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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA INGENIERIA AGROINDUSTRIAL- INGENIERIA INDUSTRIAL MATEMATICA III SESION 3 DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCION DE 2 VARIABLES DEFINICION DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN Z = f(x,y) EN UN x , y ¿∈ PUNTO ( 0 0 D. Sea D⊂

R2

→

R una función de dos variables con valores reales. Entonces las derivadas

parciales de f en el punto P = ( a)

∂f ∂ x (P)=

lim

h→0

x0, y0 ¿

∈

U se definen del siguiente modo:

f ( x 0 +h , y 0 )−f ( x 0 , y 0 ) , h ≠ 0, h

h=∆ x=x−x 0 Siempre que exista el limite

b)

∂f ∂ y (P)=

lim

h→0

f ( x 0 , , y 0+ h )−f ( x 0 , y 0 ) , h ≠0 h y h= ∆y =y- 0

Siempre que exista el límite INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES Se ha definido la derivada tratando de que se entienda como la variación de la función con respecto a una dirección. Entonces la derivada parcial

∂f ∂ x , será la pendiente de la recta

tangente paralela al plano ZX, observe la figura:

Un vector director

⃗S

de esta recta será de la forma:

En cambio la derivada parcial observe la figura:

∂f ∂y

∂f ∂x ) ⃗S =¿

1, 0,

será la pendiente de la recta tangente paralela al plano ZY,

Un vector director

⃗S

de esta recta será de la forma:

∂f ∂y ) ⃗S =¿

0, 1,

REGLAS PARA HALLAR LAS DERIVADAS PARCIALES ∂f ∂ x y la

Si z = f(x, y) y deseamos calcular la

∂f ∂ y , bastara aplicar las mismas reglas de

derivación que se ha estudiado en el curso de cálculo diferencial en una variable ∂f

a) Si se está calculando ∂ x , la variable “y” es constante. b) Si se está calculando

∂f ∂ y , la variable “x” es constante.

x , x ,……, x ,…. x ¿

i n En general si si z = f( 1 2 demás variables permanecen constantes. Notación: Derivada parcial de la función f : Si f = f(x,y)

∂f ∂x

=

fx

=

fy

Derivada parcial de x = ∂ x

=

fx

∂f ∂y

=

fy

Derivada parcial de z = ∂ z =

fz

Derivada parcial de x =

∂f

Derivada parcial de y = ∂ y Si f= f(x,y,z)

∂f

Derivada parcial de y =

∂f

y estamos derivando respecto a la variable “x” las

Y así se puede generalizar para una función de “n” variables. En este curso se llegara hasta funciones de 3 variables. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Sea D⊂

R

2

→

R tal que z = f(x,y)

Suponga que las derivadas parciales

∂f ∂x

de segundo orden se pueden obtener así:

y

∂f ∂y

existan. Entonces las derivadas parciales

∂2 f ∂x

∂f ∂f = ∂x ( ∂x ) = f xx

∂2 f ∂y∂x

∂f ∂ f = ∂ y ( ∂ x ) = f xy

∂2 f ∂x ∂ y

∂f ∂f = ∂x ( ∂ y ) = f yx

∂2 f ∂2 y

∂f ∂f ( ) = ∂y ∂y

=

f yy

Ejemplo 1: 3

∂f ∂x

3

x + y −3 axy . Hallar:

f(x,y) =

∂f 2 =f =¿ 3 x + 0−3 a ∂x x →

f x x =6 x

→

f xy

∂f ∂y

=

∂f ∂y

;

f xx

;

;

f xy ; f y x ; f y y

2 = 3 x −3 ay

= −3 a y=¿ f¿

2 2 0+3 y −3 ax = 3 y −3 ax

→ f y x =−3 a → f yy

= 6y

Ejemplo 2 : f ( x , y )=

x− y x + y . Hallar:

∂f ∂x

∂f =¿ ∂x

( 1 ) ( x+ y )−( x − y)(1) (x + y )2

∂f ∂y

(−1 ) ( x + y ) −( x− y )(1) (x + y )2

=

;

∂f ∂y

=

x + y− x+ y 2 (x + y )

=

=

−x− y −x+ y ( x+ y )2

2y 2 ( x+ y)

=

−2 x ( x+ y)2

Ejemplo 3 : ∂f

∂f

f ( x , y ) =√ x 2− y2

. Hallar: ∂ x

y ∂y

2x

x √ x − y2

;

