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DEFINICIONES IMPORTANTES A TOMAR EN CUENTA: TASA DE INTERES NOMINAL (In): Es una tasa de interés simple, en donde el capital no varía en el tiempo, además los interesés no se capitalizan (no foman parte del capital); también podemos agregar que es una tasa de interés básica que se nombra o declara en la operación independiente si está se cobra adelantada, vencida, si lleva comisiones y/o impuestos, etc. TASA DE INTERES EFECTIVA (Ie): Es aquella tasa que toma en cuenta el efecto de la capitalización durante un periodo y "refleja el tiempo en que se pagan los intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operación implique"

n I efect = 1 + In m

FORMULA:

Donde:

-1

Ie = tasa de interés efectiva en un período In = tasas de interés nominal en tanto % m = número de capitalizaciones por período n = número total de periodos

TASA DE INTERES VENCIDA Es la tasa más común aplicable, considera que los intereses deben pagarse al final del periodo establecido. TASA DE INTERES ADELANTADA O DESCUENTO: Se nombra a aquella tasa donde los intereses se reconocen al inició del periodo de capitalización P-I P

Inicio

Ia=

Final

P - (P - I) (P - I)

tiempo

I

=

(P - I)

Donde: P = Prestamo I a = Tasa de interés adelantado. I = Intereses

FACTOR FINANCIERO III = Monto de 1 a interés compuesto

s i = n =

0.08 10

v^n i = n =

=

FACTOR FINANCIERO IV Valor actual de 1 a interés compuesto

0.08 10

sni i = n =

1/sni

=

FACTOR FINANCIERO V Monto de una anualidad de 1 a interés com

0.08 10

=

FACTOR FINANCIERO VI Anualidad cuyo monto a interés compuesto asc

i = n =

0.08 10

ani

=

1 = n =

0.08 10

1/Ani

=

i = n =

FACTOR FINANCIERO VIII anualidad con la que se puede comprar 1 - de v 0.08 10

s i = p =

FACTOR FINANCIERO VII Valor actual de una anualidad de 1 a interés c

=

FACTOR FINANCIERO IX Monto de 1 a interés compuesto para fraccione 0.08 12

j(p)

=

FACTOR FINANCIERO X Tasa nominal de interés equivalente a una tasa e

i = p =

1/j(p)

i = p =

0.08 12

=

FACTOR FINANCIERO XI Monto al cabo de un año de una anualidad de pagadera p veces por año en plazos de 1/p 0.08 12

FACTORES FINANCIEROS

ACTOR FINANCIERO III Monto de 1 a interés compuesto FFIII ((1+i)^n) 2.1589249973

2.15892500

2.1589249973

2.15892500

ACTOR FINANCIERO IV alor actual de 1 a interés compuesto FFIV (1/(1+i)^n) = (1+i)^(1/n) 0.4631934881

0.46319349

0.4631934881

0.46319349

ACTOR FINANCIERO V e una anualidad de 1 a interés compuesto FFV (((1+i)^n)-1)/i 14.4865624659

14.48656247

14.4865624659

14.48656247

ACTOR FINANCIERO VI cuyo monto a interés compuesto ascenderá a 1

FFVI (i/(((1+i)^n)-1)) 0.0690294887

0.06902949

0.0690294887

0.06902949

ACTOR FINANCIERO VII l de una anualidad de 1 a interés compuesto FFVII (((1+i)^n)-1)/(i*(1+i)^n) 6.7100813989

6.71008140

6.7100813989

6.71008140

ACTOR FINANCIERO VIII on la que se puede comprar 1 - de valor actual 1 FFVIII (i*(1+i)^n)/(((1+i)^n)-1) 0.1490294887

0.14902949

0.1490294887

0.14902949

ACTOR FINANCIERO IX a interés compuesto para fracciones de año FFIX (1+i)^(1/P) 1.0064340301

1.00643403

1.0064340301

1.00643403

FACTOR FINANCIERO X de interés equivalente a una tasa efectiva dada FFX (p*((1+j)^(1/p))-p) 0.0772083613

0.07720836

0.0772083613

0.07720836

ACTOR FINANCIERO XI cabo de un año de una anualidad de 1 por año, ra p veces por año en plazos de 1/p cada uno FFXI (i/(p*((1+iI)^(1/p)-1))) 1.0361572067

1.03615721

1.0361572067

1.03615721

P=A

1-(1+i%)^-n i

n: número de flujos i: tasa de interés efectiva del período A: Anualidad P: Valor Presente

F=A

(1+i%)^n - 1 i

n: número de flujos i: tasa de interés efectiva del período A: Anualidad F: Valor futuro

Formula: Tasa Equiv = (1 + Tasa)˄(lo que quiero/lo que tengo) -1

ANEXO Diferencias entre Interes Simple y Compuesto Interes Simple Capital

Intereses

Interes Compuesto

Crece geométricamente:El ritmo de Crecimiento aritmético: crece siempre en crecimiento es constante, lo que implica la misma magnitud. magnitudes de incremento crecientes. * Constantes y no se acumulan al capital * En cuanto se generan se capitalizan. original. * Intereses no ganan intereses en los siguientes periodos a menos que se fuerce su capitalización, en cuyo caso se aplica como interés compuesto, pero sólo para múltiplos enteros del plazo de capitalización. Para plazos distintos existen diversas reglas.

