a, en este caso la ecuaci´ on se simplifica en (x − a) + (x − b) = c, de donde x = (compruebe que este valor verifica x ≥ a )

c+a+b . 2

Por lo tanto el conjunto soluci´ on es CS = { a+b−c , c+a+b } 2 2 8. Resuelva cada una de las siguientes desigualdades.

M

|4 − 9x| ≤ 5

↔

−5 ≤ 4 − 9x ≤ 5

↔

−9 ≤ −9x ≤ 1

↔

−1 ≤ 9x ≤ 9 1 ↔ − ≤x≤1 9  1 ↔ x ∈ − ;1 9

1 at e M

at e M

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  1 Luego el CS= − ; 1 . 9

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a) Utilizando las propiedades del valor absoluto tenemos

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Soluci´ on.

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c) 11 |5 − 2x| < 3 |x + 1|

1

UP

UP

a) |4 − 9x| ≤ 5 2x − 1 >1 b) x+1

M

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x ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]−1; 0[ ∪ ]2; +∞[

UP

UP

↔

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b) Utilizando las propiedades del valor absoluto, tenemos 2x − 1 2x − 1 2x − 1 x + 1 > 1 ↔ x + 1 6= 0, x + 1 > 1 ∨ x + 1 < −1 2x − 1 2x − 1 −1>0∨ +10∨

(2x − 5) ∧ |x + 1| > (5 − 2x) 3 3   11 11 x + 1 < − (2x − 5) ∨ x + 1 > (2x − 5) 3 3   11 11 ∧ x + 1 < − (5 − 2x) ∨ x + 1 > (5 − 2x) 3 3     52 58 58 52 x< ∨x< ∧ x> ∨x> 25 19 19 25     58 52 x< ∧ x> 19 25 52 58 x + 2 ↔ 2x − 1 < −x − 2 ∨ 2x − 1 > x + 2 ↔ x < − ∨ x > 3 ↔ x ∈ −∞, − ∪]3, +∞[ 3 3   1 De esta forma concluimos que CS = −∞, − ∪]3, +∞[ 3     x−1 > 1, x 6= 1 y (x − 1)2 > (2x − 1)2 ↔ x(3x − 2) < 0 ↔ x ∈ 0, 2 − 1 c) 2x − 1 2 3 2     2 1 De esta forma concluimos que CS = 0, − 3 2   7 2 2 2 d ) Elevamos al cuadrado 4(9 − 12x + 4x ) = x + 2x + 1 ↔ 3x − 10x + 7 = 0 ↔ x ∈ 1, 3   7 De esta forma concluimos que CS = 1, 3

UP

M

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b) |2x − 1| − x > 2 x−1 >1 c) 2x − 1 d ) 2|3 − 2x| = |x + 1|

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c) (B ∪ C) − A d ) B4C

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b) A − B

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a) A ∪ B

M

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11. Dados los intervalos A =] − ∞, 2], B = [−3, 6[ y C =]2, +∞[, determine si los siguientes conjuntos son intervalos

Soluci´ on. a) A ∪ B =] − ∞, 6[ es un intervalo, puesto que ∀a ∈ A ∪ B, ∀b ∈ A ∪ B; a < x < b entonces x ∈ A ∪ B.

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UP

b) A−B =]−∞, −3[ es un intervalo, puesto que ∀a ∈ A−B, ∀b ∈ A−B; a < x < b entonces x ∈ A−B

at e M

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d ) B4C = [−3, 2] ∪ [6, +∞[ no es un intervalo, puesto que 0 ∈ B4C, 7 ∈ B4C; 0 < x < 7 entonces x ∈ (B ∪ C) − A, pero 3 no pertenece al conjunto B4C.

1

c) B ∪ C = [−3, +∞[, luego (B ∪ C) − A =]2, +∞[ es un intervalo, puesto que ∀a ∈ (B ∪ C) − A, ∀b ∈ (B ∪ C) − A; a < x < b entonces x ∈ (B ∪ C) − A

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  3 Luego, el CS2 = ∅. Finalmente, el conjunto soluci´on se escribe como CS = CS1 ∪ CS2 = −∞; ∪∅ = 4   3 −∞; . 4

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UP

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a) | − 3ab| = 3ab 3a 3a b) = − 5b 5b

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14. Sean a, b ∈ R tales que a < −2 y b > 2, determine el valor de verdad de

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Soluci´ on. Tenemos la ecuaci´ on cuadr´ atica x2 + px + 1 − p2 = 0, como tiene que tener ra´ıces reales se 2 2 debe cumplir entonces que  su discriminante   debe ser mayor o igual a 0, esto es p − 4(1 − p ) ≥ 0, de 2 2 2 donde 5p2 − 4 ≥ 0 y p ∈ −∞, − √ ∪ √ , +∞ . Adem´as, p > 0, por lo tanto p ∈ √ , +∞ . 5 5 5

1

UP

13. Si p > 0, determine para que valores de p, la ecuaci´on x2 + px + 1 = p2 tiene ra´ıces reales.

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c) |2(a + 2)(b − 2)| = 2(a + 2)(2 − b) a+2 =1 d) −a − 2

UP

Soluci´ on.

