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• rosario huamán

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Solucionario

5. Un motor de Carnot trabaja entre las temperaturas T2 = 300 °K y T1 = 500 °K. Calcular el incremento del rendimiento o de la eficiencia cuando: a) La temperatura T1 aumenta en 50 °K b) La temperatura T2 disminuye en 30 °K c) La temperatura T2 disminuye en 50 °K Solución: El rendimiento térmico del motor de Carnot está dado por la relación: η = 1 - T2 T1 Por lo tanto, el rendimiento térmico para este caso será: η = 1 - 300 = 0.40 500 Luego: a) Cuando T1 = 500 + 50 = 550 °K, el nuevo rendimiento térmico es:

η = 1 - 300 = 0.4545 y por tanto el incremento del rendimiento será 550 Δη = 0.4545 - 0.4000 = 0.0545 = 5.45%

b) Cuando T2 = 300 - 30 = 270 °K, el nuevo rendimiento térmico es:

η = 1 - 270 = 0.460 y por tanto el incremento del rendimiento será 500 Δη = 0.460 - 0.4000 = 0.06 = 6.00%

c) Cuando T2 = 300 - 50 = 250 °K, el nuevo rendimiento térmico es:

η = 1 - 250 = 0.50 y por tanto el incremento del rendimiento será 500 Δη = 0.50 - 0.4000 = 0.10 = 10.00%

6. Un refrigerador de Carnot opera entre las temperaturas 250 °K y 300 °K y requiere 250 joules de trabajo por ciclo. Encontrar: a) El calor absorbido del reservorio o foco de baja temperatura. b) El calor emanado a la más alta temperatura c) El coeficiente de performance o eficiencia Solución: Sean T1 = 300 °K y T2 = 250 °K las temperaturas entre las cuales opera la máquina frigorífica; luego: a. De la relación de eficiencia: η = Q2 =

=

Q2 Q 1 - Q2

W

T2 T1 - T2

donde Q2 es el calor extraído o absorbido del foco calorífico más frio, Q1 es el calor deliberado al

foco calorífico más caliente y W = Q1 + Q2 el trabajo desarrollado durante el ciclo, se tiene que el calor absorbido será: Q2 =

T2 W T1 - T2

= 250 * 250 = 62500 = 1250 joules 300 – 250

50

b. El calor deliberado al reservorio de más alta temperatura será: Q1 = Q2 + W = 1250 + 250 = 1500 joules

c. La eficiencia de esta máquina térmica será: η=

T2 T1 - T2

=

250

= 5

300 - 250

7. a) Se pone en contacto 1 Kg de agua a 273 °K con un foco calorífico a 373 °K. Cuando el agua a alcanzado 373 °K, cuál es la variación de entropía del agua, del foco calorífico y del universo. b) Si se hubiera calentado el agua poniéndola primero en contacto con un foco calorífico a 323 °K y después con otro foco calorífico a 373 °K, ¿Cuál habría sido la variación de la entropía del universo. Solución:

Para el sistema que en este caso es agua, tenemos m = 1000 gr, su calor especifico c = 1 caloría/gramo °K y su temperatura To = 273 °K. a. Como el agua absorbe una cantidad de calor: Q = m * c * (T - To) = 1000 gr * 1 caloría * (373 - 273) °K = 100000 calorías gr °K, la variación de entropía es: ΔSagua = ∫

dQ T

T m c dT T

= ∫To

T

373

= m c ln To = 1000 ln 273 = 312 cal/ °K

Por otro lado el foco calorífico cede una cantidad de calor Q = 100000 calorías, por lo que su variación de entropía será: Q

ΔSfoco = - T = -

100000 373

= - 268 cal/ °K

Entonces la variación de entropía del universo será: ΔSuniverso = ΔSagua + ΔSfoco = 44 cal/ °K

b. Para este caso, el agua absorbe primeramente una cantidad de calor: Q = m * c * (T - To) = 1000 gr * 1 caloría * (323 - 273) °K = 50000 calorías gr °K, por lo que la variación de entropía correspondiente es: ΔSagua = ∫

dQ T

T m c dT T

= ∫To

T

323

= m c ln To = 1000 ln 273 = 168.18 cal/ °K

Para el primer foco calorífico, la variación de su entropía será: Q

ΔSfoco = - T = -

50000 323

= - 154.79 cal/ °K

Entonces la variación de entropía del universo será: ΔSuniverso = ΔSagua + ΔSfoco = 13.40 cal/ °K