* Los intereses ganados entre dos momentos cualquiera (a menos que exista una entrada o salida de caja intermedia) es igual a: P*[(1+i)^t2 - (1+i)^t1]

* El monto de intereses entre dos momentos cualquiera (a menos que exista una capitalización intermedia, o una entrada o salida de caja) es igual a: (t2t1)*i Formula

F=P(1+i*t)

F=P(1+i)^t

Fuente: Apuntes de Matematicas Financieras, R. Cornejo, M. Chang - ESAN

SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN ALEMAN AMORTIZACION CONSTANTE Prestamo Plazo (meses) Tasa (TEA) Modalidad

12,000 6 15% TEM Sist. Alemán (Amortización constante)

Mes 0 1 2 3 4 5 6

Saldo 12,000.00 12,000.00 10,000.00 8,000.00 6,000.00 4,000.00 2,000.00

En el sistema aleman Amortizacion constan 1.1715%

Interés

Amortización

Cuota

140.58 117.15 93.72 70.29 46.86 23.43 492.03

2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 12,000.00

2,140.58 2,117.15 2,093.72 2,070.29 2,046.86 2,023.43 12,492.03

4.10% 0.68%

En el sistema aleman lo primero que se calcula es la amortizacion Amortizacion constante, el prestamo se devuelve en partes iguales

Flujo -12,000.00 2,140.58 2,117.15 2,093.72 2,070.29 2,046.86 2,023.43 1.1715% TIR

SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN FRANCES CUOTAS CONSTANTES Prestamo 12,000 Transformar la tasa efectiva Plazo (meses) 6 Tasa (TEA) 15% TEM 1.1715% Modalidad Sist. Francés (Cuotas constantes) Mes 0 1 2 3 4 5 6

Saldo 12,000.00 12,000.00 10,057.78 8,092.80 6,104.81 4,093.53 2,058.68

Interés

Amortización

PAGO

140.58 117.83 94.81 71.52 47.96 24.12 496.80

1,942.22 1,964.97 1,987.99 2,011.28 2,034.84 2,058.68 12,000.00

2,082.80 2,082.80 2,082.80 2,082.80 2,082.80 2,082.80 12,496.80

4.14%

Primero se calcula la cuota con la funcion PAGO

FLUJO -12,000.00 2,082.80 2,082.80 2,082.80 2,082.80 2,082.80 2,082.80 1.1715% TIR

SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN AMERICANO TODO SE AMORTIZA AL FINAL Prestamo Plazo (meses) Tasa (TEA) Modalidad

12,000 6 15% TEM Sist. Americano Todo se amortiza al final

Mes 0 1 2 3 4 5 6

Saldo 12,000.00 12,000.00 12,000.00 12,000.00 12,000.00 12,000.00 12,000.00

1.1715%

Interés

Amortización

Pago

140.58 140.58 140.58 140.58 140.58 140.58 843.47

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12,000.00

140.58 140.58 140.58 140.58 140.58 12,140.58 12,843.47

7.03%

Flujo -12,000.00 140.58 140.58 140.58 140.58 140.58 12,140.58 1.1715% TIR

Prestamo Plazo Tasa (TEA) Modalidad Cuotas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Prestamo Plazo Tasa (TEA) Modalidad Cuotas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Prestamo Plazo Tasa (TEA) Modalidad Cuotas 0 1 2 3 4 5 6 7

20,000 10 meses 213.865% Cuotas constantes Principal 20,000.00 18,745.13 17,364.77 15,846.36 14,176.10 12,338.80 10,317.76 8,094.61 5,649.12 2,959.07 0.00

Amortizacion 1,254.87 1,380.36 1,518.41 1,670.26 1,837.30 2,021.04 2,223.16 2,445.49 2,690.05 2,959.07 20,000.00

20,000 10 meses 213.865% Cuotas decrecientes Principal 20,000.00 18,000.00 16,000.00 14,000.00 12,000.00 10,000.00 8,000.00 6,000.00 4,000.00 2,000.00 0.00

Amortizacion 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 20,000.00

20,000 10 meses 213.865% Cuotas decrecientes Principal 20,000.00 18,000.00 16,000.00 14,000.00 12,000.00 10,000.00 8,000.00 6,000.00

Amortizacion 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00

8 9 10

4,000.00 2,000.00 0.00

2,000.00 2,000.00 2,000.00 20,000.00

SIMULACION Prestamo 20,000 Plazo 10 meses Tasa (TEA) 213.865% Modalidad Cuotas decrecientes Cuotas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Principal 20,000.00 18,000.00 16,000.00 14,000.00 12,000.00 10,000.00 8,000.00 6,000.00 4,000.00 2,000.00 0.00

Amortizacion 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 2,000.00 20,000.00

SISTEMA FRANCES TEM

10.0006%

Interes

Cuota Constante -20,000.00 3,255.00 3,255.00 3,255.00 3,255.00 3,255.00 3,255.00 3,255.00 3,255.00 3,255.00 3,255.00 32,549.98 TIR 10.00%

2,000.13 1,874.63 1,736.59 1,584.74 1,417.70 1,233.96 1,031.84 809.51 564.95 295.93 12,549.98 62.75%

CUOTAS DECRECIENTES TEM

10.0006%

Interes

Cuota Constante -20,000.00 4,000.13 3,800.12 3,600.10 3,400.09 3,200.08 3,000.06 2,800.05 2,600.04 2,400.03 2,200.01 31,000.71 TIR 10.00%

2,000.13 1,800.12 1,600.10 1,400.09 1,200.08 1,000.06 800.05 600.04 400.03 200.01 11,000.71 55.00%

SISTEMA ALEMAN TEM

10.0006%

Interes

Cuota Constante -20,000.00 4,000.13 3,800.12 3,600.10 3,400.09 3,200.08 3,000.06 2,800.05

2,000.13 1,800.12 1,600.10 1,400.09 1,200.08 1,000.06 800.05

600.04 400.03 200.01 11,000.71 55.00%

2,600.04 2,400.03 2,200.01 31,000.71 TIR 10.00%

SISTEMA ALEMAN TEM

10.0006%

Interes

Cuota Constante -20,000.00 4,000.13 3,800.12 3,600.10 3,400.09 3,200.08 3,000.06 2,800.05 2,600.04 2,400.03 2,200.01 31,000.71 TIR 10.00%

2,000.13 1,800.12 1,600.10 1,400.09 1,200.08 1,000.06 800.05 600.04 400.03 200.01 11,000.71 55.00%

EVALUACION DE CREDITOS EJEMPLO 1: COMPARAR INTERÉS CON TASA DE INTERÉS AL EVALUAR CRÉDITOS Consideremos las dos siguientes líneas de crédito:

LÍNEA A: LÍNEA B:

0 10,000 10,000

1 -9,000 -2,800

2 -2,200 -8,640

Si calculamos los intereses en ambas líneas tendríamos:

LÍNEA A:

0 10,000

1 -9,000

2 -2,200

Intereses 1,200

LÍNEA B:

10,000

-2,800

-8,640

1,440

Calculamos la tasa del crédito 0 1 LÍNEA A: 10,000 -9,000 LÍNEA B: 10,000 -2,800

2 -2,200 -8,640

Tasa 10% 8%

LA MEJOR???? Más "caro" en términos de pago de intereses

Más "caro" en términos de tasa de interés La tasa se calcula con la TIR Una cosa es evaluar por montos o tasas.

