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Análisis de circuitos 2. 1.1.

Determinación de los valores medio y eficaz (RMS) para voltajes y corrientes de diferentes formas de onda periódica.

Un método que se utiliza para comparar la potencia transmitida por distintas ondas es el uso de los valores rms o efectivos para corrientes o voltajes periódicos. 𝑇

𝐼 𝑃 = 𝑅𝐼 2 𝑟𝑚𝑠 = ∫ 𝑅𝐼 2 𝑑𝑡 𝑇 0

𝐼

𝑇

1. 𝐼𝑟𝑚𝑠 = √ ∫0 𝐼 2 𝑑𝑡 𝑇 Rms = raíz promedio cuadrado. 𝐼

𝑇

2. 𝑉𝑟𝑚𝑠 = √𝑇 ∫0 𝑉 2 𝑑𝑡 Para calcular la potencia promedio: 𝑡1+𝑇

𝐼 𝑃 = ∫ 𝑝𝑑𝑡 𝑇 𝑡1

Si 𝑖 = 𝐼𝑚 𝐶𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + ∅) sustituyendo en I: 2𝑖/𝜔

𝜔

3. 𝐼𝑟𝑚𝑠 = √2𝜋 𝐼 2 𝑚 ∫0 𝐼2 𝑚

𝐼𝑟𝑚𝑠 = √ 2𝜋

1

(2 (𝜔𝑡 + ∅) +

𝐼2 𝑚

𝐼𝑟𝑚𝑠 = √ 2𝜋 (𝜋) = 𝑉𝑟𝑚𝑠 =

𝜔𝐼 2

2𝜋/𝜔

𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔𝑡 + ∅)𝑑𝑡 = √2𝜋𝜔 ∫0 1 4

𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔𝑡 + ∅)

2𝜋/𝜔 𝑠𝑒𝑛 2(𝜔𝑡 + ∅))/ 0

𝐼𝑚 √2

𝑉𝑚 √2

Cuando da 0 el valor medio se selecciona nada más medio ciclo: Valor eficaz (RMS) 𝑝(𝜔𝑡) = 𝑖(𝜔𝑡)2 𝑅 𝑃 = 𝐼 2 𝐶𝐷 𝑅 ICD = eficaz. Para una resistencia pura el voltaje está en fase con la corriente.

P(wt) 𝜔𝑡)

𝜋

𝑃 = 𝐼 2 𝐶𝐷 𝑅 =

𝐼 𝑇

𝑤𝑡

2𝜋 𝑇

𝐼

𝑇

∫0 𝑖(𝜔𝑡)2 𝑅 𝑑(𝜔𝑡) 𝐼𝑒𝑓 = √𝑇 ∫0 𝑖(𝜔𝑡)2 𝑑(𝜔𝑡) 𝐼

𝑇

Valor eficaz RMS = √𝑇 ∫0 𝑓(𝑡)2 𝑑(𝜔𝑡) Factor de forma de una función =

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑎𝑧 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜

Hallar el factor de forma para las siguientes funciones: 𝐼 = 𝐼𝑚 sin 𝑤𝑡 𝑉(𝑡) Im

2 𝜋

𝑤𝑡

2𝜋

Valores medio y eficaz (RMS) para diferentes formas de onda.

T = 2𝜋 𝐼𝑚

𝑤𝑡 𝜋

−𝐼𝑚

2𝜋

3𝜋

4𝜋

5𝜋

6𝜋

4

𝑡

𝑖(𝜔𝑡) = 𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡

𝐹(𝑡) = 𝐹( 𝑡 + 𝑛𝑇)

Donde: n = numero entero T = periodo de la función. Valor promedio: es el equivalente al valor de la corriente directa. 𝐼

𝑇

Valor medio = 𝑇 ∫0 𝐹(𝑡)𝑑𝑡

5

2

4

8

6

−5

𝑖(𝑤𝑡)

𝜋

2𝜋

3𝜋

1. Obtenga el valor RMS de una corriente periódica que el periodo esta definido por: a) I = I 0 ≤ 𝑡 < 2𝑠 I = -I 2 ≤ 𝑡 < 4𝑠 𝐼