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c) VERDADERO. Tenemos que a + 2 < 0 y b − 2 > 0, entonces 2(a + 2)(b − 2) < 0, luego |2(a + 2)(b − 2)| = −2(a + 2)(b − 2)| = 2(a + 2)(2 − b). a+2 = | − 1| = 1. d ) VERDADERO. Factorizando y simplificando tenemos −(a + 2)

1

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a) FALSO. Como a < −2 y b > 2 entonces −3ab > 0, por lo tanto | − 3ab| = −3ab. 3a 3a 3a < 0, por lo tanto = − . b) VERDADERO. Como a < −2 y b > 2 entonces 5b 5b 5b

M

15. Al cierre del primer semestre del presente a˜ no, los ingresos percibidos por el estado peruano por la exportaci´ on de esp´ arragos est´ an determinados por la inecuaci´on |n − 2 × 106 | ≤ 3 × 105 , donde n representa la cantidad de d´ olares generados por dichas exportaciones. Se tiene la informaci´on que Green Per´ u SAC alcanz´ o el m´ aximo ingreso en este periodo y que Sociedad Agr´ıcola Vir´ u obtuvo el m´ınimo. Determine los ingresos obtenidos por las dos empresas mencionadas.

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16. El di´ ametro ideal de una almendra para ser seleccionada como de exportaci´on es de 0,5cm, pero se aceptan aquellas que est´en dentro de los l´ımites de tolerancia que son de 0,480cm y 0,520cm, inclusive. Exprese estas condiciones para el di´ ametro de una almendra con respecto al di´ametro ideal, usando el valor absoluto.

1

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on |n − 2 × 106 | ≤ 3 × 105 obtenemos −3 × 105 ≤ n − 2 × 106 ≤ 3 × 105 , de esto Soluci´ on. De la inecuaci´ 6 6 1,7 × 10 ≤ n ≤ 2,3 × 10 .Luego los ingresos obtenidos por Green Per´ u SAC ascienden a 2.3 millones de d´ olares y los ingresos obtenidos por Sociedad Agr´ıcola Vir´ u a 1.7 millones de d´olares.

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Soluci´ on. Sabemos que |a|2 = a2 , |b|2 = b2 y |a||b| ≥ ab entonces −2|a||b| ≤ −2ab → |a|2 +|b|2 −2|a||b| ≤ 2 2 a + b − 2ab ↔ |a|2 − 2|a||b| + |b|2 ≤ a2 − 2ab + |b|2 ↔ (|a| − |b|)2 ≤ (a − b)2 , es decir ||a| − |b||2 ≤ (a − b)2 , por lo tanto ||a| − |b|| ≤ |a − b|. Tambi´en tenemos que (a − b)2 ≤ (|a| + |b|)2 , de donde |a − b| ≤ |a| + |b|. Por lo tanto, | |a| − |b| |≤ |a − b| ≤ |a| + |b|.

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12. Demuestre que para todo a, b ∈ R se cumple la desigualdad | |a| − |b| |≤ |a − b| ≤ |a| + |b|

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UP at e M

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UP at e M

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x − 50 ≥ 3 , donde x es el 17. En cierto pa´ıs, una moneda es declarada falsa si se verifica la inecuaci´on 10 2 n´ umero de caras obtenidas al lanzar 100 veces la moneda al aire. ¿Para qu´e valores de x la moneda no es falsa? x − 50 3 ≥ tenemos on Soluci´ on. De la inecuaci´ 10 2 3 x − 50 ≤ − → x ≤ 35 10 2 x − 50 3 ≥ → x ≥ 65 10 2 Por lo tanto los valores de x para que la moneda no sea considerada falsa son 36, 37,..., 64.

1

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Soluci´ on. Sea d el di´ ametro de una almendra seleccionada para exportaci´on. Como los l´ımites de tolerancia son de 0,480cm y 0,520cm, entonces cuando comparamos el di´ametro ideal con estos valores, resulta una diferencia de 0,02cm, por lo cual se tiene 0, 480 ≤ n ≤ 0, 520, restamos la medida del di´ametro ideal con el cual se comparan los otros di´ ametros 0, 480−0, 5 ≤ n−0, 5 ≤ 0, 520−0, 5, de donde obtenemos −0, 02 ≤ n − 0, 5 ≤ 0, 02, usando el valor absoluto tenemos la expresi´on |n − 0, 5| ≤ 0, 02.