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• Salomón CB

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FACULTAD DE MEDICINA HUMANA

DEPARTAMENTO

ACADÉMICO

DE

CIENCIAS

BÁSICAS

MATEMÁTICA APLICADA A LA MEDICINA

Mag.Mat. Juan Carlos Damián Sandoval

2016

2

´Indice 1. SEMINARIO Nro. 1: L´ogica

3

2. SEMINARIO Nro. 2: Leyes l´ogicas y cuantificadores

5

3. SEMINARIO Nro. 3: Conjuntos

6

4. SEMINARIO Nro. 4: An´alisis combinatorio

9

5. SEMINARIO Nro. 5: Probabilidades

11

6. SEMINARIO Nro. 6: Ecuaciones y sistema de ecuaciones

14

7. SEMINARIO Nro. 7: Intervalos e inecuaciones de primer y segundo grado

16

8. SEMINARIO Nro. 8: Inecuaciones de grado superior,racionales e irracionales

18

9. SEMINARIO Nro. 9: Relaciones

19

10. SEMINARIO Nro. 10: Funciones especiales

21

11. SEMINARIO Nro. 11: Operaciones con funciones

23

12. SEMINARIO Nro. 12: Funciones exponenciales y logar´ıtmicas

26

13. SEMINARIO Nro. 13: Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas

27

14. SEMINARIO Nro. 14: L´ımites

29

15. SEMINARIO Nro. 15: Derivadas

31

16. SEMINARIO Nro. 16: Integrales

33

´ SEMINARIO No 1 - LOGICA

3

1. Indicar cuales de los siguientes enunciados es o no es una proposici´on. Justifique su respuesta. En caso de ser una proposici´on, establezca su valor de verdad. Julio C´esar fue presidente de Per´ u. Si la Tierra es plana, entonces 2 + 3 = 5 “Est´a lloviendo y hace fr´ıo”. ¡ay´ udame por favor! ´ esta trabajando en la USMP. Ella ¿Bello d´ıa? ¿por qu´e estoy estudiando una carrera universitaria? V´e en su busca. x+5 0; A = {−2; −1; 0; 1; 2} e) ∃x ∈ R/ x2 + x + 1 = 0 2x + 5 < 10, B = {0; 1; 5; 7} f) ∃x ∈ B/ 3 6. Negar la siguiente proposici´on (∀x ∈ R : |x| = x) −→ (∃x ∈ R/x + 1 ≤ 1) 7. Dadas las expresiones l´ogicas I. ∀x ∈ R : x2 + 8 ≥ 0

II. ∃n ∈ Q/0 < n < 1

III. ∀n ∈ Z + : n2 + n + 17 no es primo

IV. ∃n ∈ N/n + 1 < 5

¿Cu´antas de ellas son verdaderas justifique su respuesta? 8. Negar la proposici´on ∀x ∈ R, ∃y ∈ R/x < y 9. Determina el esquema mas simple de la proposici´on a) [(p −→ q)∨ ∼ p] ∧ (∼ q −→ p) b) (∼ p∨ ∼ q) ∧ [∼ p ∧ (q −→ p)] 10. Analiza el valor de verdad de las siguientes proposiciones i) p : ∃x ∈ Q/x3 < x ii) q : ∀x ∈ Z, ∀y ∈ Z/x2 + y 2 > 0 iii) r : ∀x ∈ Z, ∀y ∈ Z/x < y −→ x2 − y 2 > 0 Con los valores de verdad obtenidos, hallar el valor de verdad de [(∼ p −→ r) ↔ (q∧ ∼ r)] −→∼ q

6

SEMINARIO No 3 - CONJUNTOS 1. Dado el conjunto B = {3; 5; {7}; 8} coloque verdadero o falso seg´ un corresponda. • {5} ⊂ B

• {3; 5; {7}} ∈ B

• {7; 8} ∈ B

• {3; {7}} ∈ P (B)

• {3; 5} ∈ B • {{7}} ∈ P (B)

2. Determina por extensi´on los siguientes conjuntos: b) B = {x/x = n2 − 1, n ∈ Z; −2 < n < 5}

a) A = {x ∈ N/x = 2k, 0 ≤ k < 4} n c) C = x/x =

o n n ∈ Z; −3 ≤ n < 3 n−3

d) D = {x ∈ Z/x3 − 7x − 6 = 0}

3. Determina por comprensi´on los siguientes conjuntos: n 17 19 23 o a) A = {3; 8; 15; 24; 35} b)B = 5; ; ; 7; 3 3 3 n 4 10 18 28 o c) C = 0; ; ; ; 7 9 11 13

d)D =

n1 2 3 4 o ; ; ; ;··· 3 5 7 9

4. Dados el conjunto unitario A = {4a + 1; a + 2b; 3a + 4} Encuentre “b2 − a2 ” 5. Si los conjuntos A = {3a + b − 9; 4a}, B = {5a + 2b; 4} son unitarios, probar que C = {6a + b; 2b + 8a − 3} tambi´en es unitario. 6. Si los conjuntos A y B son iguales, halla la suma de los elementos del conjunto “C”, tal que: A = {32a−2 ; 4b+2 } B = {81; 64} C = {x3 /x ∈ N ∧ b ≤ x ≤ a} 7. Sean los conjuntos A y B y se cumple: n(A ∪ B) = 25; n(A − B) = 11 y n(B − A) = 9 Determine el valor de :n(A) + n(B) 8. Dados los conjuntos A = {x ∈ N/ x es divisor de 12}

B = {x ∈ N/ x es divisor de 18}

C = {x ∈ N/ x es divisor de 16} Determina a) (A − B) ∩ (B − C)

b) (A − B) ∪ (B − C)

c) (A 4 B) ∩ C

9. Sabiendo que el siguiente conjunto A = {5a − 2b + 3; 10a + 5b; 15} es unitario Determine el n´ umero de subconjuntos propios de B = {a; 2a; b + 2; 2b − 5}

7 10. El conjunto potencia de A tiene 256 subconjuntos ¿Cu´antos elementos tiene A? 11. Sean los conjuntos A = {x ∈ Z/x3 + x2 − 9x − 9 = 0}

B = {x ∈ N/(x − 4)2 (x2 − 4)(x2 + 9) = 0}

C = {4; 5; 0; 1; 2; 3} − {4; 5}, encuentre (A ∩ C) 4 B 12. Si n[P (A)] = 128, n[P (B)] = 16 y n[P (A ∩ B)] = 8

Indica el valor de n[P (A ∪ B)]

13. Dados los conjuntos A = {x ∈ N/x + 3 < 8}

B = {x ∈ N/x2 − 3x + 2 = 0}

C = {x ∈ N/x = k − 2, k < 5 ∧ k ∈ N } Encuentra el conjunto E = A − (B ∩ C) 14. Dado el conjunto universal, U = {x/x ∈ N ∧ x < 8} y los subconjuntos: A = {x/x ∈ U ∧ x es par} ; B = {x/x ∈ U ∧ x es divisor de 6}, C = {1; 2; 3; 4; 7} Determina: a) (A0 − C) ∩ B 0

b) (B ∩ C)0 − A

15. En el Hospital Sabogal de 58 pacientes en emergencia 38 tienen fiebre, 15 presentan varicela y 20 neumon´ıa y s´olo 3 de ellos presentan los tres s´ıntomas ¿Cu´antos pacientes tienen exactamente 2 de estas enfermedades? 16. Se entrevistan a “X” personas a cerca de la preferencia del consumo de vitaminas A, B y C observ´andose los siguientes resultados: - 2 no consumen ni A ni B ni C. - 2 consumen las tres vitaminas. - 7 consumen solo C. - 5 consumen solo B. - 16 consumen B o C pero no A. - 10 consumen A y C. - 10 consumen A pero no B. - 3 consumen A y B pero no C. ¿Cu´antas fueron las personas entrevistadas? 17. En un instituto de investigaci´on cient´ıfica trabajan 67 m´edicos. De estos 47 investigan el c´ancer, 35 investigan el sida y 23 ambas enfermedades. ¿Cu´antos m´edicos en el instituto no estudian el c´ancer ni el sida? 18. En el pabell´on A de un hospital hay 40 pacientes, algunos que estudian o trabajan y otros que ni estudian ni trabajan. Se tiene que presentar un informe acerca de los pacientes sabiendo que:15 pacientes no estudian ni trabajan,10 pacientes estudian, 3 pacientes estudian y trabajan. ¿Cu´antos trabajan? ¿Cu´antos s´olo trabajan? ¿Cu´antos s´olo estudian?.