𝑇

𝐼

2

𝐼

𝑇

Irms = √𝑇 ∫0 𝑖 2 𝑑𝑡 = √2 ∫0 𝑖 2 𝑑𝑡 = √𝑇 ∫0 𝑖 2 (2) = I rms = I

4

𝐼

𝐼

Irms = √4 ∫2 𝑖 2 𝑑𝑡 = √4 b) 𝑖 = 2𝑡 0 ≤ 𝑡 < 𝑇 𝐼 4𝑡 3

𝑇

𝐼

Irms = √𝑇 ∫0 2𝑡 2 𝑑𝑡 = √𝑇

3

𝑇 0

/

√𝐼

=

𝑇

4𝑇 3

2

=

3

4𝑇 2 3

=

Irms =

2𝑇 √3

c) 𝑖 = 𝐼𝑚 sin 𝑤𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/𝜔 𝜋 2𝜋 𝑖= 0 ≤𝑡 ≤ 𝑇 = 2𝜋/𝜔 𝜔 𝜔 𝜋/𝜔 2 𝐼 𝑚

1

Irms = √2𝜋/𝜔 ∫0 𝐼2 𝑚

1

Irms = √ 2𝜋 (2 𝜔𝑡 − 𝐼2 𝑚

1

𝜋

1 4

𝜋/𝜔 2 𝐼 𝑚

𝜔

𝑠𝑖𝑛2 𝑤𝑡 𝑑𝑡 = √2𝜋/𝜔 ∫0 𝜋/𝜔 0

sin 2𝜔𝑡) / 𝑇2𝑚

Irms = √ 2𝜋 (2 𝑤(𝑤)) = √

4

Irms =

𝑇𝑚

𝑦(𝑡) = 10𝑒 −200𝑡 lor edio 1

𝑇

Valor medio = 𝑇 ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 1

0.05

V.M = = 0.05 ∫0

10𝑒 −200𝑡 𝑑𝑡 =

10 0.05(−200)

𝑒 −200𝑡 /

0.05 0

2

𝑠𝑖𝑛2 𝑤𝑡 (𝑤)

𝑉. 𝑀 = −1[𝑒 −10 − 𝑒 0 ] = 1 1

𝑇

1

0.05

Valor efectivo = √𝑇 ∫0 𝐹(𝑡)2 𝑑(𝑤𝑡) = 𝑉 2 𝑒𝑓 = 0.05 ∫0 100

𝑉 2 𝑒𝑓 = 0.05(−400) 𝑒 −400𝑡 / F.F =

𝑉𝑒𝑓 𝑉𝑚

=

2.23 1

(10𝑒 −200𝑡 )dt

0.05 = −5[𝑒 −20𝑡 − 𝑒 0 ] = √5 0

𝑉 2 𝑒𝑓 = 2.23𝑉

= 2.236 𝑉

Cuando la trayectoria es de B hasta A: 𝑋 − 𝑋𝐵 =

𝑋𝐴 − 𝑋𝐵 (𝑍 − 𝑍𝐵) 𝑍𝐴 − 𝑍𝐵

𝑌 − 𝑌𝐵 =

𝑌𝐴 − 𝑌𝐵 (𝑋 − 𝑋𝐵) 𝑋𝐴 − 𝑋𝐵

𝑍 − 𝑍𝐵 =

𝑍𝐴 − 𝑍𝐵 (𝑌 − 𝑌𝐵) 𝑌𝐴 − 𝑌𝐵

𝐼 = 𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡 𝑇

1 𝑉. 𝑚 = ∫ 𝑓(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡) 𝜋 0

𝜋

1 1 𝜋 𝑉. 𝑚 = ∫ 𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡 𝑑𝜔𝑡 = − 𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡/ 0 𝜋 𝜋 0

𝑉. 𝑚 =

1 2 𝐼𝑚 (1 + 1) = 𝜋 𝜋

1

2𝜋

𝐼2 𝑚

1

𝑉𝑒𝑓 = √2𝜋 ∫0 𝐼 2 𝑚 𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 𝑑(𝑤𝑡) = √ 2𝜋 (2 𝜔𝑡 −

1 4

𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡)

𝑉𝑒𝑓 = √

𝐹. 𝐹 =

𝐼2𝑚 𝐼𝑚 (𝜋) = 2𝜋 √2

𝐼𝑚

𝜋 𝜋 = = 1.10 2√2 √2 2(𝐼𝑚)

