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I N T E R E SC O M P U E S T O

1+i:

e ' , d o n d e i= i .

=6

J ( - )

1!;-

5 - In(\ + i)

de donde

El valor de 6 se conoce con el nombre de t'uerzndel interés,y es la tasacontinua de crecimiento de una unidad de capital en una operación financiera; en tanto que la tasa efectiva es el interés por unidad de capital en un periodo. fiftffi&!fln del8%.

Hallar el valor de la fuerza de interésque correspondaal interéscompuesto

6:ln(l +i) :¡r11 +0,08):/n1,0u 6 : 0,07695;7,695%' H a l l a r e l v a l o r f u t u r o d e 9 5 . 0 0 0 e n l 0 a ñ o( as ): a l a t a s a e f e c t i v a d6e% l , ( b )a l a [ftffi[Ellfl tasadel 6% concapitalización mensual,(c)a la tasacontinuadel6%. \a)

- $8.9s4,24 F : 5.000(1+ 0,06)"']= 5.000(1,7908477)

(b)

0.06\''' / =s.000(1,81e3e673)=$e.0e6,e8 F : 5.000 t*, [ J

(c)De:1+i-c6,i:e6-1 Sustituyendo en F : 5.000(1+ i)", se tiene: ¡ = 5.000(e6)": 5.000e'ó Remplazando los valores de n y 6, se tiene: - 5.000et),6 f : 5.69¡.tr¡0,{h) Calculando etr6por medio de logaritmos, se tiene: F = $9.110,60

4.I I

PROBTEMASRESUELTOS 1. ZQuébancoesaconsejable paradepositardinerosen cuentacorriente:A que ofreceel 7% concapitalizacióntrimestral,o B que ofreceel 7/n% con capitalizaciónsemestral? La mejor ofertaesla que correspondaa la mayor tasaefectivaanual.

MATEMATICAF SI N A N C I E R A S

i=(r+ *)'' -,

BancoA:

j : 0,07;m = 4;

i

:0,0175quecorresponde al 1j%

i

Utilizando calculadora: i:(1

+0,077s)1_7

t : 7,07185903- 1 : 0,07185903 - 7,785903%

Tasa efectiva BancoB:

j : 0 , 0 7 2 5m ; :2,

Li : 0 , 0 3 6 2 5q u e c o r r e s p o n d ea l 3 f %

Valor que no figura en la tabla I de este libro. Mediante calculadora: 1 + l:

(1 + 0,03625)r

1+i:1,073874 i : 0,073874 Tasaefectiva : 7,38% Respuesta:es mejor la oferta del banco Il. C a l c u l a r e l v a l o r f u t u r o d e $ 6 . 0 0 0 d e p o s i t a d o s a l 9 , X ,d e i n t e r r é sc o m p u e s t o , capitalizablesemestralmentedurante 14 años 6 meses. /

Alg,ebraicaF = Plr*

i

i,, )1" " '

j Estándar r =p( r i p, %,,,,r,) \,n) : ttt: 2; L: P: $6.000; clecapitalizaciiin i: 0,09perioclos tt :

t ¡

I4j

|

años; ttut : 29

F : 6.000(1 + 0,045)2,

jn); O,O+5,(+

I N T E R E SC O M P U E S T O

Utilizando tabla I o calculadora: F : 6.000(3,58403649) F :921.s04,22 una personaobtiene un préstamode $30.000a 5 años, con un interés del g% capitalizable semestralmente. Calcularel valor futuro que debe pagar en la fecha de vencimiento.

p=$3o.ooo;/=o,o mg=; 2 ; L = o , o 4 ;t t = S ftt

Estándar

F : 30.000(r/P,4%,10)

