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• Kenyi Calle Cruz

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Derivadas parciales. Interpretación geométrica. Propiedades Cálculo avanzado para ingeniería Semana 02

Sesión 03

EJERCICIOS EXPLICATIVOS 2

1. Si 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑦 − 15 ln( 𝑥 2 + 𝑦 2 + 16), calcule las primeras derivadas parciales, es decir: 𝑓𝑥 (𝑥; 𝑦), 𝑓𝑦 (𝑥; 𝑦). 𝑟2

2. Sea 𝑓 una función definida por 𝑓(𝑟; 𝑡) = 𝑡 𝑝 𝑒 − 4𝑡 , determine el valor de 𝑝 para que 𝑓 satisfaga la siguiente ecuación: 𝜕𝑓 1 𝑝−1 𝜕 3 −𝑟2 =− 2𝑡 ( (𝑟 𝑒 4𝑡 )) 𝜕𝑡 2𝑟 𝜕𝑟 3. Sea 𝑔 una función real diferenciable hasta orden 2 tal que 𝑔(1) = 0, y además cumple con la siguiente condición 𝑔’(𝑥). 𝑒 𝑔(𝑥) = 1, ∀𝑥 > 0 Si definimos a la función real de dos variables como 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑔(𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑦 ). Calcule 𝜕𝑓 𝜕𝑓 + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 4. Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto 𝐴(5; 4) de una placa metálica cuya temperatura en (𝑥; 𝑦) es: 𝑇(𝑥; 𝑦) = 100 − 𝑥 2 − 3𝑦 2 en grados Celsius Calcule la razón de cambio de la temperatura desde la posición 𝐴, en la dirección positiva del eje 𝑋 (en metros) y en la dirección positiva del eje 𝑌 (en metros). Intérprete.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Sea una caja rectangular cerrada de manera que su volumen sea 36 𝑝𝑖𝑒𝑠 cúbicos. El costo del material de la tapa y de la base es de s/10 el pie cuadrado, y del material para las partes de enfrente y de atrás es de s/9 el pie cuadrado y el material para los otros lados es de s/7 el pie cuadrado. Si 𝐶(𝑥; 𝑦) es la función costo donde x e y son las medidas del largo y ancho de la base de la caja respectivamente. Calcule 𝐶𝑥 (3; 4) 2. Sea la función: 𝑥−1 2 2 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥𝑦. 𝑒 𝑥 +𝑦 + ln ( ) 𝑦−1 Si 𝑔(𝑥; 𝑦) =

𝜕𝑓(𝑥;𝑦) 𝜕𝑥

+

𝜕𝑓(𝑥;𝑦) 𝜕𝑦

, calcule el dominio de 𝑔(𝑥; 𝑦)

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3. La ecuación dada por 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇, donde 𝑛 y 𝑅 son constantes; relaciona las variables 𝑝, 𝑉 y 𝑇. Después de despejar 𝑝, 𝑉 y 𝑇 respectivamente en función de las otras dos variables, calcule 𝜕𝑝 𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝐸 = ( ) ( ) ( ). 𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑝 4. Sea 𝑓 una función definida por 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 a. Calcule las primeras derivadas parciales. b. Si: 𝑥

𝜕𝑓 𝜕𝑥

+𝑦

𝜕𝑓 𝜕𝑦

+𝑧

𝜕𝑓 𝜕𝑧

= √𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 2 + 𝑐𝑧 2 , donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son constantes.

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. Sea la función 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑒 𝑎𝑥+𝑏𝑦 𝑔(𝑥; 𝑦). Si 𝑔𝑥 (𝑥; 𝑦) = 𝑔𝑦 (𝑥; 𝑦) = 1. Calcule los valores de las constantes 𝑎 y 𝑏 tales que 𝑓𝑥 (𝑥; 𝑦) = 𝑓𝑦 (𝑥; 𝑦) y además 1 + 𝑓𝑥𝑦 = 𝑎 + 𝑓𝑦𝑥 2. Sea la función: 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑙𝑛 ( Si 𝑔(𝑥; 𝑦) =

𝜕𝑓(𝑥;𝑦) 𝜕𝑥

+

𝜕𝑓(𝑥;𝑦) 𝜕𝑦

√𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥

)

, calcule el dominio de 𝑔(𝑥; 𝑦)

3. La función de costo de empresa SAJITA S.A que produce dos tipos de productos 𝐴 y 𝐵 es: 𝑪(𝒙; 𝒚) = 50ln(𝑥) + 40ln(𝑦) + 14𝑦 2 + 11𝑥 2 donde 𝑥 e 𝑦 son las cantidades producidas del tipo 𝐴 y 𝐵 respectivamente. Calcule e Interprete las ecuaciones 𝐶𝑥 (50; 20) y 𝐶𝑦 (50; 20). 𝑦

4. Dada función: 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 2𝑛 𝑒 −4𝑥 + 1. Calcule el valor de la constante 𝑛 tal que 𝑓 satisfaga la siguiente ecuación: 𝜕𝑓 𝜕 𝜕𝑓 = 4 (𝑦 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 5. Sea 𝑔(𝑥;𝑦;𝑧)

𝑠𝑒𝑛(𝑡 2 ) 𝑑𝑡

𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = ∫ Calcule:

𝜕2 𝑓 𝜕𝑧 2

1

(2; 𝜋; 1) sabiendo que 𝑔(𝑥; 𝑦; 𝑧) =

𝑧√𝑥𝑦

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