8 19. En un sal´on de 100 alumnos, 60 aprueban Matem´atica, 40 aprueban Qu´ımica, 30 aprueban Lenguaje y 10 aprueban los tres cursos. ¿Cu´antos alumnos aprueban exactamente 2 cursos? 20. En una encuesta a los alumnos de cierta universidad se obtuvo la siguiente informaci´on: El 60 % aprob´o f´ısica; el 40 % aprob´o qu´ımica; el 75 % aprob´o matem´atica; el 10 % aprob´o los tres cursos; el 10 % aprob´o f´ısica solamente; el 15 %aprob´o qu´ımica y f´ısica; y el 30 % aprob´o qu´ımica y matem´atica. ¿Cu´al es el porcentaje de alumnos que lamentablemente no aprob´o curso alguno? 21. En un test psicol´ogico a 80 universitarios se recogi´o la siguiente informaci´on: 9 universitarios fueron diagnosticados con las psicopatolog´ıas A y B pero no C; 11 universitarios fueron diagnosticados con B y C pero no A; 5 universitarios fueron diagnosticados con A y C pero no B, 62 universitarios fueron diagnosticados con al menos una de estas psicopatolog´ıas y 11 universitarios fueron diagnosticados con A y B. ¿Cu´antos universitarios fueron diagnosticados con una sola psicopatolog´ıa? 22. En una batalla intervienen 100 soldados de los cuales: 42 fueron heridos en la cabeza, 43 fueron heridos en el brazo, 32 fueron heridos en la pierna, 8 fueron heridos en la pierna y el brazo, 5 fueron heridos en la cabeza y el brazo, 6 fueron heridos en la pierna y la cabeza. Si todos fueron heridos ¿Cu´antos fueron heridos en la cabeza, la pierna y el brazo? 23. En el examen de admisi´on de una universidad de un total de 30 postulantes que se presentaron a la carrera profesional de idiomas, 14 dominan filosof´ıa, 19 dominan literatura y 13 razonamiento verbal, si: n[F − (L ∪ R)] = 3 ; n[(L ∩ R) − F ] = 4, n[(F ∩ L) − R] = 8, n[R − (F ∪ L)] = 6, n[F ∩ L ∩ R] = 2 ¿Cu´antos no dominan ninguna de las 3 ´areas? 24. Al preguntarles a un grupo de lectores acerca de sus preferencias por dos diarios locales, se obtuvo que:

1 2

leen la industria;

7 12

leen el norte˜ no;

peri´odicos. ¿A cu´antos lectores se entrevist´o?

1 6

leen ambos diarios y 35 leen otro

9

´ SEMINARIO No 4 - ANALISIS COMBINATORIO 1. En un hospital se utilizan seis s´ımbolos para clasificar las historias cl´ınicas de sus pacientes, de manera que los tres primeros son letras y los tres u ´ltimos d´ıgitos cualesquiera. Suponiendo que hay 20 letras, ¿cu´antas historias cl´ınicas podr´an hacerse si las tres letras no pueden ser iguales? 2. En cierta cl´ınica se requiere formar grupos con 3 cardi´ologos, 2 neum´ologos y 1 anestesista, ¿de cu´antas maneras pueden agruparse si en total se dispone de 7 cardi´ologos, 4 neum´ologos y 3 anestesistas? 3. Se convocan a 4 ingenieros, 3 abogados y 5 m´edicos para un proyecto especial. ¿Cu´antos grupos de 4 miembros se pueden formar de manera que cada grupo est´e integrado por lo menos por un m´edico? 4. En una operaci´on laparosc´opica participan el m´edico cirujano y la enfermera jefe acompa˜ nados de 6 internos (del quinto a˜ no), ¿de cu´antas formas distintas se pueden ordenar alrededor del paciente si el m´edico y la enfermera siempre est´an juntos? 5. En una reuni´on hay 16 estudiantes y 4 profesores a) ¿Cu´antas comisiones de 5 personas cada una pueden formarse si en cada una de ellas deben participar 2 profesores? b) ¿Cu´antas comisiones de 5 personas cada una pueden formarse si en cada una de ellas participan a lo m´as 2 profesores? 6. Se ordenan 6 libros diferentes en un estante donde 2 de ellos son de Farmacolog´ıa, ¿de cu´antas formas diferentes se podr´an ordenar los libros si los que no son de Farmacolog´ıa deben estar juntos? 7. En un examen de matem´aticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas. ¿De cu´antas formas diferentes debe seleccionar, si el debe responder por lo menos, tres de las cinco primeras preguntas? 8. Si 4 personas entran a un cine en el cual hay 7 lugares vac´ıos ¿De cu´antas maneras diferentes se pueden sentar? 9. ¿Cu´antas palabras (con sentido o no) pueden formarse que tengan exactamente las mismas letras de la palabra CASTO y que empiecen y terminen por vocal? 10. ¿De cu´antas maneras diferentes se pueden ubicar en una fila de 5 pacientes 3 hombres y 2 mujeres de modo que las mujeres no est´en juntas? 11. De 6 argentinos y 4 chilenos. ¿Cu´antos comit´es de 5 integrantes se pueden formar si cada comit´e debe tener por lo menos 3 argentinos?

10 12. La diferencia entre el n´ umero de variaciones de “m objetos, tomados de 2 en 2 y el n´ umero de combinaciones de esos objetos, tomados de 2 en 2 es 45. Indica el valor de ¨m¨ 13. De un grupo de 12 fumadores y 16 no fumadores, dos soci´ologos que trabajan en un programa de prevenci´on de enfermedades cardiacas necesitan escoger 3 fumadores y 4 no fumadores para un estudio. ¿De cu´antas maneras lo puede hacer? 14. En un hospital se tiene 5 m´edicos especialistas en nefrolog´ıa y 4 enfermeras, se desea escoger un grupo de cuatro personas para una intervenci´on quir´ urgica al ri˜ no´n en la sala de cirug´ıa del nosocomio. ¿De cu´antas maneras se podr´a realizar esto, si en cada grupo debe haber a lo m´as 2 m´edicos nefr´ologos para realizar la intervenci´on? 15. Una cl´ınica tiene veinticinco empleados profesionales, cuatro de ellos son m´edicos cirujanos. De cu´antas maneras pueden formarse grupos de tres profesionales donde por lo menos uno de ellos sea m´edico cirujano. 16. Cuatro matrimonios han comprado 8 asientos contiguos para el teatro. a) ¿De cu´antas maneras se pueden sentar? b) ¿De cu´antas maneras se pueden sentar si todos los varones se sientan juntos y todas las mujeres se sientan juntos? 17. Un profesor de Geolog´ıa tiene 6 silicatos, 7 piritas y 8 cuarzos en su colecci´on de minerales. ´ coge 7 de estas piedras para que un estudiante las analice. ¿De cu´antas maneras se El puede tener en este grupo 2 silicatos, 2 piritas y 3 cuarzos? 18. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comit´e de 2 hombres y 3 mujeres. De cu´antas formas puede formarse, si una mujer determinada debe pertenecer al comit´e. 19. ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar a 4 parejas de esposos en una mesa circular para jugar casino, si estas parejas juegan siempre juntas? 20. De un equipo de 12 astronautas, siete han volado al espacio exterior y cinco no. ¿De cu´antas maneras diferentes se pueden seleccionar cuatro miembros del equipo si al menos dos de ellos ya tienen experiencia en el espacio? 21. Con las letras de la palabra BRAVO, ¿cu´antas ordenaciones distintas pueden hacerse de forma que no haya dos vocales juntas? 22. Francisco tiene 6 libros diferentes: 3 con pasta roja y 3 con pasta azul. ¿De cu´antas formas diferentes podr´a arreglar estos libros en un estante, de tal manera que los libros vecinos no tengan pasta de un mismo color?