𝑦−0=

100 − 0 (𝑡 − 0) 𝑦 = 50𝑡 2−0 2

1 1 50𝑡 2 𝑉. 𝑚 = ∫ 50𝑡 𝑑𝑡 = = 12.5(4 − 0) 𝑣. 𝑚 = 50 2 2 2 0

2

1 2500 3 𝑉 2 𝑒𝑓 = ∫ 2500𝑡 2 𝑑𝑡 = 𝑡 = 3333.33 2 2(3) 0

F.F =

57.73 50

𝑦 + 100 = 𝑦=

= 1.154

(100 + 100)(𝑥 + 0.01) 0 + 0.01

200𝑥 + 2 − 100 = 20000𝑥 + 100 0.01

𝑦 − 100 =

(−100 − 100)(𝑥 + 0.01) (𝑥 − 0) = −20000𝑥 + 100 = 𝑦 0.01 − 0

0

0

.005

.005

1 𝑉. 𝑚 = [ ∫ (20000𝑥 + 100)𝑑𝑥 + ∫ (−20000𝑥 + 100)𝑑𝑥 ] 0.01 𝑉. 𝑚 =

1 20000𝑥 2 + 100𝑥 0 1 −20000𝑥 2 + 100𝑥 . 005 [ ] + [ ] . 005 0.02 0 0.01 2 2

𝑉. 𝑚 =

1 [−0.25 + 0.5 − 0.25 + 0.5] = 50 0.01

𝜋

1 𝑉. 𝑀 = [∫ 𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡 + 0 𝑑𝜔𝑡] 2𝜋 0

𝑉. 𝑀 =

1 𝐼𝑚 𝐼𝑚 (1 + 1) = 2𝜋 𝜋 𝜋

1 𝐼2 1 1 𝜋 𝑉 2 𝑒𝑓 = [∫ 𝐼 2 𝑚 𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 = ] [ 𝜔𝑡 − sin 2𝜔𝑡] 0 2𝜋 2𝜋 2 4 0

𝐹. 𝐹 =

𝐼𝑚(𝜋) 𝜋 = = 1.57 2(𝐼𝑚) 2

𝜋

1 𝑉. 𝑀 = ∫ 𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝜋 0

𝑉. 𝑀 =

1 𝜋 [−𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡] 0 𝜋

𝑉. 𝑀 =

2 𝐼𝑚 𝜋 𝜋

1 1 1 1 𝜋 𝑉 𝑒𝑓 = ∫ 𝐼 2 𝑚 𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 𝑑𝜔𝑡 = [ 𝜔𝑡 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡] 0 𝜋 𝜋 2 4 2

0

𝑉𝑒𝑓 = 𝐹. 𝐹 =

1 𝜋 𝐼𝑚 [ ]= 𝜋 2 √2 𝐼𝑚

𝜋 𝜋 = = 1.11 √2 (2) 𝐼𝑚 √2 (2)

El valor medio es el equivalente a corriente directa. El valor eficaz se utiliza para calcular la potencia en un circuito. 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑡 𝑎 = 0 𝑏 =

𝑦2 − 𝑦1 100 = = 𝑦 = 50𝑡 𝑥2 − 𝑥1 2

Forma trigonométrica de series de Fourier. 1 𝐹(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎1 cos 𝜔𝑡 2 + 𝑎2 cos 2𝜔𝑡 + 𝑎3 cos 3𝑤𝑡 + ⋯ + 𝑏𝑖 sin 𝜔𝑡 + 𝑏2 sin 2𝜔𝑡 + 𝑏3 sin 3𝑤𝑡 + ⋯

𝑉. 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑎𝑧 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 √ = ( 𝑎0) + ( 𝑎1) + ( 𝑎2) + ( 𝑎3) + ⋯ ( 𝑏1) + ( 𝑏2) + ⋯ 2 2 2 2 2 2

El termino de la función es el termino de la corriente directa es decir 1/2ª0. Hallar el valor eficaz de la función 𝑉 = 50 + 30 sin 𝜔𝑡 1 𝑉𝑒𝑓 = √(50)2 + (30)2 = 54.3 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠. 2

𝑇

2𝜋

1 1 𝑉 2 𝑒𝑓 = ∫ 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ (50 + 30 sin 𝜔𝑡)2 = 𝑇 2𝜋 0

0

1 2

𝑎0 = 50

2𝜋

1 𝑉 2 𝑒𝑓 = ∫ (2500 + 3000 sin 𝜔𝑡 + 900 𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡) 𝑑(𝑤𝑦) 2𝜋 0