Posteriormente en una segunda fase el agua absorbe una cantidad de calor Q = m * c * (T - To) = 1000 gr * 1 caloría * (373 - 323) °K = 50000 calorías gr °K,

y la variación de entropía es: ΔSagua = ∫

dQ T

T m c dT T

= ∫To

T

373

= m c ln To = 1000 ln 323 = 143.92 cal/ °K

Para el segundo foco calorífico se tiene que: ΔSfoco = -

Q T

= -

50000 373

= - 134.04 cal/ °K

Por lo tanto la variación de entropía del universo será: ΔSuniverso = ΔSagua + ΔSfoco = 9.88 cal/ °K Finalmente la variación de entropía del universo será: ΔStotal = 13.40 + 9.88 = 23.28 cal/ °K

8. Un calorímetro de cobre de 750 gramos que contiene 200 gramos de agua, está en equilibrio a una temperatura de 20 °C. Un Ing° Industrial coloca ahora 30 gramos de hielo a 0 °C dentro del calorímetro y cierra éste con una tapa aislante de calor. Calcular: a) ¿Cuándo todo el hielo haya sido derretido y el equilibrio haya sido alcanzado, cuál será la temperatura del agua? Calor especifico del Cu = 0.418 joules/gr-K. El hielo tiene una gravedad específica de 0.917 y su calor de fusión es 333 joules/gramo; es decir se requieren 333 joules para convertir 1 gramo de hielo en agua a 0 °C b) Calcular el cambio total de entropía resultante del proceso anterior. c) Después que todo el hielo se ha derretido y el equilibrio ha sido alcanzado, cuántos joules de trabajo mecánico debe suministrarse al sistema (por medio de una varilla agitadora) para restaurar toda el agua a 20 °C. Solución: a. Designamos:

Hielo

Agua

Calorímetro

Masa

mh = 30 gr

ma = 200 gr

mc = 750 gr

Calor especifico

Ch = 2.1 joules/gr °K

Ca = 4.18 joules/gr °K

Cc = 0.418 joules/gr °K

Calor de fusión del hielo = L = 333 joules/gramo Th = 0 °C = 273 °K

Ta = Tc = 20 °C = 293 °K La temperatura final T del agua puede ser calculada relacionando los calores intercambiados en el sistema. El calor recibido para derretir el hielo es mhL y el calor intercambiado es Q = m c ΔT Por tanto, el calor ganado por el hielo debe ser igual al calor perdido por el agua y el calorímetro: mhL + mh Ca (T - 273) = ma Ca (293 - T) + mc Cc (293 - T) (30) (333) + 30 (4.18) (T - 273) = 200 (4.18) (293 - T) + 750 (0.418) (293 - T) de donde T = 283 °K = 10 °C

b. El cambio de entropía cuando se funde el hielo es: ΔShielo = mhL Th y el cambio de entropía para el agua y el hielo está dada por la siguiente expresión: Tf dT

ΔS = m c ∫Ti

T

= m c ln

Tf Ti

Por consiguiente, el cambio total de entropía resultante del proceso de la parte a) es: ΔSt = mhL + mhch ln

T Th

+ maca ln

T Ta

+ mccc ln

T Tc

Th ΔSt = 30 * 333 + 30 * (2.1) ln

283 273

+ 200 * (4.18) ln

283 293

+ 750 * (0.418) ln

283 293

= 1.6 joules/ °K

273

El trabajo realizado por el sistema es la cantidad de calor que tomaría para levantar la temperatura del agua hasta 20 °C o 293 °K. Para este caso la masa de agua es ya ma = 200 + 30 = 230 gr. Por lo tanto, el trabajo realizado es: W = Q = maca (Ta – T) + mccc (Tc – T) = 230 (4.18) (293 – 283) + 750 (0.418) ( 293 – 283) = 12750 joules

9. Un litro de agua en un vaso de Dewar es súper enfriado a la temperatura de -2 °C. Luego súbitamente cambia a una mezcla de hielo y agua a 0 °C. Calcular el cambio de entropía dado que el calor latente de fusión del hielo es 79.89 calorías/gramo. Solución: Asumiendo que todo el hielo se forma a la temperatura de 0 °C = 273.15 °K, entonces la cantidad de calor necesaria para calentar el agua desde – 2 °C hasta 0 °C es:

Qa = mc (Tf – Ti) = 1 Kg * 1 cal/gr °C * ( 2 °C) = 2000 cal

Entonces se formará una masa de hielo

mh = Qa = 2000 cal L

= 25.034 gr

79.89 cal/gr

Entonces el incremento de entropía del agua será:

Tf dT T

ΔSa = m c ∫Ti

Tf

273.15

= m c ln Ti = 1000 ln 271.15 = 7.349 cal/ grado

Igualmente la disminución de entropía del hielo es:

ΔShielo = Qa = 2000 cal = 7.322 cal/grado Th

273.15 °K

Entonces el incremento de entropía del universo debido al proceso irreversible es:

ΔS = ΔSagua + ΔShielo = 0.027 cal/ °K

ya que ΔShielo es negativo

10.¿Cuál es la diferencia de entropía entre un mol de N2 en condiciones tipo y un mol de N2 a 200 °C cuando el volumen molar es de 50 litros? Suponer que Cp es 7/2 R y que el N2 se comporta idealmente.

