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Cálculo Diferencial - Actividad Evaluativa Eje 4 – Grupo 011 CALCULO DIFERENCIAL Optimización de funciones de variable real.

Cristian Rafael Olmos Figueroa Diego Avellaneda Hugo Armando Zambrano Crespo Oscar Eduardo Sánchez Infante.

Profesor: Danilo De Jesús Ariza Agá

Universidad Areandina Ingeniería de Sistemas Grupo 011 Año 2020

Cálculo Diferencial - Actividad Evaluativa Eje 4 – Grupo 011 Actividad evaluativa eje 4 Caso problema A continuación, se presentan tres casos problema que muestran formas de maximizar una función de variable real, haciendo uso de las derivadas en diferentes contextos. Se explica el contexto en cada caso y se proponen unas actividades al final de cada explicación.

Epidemiología. En los estudios epidemiológicos realizados en determinada población se ha descubierto que el número de personas afectadas por cierta enfermedad viene dado por la función: 𝐸(𝑑) = −3𝑑 + 72𝑑 + 243. Donde 𝑑 es el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad. A continuación, aparece la gráfica de la función, donde el eje vertical representa número de personas afectadas, y el eje horizontal representa el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad.

Cálculo Diferencial - Actividad Evaluativa Eje 4 – Grupo 011 Determine: ● El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad. 𝐸(𝑑) = 𝑑 + 72𝑑 + 243

La epidemia desaparece cuando E (d) = 0 →0 = − 3 𝑑 + 72𝑑 + 243

→𝑑= 𝑑=

± (

) (

(

)(

)

)

=

±√

−72 ± √8100 −72 ± 90 = −6 −6

𝑑 =

−72 + 90 = −3 −6

𝑑 =

−72 − 90 = 27 −6

Tomando el día positivo 𝒅 = 𝟐𝟕 día que desaparece la epidemia ● El número máximo de personas afectadas. 𝐸(𝑑) = −3𝑑 + 72𝑑 + 243 𝐸 , (𝑑) = −6𝑑 + 72 = 0 → −6𝑑 + 72 = 0

𝑑=

= 12 → Día máximo de contagio

→ 𝐸(12) = −3(12) + 72(12) + 243 𝐸(12) = −432 + 864 + 243 𝐸(12) = 675 → Número máximo de personas contagiadas

● Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad. Dominio de la función= desde el día cero hasta el día que desaparece la epidemia (27)

Dominio= [0,27] Punto crítico D = 12 Intervalos → [0,12] y [12,27] Valor de prueba de intervalo [0,12] ; 𝑑 = 1 → 𝐸 , = 66 > 0

Cálculo Diferencial - Actividad Evaluativa Eje 4 – Grupo 011 Valor de prueba de intervalo[12,27]; 𝑑 = 13 → 𝐸 , (13) = −6 < 0 → [0,12] → 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 → [12,27] → 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

Medio ambiente. La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función 𝐶(𝑥) = 100 + 12𝑥 − 0,5𝑥

donde 𝑥 es el tiempo transcurrido desde el primero de enero de 2001 contado en años. ● Determine el dominio y el rango de 𝐶(𝑥).  Dominio: El dominio para la función −0.5𝑥 + 12𝑥 + 100 es el conjunto de los números reales ℝ (−∞, ∞).  Rango: Para encontrar el rango de la función cuadratica encontramos el vertice de la misma mediante la siguiente formula: 𝑉=

−𝑏 −𝑏 ,𝑓 2𝑎 2𝑎 𝑥=

𝑥=

−𝑏 2𝑎

−(12) −12 = = 12 2(−0.5) −1

𝑦 = −0.5(12) + 12(12) + 100 𝑦 = −0.5(144) + 144 + 100 𝑦 = −72 + 144 + 100 = 172 El rango para esta funcion esta definido por: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = (−∞, 172]

Cálculo Diferencial - Actividad Evaluativa Eje 4 – Grupo 011 ● Elabore el gráfico de 𝐶(𝑥) usando GeoGebra.