Lo cual indica que el crédito más caro es la línea A. EJEMPLO 2: COMPARAR TASA DE INTERÉS CON VALOR DE LA DEUDA AL EVALUAR CRÉDITOS Consideremos las dos siguientes líneas de crédito: COK LÍNEA A: LÍNEA B:

0 10,000 10,000

50% 1 -9,500 -1,800

2 -1,050 -9,720

Intereses 550 1,520

TIR 5% 8%

VF de la deuda 7,200 10,080

caro" en términos de pago de intereses

caro" en términos de tasa de interés sa se calcula con la TIR osa es evaluar por montos o tasas.

EVALUAR CRÉDITOS

VA de la deuda 3,200 4,480

7,200 TIR la tasa que gana el acreedor (banco) 10,080 Linea B es màs caro

Caso:

Decisión de prestamo

Una empresa solicita un préstamo de S/. 25,000 por un plazo de 8 meses. El banco Continental y el B le propne las siguientes condiciones Banco Continental Banco Credito Monto prestamo 25,000 Monto prestamo Tasa Mes TCEM 3.85% Tasa Mes TCEM Portes año 240 Portes año Mantenimiento 8.5 Mantenimiento Seguro Desgr 0.85% Mes Seguro Desgr Sistema: Pago mensual Sistema: De qué banco se solicitaría el crédito Solución a) BANCO CONTINENTAL PAGO

3,690.23

PAGO

El cuadro de sevicio de deuda será: Meses 0 Saldo deuda 25,000.00 Amortización Intereses Pago Portes Mantenim Desgravamen Pago Total

1 22,272.27 2,727.73 962.50 3,690.23 20.00 8.50 212.50 3,931.23

2 19,439.52 2,832.75 857.48 3,690.23 20.00 8.50 189.31 3,908.05

3 16,497.71 2,941.81 748.42 3,690.23 20.00 8.50 165.24 3,883.97

Flujo

3,931.23

3,908.05

3,883.97

TIR

-25,000.00 4.88%

b) BANCO DE CREDITO Formula: Amortización = Préstamo / Número de Pagos Amortización = 25,000 / 8 =

S/. 3,125.00

El cuadro de sevicio de deuda será: Meses 0 Saldo deuda 25,000.00 Amortización Intereses Pago Portes Mantenim

1 21,875.00 3,125.00 1,050.00 4,175.00 12.00 5.60

2 18,750.00 3,125.00 918.75 4,043.75 12.00 5.60

3 15,625.00 3,125.00 787.50 3,912.50 12.00 5.60

Desgravamen Pago Total Flujo TIR

-25,000.00 4.78%

115.00 4,307.60

100.63 4,161.98

86.25 4,016.35

4,307.60

4,161.98

4,016.35

El banco Continental y el Banco de Crédito

25,000 4.20% 144 5.6 0.46% Mes Amortizacion mensual constante

3,125.00 4 13,442.64 3,055.07 635.16 3,690.23 20.00 8.50 140.23 3,858.96

5 10,269.95 3,172.69 517.54 3,690.23 20.00 8.50 114.26 3,832.99

6 6,975.11 3,294.84 395.39 3,690.23 20.00 8.50 87.29 3,806.03

7 3,553.42 3,421.69 268.54 3,690.23 20.00 8.50 59.29 3,778.02

8 0.00 3,553.42 136.81 3,690.23 20.00 8.50 30.20 3,748.94

3,858.96

3,832.99

3,806.03

3,778.02

3,748.94

4 12,500.00 3,125.00 656.25 3,781.25 12.00 5.60

5 9,375.00 3,125.00 525.00 3,650.00 12.00 5.60

6 6,250.00 3,125.00 393.75 3,518.75 12.00 5.60

7 3,125.00 3,125.00 262.50 3,387.50 12.00 5.60

8 0.00 3,125.00 131.25 3,256.25 12.00 5.60

71.88 3,870.73

57.50 3,725.10

43.13 3,579.48

28.75 3,433.85

14.38 3,288.23

3,870.73

3,725.10

3,579.48

3,433.85

3,288.23

Caso: Calculo del Costo Efectivo de un Crédito Solicitamos un crédito para capital de trabajo de S/.

1,800 a 6 meses.

Instrucciones para hacer el cálculo: 1) Identificación de los gastos asociados al crédito: Monto prestado 1,800 Tasa de interés efectiva anual 38% Portes por año 24 Mantenimiento mensual 1 Pago del crédito mensual Tiempo prestamo 6 meses 2) Cálculo de la tasa mensual: La tasa mensual se calcula asi: i mensual =

2.72%

3) Calculo del servicio de la deuda: Consideramos un pago constante mensual Concepto 0 1 Desembolso 1,800.00 Interés 48.97 Capital 300.00 Portes 2.00 Mantenimiento 1.00 Cuota 351.97 Saldo 1,500.00

2

3

4

5

6

40.81 300.00 2.00 1.00 343.81 1,200.00

32.64 300.00 2.00 1.00 335.64 900.00

24.48 300.00 2.00 1.00 327.48 600.00

16.32 300.00 2.00 1.00 319.32 300.00

8.16 300.00 2.00 1.00 311.16 0.00

3 335.64

4 327.48

5 319.32

6 311.16

4) Cálculo del costo efectivo del crédito mensual: 0 1 2 Flujo de fondos (1,800.00) 351.97 343.81 TIR =

3.00% mensual

5) Pasar a tasa anual: La tasa anual se calcula asi: i % anual

42.56% aprox

Este es mayor al 38% que el banco dijo que iba a costar el crédito.