∂f ∂x

= 2 √ x 2− y 2 =

2

Ejemplo 4 :

z= e

y sen( ) x

∂z ∂z . Hallar : ∂ x y ∂ y

∂f ∂y

−2 y

= 2 √ x 2− y 2 =

−y √ x 2− y 2

∂z ∂x

=

∂z =e ∂x

∂z ∂y

sen

e

sen

y x

()

= e

y x

()

( ( ))

. sen

y ´ x

y x

==

y −2 cos (− y x ) = x

()

y sen( ) x

e

sen

e

( ) cos ⁡( y )¿ )´ =

y sen x

e

sen

( yx )

cos

( xy )( y x

−1

)´

x

( yx ) cos

y (− y ) x

()

x

2

=

−y e

sen

( yx ) cos x

( yx )

2

1 y cos ⁡( ) ( x ) x

Ejemplo 5 :

f(x,y) = x+y ∂f ∂x

−2 x = 1 2 √ x 2+ y 2

∂ f (3,4) ∂x ∂f ∂y

−√ x 2 + y 2 . Hallar:

y

∂f ∂y

en el punto (3,4)

−x = 1 √ x2 + y2

−3 = 1 √ 32 + 42

=1

−2 y

= 1 2 √ x 2+ y 2 = 1

∂ f (3,4) ∂y

∂f ∂x

−4 = 1 √ 32 + 42

2

−3 5

= 5

−y √ x2 + y2

−4 =1 5

=

1 5

DERIVADA DIRECCIONAL Definición: x , x , … . , xn ¿ → x , x , … . , xn ¿ → Rn Sea f: D⊂ R: ( 1 2 z=f( 1 2 Una función definida en el conjunto abierto D de de D. Sea ⃗u P0

en P0 ¿

∈

R

n

Rn

y sea

P0

∈

D un punto dado

un vector unitario dado. Se define la derivada de la función f

, en la dirección del vector

⃗u (vector unitario) , denotado por

D⃗u

f(

P0

)o

∂f ∂ u⃗ (

, como el límite: D⃗u

f(

P0

)=

lim t→0

f ( P0 +t ⃗u )−f (P0 ) t

…………(1)

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL 2 P x ,y ¿ 1. Sea 0 = ( 0 0 un punto de D y ⃗u = (a, b) un vector unitario de R , entonces : P +t u⃗

{ 0 , t ∈ R } es una recta contenida en el plano XY. 2. Si por dicha recta levantamos un plano T, perpendicular a XY, intersecta a la superficie S formándose la curva C.

x0, y0

3. Si por el punto : P = (

, f(

P0 ¿

=

x ¿ ¿ ), trazamos una recta tangente a la curva C ¿

entonces la pendiente de dicha tangente es la

D ⃗u

f(

P0

)

Observación: la derivada direccional es una generalización de la derivada parcial. a) Si

= (1,0)

→

D ⃗u

(

b) Si

⃗u

= (0,1) →

D ⃗u

∂f ( P0 )= ∂ y ( P0 ¿

Proposición Dada la función f: D ⊂

P0

∂f P ¿ ∂x ( 0

⃗u

)=

Rn → R θ , senθ ¿

y el vector unitario u⃗ =(cos f en D ⃗u D ⃗u D ⃗u

P0

f( f( f(

=( P0 P0 P0

con 0 ≤θ ≤ 2 π : LA DERIVADA DIRECCIONAL de

x0, y0 ¿ ∈ D

)= )= )=

lim

en la dirección de u⃗ , se define por: f ( P0 +t ⃗u )−f (P0 ) t

t→0

lim

f ( ( x 0 , y 0 ) +t (cosθ , sen θ) )−f (x 0 , y 0) t

t→0

lim t→0

f ( x 0 +tcosθ , y 0+ senθ )−f ( x 0 , y 0 ) t

……..(2)

Nota: Estos conceptos se extienden a varias variables.

