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• Franco Avellaneda

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FÍSICA GENERAL Producto vectorial y sus aplicaciones

W. R.HAMILTON: COMPLEJOS, CUATERNIOS Y VECTORES Sir William Rowan Hamilton fue sin lugar a dudas una persona superdotada en muchos aspectos: a los 5 años lea griego, latín, hebreo y dominaba a los diez años media docena de lenguas orientales. Estudio en el Trinity College de Dublín, y a los 22 años era ya astrónomo real de Irlanda, director del Observatorio de Dunsink y profesor de Astronomía. Publico pronto un trabajo sobre rayos en Óptica, y estudio otros interesantes fenómenos naturales cuya explicación y confirmación experimental le dieron enorme prestigio, tanto como para ser elevado a la nobleza a los 30 años.

Habiendo axiomatizado los números complejos en el plano: ¿Existe una teoría de ternas en el espacio?

Introducción  El producto vectorial es una de las dos formas de multiplicar vectores que se realizan en la mayoría de las aplicaciones de Física y Astronomía.  El producto vectorial es una manera de fabricar cierto tipo de (pseudo)-vector a partir de dos vectores

PRODUCTO VECTORIAL Dados dos magnitudes, 𝑟 y 𝐹 , que forman un ángulo θ, podemos construir una nueva magnitud como el producto vectorial de estas dos 𝑀 = 𝑟 × 𝐹. Esta magnitud es también vectorial

MÓDULO  Es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el valor absoluto del seno del ángulo que forman. Equivalentemente, es el área del paralelogramo que definen ambos vectores.

DIRECCIÓN YSENTIDO DIRECCIÓN  La perpendicular al plano definido por los vectores 𝑟 y 𝑀. SENTIDO  El dado por la regla de la mano derecha: si colocamos nuestra mano derecha de forma que los dedos sigan el sentido de giro desde el primer vector 𝑟, hacia el segundo vector 𝐹 , por el camino más corto, entonces el pulgar extendido apunta en el sentido de 𝑟 × 𝐹 .

PROPIEDADES NO ES CONMUTATIVO

En su lugar, el producto vectorial es anticonmutativo

CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE DOS DIRECCIONES

El producto vectorial se anula cuando alguno de los vectores es nulo o se trata de vectores paralelos

CANCELACIÓN POR ORTOGONALIDAD

∥

PROPIEDADES NO ES ASOCIATIVO

DISTRIBUTIVO

REGLA DE LA EXPULSIÓN

IDENTIDAD DE JACOBI

PROPIEDADES RELACION DEL PRODUCTO VECTORIAL CON EL ÁREA DEL PARALELOGRAMO

En la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores 𝑎 × 𝑏, Siendo 𝜃, el ángulo menor entre los vectores 𝑎 × 𝑏 MÓDULO O NORMA DEL PRODUCTO VECTORIAL

VECTOR UNITARIO

APLICACIONES EN MATEMÁTICAS CALCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES El producto vectorial entre dos vectores define tiene como módulo un valor igual al área del paralelogramo generado por los mismos:

El volumen de un paralelepípedo generado por tres vectores viene dado por el producto mixto siguiente:

Además, el producto vectorial tiene muchas aplicaciones útiles en la Geometría Analítica, como por ejemplo para determinar la perpendicular común a dos rectas, o representar vectorialmente planos y superficies.

APLICACIONES EN LA FÍSICA MOMENTO ANGULAR Y TORQUE

Y ambas se relacionan por la conocida relación:

Muchas gracias! “Si he hecho descubrimientos invaluables ha sido más por tener paciencia que cualquier otro talento” Isaac Newton

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