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Matemática para Ingenieros 2

Al finalizar la sesión de aprendizaje el

estudiante conoce y aplica el método de Cambio de Variables en las Integrales

Dobles.

CAMBIO DE VARIABLE Jacobiano de una función de Varias Variables:

Sea 𝐹: ℝ2 → ℝ2 una función diferenciable dado por 𝐹 𝑢; 𝑣 = (𝑥; 𝑦), donde 𝑥 = 𝑥(𝑢;𝑣) e 𝑦 = 𝑦(𝑢;𝑣). El Jacobiano de 𝐹 es dado por: 𝜕𝑥 𝐽 𝑢; 𝑣 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑢

𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑣

CAMBIO DE VARIABLE Recordando: El método de sustitución nos permite calcular

integrales complicadas, transformándolas en otras mas sencillas: 𝑏

𝑑

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑓 𝑔 𝑡 𝑔´ 𝑡 𝑑𝑡 𝑒

CAMBIO DE VARIABLE De manera similar existe un método para las integrales dobles, es decir, transforma una integral

doble

𝐷

݂(𝑥; 𝑦)dxd𝑦 extendida a una región 𝐷 del

plano 𝑋𝑌 en otra integral doble

extendida a una región 𝑆 del plano 𝑢𝑣.

𝐹(𝑢; 𝑣)𝑑𝑢𝑑𝑣 S

CAMBIO DE VARIABLE La fórmula para la transformación de integrales dobles puede escribirse así:

𝑓(𝑥 𝑢,𝑣 ; 𝑦

𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷

) |𝐽

𝑢,𝑣

|𝑑𝑢𝑑𝑣

S

Donde el factor 𝐽(𝑢, 𝑣) aplicación.

𝑢,𝑣

es el Jacobiano de la

EJERCICIO EXPLICATIVO 1 Sea 𝑅 la región triangular del plano 𝑋𝑌 limitado por 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1, encontrar el valor de 𝑥−𝑦 𝑒 𝑥+𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 R

COORDENADAS POLARES 1er caso.- Hemos consideremos la región polar 𝐷 dado por 𝐷 =

𝑟; 𝜃 /𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽 ∧ 𝜑 𝜃 ≤ 𝑟 ≤ 𝜔(𝜃)

y sea ݂: ℝ2 → ℝ continua sobre 𝐷. Luego la integral en coordenadas polares es: 𝛽

𝜔

𝜃

𝑓 𝑟, 𝜃 𝑑𝐴 =

𝑓 𝑟, 𝜃 𝑟𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝛼

𝐷

𝜑(𝜃)

COORDENADAS POLARES 2do caso.- Hemos considerado la región polar D dado por 𝐷 =

𝑟; 𝜃 /𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏 ∧ 𝜑 𝑟 ≤ 𝜃 ≤ 𝜔(𝑟)

y sea ݂: ℝ2 → ℝ continua sobre 𝐷. Luego la integral en coordenadas polares es: 𝑏

𝜔

𝑟

𝑓 𝑟, 𝜃 𝑑𝐴 =

𝑓 𝑟, 𝜃 𝑟𝑑𝜃 𝑑𝑟 𝑎

𝐷

𝜑(r)

COORDENADAS POLARES Observación: Para pasar de una integral doble en coordenadas cartesianas a una integral doble en coordenadas polares se tiene la relación: 𝑥 = 𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃 ; 𝑦 = 𝑟𝑆𝑒𝑛𝜃

Por lo tanto: 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷

𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝐷

EJERCICIO EXPLICATIVO 2

Calcular la integral doble

1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷

Donde 𝐷 es la cuarta parte del círculo 𝑥 2 + 𝑦2 ≤ 1,

que se halla en el primer cuadrante.

EJERCICIO EXPLICATIVO 3 Calcular el volumen del sólido limitado por plano 𝑋𝑌, el paraboloide 𝑧 = 𝑥2 4

+

𝑦2 9

𝑥2 4

+

𝑦2 9

y el cilindro

= 𝑥, usando el cambio de variable 𝑥 = 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑦 = 3𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃.

el

EJERCICIO RETO Calcule 𝑥2 𝑦2 1− − 𝑑𝐴 16 9 𝐷

Donde 𝐷=

𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 /

𝑥2 𝑦2 + ≤1 16 9

Muchas gracias!

“𝐸𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑦 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑦 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎 𝑏𝑒,𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑟𝑎 𝑦 𝑎𝑟𝑎 𝑦 𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎.”

Platón