2𝜋

1 1 1 2 𝑉 2 𝑒𝑓 = ∫ (2500𝑤𝑡 − 3000 cos 𝜔𝑡 + 900 ( 𝑤𝑡 − sin 2𝑤𝑡) 0 2𝜋 2 4 0

𝑦 = 2𝐼𝑚𝑡 + 𝐼𝑚 𝑦 = −2𝐼𝑚𝑡 + 𝐼𝑚 0

1

1 𝐼𝑒𝑓 2 = ∫ 2𝐼𝑚𝑡 + 𝐼𝑚2 𝑑𝑡 + ∫(−2𝐼𝑚𝑡 + 𝐼𝑚)2 𝑑𝑡 2 −1

0

1 4 4𝐼 2 𝑚𝑡 2 4𝑡 3 𝐼 2 𝑚 1 0 𝐼𝑒𝑓 2 = [ 𝐼 2 𝑚𝑡 3 + + 𝐼 2 𝑚𝑡 ] + [ − 2𝐼 2 𝑚𝑡 2 + 𝐼 2 𝑚𝑡] 0 −1 2 3 2 3 1 4 4 1 8 𝐼𝑒𝑓 2 = [ 𝐼 2 𝑚 − 2𝐼 2 𝑚 + 𝐼 2 𝑚 + 𝐼 2 𝑚 − 2𝐼 2 𝑚 + 𝐼 2 𝑚 ] = [ 𝐼 2 𝑚 − 2𝐼 2 𝑚] 2 3 3 2 3 𝐼𝑒𝑓 2 = √

𝐼2𝑚 = 𝐼𝑚/√3 3

Potencia monofásica en circuitos R,L,C. 𝑃 = 𝑉(𝑤𝑡)𝑖(𝑤𝑡) Si p+ está entregando energía a la red si P es negativa la red entrega energia a la fuerza. Circuito resistivo puro.

𝑃 = 𝑉𝐼 = 𝐼 2 𝑅 𝑉(𝑤𝑡) = 𝑉𝑚 sin 𝑤𝑡 𝑉(𝑤𝑡) = 𝑉𝑚 sin 𝑤𝑡 𝑖(𝑤𝑡) =

𝑉(𝑤𝑡) 𝑅

𝑖(𝑤𝑡) =

𝑉𝑚 sin 𝑤𝑡 = 𝐼𝑚 sin 𝑤𝑡 𝑅

𝑍 = 𝑙𝑍𝑙 𝜃 𝑆𝑖 𝜃 = 0 𝑍=𝑅 𝑖(𝑤𝑡) =

𝑉𝑚 sin 𝑤𝑡 = 𝐼𝑚 sin 𝑤𝑡 𝑦 𝑉(𝑤𝑡) = 𝑉𝑚 sin 𝑤𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑎𝑠𝑒. 𝑍(0)𝑅

Potencia instantánea p= V (wt) i (wt) = (Vm Sin wt) (Im Sin wt) = 𝑉𝑚𝐼𝑚𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡 2𝜋

𝐼

p=2𝜋 ∫0 𝑉𝑚𝐼𝑚𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡𝑑(𝑤𝑡) = 𝑉𝑚𝐼𝑚 𝑤𝑡

p=

2𝜋

1

[ 2 − 4 𝑆𝑒𝑛2𝑤𝑡]

𝑉𝑚𝐼𝑚

p=

2𝜋 = 0

𝑉𝐸𝐹 =

2

(𝑉𝐸𝐹 ) (√2) (𝐼𝐸𝐹 ) (√2)

p=

2

= 𝑉𝐸𝐹 𝐼𝐸𝐹 = 𝑉𝐼

𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋𝐿 = 𝑗𝑋𝐿 = 𝑙𝑍𝑙 90° 𝑍

=

𝑉𝑚𝑆𝑒𝑛𝑤𝑡

𝑥𝐿 = 2𝜋𝐹𝐿(Ω)

2𝜋

𝑙𝑍𝑙 90°

2𝜋

∫0 𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡𝑑(𝑤𝑡)

𝑉𝑚𝐼𝑚 2𝜋

√2

V(wt)= VmSenwt

𝑉(𝑤𝑡)

2𝜋

𝑉𝑚

CIRCUITO BOBINA PURA

I(wt)=

𝑉𝑚𝐼𝑚

[2 −

𝑆𝑒𝑛2(2𝜋) 4

0

−2+

𝐼𝐸𝐹 =

𝐼𝑚 √2

𝑆𝑒𝑛2𝑤𝑡 2

]

i(wt)= 𝐼𝑚 𝑆𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 90°) p=V(wt) I (wt) =0 2𝜋