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SEMINARIO No 5 - PROBABILIDADES 1. En una sala de emergencia hay 7 personas con fracturas y 4 con quemaduras. Se quiere instalar en un cuarto a 3 personas al azar. Hallar la probabilidad de que en el cuarto se ubique a: a) S´olo personas con quemaduras. b) 2 con quemaduras y 1 con fracturas. c) A lo m´as 2 con fracturas. 2. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos casta˜ nos. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos casta˜ nos. 3. Tres asistentes del Dr. Carpio trabajan independientemente en diagnosticar correctamente a un paciente con probabilidades de 1/5; 1/4 y 1/3 respectivamente, ¿cu´al es la probabilidad de que al menos uno de ellos diagnostique bien? 4. De 100 pacientes mayores de edad examinados en el Hospital Loayza 20 padecen de diabetes, 32 padecen de hipertensi´on y 8 tienen ambos males. Hallar la probabilidad de seleccionar un paciente que padezca diabetes o hipertensi´on. 5. En una encuesta realizada entre 24 alumnos resulta que 18 fuman ducados, 12 celtas y 8 de las dos clases. Se eligen tres alumnos al azar y se desea saber: a) ¿Cu´al es la probabilidad de que los tres fumen? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que dos, exactamente dos, fumen ducados? 6. En el aula de medicina el 32 % de los estudiantes son varones, asimismo se sabe que el 10 % de los varones son de provincias, mientras que el 80 % de las damas son de Lima. ¿Cu´al es la probabilidad de seleccionar al azar un estudiante de Lima? 7. Se tiene una familia con tres hijos. Determine la probabilidad de que: a) los dos primeros sean hombres. b) los tres hijos sean mujeres. c) el u ´ltimo de los hijos sea mujer. d) al menos dos de los hijos sean hombres. e) al menos uno de los hijos sea mujer. 8. En una ciudad, el 40 %de la poblaci´on tiene cabellos casta˜ nos, el 25 % tiene ojos casta˜ nos y el 15 % tiene cabellos y ojos casta˜ nos. Se escoge una persona al azar: a) Si tiene los cabellos casta˜ nos, ¿cu´al es la probabilidad de que tenga tambi´en ojos casta˜ nos?

12 b) Si tiene ojos casta˜ nos, ¿cu´al es la probabilidad de que no tenga cabellos casta˜ nos?. c) ¿Cu´al es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos casta˜ nos? 9. Se sabe que una determinada Unidad de Cuidados Intensivos (UCI) el 7, 8 % de los pacientes que ingresan lo hacen con una infecci´on adquirida en el exterior, mientras que el 13, 6 % adquieren una infecci´on durante su estancia en el hospital. Se conoce adem´as que el 1, 5 % de los enfermos ingresados en dicha unidad presentan una infecci´on de ambos tipos. ¿Cu´al ser´a entonces la probabilidad de que un determinado paciente presente una infecci´on de cualquier tipo en UCI? 10. En una encuesta p´ ublica se determina que la probabilidad que una persona consuma el producto A es 0.50, que consuma el producto B es 0.37, que consuma el producto C es 0.30 que consuma A y B es 0.12, que consuma solamente A y C es 0.08, que consuma solamente B y C es 0.05; que consuma solamente C es 0.15. Calcular la probabilidad que una persona consuma: a) A o´ B pero no C b) Solamente A 11. En una cl´ınica se ha determinado de que el 40 % de los trabajadores fuman cigarrillos, el 55 % son mujeres y el 75 % son mujeres o fuman cigarrillos. Se elige un trabajador al azar: a) ¿Cu´al es la probabilidad de que fume cigarrillos y sea var´on? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que fume cigarrillos, dado que es var´on? 12. Doscientas personas est´an distribuidas de acuerdo a su sexo y lugar de procedencia de la siguiente manera: 130 son hombres, 110 son de capital y 30 son mujeres y de provincias. Se elige una persona al azar: a) Calcular la probabilidad que sea var´on y de provincia. b) Calcular la probabilidad que sea mujer, dado que es de la capital. 13. Sean A y B dos caracter´ısticas gen´eticas. La probabilidad de que un individuo presente la caracter´ıstica A es 0.50, de que presente la caracter´ıstica B es 0.35 y de que presente ambas caracter´ısticas es 0.05. ¿Cu´al es la probabilidad de que un individuo: a) presente una u ´nica caracter´ıstica? b) presente por lo menos una de ellas? c) no presente ninguna de ellas? d) presente la caracter´ıstica B si ha presentado la caracter´ıstica A? e) presente la caracter´ıstica B si ha presentado al menos una de las dos? f) presente la caracter´ıstica A si no ha presentado la caracter´ıstica B? 14. En una cl´ınica de rehabilitaci´on se atienden pacientes con problemas f´ısicos, fisiol´ogicos y neurol´ogicos los que representan el 25, 35 y 40 por ciento del total de pacientes. De ´estos

13 el 5, 4 y 2 por ciento tienen una edad entre 5 y 15 a˜ nos. Si escogemos un paciente al azar, ¿cu´al es la probabilidad que tenga una edad entre 5 y 15 a˜ nos? 15. En un estudio sobre enfermedades pulmonares, se ha examinado a 5000 personas de m´as de 60 a˜ nos de edad, de las cuales 2000 son fumadores habituales. Entre los fumadores 900 tiene alguna afecci´on pulmonar y entre los no fumadores, 750 tienen alguna afecci´on pulmonar. Si se escoge una persona al azar determine la probabilidad de que: i) Presente afecci´on pulmonar si no fuma. ii) Fume si presenta alguna afecci´on pulmonar. 16. Se tiene dos cajas. En la caja 1 hay 5 sobres sellados; tres de ellos contienen billetes de S/. 100.00 y dos de ellos billetes de S/. 50.00. En la caja 2 hay 10 sobres sellados; 7 de ellos contienen billetes de S/. 100.00 y 3 billetes de S/. 50.00. Si se selecciona una caja de al azar y de ello se toma un sobre ¿Cu´al es la probabilidad de que contenga un billete de S/.50.00? 17. Se consideran ahora tres cajas con l´amparas: La caja 1 contiene 10 l´amparas de las cuales 4 son defectuosas. La caja 2 contiene 6 l´amparas de las cuales 1 es defectuosa La caja 3 contiene 8 l´amparas de las cuales 3 son defectuosas Escogemos al azar una caja y luego sacamos una l´ampara al azar ¿Cu´al es la probabilidad de que la l´ampara sea defectuosa? 18. Este problema se refiere a la miop´ıa entre hermanos en familias con dos hijos. Sea S1 el evento de que el hermano mayor sea miope, y S2 representa el evento de que el hermano menor sea miope. Si se sabe que P (S1 ) = 0,4, P (S2 ) = 0,2 y P (S1 ∩ S2 ) = 0,1 Se pide: a) Calcular P (S1 ∪ S2 ) b) ¿Cu´al es la probabilidad de que ninguno de los hermanos sea miope? c) Calcular P (S1/S2) y P (S2/S1). 19. Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B, y C. En el laboratorio hay 3 tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos con el virus B y 5 tubos con el virus C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es de 1/3, que la produzca B es de 2/3 y que la produzca el virus C es de 1/7. Se inocula un virus a un animal y contrae la enfermedad. ¿Cu´al es la probabilidad de que el virus que se inocule sea el C? 20. En una ciudad el 55 % de los habitantes consume pan integral, el 30 % consume pan de multicereales y el 20 % consume ambos. Se pide: a) Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿ cu´al es la probabilidad de que coma pan de multicereales?. b) Sabiendo que un habitante consume pan de multicereales, ¿cu´al es la probabilidad de que no consume pan integral? c) ¿Cu´al es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma ninguno de los dos tipos de pan?.

