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• Yury Natalia Rodriguez Romaero

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Propongamos Calculo Diferencial Eje 4

Eje 4 - Propongamos Ian Capelli Vicoli, Andrés Gerardo Serrano Ticora, Laura Camila Delgadillo Calderón. Calculo Fundación Universitaria Areandina Noviembre 20 de 2019

Notas del autor Ian Capelli Vicoli, Andrés Gerardo Serrano Ticora, Laura Camila Delgadillo Calderón, Ingeniería de Sistemas, Fundación Universitaria Areandina La correspondencia relacionada con este trabajo debe ser dirigida a nombre de Ian Capelli Vicoli, Andrés Gerardo Serrano Ticora, Laura Camila Delgadillo Calderón, Fundación Universitaria Areandina, Calle 69 #15-40, Bogotá.

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Actividad evaluativa eje 4 Caso problema A continuación, se presentan tres casos problema que muestran formas de maximizar una función de variable real, haciendo uso de las derivadas en diferentes contextos. Se explica el contexto en cada caso y se proponen unas actividades al final de cada explicación.

Epidemiología. En los estudios epidemiológicos realizados en determinada población se ha descubierto que el número de personas afectadas por cierta enfermedad viene dado por la función: 𝐸(𝑑) = −3𝑑2 + 72𝑑 + 243. Donde d es el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad. A continuación, aparece la gráfica de la función, donde el eje vertical representa número de personas afectadas, y el eje horizontal representa el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad.

Determine: ● El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad. ● El número máximo de personas afectadas. ● Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad.

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Solución: ● El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad. Esto es cuando 𝐸(𝑑) = 0 es decir −3𝑑2 + 72𝑑 + 243 = 0. Por lo que −3𝑑2 + 72𝑑 + 243 = 0 −3(𝑑2 − 24𝑑 − 81) = 0 𝑑2 − 24𝑑 − 81 = 0 (𝑑 − 27)(𝑑 + 3) = 0 Luego (𝑑 − 27) = 0 ó (𝑑 + 3) = 0 Por lo que 𝑑 = 27 ó 𝑑 = −3

Teniendo en cuenta que no se toma días negativos, por consiguiente, el número de días que la enfermedad desaparezca es de 27 días.

● El número máximo de personas afectadas. Haciendo la derivada de 𝐸(𝑑) = −3𝑑2 + 72𝑑 + 243 obtenemos que 𝐸′(𝑑) = −6𝑑 + 72 y mirando cuando 𝐸′(𝑑) = 0, es decir −6𝑑 + 72 = 0

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−6𝑑 + 72 = 0 −6𝑑 = −72 𝑑= 𝑑 = 12 Luego el número máximo de personas afectadas es a los 12 días, y evaluando la función original tenemos 𝐸(12) = −3(12)2 + 72(12) + 243 = −3(144) + 864 + 243 = −432 + 1107 = 675. Por lo que el máximo número de personas que fueron afectadas es 675 personas.

● Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad. De punto anterior tenemos que 𝐸′(𝑑) = −6𝑑 + 72, donde toca mirar cuando es positiva y cuando es negativa. Cuando es positiva eso significa que es creciente, para saber dónde es creciente, tomamos la siguiente desigualdad 𝐸′(𝑑) > 0 es decir −6𝑑 + 72 > 0. −6𝑑 + 72 > 0 −6𝑑 > −72 𝑑
𝑑 > 12 Luego el intervalo de crecimiento es (12, ∞) pero como estamos los días que la enfermedad desaparece en hasta los 27 días; por lo que al final la enfermedad crece en el intervalo (12,27].

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Medio ambiente. La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función 𝐶(𝑥) = 100 + 12𝑥 − 0,5𝑥2

donde 𝑥 es el tiempo transcurrido desde el primero de enero de 2001 contado en años. ● Determine el dominio y el rango de 𝐶(𝑥). ● Elabore el gráfico de 𝐶(𝑥) usando GeoGebra. ● Seleccione un punto de la gráfica de 𝐶(𝑥), luego calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. Interprete el resultado gráficamente y en el contexto del problema. ● ¿Cuál es la concentración máxima de ozono que se alcanza en esa ciudad?