Ejemplo 1: 2 Calcular la derivada direccional del campo escalar f: R → R , definido por: 2 2 P =¿ f(x,y) = 4( x + y ¿ en el punto 0 (1, 2) en la dirección del vector v⃗ = -i + 2j f ( P0 +t ⃗u )−f (P0 ) D P ⃗u

f(

0

)=

lim t→0

t

Solución: P0 = (1, 2) ⃗u

(−1, 2)

v⃗ ‖⃗v‖

=

= √(−1) + 2 2

2

(−1,2) √5

=

=(

−1 √5

,

2 √5

)

Nota: el vector dado debe ser unitario si no lo es se obtiene su vector unitario Cálculos:

2 √ 5 )= (1-

−1 1º ⃗u = (1,2) + t( ¿ P¿ 0 + t √5 , t √5 ¿ ¿ ¿

1−

2º) f(

P0

+ t ⃗u ) =4 [

P0

f( 3º) f(

2t √5 ] ¿ ¿2

2+

+(

6 t2 ] √5 t +

+ t u⃗ ) = 4[5+

P0

t 2t , 2+ √5 √5 )

2 2 ) = 4[ (1) +(2) ¿ = 20

Luego: D ⃗u

P0

f(

[

4 5+

)= lim t→0

D ⃗u

P0

f(

20+

)= lim t→0

24 √ 5 5

]

6 2 t +t −20 √5 t

24 2 t + 4 t −20 √5 t

24 2 t+4t = lim √ 5 t t→0

24 +4 t 5 √ lim 1 t→0

24 √5

=

=

24 √ 5 √5 √ 5

=

Rpta.

Ejemplo 2: 2 Calcular la derivada direccional del campo escalar f: R → R , definido por: 2 2 f(x,y) = x + y , en el punto P0 = (1,2) en la dirección del vector unitario dado por

θ

=

π 6

. D⃗u

Usaremos:

P0

f(

)=

lim

f ( ( x 0 , y 0 ) +t (cosθ , senθ) ) −f ( x 0 , y 0) t

t→0

Cálculos: 1º ¿ P¿ 0 + t(cos30º, sen30º)= (1,2)+t(cos30º,sen30º) = (1,2) +t(

2º) f(

P0

2

+ t(cos30º, sen30º)) =

t √3 t 2 (1+ ) + 4 (2+ ) = 1+ 2 2 2

t √ 3+

√3 , 1

2 2 ) = (1+

3t 2 4

t2 + 4+t+ 4

t t √3 , 2+ ) 2 2 2 = 5+ t √ 3+t

2

3º) f( P0 ¿=f ( x 0 , y 0 ) = f(1,2) = 1 + 2 = 5 Reemplazamos en la fórmula: f ( ( x 0 , y 0 ) +t (cosθ , senθ) ) −f (x 0 , y 0) D P ⃗u

f(

D⃗u

0

f(

)=

P0

lim

t

t→0

)=

lim t→0

5+t √ 3+t 2−5 t

=

lim t→0

t √ 3+t 2 t

=

lim t→0

√ 3+t 1

= √ 3 Rpta.

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR Definición

Rn → R

Sea f : D⊂

Una función diferenciable definida en el conjunto abierto D de GRADIENTE de la función f en el punto P0 ¿

P0

∈

Rn . Se define el vector P0 ¿ ∇

D, denotado por grad f(

ó

f(

n , como el vector de R dado por:

∇

f(

∂f P ¿ = ( ∂ x1 ( 0 ,

P0 ¿

∂f P ¿ ∂ x 2 ( 0 ,……,

∂f P ¿ ∂ xn ( 0 )

Nota: ∇ es el operador nabla ∂

∂

∂

∂

2 variables:

∇

=( ∂ x , ∂ y )

3 variables:

∇

=( ∂ x , ∂ y , ∂ z )

P0

= ( x 1 , x 2 , … .. , x n )

= ⃗x

Si f: D ⊂ ∇

2

R→ R ∂ f (x , y ) ∂x ¿

f(x,y) =

Si f: D ⊂ ∇

∂

,

∂ y (x , y) ∂y

)

R3 → R

f(x,y,z) =

∂ f (x , y , z) ∂x ¿

,

∂ y(x , y ,z) ∂y

,

∂ y(x , y ,z) ∂z

)

Propiedades del gradiente 1)

∇

(f ± g ¿ ( ⃗x ) = ∇ f( ⃗x ) ± ∇ g( ⃗x )

2)

∇

(f . g ¿ ( ⃗x ) = f( ⃗x ). ∇ g( ⃗x )+g( ⃗x ) . ∇ f( ⃗x )

3)

∇

( ∝ f( ⃗x )) = ∝ ∇ f( ⃗x ) , ∝=constante

FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL (DERIVADA DIRECCIONAL Y EL GRADIENTE) i) Si f es una función diferenciable en: x e y, la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario ⃗u es: D ⃗u

f(x,y) = ∇ f(x,y). ⃗u

ii) Si f es una función diferenciable en: x, y, z, la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario ⃗u es: D⃗u

f(x,y,z) = ∇ f(x,y,z). ⃗u

2 Ejemplo : Calcular la derivada direccional del campo escalar f: R → R , definido por f(x,y)= 4(

x 2+ y 2 ¿

Solución:

en el punto

P0

(1,2) en la dirección del vector v⃗ = -i +2j.

