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• Luis Fuentes Dias

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Nombre curso Instituto IACC Fecha

Desarrollo Dado el siguiente circuito eléctrico de tipo RLC, que corresponde a un tablero industrial para regular la corriente y el voltaje de una planta de ensamblaje, se requiere:

Donde: R = 20 Ohm L = 500 mH C = 500 uF Vi(t) = Entrada (escalón unitario) Vo(t) = Salida. a) Establezca el modelo matemático, explicando paso a paso la obtención del mismo. El circuito está compuesto por la entrada que es una fuente de voltaje indicada por Vi(t), una resistencia R, una bobina L y un capacitor C, dichos componentes están conectados en serie por lo que la corriente que pasa por ellos es la misma, la salida de interés es el voltaje en el capacitor representada por VC(t). 

El voltaje en una resistencia está dado por: valor de la resistencia por la corriente que fluye a través de la resistencia.

VR(t)= Ri(t) 

El voltaje en una bobina está dado por: valor de la bobina por la derivada de la corriente que fluye a través de dicha bobina.

VL(t)= L 

di(t) dt

El voltaje en un capacitor esta dado por: el inverso de la capacitancia por la integral de la corriente que pasa por el capacitor.

t

VC(t)=

1 ∫ i ( t ) dt C 0

Usando la ley de voltaje de Kirchhoff.

 Vi(t)= VR(t) + VL(t) + VC(t) Reemplazando se obtiene la ecuación principal: t

di(t) 1 Vi(t)= Ri(t) + L + ∫ i ( t ) dt dt C 0 Como la salida de interés es el voltaje del capacitor, derivamos con respecto al tiempo y multiplicamos ambos lados por C para obtener gracias al teorema fundamental del cálculo la siguiente ecuación. t

1 VC(t)= ∫ i ( t ) dt C 0

i(t)= C

dVc(t) dt

Ahora reemplazamos la corriente en la ecuación principal. En el caso del voltaje en la bobina la derivada de la corriente deriva a la derivada del voltaje en el capacitor dando como resultado una segunda derivada con respecto al tiempo

d 2 Vc ( t ) dVc(t) Vi(t)= R C +LC + VC(t) dt d t2 b) Construya en XCOS el diagrama de bloques y ejecute el modelo matemático. Considere la ecuación del sistema como:

Demuestre adjuntando: a. Gráfica de la señal de salida. b. Archivo en formato XCOS

Lo primero que debe hacerse en XCOS es definir la salida del sistema despejando su máxima derivada. Esto a partir de la ecuación descrita anteriormente

Vi(t)= R C

dVc(t) d 2 Vc ( t ) +LC + VC(t) dt d t2

d 2 Vc ( t ) V i(t) V c( t) R dVc(t ) = LC LC L dt d t2



Diagrama de bloques



Gráfica de la señal de salida

Como se observa en la gráfica el capacitor esta descargado en el tiempo 0, luego este comienza a cargarse teniendo un pico de carga en 1.35, para luego con el pasar del tiempo (tiempo muy ínfimo) para estabilizarse a 1 y mantenerse linealmente constante.

c) Mencione una característica de linealidad del sistema presentado.

Vi(t)= R C 

d 2 Vc ( t ) dVc(t) +LC + VC(t) dt d t2

Aplicamos la transformada de Laplace a sistema presentado:

Vi ( s )=L C [ s2 Vc ( s )−sVc ( 0 )−Vc ( 0 ) ]+ R C [ sVc ( s )−Vc ( 0 ) ] +Vc( s) 

Se debe considerar que las condiciones iniciales son nulas, cuando t=0.

Vc(0)= Vc’(0)=0 

obteniendo Vi ( s )=L C s2 Vc ( s ) + R C s ¿

Vc( s) 1 = 2 Vi ( s ) ( LC s + R C s+1 )

Bibliografía IACC (2020) Modelado matemático. Sistema de control 1. Semana 4 Software scilab 6.0.2, descargado de www.scilab.org