• Categories
• Múltiple
• Integral
• Objetos geométricos
• Espacio
• Objetos matemáticos

Citation preview

CALCULO VECTORIA L CURVAS EN R2 Y ECUACIONES PARAMETRICAS

10.1 CÓNICAS Y CALCULO. 1¿ y 2=4 x 4 p=4

c (0,0)

p=1

f (1,0)

D x =−1

2 ¿(x+ 4)2=2( y+ 2) c (−4,−2)

4 p=2 p=1/2

f (−4,−1.5) DY =2.5

3 ¿(x +4)2 =−2( y−2) c (−4,2)

4 p=−2 p=−1/2

f (−4,1.5) DY =2.5

4¿

(x −2)2 ( y +1)2 + =1 16 4

a2=16 b2=4 2

c =16−4 c=√ 12

a=4 b=2

c (2,−1) v (2 ± 4,−3) f (2± 2 √ 3 ,−3)

c=2 √ 3 e=

2 √3 √ 3 = 8 4

5¿

x2 y2 + =1 4 9

2

a=3

2

b=2

a =9 b =4

F(0,± √ 5) c (0,0)

c 2=9−4 c=√ 5

6¿

x2 y2 + =1 9 9

2

a =9

a=3

b2=9

b=2

2

7¿

c (0,0)

2

y x − =1 16 1

a2=16 b2=1

a=4 b=1

c (0,0) F(± √ 15 , 0)

c 2=16−1 c=√ 15

8¿

(x−2)2 y 2 − =1 9 4

± 4,0 v¿ )

2

a =9 2

b =4

a=3 b=2

c (2,0)

2

9 ¿ y =−8 x c (0,0) 4 p=−8

p=−2 f (−2,0)

D x =2 2

11 ¿ ( x+5 )+( y−3) =0

( y−3)2=−(x +5) v (−5,3) 4 p=−1 p=

−1 4

13 ¿ y 2−4 y−4 x =0

( y 2−4 y +4 )=4 x y−2 ¿ ¿ ¿ v (−1,2 ) 4 p=4

p=1

F(−5

1 , 3) 4

D x =−4

3 4

D x =−2

15 ¿ x ¿ + 4 x+ 4 y −4=0 2

( x 2+ 4 x +4 )=−4 y +4 +4 x+ 2 ¿ ¿ ¿ v (−2,2 ) 4 p=4

p=1

Hallar ecuación de la parábola 21 ¿ vertice (5,4)

Foco(3,4) 2

(x−h) =4 p( y−k )

( x−5 )2=4 ( 2 ) ( y−4 ) x 2−10 x+25=8 y−32 x 2−10 x−8 y +25+32=0 x 2−10−8 y +57=0 22 ¿ vertice (−2,1) Foco(−2,−1)

(x−h)2=−4 p ( y−k )

( x+ 2 )2=−8 ( y −1 ) x 2+ 4 x +4=−8 y +8 x 2+ 4 x +8 y−4=0 23 ¿ vertice (0,5)

Directriz y=−3

P=4 Foco(0,1)

(x−h)2=4 p( y−k )

( x−0 )2=4 ( 4 ) ( y−5 ) x 2=16( y −5) 2

x =16 y−80 2

x −16 y +80=0

Hallar centro, foco, vértice y excentricidad de la elipse y trazar su grafica 29 ¿ 16 x 2 + y 2=16 x 2+

y2 =1 16

C (0,0) v (0,± 4) a2=16 b2=1

c=√ 15

√

a=4 b=1

c 2=16−1

c=3

f (0, √15)

5 3

c (2,−1)

3 e=

√

5 3

4 2

2

( x−3) ( y−1) 31¿ + =1 16 25 C (3,1) v (3 ± 5,1) a2=25

f (3± 3,1)

a=5

2

c (2,−1)

b=4

b =16 c 2=25−16 c=√ 9 c=3 e=

3 5

33 ¿ 9 x 2 + 4 y 2+ 36 x−24 y +36=0 4 y 2−24 y +¿ ¿ 2 9 x +36 x +¿+¿ x 2 9(¿¿ 2+2) 4 ( y 2 −3 ) 36 + = 36 36 36 ¿ 2

x 2 (¿¿ 2+2) 4 ( y 2 −3 ) + =1 36 36 9 4 ¿ 2

x 2 (¿¿ 2+2) 4 ( y 2 −3 ) + =1 4 9 ¿ 2

C (-2,3) v (−2,3 ±3) a2=9

f (−2,3 ± √5)

a=3

b2=4

c (2,−1)

b=2

c 2=9−4 5 e= √ 3

c=√ 5

Hallar una ecuación de la elipse 39.- Centro (0,0) Foco (5,0) Vértice (6,0) x2 y2 + =1 36 6

a2=36 b2 =6

a=6

b=√ 6

6 x 2 +36 y 2 =1 216 6 x 2+3 6 y 2=216 6 x 2+3 6 y 2−216=0

42.Foco (0,± 9) Longitud del eje mayor: 22 Centro (0,0) a2=121

b2=121−81=40

c 2=81

b2= √ 40=2 √ 10

x2 y2 + =1 40 121

40(121)