14

SEMINARIO No 6 - ECUACIONES Y SISTEMA DE ECUACIONES 1. Encuentre el conjunto soluci´on: a) 3x − 15 = 2x + 5

2x − 7 8x − 9 3x − 5 − = 3 14 21 2 i ) (x + 1)(x − 2) = x − 3(x − 4)

h)

b) 6(x − 2) − 8(3x − 2) = 14x c) 4 − 3[x − (5x − 4)] − x2 = 3 − (x + 1)2 d ) 4[3x − (x − 2)] + 2(x + 8) = 4 − (x − 6) e) (3x − 1)2 − (5x − 3)2 = −(4x − 2)2 7x + 3 9x − 8 f) − =6 2 4 x + 11 10x + 4 g) − = 2x − 3 3 6

j ) (x + 2)2 − (x − 2)2 = 5     3 2x + 5 4 3x − 1 − k) 5 2  5 6 6 8x − 7 =0 5 12 l)

−

1 3 5x x − 1 − = x + + (x + 1) 6 2 3 8

2. Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias. a)

3x − 5 =2 x+1

b)

3x − 2 3x − 1 = x+3 x+1

c)

9 1 5 2 + − = x 2x 3x 6

1 − 2x2 x−1 x+3 − =2+ 2 x+3 x−3 x −9 2 6 x+2 x e) + = x+2 2−x 4 − x2 x − 12 x 5 − 2x f) − = 1 3 6 x+ 2

d)

3. Determine el conjunto soluci´on. a) x2 + 4x − 21 = 0

g)

b) x2 − 4x + 1 = 0 2 4 c) x2 − x = 0 3 5 2 x x 3 d) − = 5 2 10 5 x(2x − 1) e) x(x − 1) + 1 = + 6 3 x−3 3x + 1 f) = 2x − 5 6x + 1

h) i) j) k)

(x + 3)2 1 (x + 2)2 x2 − 9 − = + 5 4 2 5 2 3 + −2=0 x2 x 6x2 − 2x + 1 2x2 − 3x 2x − + = −1 6 2 6(w + 1) w + =3 2−w w−1 y+1 y+5 14y + 7 + = 2 y+3 y−2 y +y−6

4. Hallar el valor de “a” y “b”, si se sabe que la ecuaci´on cuadr´atica: x2 − 2(a − b)x + a + b = 0 tiene como ra´ız u ´nica el n´ umero 2. 5. En la ecuaci´on (2 + k)x2 + (2k − 3)x + 6 = 0, Hallar el valor de k para que la suma de las ra´ıces de la ecuaci´on sea 5, k 6= 0.

15 6. Dada la ecuaci´on (k − 2)x2 − 5x + 2k = 0, Hallar el valor de k para que el producto de las ra´ıces de la ecuaci´on sea 6, k 6= 0. 7. Dada la ecuaci´on cuadr´atica x2 + ax − 8 = 0 1 1 1 Encuentre el valor de “a” si + = , donde x1 y x2 son las ra´ıces de la ecuaci´on. x1 x2 4 8. Si el conjunto de soluci´on de la ecuaci´on cuadr´atica x2 − 5x + 1 = 0 es x1 , x2 calcule E =

1 1 + . x1 + 2 x 2 + 2

9. Determina el conjunto soluci´on de: a) 3x4 + x3 − 13x2 − x + 10 = 0

b) 6x5 + x4 − 43x3 − 43x2 + x + 6 = 0

c) 4x4 − 24x3 + 41x2 − 9x − 18 = 0

d) x5 + 2x4 − 5x3 − 10x2 + 4x + 8 = 0

10. Dos cl´ınicas contratan a 53 personas, de ellos 21 son m´edicos. Si la tercera parte que labora en una de las cl´ınicas y los tres s´eptimo que laboran en la otra cl´ınica son m´edicos. ¿Cu´antos empleados tienen cada cl´ınica? 11. En una reuni´on hay 22 personas, entre hombres, mujeres y ni˜ nos. El doble del n´ umero de mujeres m´as el triple del n´ umero de ni˜ nos, es igual al doble del n´ umero de hombres. Si, adem´as, se sabe que el n´ umero de hombres es el doble del de mujeres, ¿cu´antos hombres, mujeres y ni˜ nos hay? 12. Una empresa fabrica televisores de 14 pulgadas de pantalla y 29 pulgadas de pantalla, para fabricar cada televisor es necesario utilizar dos m´aquinas A y B. Cada televisor de 14 pulgadas requiere 3 horas en la m´aquina A, 1 hora en la m´aquina B. Cada televisor de 29 pulgadas requiere 2 horas en la m´aquina A, 2 horas en la m´aquina B. La m´aquina A est´a disponible 24 horas diarias, la m´aquina B 16 horas diarias. Calcule el n´ umero de unidades de cada tipo que deben fabricarse diariamente para que funcione a plena capacidad. 13. Un gran sal´on de recepciones acoge a 100 personas entre hombres y mujeres. Si cada caballero pag´o S/.25 por la entrada y cada dama pag´o S/.10 por el mismo concepto, siendo la recaudaci´on total de S/. 2050, ¿cu´antos hombres m´as que mujeres asistieron a la reuni´on?

16

SEMINARIO No 7 -Intervalos e Inecuaciones de Primer y Segundo Grado 1. Si (1 − 3x) ∈ [−1; 2] ¿a qu´e intervalo pertenece la expresi´on (3x + 2)? 2. Sean los conjuntos : n x − 3 o S = x ∈ R/ ∈ [−3; 2] P = {x + 2/x ∈ R, (2 − 3x) ∈] − 3; 1[} 2 Halla los intervalos correspondientes al siguiente conjunto : C = {x ∈ R/x ∈ (P −→ S)} o n 2−x ∈ [−4; 2] 3. Dados los conjuntos A = {x ∈ R/(x − 3) ∈ [−5; 3[} B = x ∈ R/ 2 n o 3x − 1 C = x ∈ R/ ∈] − 3; 4[ .Determina P = (A − B) ∪ (B − C) 2 4. Resuelva las siguientes inecuaciones lineales : a) 5x − 7 > 3x + 1

c) 2x
0

d) x2 − 6x − 40 ≥ 0

e) x2 + 4x − 21 ≥ 0

f) 6x2 + 7x + 2 ≥ 0

g) −9x2 + 12x − 4 > 0

h) 7(x2 − 3) − (−8 − x) > x(3x + 5) + 11

i) (x + 1)2 + 5(x − 3) > 30

k) 9x + 1 ≤ 3(x2 − 5) − (x − 3)(x + 2)

j) (2x + 1)2 − 3x2 ≥ x + 5

l) 4 − x2 ≥ 0

10. Se ha establecido que el virus sinsicial respiratorio que ataca preferentemente a los ni˜ nos se debe a dos factores que son: la posibilidad de contagio C = 2x2 −5x+4 , la disminuci´on de ciertas vitaminas en el organismo V = x2 + 6x − 8 . Ambas expresiones dependen de la edad x. Si se estima que los mayores trastornos producidos por este virus se producen cuando la diferencia entre ambos factores es menor que 12 ¿Cu´ales son las edades de mayor riesgo para contraer esta enfermedad? 11. Una persona se ha intoxicado al ingerir accidentalmente un medicamento vencido. Se estima que el porcentaje de sangre contaminada t horas despu´es de ocurrida la intoxicaci´on es P = 18t − t2 + 6. Se considera el paciente en riesgo vital cuando el porcentaje de sangre contaminada es m´as de un 62 % ¿En qu´e intervalo de tiempo ocurre esta situaci´on?

