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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y DE ENERGIA ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA MECANICA

SEPARATA 3 SEMESTRE 2019-A CONTENIDO: • • • • •

Ley Generalizada de hooke Sistemas Isostáticos Sistemas Hiperestáticos Esfuerzos Térmicos Errores de fabricación

PROFESOR DEL CURSO: MG. MARTIN SIHUAY FERNANDEZ

Dirección Académica de Ingeniería Mecánica

1

RELACION DE POISSON (  ) Material: Homogéneo, continuo e isótropo Linealmente elástico.

=-

𝒅𝒆𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒂 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅𝒊𝒏𝒂𝒍

LEY GENERALIZADA DE HOOKE

Los esfuerzos normales producen deformaciones longitudinales Deformaciones debido solo a X

X = X / E  = - Y / X , Y = -X = -X/E  = - Z / X , Z = -X = -X/E Deformaciones debido solo a Y Y = Y / E

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 = - X / Y , X = -Y = -Y/E  = - Z / Y , Z = -Y = -Y/E Deformaciones debido solo a Z Z = Z / E  = - X / Z , X = -Z = -Z/E  = - Y / Z , Y = -Z = -Z/E Por lo tanto : 1

X = [𝑋 − (𝑌 + 𝑍 ) ] 𝐸 1

Y = [𝑌 − (𝑋 + 𝑍 ) ] 𝐸

1

Z = [𝑍 − (𝑋 + 𝑌 ) ] 𝐸

Los esfuerzos cortantes producen deformaciones cortantes

XY = XY G

YZ = YZ G

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XZ = XZ Dónde: G: Modulo de elasticidad del corte del material  : Deformación unitaria al corte  : Esfuerzo cortante Cambio de volumen ( V ) V = (dx)(dy)(dz) Vf = ( dx + xdx ) ( dy + ydy )( dz + zdz ) Vf = (dx)(dy)(dz) (1+x)(1+y)(1+z) Vf = V ( 1+x +y + z ) Vf –V = V ( x +y + z ) V = Vf –V = V ( x +y + z ) v= deformación unitaria volumétrica = 1−2

v = (

𝐸

𝑉 𝑉

= x +y + z

) (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )

Ejercicios 1.-Un circulo de diámetro d= 9pulg está inscrito en una placa de aluminio no esforzada, con espesor t= 3/4pulg .las fuerzas que actúan en el plano de la placa producen esfuerzos normales X = 12Ksi, Z= 20Ksi. Para E= 10x106Psi y =1/3 , halle el cambio de longitud del diámetro AB , CD y el espesor de la placa.

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1

1 1 X = [𝑋 − (𝑌 + 𝑍 ) ] = = 𝐸 [12 − 3 (0 + 20)] = 0.533x10-3 pulg/pulg

𝐸

1

1 1 Y = [𝑌 − (𝑋 + 𝑍 ) ] = 𝐸 [0 − 3 (12 + 20)] = -1.067x10-3pulg/pulg

𝐸

1

1 1 Z = [𝑍 − (𝑋 + 𝑌 ) ] = 𝐸 [20 − 3 (12 + 0)] = 1.6x10-3pulg/pulg

𝐸

Analizando el cambio de longitud del diámetro AB , CD y espesor de la placa AB = X ( 9pulg ) = 4.8x10-3pulg CD = Z ( 9pulg ) = 14.4x10-3pulg t = y ( 9pulg ) = -0.8x10-3pulg

SISTEMAS ISOSTATICOS E HIPERESTATICOS SOMETIDOS A FUERZAS AXIALES O NORMALES Grado de hiperestaticidad ( GH )

GH = Incógnitas(R) - Nºecuaciones de la estática (E) Si el GH = 0 , el sistema es isostático Si el GH> 0 , el sistema es hiperestático Si el GH < 0 , el sistema es inestable

Sistema inestable

Sistema hiperestático de grado 1

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R= 3 E=3

GH= 0 Sistema isostático

Sistema hiperestático de grado

Deformaciones en un sistema isostáticos de barras sometidos a cargas axiales 1.- Un tirante y un puntal de tubo se usan para sostener una carga de 50KN . Las áreas son de 650mm2 para el tirante AB y de 925mm2 para el puntal tubular BC. Ambos miembros están hechos de acero estructural ( E= 200GPa) , determine el alargamiento o acortamiento de AB y BC ,los desplazamientos horizontal y vertical del punto B.