Total 171.38 1,800.00 12.00 6.00 1,989.38

Caso:

Aplicación comercial: Amortización de un prestamo

Una empresa solicita un préstamo de S/. 15,000 por un plazo de 8 meses. El banco le propone dos formas de pago: a) Pagos mensuales constantes. b) Amortizaciones mensuales constantes. Elaborar en ambos casos el cuadro de servicio de deuda, considerando que la la tasa de interes efectivo es del 1.4% mensual. Solución a) Como los pagos son mensuales y constantes, pueden ser calculados con las formulas de anualidades. A = 15,000 * (1.4% / (1-(1+1.4%)^-8) = S/. 1,995.04 El cuadro de sevicio de deuda será: Meses 0 1 Saldo deuda 15,000.00 13,214.96 Amortización 1,785.04 Intereses 210.00 Pago 1,995.04

2 11,404.93 1,810.03 185.01 1,995.04

3 9,569.56 1,835.37 159.67 1,995.04

4 7,708.49 1,861.07 133.97 1,995.04

Flujo

1,995.04

1,995.04

1,995.04

TIR

-15,000.00

1,995.04

1.40%

b) Se calculan las amortizaciones constantes dividiendo el monto del préstamo en 8 pagos constantes Formula: Amortización = Préstamo / Número de Pagos Amortización = 15,000 / 8 =

S/. 1,875.00

El cuadro de sevicio de deuda será: Meses 0 1 Saldo deuda 15,000.00 13,125.00 Amortización 1,875.00 Intereses 210.00 Pago 2,085.00

2 11,250.00 1,875.00 183.75 2,058.75

3 9,375.00 1,875.00 157.50 2,032.50

4 7,500.00 1,875.00 131.25 2,006.25

Flujo

2,058.75

2,032.50

2,006.25

TIR

-15,000.00 1.40%

2,085.00

PAGO

1,995.04

5 5,821.37 1,887.12 107.92 1,995.04

6 3,907.83 1,913.54 81.50 1,995.04

7 1,967.50 1,940.33 54.71 1,995.04

8 0.00 1,967.50 27.54 1,995.04

1,995.04

1,995.04

1,995.04

1,995.04

mo en 8 pagos constantes;

5 5,625.00 1,875.00 105.00 1,980.00

6 3,750.00 1,875.00 78.75 1,953.75

7 1,875.00 1,875.00 52.50 1,927.50

8 0.00 1,875.00 26.25 1,901.25

1,980.00

1,953.75

1,927.50

1,901.25

SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN CAMBIO DE TASA Prestamo 12,000 Plazo (meses) 6 TEA 15% Modalidad Sist. Francés Mes 0 1 2 3 4 5 6

TEM

Saldo 12,000.00 12,000.00 10,057.78 8,092.80 6,104.81 4,093.53 2,058.68

1.1715%

Cuota

2,082.80

Interés

Amortización

Pago

140.58 117.83 94.81 71.52 47.96 24.12 496.80

1,942.22 1,964.97 1,987.99 2,011.28 2,034.84 2,058.68 12,000.00

2,082.80 2,082.80 2,082.80 2,082.80 2,082.80 2,082.80

Problema: Si la tasa cambia a 20% TEA a partir del mes 3, determine el importe de la nueva cuota Solución Ello significa que a partir del mes 3 habrá una nueva cuota, ésta la calculamos con el saldo al comenzar el mes 3 que es 8092,80 y la nueva TEM, utilizamos la función Pago para el recalculo de la cuota Principal 12,000 Plazo (meses) 6 TEA 20% Modalidad Sist. Francés

Mes 0 1 2 3 4 5 6

TEM

Saldo 12,000.00 12,000.00 10,057.78 8,092.80 6,115.48 4,107.88 2,069.54

1.5309%

Interés

Amortización

Pago

140.58 117.83 123.90 93.62 62.89 31.68 570.50

1,942.22 1,964.97 1,977.33 2,007.60 2,038.34 2,069.54 12,000.00

2,082.80 2,082.80 2,101.22 2,101.22 2,101.22 2,101.22 TCC a.i. (TEM) TCC a.i. (TEA)

Cuando hay un cambio en las reglas de juego hay que calcular el saldo considerarlo como un nuevo prestamo en las nuevas condiciones porque el pasado ya es historia.

te de la nueva cuota

on el saldo al comenzar el o de la cuota

FCN 12000 -2,082.80 -2,082.80 -2,101.22 -2,101.22 Considerar como un nuevo préstamo -2,101.22 -2,101.22 1.3411% 17.3349%

Caso:

Perpetuidad

Para que mis dos hijos estudien becados en una universidad de prestigio, dentro de 10 años es requisito fundamental entre otros, depositar el día de hoy una suma de dinero en una institución financiera que paga mensualmente por ahorros de este tipo el 1.5% y que permite a la institución disponer de S/. 2,500 mensuales a perpetuidad. Cuánto debo depositar el día de hoy. Solución: A= 2,500 5000 i= 1.50% mensual 5% P= 100000 P perpetuo = Anualidad perpetua / interes P=

166,666.67

Debo depositar hoy en día S/. 166,666.67, mensualmente el dinero gana S/. 2,500 de interes. Este interes constituye la beca.

2,500 de interes.

Ejercicio 12 Que cantidad debe pagarse al trimestre para saldar una deuda de 3 pagos mensuales de S/. 500 cada uno, dada una tasa de interes de 2% mensual? Solucion:

1,530.20 1591.8

Realizamos el grafico en el tiempo Luego ubicamos una fecha focal 500

500

500

1

2

3 X Fecha Focal

Meses 0

Alternativa 1: Llevar los valores a la fecha focal X = 500 (1+2%)^2 + 500 (1+2%)^1 + 500 Resolviendo X = 1,530.20 Alternativa 2: Utilizando en concepto de anualidad A= 500 mensual i% = 2% mensual n= 3 meses F= ? F=

1,530.20

Alternativa 3: Cambiar de fecha focal por ejemplo considerar en el año "0"

Ejercicio 13 Una empresa adeuda al banco S/. 1,500,000 con vencimiento a 2 años, y S/. 2,500,000 con vencimiento a 6 años. La empresa desea liquidar las deudas con un pago unico. Cual es el tiempo equivalente para el pago de estas deudas, suponiendo un interes de 12.5% efectivo anual. Solucion: Realizamos el grafico en el tiempo Luego ubicamos una fecha focal