18

SEMINARIO No 8 -Inecuaciones de grado superior,racionales e irracionales 1. Encuentre el conjunto solcui´on de : a) 2x3 + x2 − 12x + 9 > 0 c) 2x4 −5x3 −10x2 +15x+18 ≥ 0

b) (x2 − 1)(x2 + 4)(x + 3)(x − 5) > 0 d) (x−1)2 (2x+1)(3x−2)3 (2x−5) ≤ 0

2. Dado el conjunto soluci´on de A = {x ∈ R/x5 − 2x4 − 10x3 + 20x2 + 9x − 18 < 0} Determina Ac 3. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales a)

x−3 >0 x+2

b)

x+4 x > +1 x−3 x+1

c)

x+1 ≥3 1 − 2x

d)

(x − 1)2 − (x + 2)2 ≥0 (x − 2)2 − (x + 1)2

e)

1 x−1 ≥ x x+2

f)

2x4 + 3x3 − 6x2 − 5x + 6 ≤0 x3 − 7x + 6

g)

3x − 2 4 < x+1 x−2

h)

6 5 − > −2 x−1 x−2

i)

x3 − 7x − 6 ≥0 (x − 5)653

j)

1 2 + > −3 x+1 x+3

k)

(x + 3)3 (x − 3)2 (x2 − 1) ≥0 (x2 + 1)(x − 2)4 (x + 3)3

l)

−x3 + x2 + 22x − 40 ≥0 x2 + 7x

√ √ x2 − 6x + 5 ≤ x2 − 7x + 10

4. Resolver las siguientes inecuaciones a)

√ √ x2 − 1 < x + 1

b)

c)

√ √ 2x + 1 ≥ 1 − x

d)

e)

√ x2 − 1 ≤ 0

f)

√

3x + 2 >

√

√ 2x − 3 ≤ 0

2−x

19

SEMINARIO No 9 - RELACIONES 1. Determine los valores de x e y en cada uno de los ejercicios siguientes : a) (4; 2x − 8) = (x − 3; y + 2)

b) (2y − 5; x − 3) = (x − 1; y + 2)

2. Sea A = {1, 2, 4, 6, 8} se define: R = {(x, y) ∈ A × A/ 3 es divisor de x + y} Hallar la suma de todos elementos del rango de R 3. Sean A = [1, 8] ∩ Z;

Se tiene la relaci´on R ⊂ A × A como (x, y) ↔ x es divisor de y.

Hallar n(R). 4. Dados los siguientes conjuntos : B = {x ∈ Z/100 ≤ x2 ≤ 400}

A = {x ∈ Z/ − 12 < x + 6 < 20} ¿Cu´antos elementos tiene A × B?

5. Dados los conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5} se definen las relaciones : R1 = {(x, y) ∈ A2 /x < y}, R2 = {(x, y) ∈ A2 /x + y = 5} Determina el n´ umero de pares ordenados que tiene: R1 ∪ R2 6. Dada la relaci´on : S = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 = 25} Encuentra el complemento de : Dom(S) ∩ Dom(S −1 ) 7. Graficar las relaciones siguientes, halla el dominio y rango en cada caso : a) R = {(x, y) ∈ R2 /y 2 + 3x = 5} b) R = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 − 6x + 2y + 6 = 0} c) R = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 − 4x − 6y + 13 = 25} d ) R = {(x, y) ∈ R2 /3x + 5y − 7 = 0} e) R = {(x, y) ∈ R2 /x2 − 4x + 3y − 5 = 0} 1 f ) R = {(x, y) ∈ R2 /3y 2 − 12x − 9y = } 4 2 g) R = {(x, y) ∈ R /3x − 2y + 8 = 0} h) R = {(x, y) ∈ R2 /3x − 5y + 7 = 0, x ∈ [1; 6[}

20 8. Graficar las relaciones siguientes, halla el dominio y rango en cada caso a) R = {(x, y) ∈ R2 /2x + y > 5} b) R = {(x, y) ∈ R2 /x − 2y + 6 ≥ 0} c) R = {(x, y) ∈ R2 /x2 − 2x − 5 − y ≤ 0} d ) R = {(x, y) ∈ R2 /x + 2y 2 + 4y − 3 ≥ 0} e) R = {(x, y) ∈ R2 /x ∈ [−3, 5[, y ∈ [−2; 4[} 9. Grafica las siguientes relaciones, adem´as halla el dominio y rango a) R = {(x, y) ∈ R2 /y ≤ x2 − 2x ∧ x ≥ y 2 − 2y} b) R = {(x, y) ∈ R2 /x2 − 2 ≥ |y − 2| c) R = {(x, y) ∈ R2 /|y − 2| ≥ 2 + x d ) R = {(x, y) ∈ R2 /2x + y − 3 ≥ 0 ∧ x − y + 2 > 0} e) R = {(x, y) ∈ R2 /x + 4y − 6 ≤ 0 ∧ 2x − 6y + 7 ≥ 0} f ) R = {(x, y) ∈ R2 /1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9} 10. Calcular el ´area de la regi´on representada por la relaci´on R = {(x, y) ∈ R2 /9 ≤ x2 + y 2 ≤ 25}

21

SEMINARIO No 10 -Funciones Especiales 1. La actividad f´ısica produce a largo plazo un aumento del peso del h´ıgado y volumen del coraz´on. Suponga que se tiene un h´ıgado de 280 gramos cuyo volumen card´ıaco es de 850 ml , y que para un h´ıgado de 350 gramos el volumen card´ıaco es de 990 ml. Suponiendo que existe una relaci´on lineal entre la masa hep´atica y el volumen del coraz´on, determine la funci´on del volumen card´ıaco en t´erminos de la masa hep´atica 2. Si f (x − 7) =

√

2x + 7 +

√ 3

17 − x encuentre el valor de f (2)

3. De los siguientes gr´aficos determine cuales son funciones

4. Sea la funci´on definida por : h(x − 2) = 5x + 1 y g(3x) = x + 3 Encuentre el valor de P =

h(5) − g(9) g(3) − h(1)

5. Encuentra los posibles valores de 2a + 3b , sabiendo que el siguiente conjunto representa a una funci´on. f = {(1; 18), (2; −3), (1; a2 + b2 ), (−1; a + b), (a2 + b; a), (a2 + b, b)} 6. Si

√ g = {(−2; 3), (3; m + 3n), (4; 4), (3; −2), (− 4; 2m − n), (−3; 4)}

es una funci´on. Encuentra 2m − 3n 7. ¿Cu´al debe ser el valor de t para que el gr´afico de y = 7x2 − 4x + 2t − 10 pase por el origen? 8. Si f : R −→ R es una funci´on lineal talque 2f (3) + f (2) = 25; y f (−2) + 2f (1) = 9 ,hallar el valor de k donde : k=

f (−1) + f (1) f (0) + f (6)

9. Calcula el dominio de las siguientes funciones: x3 + 2x + 1 a) f (x) = x2 − x √ 2+ x−2 c) f (x) = x2 − 16

√ b) f (x) =

d) g(x) =

√

6 − 3x − 3 √ 2 + 3x

6 + x − x2

22 10. Bosquejar la gr´afica de las siguientes funciones, adem´as halla su dominio y rango a) f (x) = 2x − 5

b) f (x) = 2 − 3x

c) f (x) = x2 + 6x + 8

d) f (x) = 2x2 + 6x +

e) f (x) =

√

x+2−4

g) f (x) = 3 −

√

x−1

1 2

√ f) f (x) = 2 − 3 x + 5

h) f (x) = |x + 2| − 3

i) f (x) = −|6 − 2x| + 3

j) f (x) =

√

x−

2 3

11. Gr´afica y encuentra el dominio y rango de las siguientes funciones :   (   2x − 1, si; x < 3 3x − 1, si; x ≤ 2 a) f (x) = b) f (x) = 4, si; x = 3  9 − 2x, si; x > 2   5 − x, si; x > 3

( c) f (x) =

x − 1, si; x < −1 x + 1, si; x > 1

( √ d) f (x) =

2 − x, si; x ≤ 2

x − 1,

12. De acuerdo al siguiente gr´afico indicar el valor de : E=

6 − f (−5) + f (−9, 776) f (2) + 2f (0)