Algebraica

F : 3 0 . 0 0 0 ( 1+ 0 , 0 4 ) ' 0 F : 30.000(7,48024428) F : $44.407,34

4. Calcularel valor futuro de $5.000al 6%, con capitalizaciónmensualen 6 años 3 meses. p = $ 5 . 0 0 0 ;= 0 , 0 6 ; t t t = t \ ; , = O - ? U =0,005=:%, J ilr

ll

3 I r l\ = 12164)= rt = 6¡= 64 año;rtut 75periodos Estándar Algebraica

F : s.000(F/P, 0,s%,, 7s) F : 5.000(l + 0,005)?' F : s.000(1,45363252) F : $7.268,76

5. Calcular el valor futuro en el problema anterio4 para 30 año¡. Sólo varía el número de periodos; m : 12; tt = 30: mn = 360. Estándar

F : 5.000(F/P, 0,5%,360)

Algebraica

F : s . 0 0 0 ( 1+ 0 , 0 0 5 ) % 0 F : 5.000(6,022575272) F : $30.112.88

Si se deseacalcularutilizando tablas,la I sólo tiene valores hasta n = 50, para í : \%, "l factor es 1,28322587.El exponente 360 se puede descomponer en 7 sumanclos50

M A T E M Á T I C AF SIN A N C I E R A S

más 10; esto conduce a que es necesariomultiplicar el valor 7,28322587como facque constituye el factor para tor 7 r'ecesv el resultado multiplicarlo por 1,05114013 - 360j Esta fue una forma de rr : 10, i : ]%, obteniendo así el factor para il calcular antes"de la era de las calculadoraselectrónicas;hoy resulta absurdo emplear este método (aénscel ejemplo 4.2). 6. En un juicio civil por cobro de una deuda de $12.000,el juez falla ordenando el pago de la cantidád acleudada con acumulación anual de interesesa\ 8,3% por 4 anós,contaclos

22 1 c's a

1,40000000 1,3875637t'l

al r., LLTA

7,40837715 1,387s6370

22

0,02081345 como

ES

0,07243630

2081345 7243630 1243630- , t 2087345 =22,5975 6n

qqTq

n :3,766 años: 3 años9aeses6 dí.is

M A T E M Á T I C AF SI N A N C I E R A S

y función lrr' 16. Resolverel problema Ne 15, utilizando calculadoracon memoria

= 7,4 (1 + 0,015)6' 6n In 1.,0L5: In 1.,4 entra a memoria In 1,01'5: 0,0148886 ¡rr1,4+ MR = 22,599302 :22,599302+ 6:3,767 :3añosgmeses6días

4.12

PROPUESTOS PROBLEMAS 17. Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100,para 10 años: (¡t) al5% efectivo anual (b) al 5% capitalizablemensualmente (c) al 5% capitalizabletrimestralmente (d) al 5% capitalizablesemestralmente 18. Hallar el valor futuro a interés compuesto de: (n) $5.000al6% caPitalizablesemestralmenteen 20 años al7% capitalizable semestralmente en 70 años i¿rj S¿.OOo (c) $9.000alTt/z%capitalizabletrimestralmente en 12 años al6/z% capitalizablemensualmente en 30 años i¿l $S.OOO durante 10 1g. Hallar el vF de $20.000depositados al 8%, capitalizablesanualmente años 4 mesesen forma: (ru)teórica, (b) comercial' 20.HallarelVFde$10.000depositadosa].8%,capitalizablestrimestralmentedurante 32 años 7 meses22 días. cuando no se Nota En los problemas, se suPone que se trata del vF comercial, especifiquealgo distinto. caja de ahorros que paga 21. Una persona deposita $3.000el22 deabril de 1995,enuna diciembre de cada año' de el6/o, capitalizatlesemestralmenteel 30 de junio y el 31 ZCuánto podrá retirar el 14 de noviembre del2002? trimestralmente' El 1a 22. lJnbanco pagaba el 5% de interés comPuesto,capitahzable semestralmente' de enero d,e 7996modificó la tasa, elevándola aI7/" capitalizable un depósito de 2016, Calcular el monto compuesto que tendrá el 1q de enero del S10.000,efectuado el 1q de abril de 1993'