• Author / Uploaded
• Fernando Apaza

• Categories
• Seno
• Funciones trigonométricas
• Matemáticas elementales
• Física y matemáticas
• Matemática

Citation preview

trigonometría tema 13

transformaciones trigonométricas

SnIi2t13

DESARROLLO DEL TEMA I. DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO

Sumando tendremos:



Sen(x + y) + Sen(x – y) = 2SenxCosy

Se le suele llamar también factorización trigonométrica

A

y consiste en expresar mediante un producto una determinada suma o diferencia. Para transformar a producto una expresión, esta deberá estar compuesta por la suma o diferencia de dos senos o cosenos con ángulos



x + y = A Haciendo:  x – y = B Se obtiene: x =

ordenados de mayor a menor. Los ángulos resultantes en los factores del producto serán la semisuma y la

B

A +B A –B ∧y= 2 2

semidiferencia de los ángulos iniciales.

 A +B   A –B ∴ Sen(A) + Sen(B) = 2Sen  2  Cos  2     

A. Suma o diferencia de senos a producto

Restando tendremos:



Sen(x + y) – Sen(x – y) = 2SenyCosx

A +B   A –B SenA + SenB = 2Sen   Cos  2   2   

A

x + y = A Haciendo:  x – y = B

A –B  A +B  SenA – SenB = 2Sen   Cos  2   2   

Se obtiene: x =

B. Suma o diferencia de cosenos a producto ∴

A +B   A –B CosA + CosB = 2Cos   Cos  2   2    A +B   A –B CosA – CosB = –2Sen   Sen  2   2   

B

A +B A –B ∧y= 2 2

A –B  A +B  Sen(A) – Sen(B) = 2Sen   Cos  2   2   

B. Demostración de la transformación de cosenos Para efectuar estas demostraciones partiremos del coseno de la suma y diferencia de dos arcos (identidades de ángulos compuestos).



II. DEMOSTRACIÓN DE LAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES

 Cos(x + y) = CosxCosy – SenxSeny Sabemos que:   Cos(x – y) = CosxCosy + SenxSeny

A. Demostración de la transformación de senos

Sumando tendremos:

Para efectuar estás demostraciones partiremos del

Cos(x + y) + Cos(x – y) = 2CosxCosy A

seno de la suma y diferencia de dos arcos (identidades

B

de ángulos compuestos).

x + y = A Haciendo:  x – y = B

 Sen(x + y) = SenxCosy + SenyCosx Sabemos que:   Sen(x – y) = SenxCosy – SenyCosx



san marcos REGULAR 2014 – Ii

11

Se obtiene: x =

A +B A –B ∧y= 2 2

trigonometría

Tema 13

transformaciones trigonométricas



 A + B  Cos  A – B  ∴ Cos(A) + Cos(B) = 2Cos    2   2   

III. DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA

Se le suele llamar también desdoblamiento del producto y consiste en expresar mediante una suma o diferencia un determinado producto.



Para efectuar el desdoblamiento se deberá tener el doble producto de senos y/o cosenos.



Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la suma y la diferencia de los ángulos iniciales.

Restando tendremos: Cos(x + y) – Cos(x – y) = –2SenxSeny A

B

x + y = A Haciendo:  x – y = B

Se obtiene: x =

A +B A –B ∧y= 2 2

2SenACosB = Sen(A + B) + Sen(A – B) 2CosACosB = Cos(A + B) + Cos(A – B) 2SenASenB = Cos(A – B) – Cos(A + B)

A – B  Sen  A + B  Cos(A) – Cos(B) = –2Sen    2   2   

∴

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 Simplificar: A= A) 2 2

A= Sen17°+Cos17° Sen31° Cos31° B) 2 2 C) 2

Por ángulos complementarios: Sen17° = Cos73°

Transformando a producto: 2Cos45° Cos28° Sen31°Cos31°

 2 2  Cos28° Reemplazando y  2  aplicando artificio = 2 Sen31° Cos31° en el denominador. 2 Operando convenientemente: A=

2 2Cos28° Por razones complementarias Sen62°

Tema 13

Respuesta:

Problema 2

2 10 10 3 10 A) B) C) 5 5 5 5 2 5 D) E) 5 5

Cos73°+Cos17° Sen31°Cos31°

1  10 N = 2   → N= 5  10 

Respuesta: 2 2

Si Tana = 3; 0 < a