𝐼

p=2𝜋 ∫0 𝑝𝑑(𝑤𝑡) = 0 Sen(A±𝐵) = 𝑆𝑒𝑛𝐴 𝐶𝑜𝑠𝐵 ± 𝐶𝑜𝑠𝐴 𝑆𝑒𝑛𝐵 𝜋

𝜋

Sen(wt-90°) = 𝑆𝑒𝑛𝑤𝑡 𝐶𝑜𝑠 ( 2 ) − 𝐶𝑜𝑠𝑤𝑡 𝑆𝑒𝑛 ( 2 ) Sen(wt-90°) = −𝐶𝑜𝑠𝑤𝑡 p= -VmIm (Senwt Coswt) = −

𝑉𝑚𝐼𝑚 2

𝑆𝑒𝑛2𝑤𝑡

Si wt= 2𝜋 𝑉𝑚𝐼𝑚

p= -

2 2𝜋

𝐼

𝑆𝑒𝑛 4𝜋 = 0

p=2𝜋 ∫0 − 𝑉𝑚𝐼𝑚

p=

8𝜋

𝑉𝑚𝐼𝑚 2

𝑆𝑒𝑛 (2𝑤𝑡) 𝑑 (𝑤𝑡) =

𝑉𝑚𝐼𝑚 8𝜋

[𝐶𝑜𝑠2𝑤𝑡]2𝜋 0

[−1 + 1] = 0

CIRCUITO CAPACITATIVO PURO I(wt) =

𝑉𝑚𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑍 −90°

= 𝐼𝑚𝑆𝑒𝑛 (𝑤𝑡 + 90°)

P= Vi = Vm Sen wt) (Im Sen (wt + 90°) (Sen wt + 90°)= Sen wt Cos 90° + Cos wt Sen 90° (Sen wt + 90°)= Cos wt p=VmIm Sen wt Cos wt =

𝑉𝑚𝐼𝑚 2

𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡

2𝜋

𝐼

p=2𝜋 ∫0 𝑉𝑚𝐼𝑚 (𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 + 𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡) 𝑑 𝑤𝑡 = 𝑉𝑚𝐼𝑚

p=

4𝜋

1

[− 2 𝐶𝑜𝑠2𝑤𝑡]

2𝜋 = 0

𝑉𝑚𝐼𝑚 4𝜋

1

𝑉𝑚𝐼𝑚 4𝜋

2𝜋

∫0 𝑆𝑒𝑛2𝑤𝑡

1

[− 2 + 2] = 0

Hallar el valor eficaz para la función V=150+50 sin wt + 25 sin 2wt 1 1 𝑉𝑒𝑓𝑖𝑐𝑎𝑧 = √(250)2 + (50)2 + (25)2 = 155.12 2 2 Sabiendo que el valor eficaz de la función: V= 100 + A sin wt es 03.1 Hallar la amplitud A del término senoidal

1

103.1 = √(100)2 + 2 (𝐴)2

=

A= √[(103.1)2 − 1002 ]2 =

A=

35.48

Hallar la potencia media disipada en una resistencia de 25 Ω cuando circula por ella una corriente i (t) = 2+3 sin wt + 2 sin 2 wt + 1 sin 3 wt 𝐼𝐸𝐹 = √22 + 1/2 (3)2 + 1/2 (2)2 + 1/2 (1)2 = 3.31 P= 𝐼 2 𝑅 = (3.31)2 (25Ω) = 275𝑊 En las fórmulas de potencia se aplican valores eficaces.

La potencia media disipada en una resistencia de 25Ω es de 400 W. Hallar el valor máximo de la corriente si es a) senoidal, b) triangular 2 P= 𝐼𝑒𝐹 𝐵

𝐼𝑒𝐹 = 𝐼𝑚/ √2

𝐼𝑒𝐹 = √400/25 = 4 Amp =

𝐼𝑚 = 𝐼𝑒𝐹 (√2) = 4 √2

=

𝐼𝑚 = 4√3 = 6.92

𝐼𝑚 = 5.65 𝐴𝑚𝑝 𝐼𝐸𝑓 = 𝐼𝑚 / √3

Hallar el factor de forma para la siguiente función:

