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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y DE ENERGIA ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECANICA

SEPARATA 4 SEMESTRE 2019-A CONTENIDO:    

Esfuerzos cortantes por torsión en sección redonda Deformaciones por cortante en torsión Sistemas Isostáticos Sistemas Hiperestáticos

PROFESOR DEL CURSO: MG. MARTIN SIHUAY FERNANDEZ

TORSION AXIAL Dirección Académica de IngenieríaMecánicaa

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TORSION EN BARRAS RECTAS DE SECCION CIRCULAR Hipótesis: 1.2.3.4.-

Material homogéneo, continuo e isótropo Material linealmente elástico Las secciones transversales giran como cuerpos rígidos Los radios y la longitud del eje permanecen rectos durante la torsión

Se nota : T = 0 , T = T’ Analizando la porción por equilibrio se cumple Tinterno = T Tinterno =

∫ ρ(dF) = ∫ ρ(dA) …..(1)

DEFORMACIONES EN EL EJE CIRCULAR

Se nota del análisis de deformaciones :

AA’ = L = ρϕ ,

 = ρϕ / L

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CC’ = maxL = Rϕ , max = Rϕ /L /max = ρ/R ,  = maxρ/R Si el material es linealmente elástico se cumple :  = G ,  =  /G

 =  /G = max ρ/ R  = max ρG/R max = Gmax , /max = ρ/R ,  = max ρ/R Esfuerzo cortante en un eje circular macizo De (1) Tinterno =

∫ ρ(dF) = ∫ ρ(dA) ρ

∫ ρ(dA) = ∫ ρ (❑max R ) dA = ∫ ρ2

T=

T=

❑max I R p

,

❑max dA = ( max )/R ( R

max =

∫ ρ2 dA

)

TR Ip

Para una sección maciza circular

Ip =

R2 2

Para una sección tubular

Ip =

¿¿

Angulo de torsión TR( ρ)  =  / G = max ρ/RG = I (RG) P

 = Tρ/IpG = ρϕ / L Φ = TL/GIp Esta fórmula es aplicable cuando el área es constante , en el caso de tener varios tramos sometidos apares de torsión se emplea la siguiente ecuación:

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TL

Φ =  I PG En el caso de tener área variable se utiliza la siguiente ecuación: TdL

Φ = ∫ IPG Distribución de esfuerzos cortantes

 max

R2

 max

 max Eje macizo

 min  min

 max

R1

Eje tubular

EJES ESTATICAMENTE DETERMINADOS Ejercicios 1.- Una flecha solida de acero de 14pies de longitud tiene un diámetro de 6pulg para 9pies de longitud y un diámetro de 4pulg para 5pies de longitud . La flecha está en equilibrio cuando está sujeta a los tres pares mostrados en la figura . El módulo de rigidez al cortante del acero es G= 12000Ksi . Determine : a) El esfuerzo cortante máximo en la flecha b) El giro de ϕB/A c) El giro de ϕC/B d) El giro de ϕC/A

Determinamos los momentos torsores internos en cada tramo Tramo CB T = 0 , T4 = 5KLb-pie (+)

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Tramo BA T = 0 , 20 = 5 + T6 , T6 = 15KLb-pie (- ) Realizamos el diagrama de momento torsor (DMT)

Calculando el momento de inercia polar de cada tramo Ip4 =

24 = 25.13pulg4 2

Ip6 =

34 = 127.23pulg4 2

Determinando los esfuerzos cortantes máximos para cada tramo se tiene:

max AB =

T AB R AB 15(12)(3) = = 4.24Ksi I AB 127.3

max BC =

T BC R BC 5(12)(2) = = 4.775Ksi (Rpta ) I BC 25.13

ϕB/A = =

T AB L AB 15(12)(9)(12) = = 0.01273 rad ( antihorario ) 12000(127.23) G I AB

ϕC/B = =

T BC LBC 5(12)(5)(12) = = 0.01194 rad ( horario ) G I BC 12000(25.13)

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ϕC/A = ϕC/B + ϕB/A = -0.01194rad + 0.01273rad = 0.000795rad ( antihorario ) EJES ESTATICAMENTE INDETERMINADOS 1.- Un eje circular AB consta de un cilindro de acero de 10pulg de longitud y 7/8pulg de diámetro , al cual se le ha abierto una cavidad de 5pulg de largo y 5/8pulg de diámetro desde el extremo B . El eje está unido a soportes fijos en ambos extremos y se le aplica un torque de 90Lb-pie en su sección central . Determine el torque ejercido sobre el eje por cada uno de los soportes.