13. En la gr´afica de la funci´on f (x) = −x2 + 2x + 3 , encuentre “a + b”

si; x > 2

23

SEMINARIO No 11 - Operaciones con Funciones 1. Dadas las funciones f = {(1; 3), (2; 6), (4; 5), (5; 8)} y g = {(1; 1), (2; 3), (3; 7), (5; 4)} Encuentre: b) f − g

a) f + g

c)

f g

2. Dadas las funciones f = {(1; 3), (2; 6), (4; 8), (6; 2)} y g = {(0; 1), (1; 2), (2; −1), (4; 5), (7; 0)} Encuentre: b) f − g

a) f + g

c) f.g

d)

f g

3. Dadas las funciones f = {(5, 2); (3, 4); (−1, 2); (1, 1); (2, 4)} Hallar f 2 + 5g ( 4. Si f (x) =

g = {(−1, 2); (1, 3); (5, 4); (3, 2); (7, 0)}

x2 − 3x, si x ∈] − 2; 3[

g(x) = 3x2 − 1 , x ∈]0; 5]

si x ∈ [3; 7[

x + 5,

Determina 2f − g ( 5. Si f (x) = 2x2 + 5x + 3,

x ∈] − 5; 2]

y g(x) =

2x + 1, si x ∈] − 3; 1] x − 4,

si x ∈]1; 5[

Encuentre f + 2g 6. Dadas las funciones f = {(−2; 0), (0; 2), (1; 2), (4; 3), (5; 2), (6; −3)} g = {(0; 4), (2; 5), (5; 1), (4; 1), (3; 2), (1; −2), (−1; 0)} Encuentra la suma de los elementos del dominio de (g ◦ f ) 7. Se tiene las funciones: f (x) = 2x + 6, x ∈ [0; 13] y

g(x) = x + 3, x ∈]6; 12]

En caso que exista, calcula (f ◦ g)(x) 8. Se tiene las funciones: f (x) = 2x − 3, x ∈] − ∞; 7] y En caso que exista, calcula (g ◦ f )(x)

g(x) = x − 1, x ∈] − 1; 8]

24 9. Sean f y g dos funciones reales definidas por: f (x) = ax + b

g(x) = x + 1

Si (f ◦ g)(2) = 15 , (g ◦ f )(5) = 12. Encuentre a + b 10. Sean las funciones f = {(1; 5), (2; 6), (3; 7)} y g = {(5; 10), (6; 4), (2; 1), (1; 3)} Calcule el valor de

(f ◦ g)(1) − (g ◦ f )(2) (f ◦ g)(2) + (g ◦ f )(1) ( 2x, si x ≤ 3 y f (x) = √ 3x + 1, si x > 3

k=

11. Sabiendo que g(x) = 2x − 1,

Determine P =

(f ◦ g)(0) − (f − g)(5) (f + g)(1)

12. Suponga que durante un programa nacional para inmunizar a la poblaci´on contra cierta variedad de influenza, los funcionarios de salud p´ ublica calcularon que el costo de vacunar a x %de la poblaci´on era aproximadamente f (x) =

150x 200 − x

millones de d´olares. a) ¿Cu´al es el dominio de la funci´on f ? b) ¿Cu´al es el costo de vacunar al 50 % de la poblaci´on? c) ¿Qu´e porcentaje de la poblaci´on hab´ıa sido vacunada cuando se hab´ıan gastado 37.5 millones de d´olares? 13. La presi´on P, de un volumen constante de gas, en cent´ımetros de mercurio, est´an relacionadas linealmente con la temperatura T, en grados Celsius. En un experimento con aire seco, se encontr´o que P = 90 cuando T = 40, y que P = 100 cuando T = 80. a) Exprese P como una funci´on de T. b) Encuentre P cuando T = 20. 14. En un estudio de paciente VIH que se infectaron por el uso de drogas intravenosas, se encontr´o que despu´es de 4 a˜ nos, 17 por ciento de los pacientes ten´ıan SIDA y que despu´es de 7 a˜ nos 33 por ciento lo ten´ıan. a) Encuentre una funci´on lineal que modele la relaci´on entre el intervalo de tiempo y el porcentaje de pacientes con SIDA. b) Pronostique el n´ umero de a˜ nos para que la mitad de esos pacientes tenga SIDA. 15. Supongamos que el rendimiento en porcentaje de un alumno en un examen de una hora viene dado por r(t) = 300t(1 − t) .Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. ¿Cu´ando se obtiene el mayor rendimiento y cu´al es?

25 16. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que conten´ıa un alto contenido de prote´ına. La prote´ına consist´ıa en levadura y harina de ma´ız. Variando el porcentaje p de levadura en la mezcla de prote´ına, se estim´o que el peso 1 promedio ganado en gramos de una rata en un per´ıodo fue de f (p) = − p2 + 2p + 20. 50 Encuentre el m´aximo peso ganado. 17. La temperatura (medida en grados Celsius), que experimenta cierto cultivo de bacterias, var´ıa de acuerdo a T (x) = −(x − 2)2 + 1 Donde x, representa el tiempo de exposici´on a fuentes de energ´ıa cal´orica. ¿Despu´es de cu´anto tiempo la temperatura es m´axima? 18. Una compa˜ n´ıa de productos de belleza estima que t meses despu´es de la introducci´on de un nuevo perfume, h(t) miles de mujeres lo usar´an, donde h(t) = −18t2 +3600 , 0 ≤ t ≤ 12 Estime el n´ umero m´aximo de mujeres que usar´an el producto. 19. Un estudio sobre prevenci´on de enfermedades bronco pulmonares, sugiere que el nivel medio diario de mon´oxido de carbono en el aire ser´a C(p) = 0,5p + 1 partes por mill´on cuando la poblaci´on sea p miles. Se estima que dentro de t a˜ nos la poblaci´on de la comunidad ser´a P (t) = 10 + 0, 1t2 miles. Exprese el nivel de mon´oxido de carbono en el aire como funci´on del tiempo. 20. Para una empresa dedicada a la venta de materiales de construcci´on se tiene que la funci´on ingreso se expresa como I(p) = p2 − 10p + 2500. Determinar el ingreso m´ınimo de dicha empresa. 21. Un collar antiguo se espera que tenga un valor de 360 d´olares despu´es de 3 a˜ nos y de 460 d´olares al cabo de 7 a˜ nos. Determine una funci´on que describa el valor del collar despu´es de t a˜ nos. 22. Se estima que, de aqu´ı a t a˜ nos, el n´ umero de personas que visitar´an el Parque de las Leyendas ser´a representado por la funci´on N (t) = 30t2 − 120t + 3000 a) Actualmente, ¿cu´al es el n´ umero de personas que visitan el parque de las leyendas? b) Determinar el a˜ no en que ser´a registrado el menor n´ umero de visitantes.

26

SEMINARIO No 12 - Funciones Exponenciales y Logar´ıtmicas 1. Determina el dominio, el rango y la gr´afica de cada una de las siguientes funciones: b) g(x) = 4−x + 3

a) f (x) = 3x−1 − 2

c) h(x) =

 1 x+6 2

d) f (t) = e−2t+4 + 1

+5

e) g(x) = 2x+3 − 4

f) h(x) =

 1 x 4

+1

2. Determina el dominio, el rango y la gr´afica de cada una de las siguientes funciones: a) f (x) = log(x + 4) + 2

b) g(x) = 5 + log3 (x − 2)

c) f (x) = log0,5 (x − 3) + 1

d) f (x) = log 1 (x) + 3

e) f (x) = Ln2 (x − 1) + 2

f) f (x) = log 1 (2x − 2) + 4

3

2

3. Determine si la funci´on es creciente o decreciente, y encuentre su dominio. √ 2 a) f (x) = e x(x −4)

b) g(x) = Log

c) g(x) = Log6 (x2 + 2x − 3) + 3

d) f (x) = 2

e) g(x) = Log

i) g(x) =

x+3

x2 −6x+8

2x − 1 √ 2 f) f (x) = 5 x − 16

1 + x 1−x

x3 + 4x2 + x − 6 g) f (x) = (e) x2 + 2x − 3

1

√

 x2 − 3x + 2 

v u u 4x t

−4 x−3

h) g(x) = Log

 x2 − 8x + 15  x3 − 8

 3x  j) f (x) = Log0,4 x−3

2

4. Graficar las siguientes funciones y encuentre su rango. a) f (x) = 3x ,

c) g(x) =

 2 x 5

x ∈ [−1; 3[

,

x ∈ [−1; 1]

b) g(x) = 2x+1 ,

d) g(x) = (1, 5)1−x ,

x ∈] − 4; 3[

x ∈] − 2; 2]