2 2 1º: Expresar mi función lo más explicita posible: f(x, y) = 4 x + 4 y

2º Obtener el vector unitario del vector dado (

⃗v

:

vu ⃗

(−1, 2 )

=

√(−1) + 2 2

2

=

(−1,2) √ 1+ 4

=

(−1,2) √5

=

−1 2 , ) √5 √5

∂f ∂f 3º ∇ f(x,y) = ( ∂ x , ∂ y ) = (8x, 8y) → ∇ f( P0 ¿ = ∇ f(1,2) = (8(1), 8(2)) = (8, 16) D ⃗u D ⃗u

f(x,y) = ∇ f(x,y). ⃗u f(1,2) = (8, 16).

(

−1 2 , ) √5 √5 =

−8 √5

32 √5

+

=

24 √5

×√

5 √5

=

24 √ 5 5

Rpta.

PROBLEMAS DE DERIVADA DIRECCIONAL CON EL GRADIENTE

EL GRADIENTE COMO DIRECCIÓN DE MÁXIMA VARIACIÓN OBSERVACIÓN: Sea ∝ el ángulo entre:

Entonces

D ⃗u

∇

f( ⃗x ) y

⃗u

f( ⃗x ) = ∇ f( ⃗x ). u⃗ = ‖∇ f (⃗x ).‖ . ‖u⃗‖ .cos ∝

(Propiedad del producto escalar

de dos vectores)

Es decir: D ⃗u f( ⃗x ) = ‖∇ f (⃗x )‖ .cos ∝ Además sabemos que: -1 ≤ cos ∝≤ 1( I ) multipliquemos por ‖∇ f (⃗x )‖ a (I) - ‖∇ f (⃗x )‖ . ≤

‖∇ f ( ⃗x )‖ cos ∝≤‖∇ f ( ⃗x )‖

el valor máximo de la derivada direccional es ‖∇ f ( ⃗x )‖ y el valor mínimo de la derivada direccional es - ‖∇ f (⃗x )‖ . Entre todas las direcciones a lo largo de las cuales la función crece, la dirección del gradiente es la del crecimiento más rápido, mientras que el gradiente cambiado de signo señala la dirección de máxima disminución. Por lo tanto en cada punto ⃗x

Ejemplo 2: Para la función f(x,y) =

x x + y , en el punto: (3, 2). Hallar la mínima y la máxima

derivada direccional y el vector unitario en esa dirección. Solución: Calculemos el gradiente de f : y ( x+ y)2 ,

−x ( x+ y)2 )

∇ f (x , y )

= (

∂f ∂x ,

x + y− x ∂f ∂ y ) = ( (x + y)2 ,

−x 2 (x+ y) ) =(

2 −3 , ¿ ∇ f (3,2) = ( 25 25

La derivada direccional mínima se produce cuando el vector unitario u⃗ y el vector gradiente ⃗u=

∇ f (3,2) tienen sentidos opuestos, es decir:

−∇ f (3,2) ‖∇ f (3,2)‖

Luego aplicando la teoría explicada líneas arriba D ⃗u

−‖∇ f (3,2)‖ =

f(3,2)mín =

−

√

4 9 + 625 625

=

−√ 13 25

Ejemplo 3: Suponga que la distribución de temperatura dentro de una habitación está dada por: 2

2

2

e−x −3 y −9 z , donde x, y, z se miden en metros y T en grados celsius

T(x,y,z) = 200 a) Encuentre la razón de cambio de la temperatura en el punto P = (2, -1, 2) en la dirección hacia el el punto Q (3, -3, 3) b) ¿En qué dirección aumenta más rápidamente la temperatura en P y cuál es máxima razón de aumento de T en P? Sol: a) Debemos hallar la derivada direccional en el vector unitario: ⃗u

Q−P ‖Q−P‖

=

=

D⃗u T (P)

Luego :

∇ T ( x , y , z)

