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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Dr. Juan E. Nápoles Valdes

Unidad 3 DERIVABILIDAD DERIVABILIDAD Derivada de una función de dos variables independientes. Interpretación geométrica de las derivadas parciales. Derivadas parciales de funciones de n variables independientes. Relación entre la derivabilidad y la continuidad. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwartz. Objetivos Instructivos. Con esta clase pretendemos que los alumnos sean capaces de conocer: • El concepto de derivada parcial de una función en un punto y su interpretación geométrica en el caso de funciones de dos variables independientes. • La relación entre el concepto de derivabilidad y continuidad.

PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO X CUALQUIERA

f ’(x)

m tang

f(x  h)  f(x)  lim h 0 h

Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en un punto x cualquiera perteneciente al dominio de f(x)

y f(x 0  x)  f(x 0 )  x x Se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0 si el límite del cociente incremental existe, cuando x0. Al valor de este límite se le denomina derivada de la función en el punto x0 y se denota por uno de los símbolos

dy f ' ( x0 ), y ' ( x0 ), y , ( x0 ), Df x ( x0 ), ... dx ' 0

f(x 0  x)  f(x 0 ) y f ' ( x0 )  Lim  Lim x 0 x x 0 x

¿En el caso de funciones de varias variables?

Variación de la función al variar x f  x0  x , y0   f  x0 , y0  f  x0 , y0   lim x 0 x x

Fijamos el valor de y y observamos el cambio de la función al variar 𝑥.

f ( x, y)  1  x 2  y 2

f ( x0 , y0 )

f ( x0  x, y0 )

fy  x0 , y0 

f  x0 , y0  y   f  x0 , y0  f   x0 , y0   lim y 0 y y

f =Variación de la función y al variar y (x permanece fija)

Fijo el valor de x  x0 y observo el cambio de la función de una variable f ( x0 , y ) al variar y

z0  f ( x0 , y0 )

z  f ( x0 , y0  h)

y0 y0  h

Interpretación de las derivadas parciales Ejemplo: Determinar si f ( x, y )  y 2  x 2 crece o decrece en (1/2,1/2). (a) Si x varía manteniendo y  1/ 2 fijo. (b) Si y varía manteniendo x  1/ 2 fijo.

(a) f x ( x, y )  2 x  f x (1/ 2,1/ 2)  1  f decrece al aumentar x con y  1/ 2 (b) f y ( x, y)  2 y  f y (1/ 2,1/ 2)  1  f crece al aumentar y con x  1/ 2

Sea f : C  p  con C abierto y a  C punto de acumulación. Sea u vector de p . Se define la derivada de f en a según u como: f (a )  u f (a  hu )  f (a ) f u (a )  lim h 0 h

Du f (a ) 

f (a  hu)

f (a )

hu

a

: Derivada direccional. Vector unitario: u  (cos  ,sen ) f ( x0  h cos  , y0  hsen )  f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 )  D f ( x0 , y0 )  lim h 0 u h

En

2

f (a ) es la pendiente de u la tangente a la curva que se obtiene de la intersección de z  f ( x, y ) con el plano que pasa por a , es perpendicular al plano xy y contiene a u.

f (a )

u

a

¿Qué pasa si el vector u, está dirigido según los ejes coordenados? En 2 : f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 )  lim x 0 x x f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 )  lim y 0 y y f ( x0  h, y0 )  f ( x0 , y0 ) f ( x, y0 )  f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 )  f x ( x0 , y0 )  lim  lim h  0 x  x0 x h x  x0 f ( x0 , y0  h)  f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y )  f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 )  f y ( x0 , y0 )  lim  lim h  0 y  y0 y h y  y0 En n :

f ( x1 , x2 ,..., xi  h,..., xn )  f ( x1 , x2 ,..., xi ,..., xn ) f ( x1 , x2 ,..., xn )  lim h 0 xi h

Si las derivadas parciales fx y fy, admiten a su vez derivadas parciales, las nuevas funciones así definidas se llaman DERIVADAS SEGUNDAS de f(x,y); las derivadas de las derivadas segundas se llaman derivadas terceras de f(x,y); etc. Dada la función Z=f(x,y) tenemos cuatro derivadas parciales segundas (o de segundo orden): 𝜕2𝑓 𝜕𝑥 2

𝜕2𝑓 𝜕𝑦 2

𝜕2𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕2𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑥

TEOREMA DE SCHWARTZ Si las derivadas parciales fx(x,y) y fxy(x,y), existen en un entorno del punto (x,y) y si fxy(x,y) es continua en dicho entorno, entonces existe fyx(x,y) y es igual a fxy(x,y).

TEOREMA DE BONET Si las derivadas parciales fxy(x,y) y fyx(x,y) son continuas en un entorno del punto (x,y) entonces fyx(x,y)=fxy(x,y).

TEOREMA Si la función y=f(x) es derivable en un recinto SRn y además las derivadas parciales primeras son acotadas en S, entonces y=f(x) es continua en S.

Δf(x,y)=f(x+h,y+k)-f(x,y) Δf(x,y)=[f(x+h,y+k)-f(x+h,y)]+[f(x+h,y)-f(x,y)] f(x+h,y+k)-f(x+h,y)=kfy(x+h,y+1k), 0