27

SEMINARIO No 13 - Ecuaciones Exponenciales y Logar´ıtmicas 1. Calcula el valor de “x” en cada caso: a) log2 (x − 8) = 2

b) log5 (x2 − 4x − 4) = 0

c) log4 (2x + 4) − 3 = log4 3

d) log(3x − 2) = log(x + 1) + log4 r

2x+5

e) e

+1=4

f)

ex + 3 −1=2 ex − 3 2 +x−1

g) logx + log(2x − 5) = 2logx

h) 3x

i) log2 log3 (x + 2) = 2

j) 6e2x − 1 = 1/2

r

ex − 3 ex + 3

=1

2. Calcule el conjunto soluci´on de la siguiente ecuaci´on 2(log2 x)(log2 x) + 5log2 x = 3 3. Encuentra la suma de los valores de “x” que satisface la ecuaci´on: ex + 10e−x = 7 4. Calcula el valor de: M=

lne4 + 2lne3 + eln4 ln(5e4 ) − eln(ln5e2 )

5. Un cultivo de la bacteria Esherichia Coli crece en un medio de sales inorg´anicas y glucosa. La poblaci´on inicial es de 106 bacterias por mm3 crece exponencialmente con k = 0,8 y el tiempo se mide en horas. a) Hallar una expresi´on matem´atica del comportamiento de esta poblaci´on. b) ¿En que instante la poblaci´on se triplica? 6. La cantidad de miligramos de un medicamento que queda en el organismo de una persona luego de “t” horas de haber sido administrada est´a dada por 10e−0,3t . Si la cantidad del medicamento no puede bajar de 2mg. ¿Cada cu´anto tiempo en horas deber´a tomar el medicamento? 7. En un cultivo de bacterias su n´ umero aumenta a raz´on de 4 %por hora. Al inicio, estaban presentes 500 bacterias. a) Determine una ecuaci´on que d´e el n´ umero “N ”, de bacterias despu´es de t horas. b) ¿Cu´antas bacterias est´an presentes despu´es de una hora?

28 8. Una bacteria en el o´ıdo medio se incrementa a raz´on del 3 % cada hora. Suponga que al inicio de una infecci´on bacteriana estaban presentes 130 bacterias. a) Determine el n´ umero de bacterias N (t) presentes despu´es de t horas. b) ¿Cu´antas bacterias est´an presentes en el organismo despu´es de 4 horas? 9. Una bacteria estomacal debe ser tratada con un determinado tratamiento antibi´otico antes que est´en presentes 10000 de ellas en el organismo, de lo contrario el tratamiento sugerido es otro. Si se sabe que su n´ umero se incrementa a raz´on del 4 % cada hora y que al inicio estaban presentes 450 bacterias. a) Determine el n´ umero de bacterias N (t) presentes despu´es de t horas. b) ¿De cu´anto tiempo se dispone antes de cambiar el tratamiento? 10. Una sustancia radioactiva se desintegra siguiendo una funci´on exponencial. La cantidad inicial es de 20 gramos; pero despu´es de 200 a˜ nos es de 5 gramos. a) Calcular la constante de desintegraci´on. b) Calcular la cantidad que hubo despu´es de 30 a˜ nos. 11. Suponga que el n´ umero de casos de SIDA diagnosticadas crece exponencialmente. En el Per´ u hab´ıa 80 casos en 2000 y 240 casos en el a˜ no 2010. Exprese este n´ umero en la forma: P (t) = aebt , donde a y b son constantes y t es el tiempo medido en a˜ nos a partir del 2000 ¿Cu´antos casos de SIDA habr´a en el a˜ no 2016?. 12. Una de las bacterias de m´as r´apido crecimiento es la escherichia coli, cuyo n´ umero puede duplicarse cada 15 minutos. a) Hallar la f´ormula ( funci´on exponencial ) que explique este proceso de crecimiento. b) ¿Cu´antas bacterias habr´a por cada una inicial al cabo de 8 horas?

29

SEMINARIO No 14 - L´IMITES 1. Calcule los siguientes l´ımites: x2 + 3x − 10 x→2 x2 + x − 6

2x2 − 11x2 + 5 x→5 x−5

a) l´ım

d) l´ımπ x→ 2

x − sen3x x→0 x + sen2x

b) l´ım

cosx 2x − π

c) l´ım

sen(mx) x→0 sen(nx)

e) l´ım

f) l´ımπ x→ 4

x2 + x x→−1 x+2−1 √ √ x2 + x − 6 k) l´ım 2 x→2 x − 3x + 2

(3 − x)3 − 8 x→1 x2 − 1

x2 − 25 √ x→5 3 − 2x − 1

h) l´ım √

g) l´ım

x 2 − b2 √ j) l´ım √ x→b x + b − 2b

1 − ctgx 1 − tgx

i) l´ım

x2 − 25 √ l) l´ım x→5 3 − 2x − 1

x2 + x − 2 x3 − 6x2 + 11x − 6 n) l´ ım x→1 x→2 x3 + 4x2 − 19x + 4 x2 − 1 3x2 − 2x + 1 x5 − 2x2 + 3x − 1 p) l´ım q) l´ ım x→∞ 4x2 + x − 5 x→∞ 0, 5x2 + 3x − 2 √ √ 6x − 6 1 + x2 − 1 − x2 , B = l´ım 2 2. Dados A = l´ım 2 x→1 x − 3x + 2 x→0 x m) l´ım

2x2 − 6xπ + 4π 2 x→π x2 − π 2 4x2 + 25 r) l´ım x→∞ 5x4 + 3x − 2

o) l´ım

Calcule el valor de E = B A + 6A √ √ 3 x−1 x−1 3. Si f (x) = , g(x) = √ 4 x−1 x−1 f (x) x→1 g(x)

Determine el valor de l´ım

f (x + h) − f (x) h→0 h

4. Encontrar l´ım

si b) f (x) = x2 − 5x

a) f (x) = 4 − x

5. Analice si existe el l´ımite de las siguientes funciones, en los puntos indicados

  x − 1, si x ≤ 3 a) f (x) =  2x , si x > 3 3

c) f (x) =

 2 x − 2x   ,    x2 − 4

x0 = 3

b) g(x) =

 2 x +5   , si x < 1    x    x2 − 1   , si x ≥ 1 x−1

si x > 2

√      3x + 3 − 3 , si x < 2 x−2

x0 = 2

d) f (x) =

x−5 , x0 = 5 |x − 5|

x0 = 1

30

6. Para una relaci´on particular presa − depredador, se determin´o que el n´ umero “y”de presas consumidas por un depredador a lo largo de un per´ıodo fue una funci´on de la densidad de presas “x” (el n´ umero de presas por unidad de ´area) y=

10x 1 + 0, 1x

Si la densidad de presas aumentara sin cota. ¿A que valor se aproximar´ıa y? 7. La poblaci´on de cierta ciudad peque˜ na t a˜ nos a partir de ahora se pronostica que ser´a: N (t) =

36000t3 + 10000t2 + 5000 2t3 + t2 + 6

Determine la poblaci´on a largo plazo. 8. A partir de la gr´afica de la funci´on f dibujada en la figura adjunta, evalu´e si existen los l´ımites en los puntos x0 = 1, x0 = 2, x0 = 4

9. A partir de la gr´afica de la funci´on f dibujada en la figura adjunta, eval´ ue si existen los l´ımites en los puntos x0 = 0, x0 = 2, x0 = 3