4,000,000 /(1+12.5%)^x

0

1

Fecha focal

2 3 1,500,000

4

5

años

6 2,500,000

Se lleva todo a la fecha focal en este caso año "0" y se hace una equivalencia 4,000,000 (1+12.5%)^-x = 1,500,000 (1+12.5%)^-2 + 2,500,00 (1+12.5%)^-6 Resolviendo se tiene: X= 4.2723 años

Ejercicio 14 Al adquirir una casa con valor de S/. 2,000,000 se decide pagarlas con 2 pagos de S/. 1,000,000 a 6 meses y 1 año, mas intereses calculados al 40% capitalizable semestralmente. Al haber transcurrido un trimestre se reestructura la compra, y se determina pagarla con 3 pagos trimestrales: el primero por S/. 600,000, el segundo por S/. 800,000 y el tercero por la diferencia, considerando en este segundo flujo un interes de 36% capitalizable trimestralmente. Cúal es el importe del tercer pago?. Solucion: Realizamos el grafico en el tiempo Luego ubicamos una fecha focal

1,200,000 0

1

2 3 600,000

4

1,440,000

5 6 7 8 9 10 11 800,000 X Fecha Focal

Considerando la situacion inicial tenemos: La tasa de interes es 40% nominal anual capitalizable semestralmente Entonces la tasa semestral sera: i%= 40% anual i%= 20.000% semestral El primer pago a los 6 meses es de 1,000,000 (1+20%)^1 = El segundo pago a los 12 meses es de 1,000,000 (1+20%)^2 = Pago total = 2,640,000 Interes total = 640,000 32% por semestre 64% por año Considerando la situacion de reestructura: La tasa de interes es 36% nominal anual capitalizable trimestralmente Entonces la tasa trimestral sera: i%= 36% anual i%= 9.000% trimestral

12

meses

1,200,000 1,440,000

Entonces haciendo una relacion de equivalencia en la fecha focal tendremos: X + 600,000 (1+9%)^2 + 800,000 (1+9%)^1 = 1,200,000 (1+9%)^1 + 1,440,000 (1+9%)^-1 Resolviendo tenemos: X= 1,044,240.90 aprox

Recalcular

Ejercicio 03: El Banco A paga un interés del 8% annual capitalizado semestralmente. El Banco B paga 7.9% annual capitalizable mensualmente, y el Banco C paga una tasa de 7.8% annual capitalizable diariamente. Si usted tiene S/. 500 para invertir. Qué Banco elegiría si el período de depósito es de, al menos un año? Solución: Para decidir sobre estas alternativas de inversión tenemos que hallar sus respectivas tasas de interes efectivas anuales. m

FORMULA:

I efect =

1 + In m

-1

Donde:

Ie = tasa de interés efectiva en un período In = tasas de interés nominal en tanto % m = número de capitalizaciones por período

Banco A:

I efect = ( 1+ 8% / 2 )^2 - 1=

8.16%

Banco B:

I efect = ( 1+ 7.9% /12 )^12 - 1=

8.19%

Banco C:

I efect = ( 1+ 7.8% /360)^360 - 1=

8.11%

Se elegiría el Banco B porque proporciona un mayor rendimiento.

Banco B paga 8% annual

Ejercicio 04: Se otorga un préstamo por S/. 10,000 a una tasa de interés de 36% annual, capitalizable trimestralmente más 4% de comisión de administración del crédito. Calcular el monto a pagar luego de transcurrido una año. Solución: Las comisiones se suman a la tasa de interés I = 36% + 4% = 40.0% Capitalizable trimestralmente Tasa trimestral 10.0% 46.4% Trimestre 1 2 3 4 Total

Capital Interes Total 10,000 1,000 11,000 11,000 1,100 12,100 12,100 1,210 13,310 13,310 1,331 14,641 4,641 Tasa efectiva =

300,000 0

500,000 1

2

3

4

5

6

46.4%

Ejercicio 08: Hallar el costo efectivo del siguiente crédito: Principal S/. 12,000 Plazo 1 mes Tasa interes 1.50% mensual Modalidad Pagos de interesés por adelantado Comisión 2% flat Retención 5% (ganará una tasa de 0.5% mensual Solución: 12,000

Flat = 2%*12,000 = 240

12,000

600 * (1+0.5%) = 603

Retención = 5%*12,000 = 600

Interés = 1.5% * 12,000 = 180

Capital Neto recibido = 12,000 - 240 - 600 - 180 = Capital neto devuelto = 12,000 - 603 = Interés efectivo = 11,397 - 10,980 = Tasa efectiva mensual = 417 / 10,980 =

10,980 11,397 417 3.80%

Ejercicio 09: Una empresa productora de baterías ha recibido la orden de dejar de tirar líquidos con ácido que contienen mercurio al sistema de drenaje de la ciudad. Como resultado, la empresa debe ajustar el pH y eliminar el mercurio de sus líquidos de desecho. Se cuenta con las cotizaciones de tres firmas sobre el equipo necesario. Un análisis de las cotizaciones proporcionó la siguiente tabla de costos en nuevos soles.

Equipo Foxhill Instrument Quicksilver Almaden

Ingreso Costo con Costo anual anual por Valor de instalación de operación recuperación recuperación del mercurio 35,000 40,000 100,000

8,000 7,000 2,000

2,000 2,200 3,500

20,000 0 0

Si se espera que el equipo instalado dure 20 años y el valor del costo del dinero es del 7%. ¿Qué equipo debe comprarse? Considerar que el equipo realiza el nivel de producción deseado en el tiempo de vida. Solución Para el periodo de análisis de 20 años y suponiendo que el equipo realiza el nivel deseado de producción el criterio es minimizar el valor presente del costo (el menor costo). Alternativa:

Equipo Foxhill Instrument

VP = VP = VP =

´35,000 + (8,000 - 2,000) * (P/A,7%,20) - 20,000 * (P/F,7%,20) ´35,000 + 6,000 * 10.594 - 20,000 * 0.2584 93,396.00

Alternativa:

Equipo Quicksilver

VP = VP = VP =

´40,000 + (7,000 - 2,200) * (P/A,7%,20) ´40,000 + 4,800 * 10.594 90,851.20

Alternativa:

Equipo Almaden

VP = VP = VP =

´100,000 + (2,000 - 3,500) * (P/A,7%,20) ´100,000 - 1,500 * 10.594 84,109.00

Se debe tener presente que en este caso se está hallando el valor presente de los costos a diferencia del valor presente neto, debido a que si utilizamos en VAN todas las alternativas tendrán resultados negativos lo que indicaría que las alternativas se rechacen, porque para que un proyecto sea aceptado su VAN debe ser igual o mayor de cero. Entoncés el equipo que compraría seria el Almaden

on ácido que debe ajustar el s de tres firmas abla de costos

del 7%. ¿Qué equipo n el tiempo de vida.

eseado de producción

ostos a diferencia drán resultados ecto sea aceptado

Ejercicio 11: Una empresa de bienes raices, tiene los siguientes planes de venta para un determinado tipo de departamentos. Plan A: S/. 550,000 al contado Plan B: S/. 200,000 de enganche y tres pagos iguales anuales de S/. 150,000 Plan C: S/. 300,000 de enganche y S/. 500,000 dentro de 6 años. Si la tasa de interes promedio de mercado es de 24% simple y se supone que no cambiará en los próximos 6 años. ¿Cuál es el mejor plan y por qué? Solución: A primera vista se escogería el Plan A, cuya cantidad es menor a la de los otros planes, sin embargo un análisita financiero les recomendaría analizar los valores presentes del plan B y C, y comparar estos resultados con el plan A. Calculo del valor presente para el Plan B: Hacemos una linea en el tiempo 150,000

200,000 0

150,000

150,000

2

3

1

VP 0 = 200,000 + VP 1 + VP 2 + VP 3 VP 1 = 150,000 / (1+24%*1) = VP 2 = 150,000 / (1+24%*2) = VP 3 = 150,000 / (1+24%*3) =

120,967.74 101,351.35 87,209.30

Valor Presente Plan B =

509,528.40

Concepto i% =

0 200,000 24%

VP =

497,195

1 150,000

2 150,000

3 150,000

¿Por qué?

Calculo del valor presente para el Plan C: Hacemos una linea en el tiempo 300,000 0

500,000 1

VP 0 = 300,000 + VP 6

2

3

4

5

6

Karina

VP 6 = 500,000 / (1+24%*6) =

204,918.03

Valor Presente Plan C =

504,918.03

Comparación Plan VP A 550,000.00 B 509,528.40 C 504,918.03 La mejor opción es el Plan C

rminado tipo de

o cambiará

planes, sin del plan B y C,

650 800

Ejercicio 12: Un pagaré firmado por S/. 3,000,000 a 3 años, a una tasa de interés de 24% con capitalización trimestral, fue vendido 9 meses antes de su vencimiento, con un rendimiento del 3% con capitalización mensual. Se desea saber el valor del documento que fue vendido. Solución: Primero calcularemos el valor del pagaré en su vencimiento, y luego calculamos su valor 9 meses antes de su vencimiento. Hacemos una linea en el tiempo i = 24% annual Capitalizac Trimestral F = ??

3,000,000 0

1

2

C

3 n = 9 meses i = 3% capitaliza mensual

Calculo del valor del pagaré a su vencimiento: Calculo la tasa trimestral: I % trimes = 6.00% F = 3,000,000 (1+6%)^3*4 = 6,036,589.42 F=

6,036,589.42

Calculo del valor al que fue vendido el documento: C = F / (1+3%)^9 = C= 4,626,543.13 Es la cantidad a la que fue vendido el documento.

I% trimestral = (1+i% añ F = P (1 + i%) ^t

on capitalización del 3% con

os su valor

liza mensual

% trimestral = (1+i% año)^(1/4) - 1 = P (1 + i%) ^t

Ejercicio 15: Una empresa asume un préstamo por S/. 12,000 pagaderos en tres cuotas anuales de principal constante con una tasa de interés del 15% anual al rebatir, las condiciones de este financiamiento requieren que la empresa al final del primer año realice un gasto adicional de S/. 1,000 por concepto de valorización o tasación de las garantias que van a respaldar al financiamiento del Banco. Determinar el costo neto de la deuda si el impuesto a la renta es 30%. Solución: El calendario de pago para la deuda es el siguiente: Tasa Año

15% Deuda Interés Amortización Total pago Saldo 1 S/. 12,000.00 S/. 1,800.00 S/. 4,000.00 S/. 5,800.00 S/. 8,000.00 2 S/. 8,000.00 S/. 1,200.00 S/. 4,000.00 S/. 5,200.00 S/. 4,000.00 3 S/. 4,000.00 S/. 600.00 S/. 4,000.00 S/. 4,600.00 S/. 0.00

El flujo de caja de la deuda: IR= 30% Año Desembolso Total Pago Gastos Ahorro IR Flujo Neto 0 S/. 12,000.00 0 0 0 0 1 S/. 5,800.00 S/. 1,000.00 840 5960 2 S/. 5,200.00 360 4840 3 S/. 4,600.00 180 4420 Aplicando la condición de equivalencia del flujo neto se obtiene el costo de la deuda 12,000 = 5,960 / (1+i) + 4,840 / (1+i)^2 + 4,420 / (1+i)^3 Tanteando:

i=

13.66% anual

Ejercicio 21: HP realizó un estudio que indica que US$ 50,000 en la reducción de mantenimiento este año (año cer en una línea de procesamiento, fue el resultado del mejoramiento de la tecnología de fabricación de circuitos integrados, con base en diseños que cambian rápidamente. a) Si HP considera que este tipo de ahorro vale un 20% anual, encuentre el valor equivalente de este resultado despúes de 5 años. b) Si el ahorro de US$ 50,000 en mantenimiento ocurre ahora, calcule su valor equivalente 3 años ant con un interés de 20% anual Solución (a): P = i% = t =

50,000

20% anual 5 años

a) Método usando tablas F = P(F/P,i,n) = 50,000*(F/P,20%,5) = 50,000*(2.4483) = Valor de tabla financiera = 2.4483 b) Por formula F=P(1+i)^n = 50,000*(1+0.2)^5 =