Realizamos el análisis en el nudo B FX = 0 FBC Cos42.61 = FAB …… (1) FY = 0 FBC Sen42.61 = 50 ….(2) Resolviendo 1 y 2 FAB = 54.36KN (tracción) FBC = 76.58KN(compresión ) AB = AB =

𝐹𝐴𝐵 𝐿𝐴𝐵 𝐸𝐴𝐴𝐵

=

54.36𝑥103 𝑥1.25 200𝑥109 𝑥650𝑥10−6

= 0.523mm

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BC = BC =

𝐹𝐵𝐶 𝐿𝐵𝐶 𝐸𝐴𝐵𝐶

=

76.58𝑥103 𝑥1.699 200𝑥109 𝑥925𝑥10−6

= 0.678mm

Realizando el diagrama de desplazamientos

Del grafico se observa que el desplazamiento horizontal de B es AB H = AB = 0.523mm De la gráfica se observa: a = ABCos 42.61 = 0.3847mm b= BC = 0.678mm Sen 42.61 =

(𝑎+𝑏)

𝑉

, reemplazando se obtiene : V = 1.570mm

Estructuras estáticamente indeterminada o hiperestática 1.-Una estructura conectada con seguros está sometida a cargas y sostenida como se muestra en la figura. El miembro CD es rígido esta horizontal antes de aplicar la carga P. El miembro A es una barra de aleación de aluminio (E= 75GPa , A= 1000mm2 ). El miembro B es una barra de acero estructural ( E= 200GPa , A= 500mm2 ) Determine la deflexión en D

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Realizamos el DCL de la barra rígida CD

GH = 4 – 3 = 1º , sistema hiperestático de 1º grado , necesitamos una ecuación adicional para levantar la indeterminación de la estructura. MC = 0 , FB(1.5) + FA(4) = 150(5) …….(1) Realizamos el Diagrama de desplazamiento

Del diagrama de desplazamiento se observa: A = A = B = B = 𝐴 4

=

𝐵 1.5

𝐹𝐴 𝐿𝐴 𝐸𝐴 𝐴𝐴 𝐹𝐵 𝐿𝐵 𝐸𝐵 𝐴𝐵

= =

𝐹𝐴 (2) 𝐸𝐴 (1000) 𝐹𝐵 (1.5) 𝐸𝐵 (500)

, reemplazando se tiene : FA = 1.5FB …….(2)

Resolviendo la ecuación 1 y 2 tenemos: FA = 150KN , FB = 100KN 𝐴 4

=

𝐷 5

, resolviendo D = 5mm ( hacia abajo )

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ESFUERZOS TERMICOS Q

T = L(T) Dónde:  : Coeficiente de dilatación térmica longitudinal ( 1/ºC , 1/ºF ) T = Variación de temperatura = TF – T0 TF = Temperatura final T0 = Temperatura inicial

1.- Después de aplicar una carga P= 150KN , la estructura conectada con seguros , la temperatura aumenta 100ºC , la varilla de aluminio en A (  = 22x10-6/ºC , E = 75GPa , A= 1000mm2 ) y la varilla B de acero ( = 12x10-6/ºC , E= 200GPa , A = 500mm2) . Si el miembro CD es rígido determine, la deflexión del seguro D y los esfuerzos normales en las barras A y B.

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Realizamos DCL del elemento rígido CD

GH = 4 – 3 = 1º , sistema hiperestático de grado 1 MC = 0 , FB ( 1.5 ) + FA ( 4 ) = 150(5) …….(1)

Se observa en el diagrama de desplazamiento lo siguiente: A 4

A = AT + AP = 22x10-6 ( 2 )(100) +

=

B 1.5

FA (2) 9 75x10 x1000x10−6

b = BT + BP = 22x10-6 ( 1.5 )(100) +

FB (1.5) 200x109 x500x10−6

Reemplazando se tiene : FA = 1.5FB + 15x103 ……….(2) Resolviendo 1 y 2 FA = 153KN FB = 92KN A = B =

𝐹𝐴 𝐴𝐴 𝐹𝐵 𝐴𝐵

= =

153𝑥1000 1000𝑥10−6 92𝑥1000 500𝑥10−6

= 153MPa = 184MPa

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Para el cálculo del desplazamiento en D , del diagrama de desplazamiento se tiene : A 4

=

D 5

D = 5/4 ( A ) =

5 4

(AT + AP = 22x10-6 ( 2 )(100) +

FA (2) 75x109 x1000x10−6

)=10.6mm

ESFUERZOS DE MONTAJE O ERROR DE FABRICACION 1.- Determinar los esfuerzos que surgen en las barras de acero, después de haber realizado el montaje del sistema estructural , si la barra 2 fue fabricada en  = 0.4mm menor de lo proyectado , considerar E acero = 2x106 Kgf/cm2 Considerar el elemento horizontal rígido

Realizamos el DCL del elemento rígido

MB = 0 , P2( 2L ) = P1 ( L ) + P3(3L ) ……….(1) , GH: 5 – 3 = 2º Realizamos el diagrama de desplazamiento