Realizamos el DCL del eje AB GH = 2-1 = 1º T = 0, TA + TB = 90Lb-pie …….(1) Analizando el tramo BC T = 0 , TBC = T2 =

TB (-)

Analizamos el tramo AC T=0 TAC = T1 = TA(+) ΦA/B = ϕA – ϕB =0 = ϕA/C + ϕC/B …….(2) T AC L AC

T A5

T CB L BC

−T B 5

ϕA/C = G I = GI AC AC ϕC/B = G I = GI BC BC

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Determinando los momentos de inercia polar de cada tramo

IAC

7 16 = 2

( ) ❑

ICB = 2

4

= 57.6x10-3pulg4 7 4 5 − 16 16

4

[( ) ( ) ]= 42.6x10 pulg -3

4

Reemplazando en la ec (2) TB = 0.74TA …..(3) Resolviendo la ecuación 1 y 3 tenemos TA = 51.7Lb-pie

, TB = 38.3Lb-pie

2.- Un cilindro hueco circular de aleación de aluminio ( G=4000Ksi ) tiene un núcleo de acero ( G= 11600Ksi ) . Las partes de acero y de aluminio están bien conectadas en los extremos . Si los esfuerzos admisibles en el acero y en el aluminio deben limitarse a 14Ksi y 10 Ksi respectivamente , determine: a) El par máximo T que puede aplicarse al extremo derecho de la flecha compuesta. b) La rotación del extremo derecho de la barra compuesta cuando se aplica el par del inciso a.

Realizamos el DCL del eje compuesto T =0 , TS + Ta = T …….(1 ) ΦS = ϕa T S LS GS I PS

=

T a La Ga I Pa

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Calculo del momento de inercia polar de cada elemento ❑ 4 4 IPa = 2 ( 2 −1 ) = 23.56pulg4 ❑ 4 IPS = 2 ( 1 ) = 1.57pulg4 T S LS G S I PS

=

T a La Ga I Pa

,

T S (60) 11600(1.57)

=

T a (60) 4000(23.56)

,

TS = 0.193Ta …….. (2)

Resolviendo la ecuación 1 y 2 0.193Ta +Ta = T

, Ta = 0.84T , TS = 0.16T

De los datos tenemos : a =

T a (2) 23.56

,

10Ksi =

0.84 T (2) 23.56

,

T = 140.23KLb-pulg

S =

T S (1) 1.57

,

14Ksi =

0.16 T (1) 1.57

,

T = 137.375KLb-pulg ( Rpta )

ΦS =

T S LS 0.16(137.375)(60) = = 0.0724rad (Rpta ) GS I PS 11600 (1.57)

Problemas propuestos

1.- Una flecha circular solida de acero ( G= 12000Ksi ) con diámetros como se muestra en la figura , está sujeta a un par de T= 15KLb-pulg. Determine: a) El esfuerzo cortante máximo en el tramo AB y BC b) La rotación del extremo C respecto al extremo A

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2.- Cinco poleas de 600mm de diámetro están unidas a una flecha solida de acero de 40mm de diámetro ( G= 76GPa ) . Las poleas soportan correas que se usan para impulsar maquinaria en una fábrica. Las tensiones de las correas para condiciones normales de operación se indica en la figura . Cada segmento de la flecha tiene 1.5m de longitud .Determine: a) El esfuerzo cortante máximo para cada segmento de la flecha. b) La rotación del extremo E con respecto al extremo A. 3.-La flecha de acero ( G= 12000Ksi) está empotrada en muros rígidos en ambos extremos . La parte derecha de 10pies de la flecha es hueca , teniendo un diámetro interno de 2pulg .determine: a) El esfuerzo cortante máximo en la flecha b)El ángulo de rotación de la sección donde se aplica el par de 25KLb-pie

4.- El extremo A del eje compuesto se somete a torsión mediante un torque T. Sabiendo que el máximo esfuerzo cortante en la camisa de aluminio( G=3.7x106 Psi ) es de 9Ksi . Considerar el Gacero = 11.2x106Psi , halle: a) El esfuerzo cortante máximo en el acero. b)La magnitud T del torque aplicado en A.

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5.- Dos ejes solidos de acero ( G= 77GPa) están conectados por los engranajes mostrados . Determine el ángulo que rota el extremo A cuando se le aplica un torque T de 600Nm

6.- Un eje hueco de acero ACB con diámetro exterior de 50mm y diámetro interior de 40mm está fijo en los extremos A y B a fin de evitar su rotación. Las fuerzas horizontales P se aplican en los extremos de un brazo Vertical que esta soldado al eje en el punto C. Determine el valor permisible de las fuerzas P si el esfuerzo cortante máximo permisible en el eje es de 45MPa.

7.- La barra de aleación de aluminio esta fija en ambos extremos y sujeta a un torque axial T a 1m del extremo izquierdo. Si el ángulo de giro de la barra donde se aplica el torque mide 30º , determine cuanto mide el torque T.

8.- El eje compuesto que se muestra en la figura es de aluminio ( G= 4000Ksi )bronce ( G=6000Ksi ) y

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acero ( G= 12000Ksi )Determine la rotación del extremo libre respecto a la pared.

9.- Los extremos A y D de los dos ejes solidos de acero AB y CD están fijos mientras los extremos B y C están conectados a los engranajes . Sabiendo que se aplica un torque de T= 4KN-m al engranaje B , determine el máximo esfuerzo cortante en el eje AB y en el eje CD.

10.- La flecha de 4pulg de diámetro está compuesta de segmentos de latón ( G= 6000Ksi ) y de acero ( G= 12000Ksi) . Determine la magnitud máxima admisible para el par T aplicado en C , si los esfuerzos cortantes admisibles son de 5Ksi para el latón y de 12 Ksi para el acero.

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