[

2

2

x y + =1 40 121

]

e=

0 6

2

2

2

2

121 x +40 y =4840 121 x +40 y −4840=0

Hallar el centro, foco, vértice de la hipérbola y graficar 45 ¿ y 2−

C (0,0)

x2 =1 9

v ( 0, ±1 )

a2=1 b2=9

f (0,± √ 10)

a=1

c (2,−1)

b=3

c 2=9+1 c=√ 10

47 ¿

(x−1)2 ( y +2 )2 − =1 4 1

C (1,-2) a2=4 2

b =1

v ( 1± 2,−2 ) a=2

f (1± √ 5 ,−2) c (2,−1)

b=1

c 2=4+1 c=√ 5

49 ¿ 9 x 2− y 2−36 x−6 y +18=0

9x ¿ y 2+ 6 y+ ¿ ¿ ¿ ¿ x 9(¿ ¿2−4 x + 4)−( y +6 y +9 )=−18+36+ 9 ¿ 2

x 2

2

9(¿¿ 2−2) ( y 2 +3 ) 27 + = 27 27 27 ¿ x 2

2

(¿¿ 2−2) ( y 2 +3 ) + =1 27 27 9 ¿ C (2,-3) v (2 ± 1,−3) 2

a =3

f (2± √ 10 ,−3)

a=√3

2

b=√27=3 √ 3

b =27 c 2=3+27 c=30

5 e= √ 3

51¿ x 2−9 y 2 +2 x−54 y−8=0 x 9 y + 54 y +¿ ¿ (¿¿ 2+2 x+1)−¿ ¿ 2

(x+ 1)2−9 ( y 2+6 y + 9 )=8+81+1 ( x+ 1)2 9 ( y+ 3 )2 90 − = 90 90 90

2

2

( x+ 1) ( y+ 3 ) − =1 90 90 9 ( x+ 1)2 ( y+ 3 )2 − =1 90 10 C (-1,-3) v (−1 ±3 √ 10 ,−3) a2=90

f (−1 ± 4 √ 5 ,−3)

a=90=3 √10

b2=10

b=√ 10

c 2=90−10= √80=4 √5

10.2 CURVAS PLANAS Y PARAMETRICAS. 1. Considerar las siguientes ecuaciones para métricas x=√t , y-3-t a) Construir una tabla de valores para t=0,1,2,3, y 4 b) Trazar los puntos (x,y) y trazar la orientación grafica c) d) Hallar la ecuación rectangular t

0 1 2 3 4

X

y

0

3

1

2

√ 2 √ 3 2

1 0 1

Despejando t Y-a = 4 t=3-y

Trazar la curva que representa las ecuaciones paramétricas, dar Sustituyendo x ecuación rectangular (indicar la orientación de la curva) X=√t

x=√(x-y)

Y1= x+2t-3 Rectangular y=3t+1 t

x

Ec.

y Despejando t

-1

-3

-2 -1

-5

-2

0

-3

1

1

-1

4

2

1

1

y=3 t +11− y ÷−3 Sustituyendo

x=2 ( 1−3 ÷−3 )+1 x=2−2 y 1 2 y +1 + −3 3 y

Ecuación rectangular

x=sec∅

17. Ɵ

x

y

π/2

1

0

Π 2π/2

Despejando Ɵ

-1 -1 0

2π

y=cos ∅

1

∅=secx 19.x=sec∅ x= 8cosƟ Ɵ

Despejando Ɵ x sustituyendo y en y

π/2

0

Π

8 ∅ -8 y=cos 0 ⁡¿

2π/2

0

-8

2π

8

0

x=8 cosϑ ϑ =arc cos

x x

Sustituyendo en y

¿

x 8 y =8 sen ¿

arc cos ¿

Eliminar el parámetro y obtener la forma estándar o canoníca de la ecuación rectangular 39. Recta que pasa por (x,y) y (x2, y1) X=x1+t (x2-x1)