31

SEMINARIO No 15 - DERIVADAS 1. Aplicando la definici´on, encuentre la derivada de las siguiente funciones b) g(x) = x2 − 3

a) f (x) = 2x + 5

c) h(x) = x2 − 2x + 1

2. Calcule la derivada de las siguientes funciones 5

3

2

√

3x2

a) f (x) = 2x − x − x + 5

b) g(x) =

d) f (x) = Ln(3x5 + 2x − 5)

e) h(x) = x3 ·

g) f (x) =

√ 4 3x2 + 2x − 3

h) g(x) =

√ j) h(x) = (2 − 5x2 )4 · ( 5x)3

1 2x + 3

y

+2

c) h(x) =

x−5

f) g(x) = 23x+7x

(2x2 + 3x)3 x2 + 5

cos x + 4 5x + x7 r 3x n) g(x) = Log 2 x +1

k) f (x) =

√ m) f (x) = sen4 ( x2 + 1)

3. Si f (x) = √

√

g(x) =

 x2 + 2x 2 x−1

i) h(x) = 7e3x

l) g(x) = cos

2

2 −1

 3x2  x+1

o)h(x) = e3x ·ln(x3 +1)

1 . Encuentre E = 27f 0 (3) + 625g 0 (−8) 1 − 3x

4. Una soci´ologa estudia varios programas que pueden ayudar en la educaci´on de ni˜ nos de edad pre escolar en cierta ciudad. El soci´ologo cree que x a˜ nos despu´es de iniciado el programa particular, f (x) miles de ni˜ nos estar´an matriculados, donde: 10 (12x − x2 ) , 0 ≤ x ≤ 12 9 ¿A que raz´on cambiar´a la matricula despu´es de 3 a˜ nos? f (x) =

5. Una hora despu´es de que se le da a una persona x miligramos de cierto f´armaco, el cambio en la temperatura del cuerpo, T (x), en grados Fahrenheit, est´a dado de manera aproximada por:  x T (x) = x2 1 − 3 La raz´on a la cual cambia T con respecto al tama˜ no de la dosis x; T 0 (x) se denomina sensibilidad del cuerpo a la dosis. Determine la sensibilidad cuando la dosis es de 1 miligramo. 6. En un estudio relativo a la polilla de invierno en Nueva Escocia, se determin´o que el n´ umero promedio, y, de huevos en una polilla hembra en funci´on de su ancho abdominal x (en mil´ımetros); est´a dado por: y = 14x3 − 17x2 − 16x + 34,

1, 5 ≤ x ≤ 3, 5

32 ¿A que raz´on cambia el n´ umero de huevos con respecto al ancho abdominal cuando x = 2? 7. Los soci´ologos han estudiado la relaci´on entre el ingreso y el n´ umero de a˜ nos de educaci´on en miembros de un grupo urbano particular. Ellos encontraron que una persona con x a˜ nos de educaci´on, antes de buscar empleo regular puede esperar recibir un ingreso anual medio de y d´olares ,donde: √ y = 5 x5 + 5900,

4 ≤ x ≤ 16

Encuentre la raz´on de cambio del ingreso con respecto al n´ umero de a˜ nos de educaci´on. Evaluarla cuando x = 9 8. La temperatura de una persona es f (t) grados Fahrenheit t d´ıas despu´es de adquirir una enfermedad que dura 12 d´ıas, donde: f (t) = 98, 6 + 1, 2t + 0, 12t2 ,

0 ≤ t ≤ 12

a) Determine la tasa de variaci´on de f (t). b) ¿Cu´al es la tasa de variaci´on de la temperatura cuando la persona ha estado enferma por 5 d´ıas? 9. Una persona tiene una quemadura en la piel de forma circular. Determine la tasa de variaci´on del a´rea de la quemadura con respecto a su radio , cuando este mide: a) 1, 5cm

b) 2cm

10. Un bi´ologo realiz´o un experimento sobre la cantidad de individuos en una poblaci´on de paramecium en un medio nutritivo y obtuvo el modelo g(t) = ln(t2 − 2t + 5) donde t se mide en d´ıas y g(t) es el n´ umero de individuos en el cultivo. Hallar la derivada de la funci´on g. 11. En una comunidad particular, una cierta epidemia se propaga en tal forma que x meses despu´es de iniciarse el n´ umero de personas infectadas es 30x2 P (t) = (1 + x2 )2 medido en miles de personas. ¿ A qu´e raz´on se propaga la epidemia pasadas 2 semanas?

33

SEMINARIO No 16 - INTEGRALES 1. Calcular las siguientes integrales Z a) Z c)

3x7 − 3x5 + x3 17

[x + tx Z

e) Z g) Z i) Z k)

x

dx

b)

Z  1 3 d) − dx x−3 x

− (t + 2)x + t]dx

e3x + e5x dx ex

Z f)

√ √ ( z + 2)(z − z + 2)dz

Z h) Z

18 + 12x dx 4 − 9x − 3x2 3

5

m)

Z

2

o)

2

2

Z

(x + 1)tan (3x + 6x)sec (3x + 6x)dx Z

q) Z

4 +bx

√ ( x + 1)2 √ dx x



x3 +

b dx 4

√

p) Z r)

10 − 4x dx x2 − 2x

ds

e x √ dx x

Z

2

2 +s

x2 dx 2x3 + 4

5x

n)

ey )dy 5

(x4 + 3x)30 (4x3 + 3)dx

√ 2

l)

2

(4y 3 − 3y 2 +

(2s + 1)es

j)

3y dy (4 + 2y 2 )1/2

Z

x6 + 3x3 + 5x dx 2x

Z

(x + 6x) (6x + 12)dx Z

s)

5/3

√

√ 3x − 1dx Z

t)

x(x2 + 4)10 dx

2. La tasa de crecimiento de la poblaci´on en una ciudad nueva es estimada por medio de: √ dN = 500 + 300 t dt En donde t est´a en a˜ nos. Determine la forma de la ecuaci´on, para encontrar el n´ umero de la poblaci´on. 3. Debido a una competencia nueva, el n´ umero de suscriptores a cierta revista est´a disminuyendo a una velocidad de: dS 480 =− 3 dt t Suscripciones por mes, donde t es el n´ umero de meses desde que la competencia entr´o al mercado. Determine la forma de la ecuaci´on para el n´ umero de suscriptores a la revista.

34 4. La tasa de crecimiento de una especie de bacterias es estimada por medio de: dN = 800 + 200et dt En donde N es el n´ umero de bacterias (en miles) despu´es de t horas. Si N(5) = 40,000, determine N(t). 5. Es Julio 31 y un tumor ha estado creciendo dentro del cuerpo de una persona de modo que t d´ıas a partir del 1◦ de Julio el volumen del tumor ha incrementado a una tasa de: 1 (t + 6)1/2 , 100

cm3

por d´ıa

Si el volumen del tumor el 4 de Julio fue de 0.20 , ¿cu´al es el volumen ahora? 6. Un grupo de bi´ologos estudi´o los efectos alimenticios en ratas a las que aliment´o con una dieta en la que 10 % era prote´ına. La prote´ına consisti´o en levadura y harina de ma´ız. El grupo encontr´o que en cierto per´ıodo, la raz´on de cambio aproximada del alimento promedio de peso G (en gramos) de una rata, con respecto al porcentaje P de levadura en la mezcla prote´ınica fue: dG p = − + 2, dp 25

0 ≤ p ≤ 100

Si G = 38 cuando p = 10 encuentre G. 7. Una poblaci´on de microorganismos est´a cambiando al ritmo: dP 3000 = dt 1 + 0, 25t Donde “t” es el tiempo en d´ıas. Suponiendo que la poblaci´on inicial es de 1000. Escribir una ecuaci´on que describa el comportamiento de la poblaci´on en todo instante. dN = 4t2 (6 − t), 0 ≤ t ≤ 8, dt personas por d´ıa. Si cuando comienza la enfermedad hay 5 enfermos, encuentre la funci´on

8. Una enfermedad se propaga en el tiempo a raz´on de N(t) y describala usando la informaci´on del problema. 9. Calcula las siguientes integrales definidas Z

3

a)

(x + 1)e

x2 +2x

dx

b)

1

Z

3 2

|x − 1|dx

1

3

4

Z d)

−2

e)

(x2

1

c) Z

2

Z

√

1

1 − dt t2 t4

1

Z

2x + 1 dx + x + 1)3

2  t − √ dt t

2

(x − 2|x|)dx

f) −1