Solución: Tenemos la función que es esta: 𝐶(𝑥) = 100 + 12𝑥 − 0,5𝑥2 Ordenar la ecuación

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𝐶(𝑥) = −0,5𝑥2 + 12𝑥 + 100 Encontrar el punto máximo igualando la segunda derivada a 0 y validando dicho punto en la ecuación inicial. 𝐶´(𝑥) = −𝑥 + 12 −𝑥 + 12 = 0 𝑥 = 12 𝐶(12) = −0,5(12)2 + 12(12) + 100 𝐶(12) = −72 + 144 + 100 𝐶(12) = 172 Punto máximo [12,172] Teniendo en cuenta el eje x como tiempo y el eje y como microgramos por metro cuadrado, es decir valores inexistentes en negativo podemos plantear los puntos mínimo. 𝐶(𝑥) = −0,5𝑥2 + 12𝑥 + 100 Entonces

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

Tenemos dos puntos de solución 𝑥1 = 30.54 𝑥2 = −6.54

𝑥1 = 30.54 es el punto máximo en tiempo donde existe microgramos por 𝑚2

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Con estos datos claros resolvemos los puntos solicitados.

● Determine el dominio y el rango de 𝐶(𝑥). Dominio [0,30.54] Rango [0,172] ● Elabore el gráfico de 𝐶(𝑥) usando GeoGebra.

● Seleccione un punto de la gráfica de 𝐶(𝑥), luego calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. Interprete el resultado gráficamente y en el contexto del problema. Punto [12,172] Ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 − 𝐶(𝑥0) = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) Donde 𝑚 = 𝐶´(𝑥0)

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𝑚 = −𝑥 + 12 𝑚 = −12 + 12 𝑚=0 Validamos el punto 𝐶(𝑥0) 𝐶(𝑥0) = −0,5(12)2 + 12(12) + 100 𝐶(𝑥0) = −72 + 144 + 100 𝐶(𝑥0) = 172 𝑦 − 172 = 𝑚(𝑥 − 12) 𝑦 − 172 = 0(𝑥 − 12) Ecuación de la curva 𝑦 = 172

● ¿Cuál es la concentración máxima de ozono que se alcanza en esa ciudad? Teniendo el punto máximo el año 2013 con 172 microgramos por metro cúbica la concentración máxima es en el punto [12,172] Transporte. Una compañía de autobuses metropolitanos ha comprobado que el número de viajeros diarios, 𝑉, es función del precio del billete, 𝑝, según la expresión: 𝑉(𝑝) = 400 − 8𝑝 ● Determine el dominio y el rango de 𝑉(𝑥). ● Elabore el gráfico de 𝑉(𝑥) usando GeoGebra. ● Determine la expresión que nos proporciona los ingresos diarios, 𝐼(𝑝), de esa compañía en función del precio del billete. Recuerde que los ingresos se calculan como el producto del número de viajeros y el precio. ● Elabore el gráfico de 𝐼(𝑥) usando GeoGebra. ● ¿Cuál es el precio del billete que hace máximo los ingresos diarios? ¿Cuáles son esos ingresos máximos? Solución ● Determine el dominio y el rango de 𝑉(𝑥).

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Dominio: Vemos que la función 400 − 8p no tiene alguna restricción, luego se puede meter cualquier número, es decir el dominio de 𝑉 es todos lo reales. Rango: La función puede tomar cualquier número real, por lo que podemos decir que el rango de la función son todos los reales. ● Elabore el gráfico de 𝑉(𝑥) usando GeoGebra.

● Determine la expresión que nos proporciona los ingresos diarios, 𝐼(𝑝), de esa compañía en función del precio del billete. Recuerde que los ingresos se calculan como el producto del número de viajeros y el precio. Recordemos que 𝑉(𝑝) es el número de viajeros y que la variable 𝑝 es el precio del billete, por lo que si 𝐼(𝑝) es el producto del número de viajeros y el precio, entonces 𝐼(𝑝) = 𝑉(𝑝) ∙ 𝑝 = (400 − 8𝑝)𝑝 = 400𝑝 − 8𝑝2 . Por lo que 𝐼(𝑝) = 400𝑝 − 8𝑝2 . ● Elabore el gráfico de 𝐼(𝑥) usando GeoGebra.

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● ¿Cuál es el precio del billete que hace máximo los ingresos diarios? ¿Cuáles son esos ingresos máximos? Primero, calculamos la derivada de la función 𝐼(𝑝) = 400𝑝 − 8𝑝2 obtenemos que 𝐼′(𝑝) = 400 − 16𝑝. Mirando cuando 𝐼′(𝑝) = 0 que seria 400 − 16𝑝 = 0, despejando 𝑝 obtenemos que 400 − 16𝑝 = 0 400 = 16𝑝 400 =𝑝 16 25 = 𝑝 𝑝 = 25 Luego el precio del billete debe ser de 25 para que alcance el máximo de ingresos diarios. Segundo, calculado 𝐼(𝑝) cuando 𝑝 = 25 se consigue que 𝐼(25) = 400(25) − 8(25)2 = 10000 − 8(625) = 10000 − 5000 = 5000 Luego los ingresos máximos son de 5000.