122,415.00

124,416.00

c) Usando el excel F= (S/. 124,416.00) Es negativo porque significa salida de efectivo (pago)

Solución (b): F = i% = t =

50,000

20% anual 3 años

a) Método usando tablas P = F(P/F,i,n) = 50,000*(P/F,20%,3) = 50,000*(0.5787) = Valor de tabla financiera = 0.5787 b) Por formula P=F/(1+i)^n = 50,000/(1+0.2)^5 = c) Usando el excel P= (S/. 28,935.19)

28,935.19

28,935.00

iento este año (año cero) ogía de fabricación de

or equivalente de este equivalente 3 años antes

Ejercicio 26: Una empresa compra una máquina por S/. 12,000 y está dispuesta a pagarla en cinco pagos iguales cada año comenzando un año después de la fecha de compra, a un interés de 4% anual. Precisamente después del segundo pago, se cambiaron los términos de la venta para permitir que se pague el saldo en un solo pago el siguiente año. ¿Cuál es el monto de este pago final en una sola suma? Solucion: Con el valor presente de S/. 12,000 se halla los pagos uniformes anuales P= i= n= A=

12,000 4% anual 5 años

A = 12,000(A/P,4%,5) A = 12,000*(0.2246) A= 2,695.20

???

0

A

A

A

A

1

2

3

4

P3 Como nos faltan pagar 3 cuotas en un solo saldo P3 y la forma de los flujos no nos permite hallarlo directamente, entonces hallaremos P2 (vaor presente de la serie restante en el año 2) P2 = 2,695.2 (P/A,4%,3) =

7,479.18

P2 lo llevamos al año 3 P3 = 7,479.18 * (1+4%)^1 = P3 =

7,778

7,778

A

5

agarla en cinco pagos a un interés de 4% minos de la venta para es el monto de este

A

Caso 04: Dos prestamos de S/. 20,000 y S/. 30,000 son pagaderos al cabo de 2 y 4 años respectivamente incluidos los intereses del 20% capitalizable trimestralmente. Si se acuerda pagarlo con dos cuotas iguales, a los 3 y 6 años respectivamente. Cuál sería el importe de esos pagos considerando el 20% capitalizable trimestralmente? Solucion:

Graficando tenemos: Fecha Focal

20,000

30,000 6

0

1

2

3 A

4

5 A

Tomando como fecha focal, la fecha actual y teniendo presente el interés de 20% capitalizable trimest se tiene la siguiente ecuación: A (1+ 20%/4)^-12 + A (1 + 20%/4)^-24 = 20,000 (1 + 20%/4)^-8 + 30,000 (1 + 20%/4)^-16 Resolviendo tenemos: A=

31,468.41

A

de 20% capitalizable trimestralmente,

1 + 20%/4)^-16

Caso 10: Se tiene dos letras por pagar cada una por un valor de S/. 500. La primera vence dentro de un mes y la segunda dentro de 3 meses. Se desea refinanciar la deuda firmando una sola letra con vencimiento dentro de 5 meses. Encontrar el monto de la nueva letra. Asumir la tasa de interes mensual de 2%. Solucion: P5

P1 = P3 = F5 =

500 500 ??? 0

F5 = 500 (1+ 2%)^4 + 500 (1 +2%)^2 F5 = 1,061.42 Debo pagar 1,000 Voy a pagar 1,061.42 61.42

1

2

P1

3

4

P3

5

Caso 02: La empresa agropecuaria "La Lechera S.A." requiere abastecerse de botellas plásticas para el envasado de su producto, realiza una compra de 40,000 botellas a S/. 0.35 cada una. Según la política de compras de la empresa, toda factura es cancelada a los 53 días de realizada la compra. El proveedor de botellas, enterado de esta situación, le ofrece un descuento del 6% si cancela 30 días antes. ¿Cuál es el costo anual del descuento? Solución: Compra

14000 53 días

23 14,000*0.94 El costo efectivo del descuento será: i30 = (40,000*0.35 - 40,000*0.35*0.94) / 40,000*0.35*0.94 = El costo efectivo anual será: i = (1+6.383%)^(360/30) - 1 =

110.12%

El costo efectivo anual del descuento es del 110.12%

14,000 6.383% por 30 días

cas para el envasado de

s de realizada la compra. si cancela 30 días antes.

Caso 08: Se compra una maquinaria cuyo costo es de S/. 35,400 con un anticipo del 30% de dicho costo y el resto en 24 pagos quincenales, con un atractivo adicional para el comprador que consiste en efectuar el primer pago hasta el final de la cuarta quincena. ¿Cuál es el valor de los pagos si la tasa de interés es del 24% anual? Solución: i = 24% anual A=? 0 1 2 3 4 …………………………………………………….....27

35,400*70%

quincenas

P

La tasa de interés equivalente quincenal es: i = (1+24%)^(15/360) -1 = (1+24%)^(1/24) -1 =

0.9003%

0.9003% quincenal

Cuando existen pagos diferidos, existen 2 tipos de plazos. Período de gracia o período muerto. El más utilizado de ellos es el período de gracia (sólo se pagan intereses) Entoncés hasta la cuarta quincena consideramos como período de gracia. Para hallar los pagos quincenales requerimos que el costo de la maquinaria se ubique en la tercera quincena, un período antes del primer pago: P´= 35,000*0.7 * (1+0.9003%)^3 = S/. 25,167.72 Luego calculamos la anualidad; A = 25,167.72* (0.9003% / (1-(1+0.9003)^-24) =

S/. 1,170.72

Los pagos quincenales que deberán realizar son de S/. 1,179.72

cho costo y el resto en fectuar el primer nterés es del 24% anual?

e en la tercera quincena,

Caso 09: La empresa Metro decide contratar por una año los servicios de limpieza de la empresa "Blancura S.A.C." y convienen en pagar de la siguiente forma: a) 5 abonos mensuales de S/. 750 los primeros cinco meses. b) 6 pagos quincenales de S/. 600 los siguientes tres meses. ¿Cuál es el desembolso que deberá hacer la empresa si decide pagar todo el servicio al contado? Considere que el dinero reditúa un 8.5% semestral. Solución