● Seleccione un punto de la gráfica de 𝐶(𝑥), luego calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. Interprete el resultado gráficamente y en el contexto del problema. P(-6,10) 

Verificar si el punto existe en la función evaluando la mismo en la coordenada 𝑥 = −6: 𝑓(−6) = −0.5(−6) + 12(−6) + 100 𝑓(−6) = −0.5(36) − 72 + 100 𝑓(−6) = −18 − 72 + 100

Cálculo Diferencial - Actividad Evaluativa Eje 4 – Grupo 011 𝑓(−6) = −90 + 100 = 10 

Derivar 𝑓(𝑥): 𝑓(𝑥) = −0.5𝑥 + 12𝑥 + 100 𝑓 `(𝑥) = −𝑥 + 12



Encontrar la pendiente: 𝑚 = −𝑥 + 12 𝑚 = −(−6) + 12 𝑚 = 6 + 12 = 18



Ecuación de la recta tangente: 𝑦 − 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥 ) 𝑦 − 10 = 18(𝑥 − (−6)) 𝑦 − 10 = 18(𝑥 + 6) 𝑦 − 10 = 18𝑥 + 108 𝑦 = 18𝑥 + 108 + 10 𝑦 = 18𝑥 + 118

Cálculo Diferencial - Actividad Evaluativa Eje 4 – Grupo 011

Cálculo Diferencial - Actividad Evaluativa Eje 4 – Grupo 011

Como podemos visualizar la función en el punto (-6,10) es creciente debido a que la concentración de ozono contaminante aumenta. ● ¿Cuál es la concentración máxima de ozono que se alcanza en esa ciudad? La concentración maxima de ozono es 172 y se obtiene al realizar la primera derivada y reemplazando en la función original el resultado obtenido de x: 𝑓(𝑥) = −0.5𝑥 + 12𝑥 + 100 𝑓´(𝑥) = −𝑥 + 12

𝑓(12) = −0.5(12) + 12(12) + 100

Cálculo Diferencial - Actividad Evaluativa Eje 4 – Grupo 011

𝑓(12) = −0.5(144) + 144 + 100 𝑓(12) = −72 + 144 + 100 = 172 El máximo de consentración de ozono se presenta en el punto (12,172), realizamos la segunda derivada para confirmar que este es el punto máximo. 𝑓´(𝑥) = −𝑥 + 12 𝑓´´(𝑥) = −1 Como se visualizo la segunda derivada nos negativo, por lo tanto es correcto afirmar que el máximo se encuentra en el vector (12, 172)

Cálculo Diferencial - Actividad Evaluativa Eje 4 – Grupo 011 Transporte. Una compañía de autobuses metropolitanos ha comprobado que el número de viajeros diarios, 𝑉, es función del precio del billete, 𝑝, según la expresión: 𝑉(𝑝) = 400 − 8𝑝 Determine: 

El dominio y el rango de 𝑉(𝑥)

17 - 264 ,16 – 272, 15 – 280, 14 – 288, 13 – 296, 12 – 304, 11 – 312, 10 – 320, 9 - 328, 8 - 336, 7 – 344, 6 – 352, 5 – 360, 4 – 368, 3 – 376, 2 – 384, 1 - 392, 0 - 400

El dominio de V(p) es 0≤p≤ ∞ - El rango de la función V(p) 0≤V(p)≤. 400 ● Elabore el gráfico de 𝑉(𝑥) usando GeoGebra.

Cálculo Diferencial - Actividad Evaluativa Eje 4 – Grupo 011 ● Determine la expresión que nos proporciona los ingresos diarios, 𝐼(𝑝), de esa compañía en función del precio del billete. Recuerde que los ingresos se calculan como el producto del número de viajeros y el precio.

𝐼 (𝑝) = 𝑉 (𝑝) ∗ 𝑝 𝐼 (𝑝) = (400 − 8𝑝) ∗ 𝑝 𝐼 (𝑝) = 400𝑝 − 8𝑝 Primera Derivada 𝐼′(𝑝) = 400 − 16𝑝 Segunda Derivada 𝐼′′(𝑝) = −16 𝐼′′(25) = −16 < 0 ● Elabore el gráfico de 𝐼(𝑥) usando GeoGebra. Máximo en precio billete 25 y Máximo de Ingreso Diario 5000

Cálculo Diferencial - Actividad Evaluativa Eje 4 – Grupo 011 Grafica en vista sobre punto A = 25 Máximo de Billete.

Cálculo Diferencial - Actividad Evaluativa Eje 4 – Grupo 011 ● ¿Cuál es el precio del billete que hace máximo los ingresos diarios?

Igualando a Cero 400 − 16𝑝 = 0 400 𝑝= 16 400 𝑝= = 25 16 𝑝 = 25 ● ¿Cuáles son esos ingresos máximos?

𝐼 (𝑝) = 400𝑝 − 8𝑝 𝐼 (25) = 400(25) − 8(25) 𝐼 (25) = 10000 − 8(625) 𝐼 (25) = 10000 − 5000 𝐼 (25) = 5000