=

∂T ∂ z ) = 200

−43 = 200 e (-4, 6, -36). −43

b¿

1 . √6 (1, -2, 1) 2

2

2

e−x −3 y −9 z (−2 x ,−6 y ,−18 z )

−43 −4−3−36 −43 = 200 e (-4, 6, -36) = 200 e (-4, 6, -36) = 400 e (−2, 3,−18)

D⃗u T (P)

D ⃗u T ( P)

=

∂T ∂y ,

⃗ PQ ⃗ ‖PQ‖

1 √ 6 (1, -2, 1)

∇ T (2,−1,2)

∂T ∂x ,

=(

∇ T (2,−1,2)

∴

( 1,−2,1) ‖( 1,−2,1)‖

⃗u=¿

200 e = √6

1 √6 (1, -2, 1)

400(26) e−43 (-4-12-36)= √6

−43

10400 e =√6

La temperatura aumenta más rápidamente en la dirección de ∇ T (P) = 400 e−43 (−2, 3,−18)

La máxima razón de aumento de T en P es el módulo de la gradiente esto es: P −43 ∇ T ¿ = 400 e √ 4 +9+324 ¿

−43 = 400 √ 337 e

Resuelva en clase

1. Dada la función f(x,y) = 1) y en la dirección ⃗u =

x

2 2 3 hallar la derivada direccional en el punto P0 -3 x y+4x y + y , (2,

3

√3 , 1 2

¿

2 )

2. Hallar la derivada direccional de f(x,y,z)= 1 √5 ,

z 2 x + y 3 en el punto (1, 1, 2) en la dirección de

⃗u

=(

2 ,0 √5 )

2y 3 x 3. La distribución de temperatura de una placa metálica está dada por la función T(x,y) = x e + y e

i)

¿En qué dirección aumenta la temperatura más rápidamente en el punto (2.0)?¿Cuál es el coeficiente de variación? Rpta. ∇ T (2,0)=( 1,4 ) (Dirección)

√ 17

Coeficiente = ii)

¿En qué dirección decrece la temperatura más rápidamente? Rpta. −∇ T ( 2,0)=(−1,−4 ) (Dirección)

√ 17

Coeficiente = -

4. Un insecto se halla en un ambiente tóxico, el nivel de toxicidad esta dado por: 2 2 T(x,y) = 2 x −4 y . El insecto está en (-1, 2) a) ¿En que dirección debe moverse el insecto para que se aleje lo más rápido posible? Rpta. Debe moverse en la dirección del vector: (-4, -16) para que se aleje lo más rápido posible −1 b) ¿Cuál es la razón de cambio de la toxicidad del ambiente en el punto (-1,2) en la dirección ( √ 5 , 2 √5 )

PROBLEMAS CON MÁXIMA VARIACIÓN ¿

1. (a) Si f(x, y)

EL GRADIENTE COMO DIRECCIÓN DE

xe y , determine la razón de cambio de f en el punto 1

P(2, 0) en la dirección de P a Q( 2 , 2¿ (b) ¿En qué dirección f tiene la máxima razón de cambio? ¿Cuál es esta máxima razón de cambio? 2. Suponga que la temperatura en un punto (x, y, z) en el espacio está dado por

T(x, y, z) =

80 1+ x +2 y 2+3 z 2 , donde T se mide en grados 2

Celsius y x, y, z en metros. (a) ¿En que dirección se incrementa más rápido la temperatura en el punto (1, 1, -2) (b) ¿Cuál es la razón de incremento máxima? 2. Encuentre todos los puntos en los cuales la derivada direccional del 2 2 ⃗ ⃗ cambio más rápido de la función f(x, y) = x + y −2 x−4 y es i+ j . 4. Suponga que en una cierta región del espacio el potencial eléctrico V 2 está definido por V(x, y, z) = 5 x −3 xy+ xyz . (a) Determine la razón de cambio del potencial en P(3, 4, 5) en la ⃗ ⃗ ⃗ ⃗v dirección del vector = i + j− k . (b) ¿En qué dirección cambia V con mayor rapidez en P? (c ) ¿Cuál es la razón máxima de cambio? 5. La temperatura en el punto (x, y, z) en un trozo de metal viene dada por 2 x+ y +3 z la fórmula f(x, y, z) = e grados Celsius. ¿En qué dirección, en el punto (0, 0, 0) crece más rápidamente la temperatura? 6. Hallar la mínima derivada direccional y el vector unitario en esa dirección para

f(x, y) =

x− y x+ y

en (1, 1).