P2i ° P1 P2 0

1

2

3

4

5

A = 750 mensual

6

7

8

meses

A=600 quincenal

Desembolso total = valor actual de los pagos mensuales + valor actual de los pagos quincenales a) El valor actual de las 5 cuotas de S/. 750 es: A = S/. 750 mensuales n = 5 cuotas i = (1+8.5%)^30/180 - 1 = 1.3690% mensual P1 = 750 (1- (1+1.3690%)^-5)/(1.3690%) =

S/. 3,600.78

b) El valor actual de las 6 cuotas de S/, 600 es: A = S/. 600 quincenales n = 6 cuotas i = (1+8.5%)^15/180 - 1 = 0.6821% quincenal Como estos pagos se realizan a partir de la primera quincena del sexto mes, el valor actual equivalente de estos pagos se va a ubicar en el quinto mes. P2 = 600 (1- (1+0.6821%)^-6)/(0.6821%) =

S/. 3,515.59

Actualizando P2 al momento "0" : P2i = 3,515.59 / (1 + 1.3690%)^5 =

S/. 3,284.53

Finalmente, el desembolso total del servicio debe ser: Pt = S/. 3,600.78 + S/. 3,284.53 =

S/. 6,885.31

El monto que tendrá que desembolsar es de S/. 6,885.31

sa "Blancura S.A.C."

o al contado?

actual equivalente

Caso 17: La compañía Atlanta esta empeñada en un programa e costos de operación. El Gerente de Operaciones ha establecido una meta de ahorro para los proximos 4 años que equivale a S/. 90,000 en valor presente. El estima que la empresa está en capacidad de ahorrar S/. 40,000 el primer año, pero la reducción será más dificil cada año. Si se espera que los ahorros sigan una gradiente uniforme decreciente. ¿Cuáles serán las reducciones en los años 2,3 y 4 a fin de que la empresa alcance la meta establecida? Considerar un interés de 15% anual Solucion: El flujo de caja principal se puede descomponer para llevarlo a su equivalente en el presente P 40,000

G --

= 0

1

2

3

4

1

P = 90,000 = 40,000 * (P/A,15%,4) - G * (P/G, 15%,4) Reemplazando los datos en las ecuaciones tenemos ´90,000 = 40,000 * (2.855) - G * (3.786) Donde G = 6,391.97 Las reducciones serían: Año 1: 40,000.00 Año 2: 33,608.03 Año 3 27,216.06 Año 3: 20,824.09

2

3

4

0

1

2

3G 2G

3

4

Caso 20:

El día de hoy Sergio debe S/. 2,500 por un préstamo que vence dentro de 6 meses, esté prestamo fue hecho inicialmente a 18 meses y a una tasa de 10% de interés simple. Además debe S/. 5,000 que ve dentro de 10 meses incluyéndose intereses. Sergio se da un plazo para cancelar sus deudas y acuerd su acreedor pagar S/. 4,000 de inmediato y liquidar el saldo mediante un pago único dentro de seis m Suponiendo un rendimiento de 12% y considerando la fecha focal dentro de 6 meses, determinar el pa único mencionado. Solucion: Calculando el valor del vencimiento de S/. 2,500 con intereses, a 18 meses y una tasa de 10% anual. Pero este esta por vencerse a los 6 meses, es decir ya transcurrió 12 meses. F1 = 2,500*(1+1.5*0.1) = F2 = 5,000

2,875.00

vence dentro de 10 meses e incluye intereses. 5,000

2,875 0 4,000

1

2

3

4

5

6

A Sea "A" el pago único Entonces: Los pagos nuevos = Obligaciones originales ´+4,000*(1+(6/12)*0.12) + A = 2,875 + 5,000/(1+(4/12)*0.12) 4,240.00 Entonces:

´+ A = A=

2,875 + 3,442.69

4,807.69

7

8

Fecha Focal

9

10 Pagos Nuevos

de 6 meses, esté prestamo fue Además debe S/. 5,000 que vence a cancelar sus deudas y acuerda con n pago único dentro de seis meses. o de 6 meses, determinar el pago

a de 10% anual.

Caso 21:

Sergio debe al Banco de Crédito trea pagarés así: S/. 30,000 con vencimiento el 30 de Abril; S/. 25,000 c vencimiento el 31 de mayo y S/. 50,000 con vencimiento el 30 de Junio. El 20 de mayo, Sergio propone a reemplazar los tres pagares por uno solo y con vencimiento el 31 de diciembre del mismo año. Siendo la de descuento 9% y 19 % de interés simple en caso de mora. Calcular el valor de este nuevo pagaré. Solucion: Graficando las obligaciones tenemos: P3 = P2 = P1 =

50,000 25,000 30,000 30-Apr

31-May

30-Jun

31-Dec

20-May "A" Primero calculamos el valor de los pagares al 20 de mayo a) El primer pagare de S/. 30,000 vencido el 30 de abril calculamos su monto futuro con los intereses de mora de 10% en 20 días F = P * (1+i*n) F1 = 30,166.67 b) Calculamos el valor del segundo pagare de S/. 25,000 Formula: A = N * (1 - n*i) Donde A = Valor Actual i = 9% N = Valor Nominal n = 11/360 años A2 =

24,925.00

c) Calculamos el valor del segundo pagare de S/. 50,000 Formula: A = N * (1 - n*i) Donde A = Valor Actual i = 9% N = Valor Nominal n = 42/360 años A3 =

49,475.00

Entoncés el Valor actual de los pagares al 20 de Mayo será de: A = F1 + A2 + A3 A= 104,566.67 Como conocemos el valor actual del pagaré al 20 de Mayo encontraremos su valor de vencimiento al 31 diciembre. Formula: A = N * (1 - n*i) Donde A = Valor Actual i = 9% N = Valor Nominal n = 226/360 años

Entonces: N = A / (1 - n*i) N=

110,666.84

Entonces el valor del nuevo pagare al 31 de diciembre es de S/. 110,666.84

de Abril; S/. 25,000 con ayo, Sergio propone al Banco mismo año. Siendo la tasa de te nuevo pagaré.

s de mora de 10%

al 31 diciembre.