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• Victor Alvarado

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CALCULO AVANZADO PARA INGENIERIA Derivación Implícita. Aplicaciones Ciclo Marzo 2020 Semana 5 – Sesión 9

TEMA: DERIVACIÓN IMPLÍCITA. APLICACIONES.

Logro de la Sesión Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante aplica la derivación implícita de una función real de dos y tres variables, para así modelar problemas de las Ciencias Básicas.

CONTENIDO GENERAL 

Definición



Teorema



aplicaciones

DERIVACIÓN IMPLÍCITA Se dice que la ecuación: 𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 0 … … (∗) Define en forma implícita a la función 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ3 → ℝ, si al sustituir la variable 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) en la ecuación (∗)ésta se reduce a una identidad, esto es, 𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑓(𝑥; 𝑦) = 0 ∀(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷 Por ejemplo, la ecuación dada 3𝑥 2 + 4𝑦 2 + 𝑧 2 − 12 = 0 define implícitamente a 𝑧 = 𝑓 𝑥; 𝑦 .

Teorema de la función implícita para funciones 𝑛 variables Sea 𝐹: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛+1 → ℝ una función real de 𝑛 + 1 variables tal que: i) 𝐹 𝑥1 ; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑛 ; 𝑧 = 0 … … … (∗) ii) 𝐹 tiene derivadas parciales continuas. 𝜕𝐹(𝑃) iii) ≠ 0, 𝑃 ∈ 𝐷 𝜕𝑧

Entonces la ecuación (*) representa a 𝑧 en forma implícita como función de 𝑥1 ; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑛 , esto es 𝑧 = 𝑓(𝑥1 ; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑛 ) y para 𝑃 ∈ 𝐷 se tiene: 𝜕𝐹 𝑥1 ; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑛 ; 𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥𝑖 =− , 𝜕𝐹 𝑥 ; 𝑥 ; … ; 𝑥 ; 𝑧 𝜕𝑥𝑖 1 2 𝑛 𝜕𝑧

𝑖 = 1,2, … … , 𝑛

Derivación implícita para una función de dos variables En particular la ecuación 𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 0 representa a 𝑧 en forma implícita como función de 𝑥; 𝑦, esto es 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) se tiene:

𝜕𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 =− 𝜕𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧

𝜕𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑦 =− 𝜕𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Ejercicio Explicativo 1 𝜕𝑧

𝜕𝑧

Calcule: 𝜕𝑥 y 𝜕𝑦 si 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) satisface la ecuación: 𝑥𝑦 2 + 𝑦𝑧 2 + 𝑧 3 + 𝑥 3 − 4 = 0 Solución

Ejercicio Explicativo 2 Si la ecuación

𝑇 + 𝑒 𝑥 sen 𝑦 + 𝑇 − 1 = 0

define a 𝑇 como la función temperatura medida en grados Celsius de una placa en forma implícita como una función de 𝑥 e 𝑦, donde 𝑥 e 𝑦 se mide en metros. Calcule la rapidez con la que se enfría la placa cuando 𝑦 se 𝜋 mantiene constante en el punto 0; . 2

Solución

Ejercicio Explicativo 3 Si: 𝑓(𝑥 − 𝑧; 𝑦 − 𝑧) = 0 define en forma implícita a 𝑧 como una función de 𝑥 e 𝑦, calcule: 𝜕𝑧 𝜕𝑧 + 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Solución

Ejercicio Reto 𝑥

3 2

Si la ecuación: 𝑇 + 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑇 − = 0 define a 𝑇 como la función temperatura de una placa en forma implícita como una función de 𝑥 e 𝑦, donde 𝑥 e 𝑦 se mide en metros calcule la rapidez con la que se calienta la 𝜋 placa cuando 𝑦 se mantiene constante en el punto (0; 3 ) Solución

CONCLUSIONES 1. Las

derivadas implícitas funciones de 𝑛 variables

se

pueden

generalizar

para

2. Las derivadas implícitas nos permite calcular la derivada de

una función dada en forma implícita con respecto a las otras variables.

Conclusiones

BIBLIOGRAFIA 1.Calculus – Larson Edwards

2. Calculus - James Stewart 3. Calculus_12th Edition – George B. Tomas, Jr

4. Cálculo III – Máximo Mitacc Meza Bibliografia