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1 =

𝑃1 (2 ) 𝐸𝐴

Del diagrama se observa lo siguiente : 1 L

=

 2L

,  = 21

 = 2 +  = 2 + 21 , 0.04 =

1 L

=

3 3L

, 3 = 31

,

𝑃3 (2 ) 𝐸𝐴

𝑃2 (2 ) 𝐸𝐴

=3

+2

𝑃1 (2 ) 𝐸𝐴

𝑃1 (2 ) 𝐸𝐴

, 2P1 + P2 = 4000 ……(2)

, P3 = 3P1 ……(3)

Resolviendo 1 , 2 y 3 se obtiene : P1 = 571,43Kgf P2 = 2857,14Kgf P3 = 1714,29Kgf 1 =

𝑃1

2 =

𝑃2

3 =

𝑃3

𝐴

𝐴

𝐴

= 57.143Kgf/cm2 ( compresion ) = 285.714Kgf/cm2 ( traccion ) = 171.43Kgf/cm2 ( compresion )

Problemas propuestos 1.- Un tirante AB y un puntal tubular AC se usan para sostener una carga de 100KN . Ambos miembros están hechos de acero estructural ( E= 200GPa) Las áreas transversales son de 620mm2 para AB y de 1000mm2 para AC , determine: a) Los esfuerzos normales en el tirante y en el puntal tubular. b) Los cambios de longitud del tirante y del puntal tubular. c) Los desplazamientos horizontal y vertical del punto A.

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2.- Una barra rígida CD está sometida a carga . La barra A esta hecha de acero ( E= 30000Ksi ) y tiene un área transversal de 2pulg2 . La barra B está hecha de latón ( E= 15000Ksi) y tiene un área transversal de 1.5pulg2 . Después de aplicar la carga P , se encuentra que la deformación unitaria en la barra B es de 1500x10-6. Determine los esfuerzos en las barras A y B , el desplazamiento vertical de C y la carga P.

3.- Una columna tubular de acero ( E= 30000Ksi ) con un diámetro exterior de 3pulg y un diámetro interior de 2.5pulg está ligada a apoyos fijos en la parte superior e inferior , se usa una abrazadera rígida C para aplicar una carga P= 50KLb , determine los esfuerzos normales en las partes superior e inferior del tubo , y la deflexión de la abrazadera C.

4.- La barra BF está hecha de acero (E= 210GPa , A= 1200mm2) y la barra CE está hecha de aleación de aluminio ( E= 73GPa, A= 900mm2) , si se aplica una carga P= 50KN , determine el esfuerzo normal en la barra CE y el desplazamiento del seguro D

5.-Una barra rígida CD está sometida a cargas y sostenida como se muestra en la figura . Las barras A y B están libres de Dirección Académica de Ingeniería Mecánica

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esfuerzos a 70ºF antes de aplicar la carga P . La barra A esta hecha de acero ( E= 30000Ksi , A= 2pulg2 ,  = 6.6x10-6/ºF) y la barra B está hecha de latón ( E= 15000Ksi , A= 1.5pulg2 ,  = 9.8x10-6/ºF , después de aplicar la carga P , la temperatura de ambas barras aumentan en 100ºF , determine los esfuerzos en las barras A y B , el desplazamiento vertical dl seguro C

6.- Una barra consta de dos porciones cilíndricas AB y BC y están restringidas en ambos extremos . La parte AB es de acero ( E= 200GPa , = 11.7x10-6/ºC ) y la barra BC es de latón ( E= 105GPa , = 20.9x10-6/ºC ) .Si la barra no está esforzada inicialmente halle los esfuerzos normales inducidos en AB y BC por un aumento de temperatura de 50ºC y la deflexión correspondiente del punto B.

7.- La estructura conectada con seguros consta de una barra rígida ABCD, una barra BF de acero (E= 210GPa ,  = 11.9x10-6/ºC , A= 1200mm2 ) y una barra CE de aleación de aluminio ( E= 73GPa,  = 22.5x10-6/ ºC , A= 900mm2 ) . Las barras están libres de esfuerzos cuando la estructura se ensambla a 40ºC , determine los esfuerzos normales en las barras A y B y el desplazamiento vertical del seguro E.

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8.- Determinar los esfuerzos que surgen en las barras de acero(E acero = 2x106 Kgf/cm2 , Lbarra= 4m,A=10cm2 ) después de haber realizado el montaje del sistema estructural , si la barra 2 fue fabricada en  = 0.4mm menor de lo proyectado. Considerar el elemento horizontal rígido, L = 2m

9.- Determine los esfuerzos que se generan en la barra I y II sabiendo que a= 400mm ,  = 0.6mm , E= 2x106 Kgf/cm2 y que ambas barras tienen la misma sección transversal igual a A. Considere el elemento curvo rígido.

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