𝑉(𝑤𝑡) = 𝑉𝑚 sin 𝑤𝑡 𝑦 − 0.707𝑉𝑚 = 𝜋/4

0.707 − 0.707 = 𝑦 = 0.707𝑉𝑚 𝜋 − 3𝜋4 4 3𝜋/4

𝜋

1 𝑉𝑚 = ( ∫ 𝑉𝑚 sin 𝑤𝑡 𝑑(𝑤𝑡) + ∫ 0.707 𝑉𝑚 𝑑(𝑤𝑡) + ∫ 𝑉𝑚 sin 𝑤𝑡 𝑑(𝑤𝑡) 𝜋 0

𝜋/4

3𝜋4

𝜋 3𝜋4 1 𝜋 𝑉𝑚 = (−𝑉𝑚 cos 𝑤𝑡 4 + 0.707𝑤𝑡𝑉𝑚 𝜋 − 𝑉𝑚 cos 𝑤𝑡 3𝜋4 𝜋 0 4

𝑉𝑚 =

1 (0.292𝑉𝑚 + 1.110𝑉𝑚 + 0.292𝑉𝑚) = 0.539𝑉𝑚 𝜋 𝜋/4

3𝜋/4

1 𝑉 2 𝑒𝑓 = (∫ 𝑉 2 𝑚 𝑠𝑖𝑛2 𝑤𝑡𝑑(𝑤𝑡) + ∫ 0.7072 𝑉 2 𝑚 𝑑(𝑤𝑡) 𝜋 0

𝜋/4

𝜋

+ ∫ 𝑉 2 𝑚 𝑠𝑖𝑛2 𝑤𝑡 𝑑(𝑤𝑡) 3𝜋4

𝑉 2 𝑒𝑓 =

𝑉 2𝑚 1 1 1 𝜋 3𝜋/4 1 𝜋/4 ( 𝑤𝑡 − sin 2𝑤𝑡 + 0.7072 𝑤𝑡 + 𝑤𝑡 − sin 2𝑤𝑡 3𝜋/4 𝜋/4 2 0 𝜋 2 4 4

𝑉 2 𝑒𝑓 =

𝑉 2𝑚 𝜋 1 𝜋 3𝜋 1 ( − + 0.785 + − − ) = 0.34 𝑉𝑚 𝜋 8 4 2 8 4

𝑉 2 𝑒𝑓 = 0.583 𝐹. 𝐹 =

0.583 𝑉𝑚 = 1.081 0.539 𝑉𝑚

Hallar el angulo de fase 𝜃 que debe tener la onda completa senoidal rectificada de la figura para que su valor medio sea la mitad de su valor máximo.

𝑖(𝑤𝑡) = 𝐼𝑚 sin 𝑤𝑡 𝑉. 𝑀 =

𝐼𝑚 2 𝜋

𝐼𝑚 1 = ∫ 𝐼𝑚 sin 𝑤𝑡 𝑑𝑤𝑡 2 𝜋 0

𝜋 𝜋 (− cos 𝑤𝑡) = = (1 + cos 𝜃) 2 𝜋 2 0 𝜋 cos 𝜃 = = 1 = 𝜃 = cos−1 ( 𝜋/2 − 1) = 0.963 𝑟𝑎𝑑 2 𝐼𝑚

=

𝐼𝑚

1

𝜋

Comprobación V.m = 𝜋 ∫0 𝐼𝑚 sin 𝑤𝑡 𝑑𝑤𝑡 =

𝐼𝑚 𝜋

𝜋 (− cos 𝑤𝑡) = 0.5 𝐼𝑚 0.963

La intensidad de corriente que circula por una resistencia de 10 ohms tiene la forma de onda del problema anterior con un valor máximo de 20 amperes. La potencia media disipada por la resistencia es de 800 W. hallar el ángulo 𝜃.

𝑃 = 𝑖 2 𝑒𝑓 = 𝐼𝑒𝑓 = √

𝑃 800 = √ = 8.94 𝑅 10

𝜋

202 𝑤𝑡 1 𝜋 8.94 = ∫ sin2 𝑤𝑡 𝑑(𝑤𝑡) = (202 /𝜋) ( − sin 2𝑤𝑡) 0 𝜋 2 4 2

0

0.07 =

𝜋 𝜃 1 𝜃 1 − + sin 2𝜃 + − sin 2𝜃 = 0.943 2 2 4 2 4

𝜃 = 1.73 𝜋

202 202 𝜋 1.73 1 𝐼 2 𝑒𝑓 = ∫ sin2 𝑤𝑡 𝑑𝑤𝑡 = ( − + sin 2(1.73)) = 𝐼𝑒𝑓 = 8.938 𝜋 𝜋 2 2 4 1.73