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¡La universidad de todos!

FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

ECUACIONES DIFERENCIALES semana 4 Escuela Profesional

Mg. Edgar De la cruz Muñoz [email protected]

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ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

SEMANA 4 ECUACIONES DIFERENCIALES Soluciones singulares y reducción de orden. . Escuela Profesional

Mg. Edgar De la cruz Muñoz [email protected]

CONTENIDOS DE LA SEMANA 4 • CONTENIDOS Soluciones singulares y reducción de orden

• Trabajo de aplicación: Resuelve problemas , aplicando conceptos y métodos anteriores, interrelacionado con otras áreas de la ciencias

Soluciones singulares

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Ejemplo 1

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Ejemplo 3

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Ejemplo 3

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Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del orden Dada una solución y1(x) de la ecuación diferencial de segundo orden …………….1 puede determinarse una segunda solución y´´(x) que sea linealmente independiente con y2(x), de la forma v(x)y1(x), para cierta función v(x) distinta de una constante.

Entonces, Sustituyendo las expresiones anteriores para y, y' y y" en (1) y simplificando resulta

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• Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del orden Y como y1 es una solución de (1), el primer término en el lado izquierdo de la igualdad anterior es igual a cero. Así que • O bien …………………..2 Luego, para que la función y1(x)v(x) sea una solución de la ecuación diferencial (1), v(x) debe satisfacer la ecuación diferencial de segundo orden (2). Nótese que haciendo la sustitución u(x) = v’(x) entonces u’(x) = v“(x) y (2) se reduce a la ecuación

…………………..3 20/06/2020

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Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del orden • La cual es ahora de primer orden para la función incógnita u. Es por esta razón que al método que estamos desarrollando para calcular y2 se le conoce como Método de Reducción de Orden. • La ecuación (3) es lineal en u y también de variables separables. • Separando variables

e integrando y simplificando, obtenemos

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•

donde c es una constante arbitraria. Aplicando exponencial a ambos lados de la última igualdad encontramos que

Por consiguiente Tomando c = 1 tenemos el siguiente resultado.

Teorema 1 Si y1(x) es solución de la ecuación diferencial

…………………..4 entonces una segunda solución y2(x) de (4). Linealmente independiente con y1(x) es …………………..5

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EJEMPLO 1. Dado que y1(x) = x-2 es solución de la ecuación diferencial

Primero, reescribimos (6) en la forma

……………..6 encuentre su solución general en el intervalo (0,α) Solución. Verifiquemos que y1(x) es solución de la ecuación diferencial (6). Tenemos que

de aquí que en este caso p(x) = -7/x y entonces

Sustituyendo en (6) resulta

Así, efectivamente y1 es una solución de (6). Ahora utilizaremos el resultado (5) del teorema anterior para determinar una segunda solución de la ecuación diferencial, l.i. con y1.

Note que una segunda solución l.i. con y1(x) es simplemente y2(x) = x10. De modo que la solución general en (0, α) de la ecuación diferencial (6) es 14

Ejemplo 2 Encuentre la solución general en (0,α) de la ecuación diferencial

…………………..7

En consecuencia

si y1(x)=cos ln x, es una solución de la ecuación. Solución. Nuevamente emplearemos (5) para obtener una segunda solución y2 de (7). En este caso p(x) = 1/x , por lo cual

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De donde la solución general en (0, α) de (7) es

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Ejercicios propuestos

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