7. La temperatura es T grados Celsius en cualquier punto (x, y, z) en el espacio

R

3

y

T=

60 x + y 2 + z 2+3 2

la distancia se mide en metros.

(a) Encontrar la rapidez de cambio de la temperatura en el punto (3, ⃗ ⃗ ⃗ -2, 2) en la dirección del vector -2 i + 3 j−6 k (b) Encontrar la dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de T en (3, -2, 2) 8. La temperatura distribuida en el espacio está dada por la función f(x, y) π

= 10 + 6 cosx.cosy+3cos2x+4cos3y, en el punto ( 3

,

π ¿ 3 . Encontrar

la dirección de mayor crecimiento dela temperatura y en la dirección decrecimiento en la temperatura. 9. El potencial eléctrico es V voltios en cualquier punto (x, y) en el plano −2 x XY y V = e cos 2 y , la distancia se mide en pies. π 4 ) en la

a) Encontrar la rapidez de cambio de potencial en el punto (0, dirección del vector unitario:

⃗u=(cos

π π , sen ) 6 6

b) Encontrar la dirección y magnitud de la máxima rapidez de cambio de V en (0,

π 4 )

10. El potencial eléctrico V en el punto P(x, y, z) en un sistema 2 2 2 coordenado rectangular, está dado por V = x + 9 y + 4 z , calcular la razón de cambio de V en P(2, -1, 3) en la dirección de P al origen. a) Encuentre la dirección en la que la razón de cambio de crecimiento de V es máxima b) ¿Cuál es la razón de crecimiento mínimo? 11. Un insecto se encuentra en (3, 9, 4) empieza a caminar en línea recta hacia (5, 7, 3). L a temperatura del insecto viene dada por T(x, y−z y, z) = x e , las unidades son metros y grados Celsius. ¿Cuál es la tasa de variación de la temperatura? 12. La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es: 2 2 T(x, y) = 20 - 4 x − y , donde (x, y) se miden en centímetros. a) ¿En qué dirección a partir de (2, -3) aumenta más rápido la temperatura? b) ¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento? 13.

El cambio de temperaturas correspondiente a los diversos puntos

(x, y) de una placa está dado por T(x, y) =

x 2 x +y 2

. Hallar la dirección

de máximo aumento de temperatura en el punto (3, 4) 14.

Dada la distribución de temperatura T(x, y) = 48 -

4x 3

2

2 - 3y .

Hallar la razón de cambio de temperatura. a) En (1, -1) en la dirección del crecimiento máximo de temperatura b) En ( 1, 2) en la dirección de (1,0) c) En (2,2) en la dirección que se aleja del origen 15. Un objeto está situado en un sistema de coordenadas rectangulares de tal manera que la temperatura T en el punto P(x, y, z) 2 2 2 está dado por T(x, y, z) = 4 x − y + 16 z , a) Calcular la razón de cambio de T en el punto P(4, -2, 1) en la dirección del vector (2, 6, -3)

Tacna, 4 de diciembre del 2014 Docente: Ing. Luis Nina Ponce

3. ∇ f =( 2 x−2, 2 y−4 )=(1,1) 2x-2 = 2y-4 x-1 = y-2 x+1 = y 4.

PROBLEMAS PARA EL TRABAJO ENCARGADO Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones: 4 4 f f f 1. z = x + y −3 xy . Hallar x , xx , yx

2. z = arcsen

√

x 2− y 2 2 2 x +y

. Hallar

∂z ∂x

3 3 3. Si f(x, y) = 3x+4y - √ x + y . Hallar:

4. Hallar

f xx

y ∂f ∂x

de la siguiente función: f(x,y)

∂z ∂y

y

∂f ∂y

en el punto (1, 2)

¿ sen 2 ( ln ( x y 2 ) ) + cos3 (e y −e x ) x

∂f ∂x

5. Dada la función: f(x,y) = arctgxy+ arcsen( 1+ y ). Hallar: 6. Hallar

fx

y

fy

7. Hallar

f xx

y

f xy

8. Hallar

f xx

9. Hallar

fx

de la siguiente función: f(x, y) = (

x 2+ y 2 ¿(

1−√ x 2+ y 2 1+ √ x 2+ y 2

de la siguiente función: f(x, y) = lnxy.sen(x+y) 2

de la siguiente función: f(x, y) =

cos x y2

x2 de la siguiente función: f(x,y) = tg( y ¿

y

fy

10.Hallar

fx

,

f y yf z

11.Hallar

fx

y

fy

de la siguiente función: f(x,y,z) =

de la siguiente función:

1 √ x + y 2+ z2 2

)

∂f

y ∂y

x+ y

f(x,y) = tg( x− y ¿ 12. Hallar

f xx

13. Hallar

fx

14. Hallar

fx

15.