41. Elipse x−1 cosϑ = a

cos 2 ϑ=

( x−h ) 2 a2

y= y 1+t( y 2− y 1)

x=h+ acosϑ y=k+ bsenϑ

senϑ =

y−k b

y −k 2 ¿ ¿ sen 2 ϑ =¿

2

2

sen ϑ + cos ϑ =1 ( x−k )2 ( y−k )2 + (x−h)2+( y−k )2=(ab)2 2 2 a b

Hallar conjunto de ecuaciones parametricas para la recta o para la conica 43. Recta; pasa por (0,0) y (4,-7) x 1−x 2 ¿=m( y 2− y 1)

( o−4 )=m ( o+7 ) −4=m ( 7 ) m=

−4 7

45. Circulo: centro (3,1) r=2

( x−3 )2 +( y−1)2 =4 2

2

x −6 x+ 9+ y −2 y +1=4

11. t

x=t−3 y=

t t−3

x

y

-2

-5

2/5

-1

-4

¼

0

-3

0

1

-2

-1/2

-2

-4

2

-1

-2

-1

x+ 3 -2y= 3 x

0

0

x 0

1 2 3 4

x=t−3 t=x+ 3 13. x=2 t y=¿−2 l

Sustituyendo en y

t

x

y=

y( x+3) ( x+ 3 )−3 4

2

1

2

1

2

4

0

Despejando t

x=2 t →t=

x 2

Sustituyendo en y

x y=ӏ −2 ӏ 2 Ec. rectangular

x=e t y=e 3 t +1

15. t

Despejando t

y 2

1 2.7 18 7.3 9 20. 08 54. 60

21.0 8 104. 42

Despejando t

x=e t t=¿ ( x ) Sustituyendo en y

y=e3 (inx )+ 1 Ecuación rectangular

47. Elipse: vertices (±10,0) foco (±8,0)

c= √ 100+ 64

C (0,0)

= √ 164

a = 10

= 2 √ 41

b=8 x2 100

y2 64 = 1

+

2 2 64 x + 100 y = 6400

64 x2 +100 y 2 =1 6400 49.- Hiperbola: Vertice ( ± 4,0) C ( 0,0) A=4 B =5

√ 16+25

C= = y 2− ¿ 16 ¿

√ 41 x2 25

=1

2 2 25 y - 16 x = 400

25 y 2−16 x 2 =1 400

Dar una integral que represente la longitud de arco de la curva en el intervalo dado

45.- x= 3t - t

2

y= 2 t

3/2

1 ≤t ≤3

dx =3−2 t dt dy 1 2 = 2 t dt

1

2t2 ¿ 3−2 t ¿ 2+ ¿ S= √¿ 3

∫¿ 1

t 47.-x= e +2

-2 ≤t ≤2

2t+1

dx t =e dt

2

s

dy =2 dt

2 ¿ dt e t +¿ √¿ 2

¿∫ ¿ −2

Hallar la longitud de arco de la curva en el intervalo dado.

49.- x ¿ 3 t+5

y

¿ 7−2t

-1

≤t ≤3

2

dx=3

−2 ¿ dt 3 ¿2 +¿ √¿

S=

3

∫¿

dy=-2

−1

3

∫ √ 9+ 4 dt

=

51.- x=6 t

2

−1

y=2 t

3

3

≤t ≤ 4

=

∫ √ 13 dt −1

dx =12t dy=6t S=

6 t ¿ 2 dt 12t ¿2 +¿ √¿ 4

∫¿ 1

4

=

∫ √ 144 t2 +36 t 2 dt

=

∫ √ 180t 2 dt

1

4 1

1

=

180 t 2 ¿ 2 dt √¿ 4

∫¿ 1

1

10.4 COORDENADAS POLARES Y GRAFICAS POLARES. En los ejercicios 1,3 y 5 representar gráficamente el punto dado en coordenadas polares y hallar las coordenadas rectangulares. 1.

(8, π2 ) π x=rcosθ → 8 cos =0 2 π y=rsenθ →8 sen =8 2

3.

(−4,− 34 π ) x=rcosθ →−4 cos

(−34 π )=2.82

y=rsenθ →−4 sen 5.

( −34 π )=2.82

( √ 2 ,2.36 ) x=rcosθ → √ 2 cos ( 2.36 ) =−1.003

y=rsenθ → √ 2 sen ( 2.36 )=.996

En los ejercicios 7 y 9 encontrar las coordenadas rectangulares del punto dado en coordenadas polares. Gráfica. 1.