Solución: Tenemos: n = 1 mol

T1 = 273 °K

P1 = 1 atm

Vm = 50 L

T2 = 473 °K

P2 = ?

Cp = 7/2 R

Calculando P2

PV = nRT

P V = RT

PVm = RT

n

P2 = RT = 0.0821 * 473 °K = 0.776 atm = 0.78 atm Vm

50 L/mol

Calculando ΔS ΔS = n Cp ln T2 - n R ln P2 T1

P1

= 1 mol * ( 7 * 1.987 2

cal

) ln 473 - 1 mol * 1.987 cal

mol grado

273

* ln 0.78

mol grado

1

= 3.81 – (-0.49) = 4.30 cal/grado

11.Una máquina térmica opera en un ciclo reversible que consta de las etapas siguientes: a. Una compresión adiabática desde un volumen V1 a T1 a otro V2 a T2 b. Calentamiento a V2 constante desde una temperatura de T2 a T3 c. Expansión adiabática desde un volumen V2 a la temperatura T3 al volumen V1 y a la temperatura T4 d. Enfriamiento a V1 constante desde la temperatura T4 a la T1 Si tomamos n moles de sustancia de trabajo que consideraremos como un gas ideal para el cual Cv es constante, demostrar que en un ciclo completo ΔS = 0

Solución: ΔSc = ΔS1 + ΔS2 + ΔS3 + ΔS4

ec a)

Cv = Constante a) Compresión adiabática desde V1 , T1

V2 , T2

ΔS1 = n Cv ln T2/T1 + nR ln V2/V1

b) Calentamiento a V2 constante desde T2 a T3 0 ΔS2 = n Cv ln T3/T2 + nR ln V3/V2

c) Expansión adiabática desde V2 , T3 ΔS3 = n Cv ln T4/T3 + nR ln V1/V2

V1 , T4

d) Enfriamiento a V1 constante desde T4 a T1 ΔS4 = n Cv ln T1/T4

Reordenando términos y reemplazando en la ec a)

ΔSc = n Cv (ln T2 – ln T1) + nR(ln V2 – ln V1) + n Cv (ln T3 – ln T2) + n Cv (ln T4 – ln T3) + nR(ln V1 – ln V2) + nCv(ln T1 – ln T4)

ΔSc = 0

12.Un mol de gas ideal a = °C y 1 atm de presión, se mezcla adiabáticamente con otro mol del mismo gas, a 100 °C y 1 atm y la mezcla conserva esa misma presión. Si Cv es 5/2R cal/mol grado, ¿cuál es el valor de S para el proceso. Solución: Gas 1

Gas 2

n = 1 mol

n = 1 mol

T1 = 273.15 °K

T1’ = 373.15 °K

P1 = 1 atm

P1’ = 1 atm

Cp = 5/2 R = 5/2 ( 1.987 cal/mol grado ) = 4.968 cal/mol grado Pfinal = 1 atm  Cálculo de la Tfinal: El calor cedido por el gas caliente es el calor que absorbe el gas frío q1 = - q2 nCp(T2 – T1) = - n’Cp(T2 – T1’) 1 mol * 4.968 (T2 - 273.15) = - 1 mol * 4.968 (T2 - 373.15) T2 = 323.17 °K El ΔStotal será igual al ΔSmezcla más el ΔS por cambio de T° de cada gas. En el cálculo del ΔSm consideraremos las fracciones molares de cada porción de gas, como si fuesen diferentes gases: Gas A ( 0 °C) 

Gas B ( 100 °C)

ΔS del gas A: a Presión constante ΔS = 1 * 4.968 ln 323/273

ΔS = nCp ln T2/T1

T1 = 273 °K T2 = 323 °K

ΔS = 0.83 cal/grado



ΔS del gas B

T1 = 100 °C = 373 °K

ΔS = 1 * 4.968 ln 323/373 ΔS = - 0.715 cal/grado



ΔSmezcla ΔSm = - (nA R ln xA + nB R ln xB)

nA = 1 mol nB = 1 mol

xA = xB =

1 mol

= 0,5 mol

( 1 + 1) mol

ΔSm = - (1* 1,987 ln 0.5 + 1* 1,987 ln 0.5) ΔSm = 2.754 cal/grado ΔStotal = 0.83 – 0.715 + 2.754 = 2.87 cal/grado

T2 = 323 °K