2 2 de la función f(x,y) = ln( x + y ¿

y

fy

x x sen y 2 e si: f(x, y) = arcsen( √ x + y )+

y

fy

x si: f(x, y) = f(x, y) = arctg( y ¿

Hallar

fx

2

y

fy

2

2

e x + y +ln

si: f(x, y) = f(x,y) =

√ x2 + y 2

Hallar las derivadas direccionales 2 2 1. Calcular la derivada direccional de la función : f(x,y) = x + y en el √2 √ 2 Punto (1,2) en la dirección del vector ⃗v = ( 2 , 2 ¿ 2 2 2. Calcular la derivada direccional de la función : f(x,y) = 4−x − y en el

1

1

, ¿ Punto (1,1) en la dirección del vector u⃗ = ( √ 2 √ 2 3 4 2 P 3. f(x,y) = x + 2xy-3 y , 0 (1, 2), u⃗ = 4 i + 5 j 2 2 2 4. Dada la función f(x, y) = x -3 xy +4 y + y . Hallar la derivada direccional en el

punto (2,1) en la dirección

θ

=

π 6

2 3 5. Calcular la derivada direccional de la función : f(x,y) =x y + x y en el punto (4,-1) y la

dirección u⃗ = (3/5, 4/5) 2 6. Calcular la derivada direccional de la función: f(x,y) = x+2xy-3 y en el

Punto (1,2) y la dirección u⃗ = (3/5, 4/5) 2 3 7. Calcular la derivada direccional de la función: f(x,y) = x + y en el

Punto (1,2) y la dirección v⃗ = (4, 3) 2 3 8. Calcular la derivada direccional de la función: f(x,y) = x y en el

⃗ ⃗ Punto (-2,1) y la dirección v⃗ = i + j

9. Calcular la derivada direccional de la función: f(x,y) = sen ( x− y ) en el π π

Punto ( 2 , 6 ) y la dirección v⃗ = (1, 1) 2

xy− y 10. Calcular la derivada direccional de la función: f(x,y) = e en el

Punto (2,2) y la dirección v⃗ = (12, -5) 2 2 11.Calcular la derivada direccional de la función: f(x,y) = ln ⁡( x + y ) en el

⃗ Punto (1,0) y la dirección v⃗ = 3 i

−2 ⃗j

y 12.Calcular la derivada direccional de la función: f(x,y) = x e en el

⃗ Punto (2,-1) y la dirección v⃗ = 2 i

+3 ⃗j

2 2 13. Calcular la derivada direccional de la función: f(x,y, z)= z −x y en el punto (2, 1, 3) y la

dirección ⃗v =(−1,2, 2)

2 − yz 14. Calcular la derivada direccional de la función f(x, y, z)= x e en el punto (1, 0, 0) en la

dirección de

⃗u

1 = ( √3 ,

1 √3 ,

1 ¿ √3

2 2 15. Calcular la derivada direccional de la función: f(x,y)= ln( x + y ¿ en el punto (1, 1) en la

π dirección de θ= 4 2 3 16. Calcular la derivada direccional de la función: f(x,y)= x y −4 y en el punto (2, -1) en la

dirección de ⃗v =(2, 5) 2 3 4 17. Calcular la derivada direccional de la función: f(x,y)= x y +2 x y en el punto ( 1, -2) en

π la dirección de θ= 4

18. Calcular la derivada direccional de la función: f(x,y) = x

e−2 y en el punto (5, 0) en la

π dirección de θ= 2

19. Calcular la derivada direccional de la función: f(x,y) =1+ 2x √ y en el punto (3, 4), en la dirección de

20.

⃗v =( 4,−3)

x Calcular la derivada direccional de la función: f(x,y, z) = y + z

dirección de ⃗v =( 1,2, 3 ) Tacna, 26 de noviembre del 2014 Docente: Ingº Luis Nina Ponce

en el punto (4, 1,1) en la