(7, 54π ) x=rcosθ →7 cos

( 54π )=−4.9

y=rsenθ →7 sen

( 54π )=−4.9

(−4.5,3.5 )

2.

x=rcosθ →−4.9 cos ( 3.5 )=4.21 y=rsenθ →−4.9 sen ( 3.5 )=1.57

En los ejercicios 11, 13 y 15 localizar gráficamente el punto y hallar 2 conjuntos de coordenadas polares del punto con 0 ≤θ ≤ 2 π 11.

( 2,2 )

r =x + y → r= √ ( 2 +2 ) =√ 8=2.8 2

2

2

2

2

(2.8, π4 ) c

1

(−2.8, 54π ) c

2

y 2 π tan θ= →θ arctan =45 °= x 2 4 13.

(−3, 4 )

r= √ (−32 +4 2 )=5 y 4 tan θ= →θ arctan =−53.1 ° +180 °=126.86 ° x −3 15.

(−1,−√ 3)

(5,.70 π rad )c 1

(−5,1.7 π rad)c 2

√

2

r= ( −1 + (−√ 3 ) )=2 2

y − 3 tan θ= →θ arctan √ =60° +180 °=240 ° x −1

(2,

4 π ) c1 3 1 (−2, π ) c2 3

En los ejercicios 17 y 19 encontrar conjunto de coordenadas polares del punto dado en coordenadas rectangulares.

( 3,−2 )

17.

r= √ ( 3 +−2 )= √ 13 2

2

( √ 13 ,−.187 π) Coordenas

polares θ=arc tan

1.

y −2 → arc tan =−33.69° x 3

( 74 , 52 )

r= √ ( 1.752 +2.52 ) =3.05

(3.05,−.305 π rad) Coordenas

polares θ=arc tan

y 2.5 → arc tan =55 ° x 1.75

En los ejercicios 27, 31, 33, y 35 transformar la ecuación rectangular a la forma polar y trazar su gráfica.

2

2

y

x + y =9

27.



2



2

( r cos θ ) +(r sen θ) =9 2

2

2





2

r cos θ+r sen θ=9

x 

2







r=3

r =9











 



31. y=8 r sen θ=8 → r=

33.

8 →r =8 csc θ Forma polar sen θ

3 x− y +2=0 y 

θ r cos ¿−r sen θ+2=0 3¿

 

 x 

3 r cos θ−r sen θ+2=0







 

 

θ−sen θ 3 cos ¿=−2 r¿ r=

35.



−2 3 cos θ−sen θ Forma polar y 2=9 x

θ r sen ¿ ¿ ¿ ¿ r=9 cos θ csc 2 θ

Forma polar







En los ejercicios 41 y 43 pasar la ecuación polar a la forma rectangular y trazar su gráfica. r=θ

41.

y 

r=arc tan



y x

   x 

y x arc tan¿ ¿ ¿ r 2=¿





y x

2

)

r=3 sec θ

r cos θ= x r=3 secθ

x=3





2

r cos θ=3





√ ( x + y ) =arc tan xy

r =3 sec θ





(

43.





x 2+ y 2 = arc tan

2













11.6 SUPERFICIES EN EL PLANO En los ejercicios 1 al 6 asociar la ecuación con su grafica a), b), c), d) e) y f)

2

1-.

2

2

x y z + + =1 9 16 9

Elipse con centro en el origen, gráfica “C”

2 2 2 2-. 15 x −4 y +15 z =−4 Hipérbola de dos hoja, Grafica “E”

2 2 2 3-. 4 x − y + 4 z =4 Hipérbola de una hoja. Grafica “F”

4-.

y 2=4 x 2+ 9 z 2

2 2 2 Despeje: 4 x − y + 9 z =0 Cono elíptico eje en Y, grafica “B”

2 2 5-. 4 x −4 y + z =0 Paraboloide con eje en “y”, Grafica “D”

2 2 6-. 4 x − y + 4 z=0 Paraboloide hiperbólico con eje en “z”, grafica “A”

En los ejercicios 7, 9, 11,13 y 15 describir y dibujar la superficie. 7-. y=5

9-.

2

2

y + z =9

2 11-. x − y=0

15-. z-seny=0

19 y 23 Identificar y dibujar la superficie cuadrica. 19-.

x 2+

y2 2 + z =1 4

2 2 2 23-. 4 x − y −z =1 hiperboloide de 2 hojas.

11.7 Ejercicios 44, 40, 53, 55, 89, 90,92. 44) p=5

50) θ=3π/4

53) p=4cos θ

55) p=csc θ

89) r=5

90) θ=π/4 92)0=π/4