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• PaoloRodriguezGarcia

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Caso de estudio: LA EMPRESA ROHM AND HASS Rohm and Hass es el principal productor de materiales especiales, entre los que se encuentran materiales electrónicos, polímeros para pinturas y artículos para el cuidado personal. En el área de productos químicos, para un cliente determinado, la empresa produce un catalizador caro que el cliente emplea en sus procesos químicos.

Caso de estudio: LA EMPRESA ROHM AND HASS Algunos, pero no todos los lotes que produce la empresa satisfacen las especificaciones del producto. El contrato estipula que el cliente debe probar cada lote después de recibirlo y determinar si el catalizador podrá realizar la función esperada. Los lotes que no pasen la prueba del cliente serán regresados. Con el tiempo, la experiencia ha mostrado que el cliente acepta 60% de los lotes y regresa 40%. Ni el cliente ni la empresa estaban satisfechos con este servicio.

Caso de estudio: LA EMPRESA ROHM AND HASS La empresa examinó la posibilidad de, antes de enviar el lote, replicar la prueba que hacía el cliente. La empresa creyó que la prueba podría indicar si el catalizador pasaría la compleja prueba que practicaba el cliente.

La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad que el catalizador pase la prueba del cliente dado que pasó la prueba de la empresa antes de enviar el lote?

PROBABILIDADES

LOGRO DE APRENDIZAJE

Al finalizar la sesión, el estudiante será capaz de calcular probabilidades haciendo uso de las reglas y axiomas de probabilidad.

Probabilidad y juegos de azar La probabilidad matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar (dados /cartas). Problemas Contabilizar el Nº de posibles resultados de lanzar varias veces un dado.

Probabilidad Definición  Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. 

Es un número real que expresa la confianza o incertidumbre en la ocurrencia de un suceso o evento, cuyo resultado no se puede predecir con certeza.

Probabilidad 



Los eventos futuros no pueden predecirse con absoluta seguridad, solo se puede llegar a aproximaciones de la ocurrencia o no del evento. La técnica probabilística encuentra un valor entre 0 y 1, que es la probabilidad la que nos indicará:  si es cercano a uno, es casi seguro que ocurrirá tal evento,  caso contrario se aproximará a cero, esto indica que es muy posible que dicho evento no ocurra.

Probabilidad 



Los eventos futuros no pueden predecirse con absoluta seguridad, solo se puede llegar a aproximaciones de la ocurrencia o no del evento. La técnica probabilística encuentra un valor entre 0 y 1, que es la probabilidad la que nos indicará:  si es cercano a uno, es casi seguro que ocurrirá tal evento,  caso contrario se aproximará a cero, esto indica que es muy posible que dicho evento no ocurra.

Experimento Aleatorio 

Es todo experimento u operación cuyo resultado no puede predecirse con certeza .

1: Lanzar una moneda 2 veces y registrar los resultados. 2: Lanzar un dado y registrar el resultado. 3: el tiempo de vida de un componente eléctrico. 4: Lanzar un dado hasta obtener un 6 y registrar el número de lanzamientos requeridos. 5: Una caja contiene 3 bolas blancas y 5 rojas. Extraer una bola y observar el color.

Espacio Muestral Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Los espacios muéstrales pueden ser finitos o infinitos. Los espacios muéstrales infinitos pueden ser clasificados a su vez en numerables y no numerables. Ejemplos: 1 ={(c, c), (c, s) (s, c), (s, s)} 2 ={1, 2, 3, 4, 5, 6} 3 ={t  R / t > 0} 4 ={1, 2, 3, 4, . . . }

Punto muestral Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Los espacios muéstrales pueden ser finitos o infinitos. Los espacios muéstrales infinitos pueden ser clasificados a su vez en numerables y no numerables. Ejemplos: 1 ={(c, c), (c, s) (s, c), (s, s)} 2 ={1, 2, 3, 4, 5, 6} 3 ={t  R / t > 0} 4 ={1, 2, 3, 4, . . . }

Ejemplo Un ingeniero eléctrico tiene en su mano dos cajas de resistores, cada una con cuatro de éstos. Los resistores de la primera caja están etiquetados con 10 Ω(ohms), pero, de hecho, sus resistencias son de 9,10,11 y 12 Ω . Los resistores de la segunda caja tienen la etiqueta de 20 Ω ,pero sus resistencias son de 18,19,20 y 21Ω El ingeniero elige un resistor de cada caja y determina la resistencia de cada uno. Sea A el evento para el cual el primer resistor tiene una resistencia mayor a 10, sea B el evento en el que el segundo resistor tiene una resistencia menor a 19 y sea C el evento en el cual la suma de las resistencias es igual a 28. Determine un espacio muestral para este experimento y especifique los subconjuntos que corresponden a los eventos A, B yC 14

Evento o Suceso 

Es un subconjunto del espacio muestral. Se les representa con letras mayúsculas.

Tipos de eventos: 

Evento simple o elemental. Contiene sólo un elemento del espacio muestral. Ejemplo: En el experimento 2, lanzar un dado y registrar el resultado, A = {2} es un evento simple.

Tipos de Evento 

Evento compuesto. Contiene elementos del espacio muestral. Ejemplo: A = {2, 5}

2

ó

más



Evento seguro o universal. Es el espacio muestral. Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}



Evento imposible o vacío. No contiene ningún elemento del espacio muestral. Ejemplo: A = { }

Tipos de Evento 

Eventos mutuamente excluyentes. Dos eventos A y B definidos sobre un espacio muestral son mutuamente excluyentes si no tienen elementos comunes; es decir, si no pueden ocurrir simultáneamente. (A B = ).

Ejemplo: En el experimento 1, lanzar una moneda dos veces, los eventos A: obtener una cara y B: obtener dos caras son mutuamente excluyentes.

Tipos de Evento



Eventos Colectivamente Exhaustivos. Dos eventos A y B definidos sobre un espacio muestral son colectivamente exhaustivos si son mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral. (A U B = ). Ejemplo: En el experimento 1, lanzar un dado y registrar el resultado, los eventos A = {1, 2} y B = {3, 4, 5, 6} son complementarios.

Probabilidad Definición clásica o a priori Si un experimento aleatorio tiene n() puntos muestrales mutuamente excluyentes es igualmente posibles, y si n(A) de estos puntos muestrales presentan una característica tal como A, entonces la probabilidad de ocurrencia del evento A es: n( A) Nº d ep u n tomu s estralesd eA P( A)   n() Nº to tald ep u n todselesp acio mu estral

Ejemplos 



Para cubrir 6 puestos de trabajo se han presentado 7 hombres y 4 mujeres. Si la selección es al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que una sola mujer sea elegida en el grupo de 6? Una bolsa tiene 8 bolas blancas y 5 negras. Se extraen al azar 4 bolas.  Si la selección es con reemplazo ¿Cuál es la probabilidad de que 3 bolas blancas y 1 negra sean extraídas?  ¿Si la selección es sin reemplazo?

Probabilidad Definición de probabilidad a partir de frecuencias relativas o a posteriori Si un experimento aleatorio se repite n veces bajo las mismas condiciones y nA resultados están a favor de un evento A, la frecuencia relativa del evento A es:

y la probabilidad del evento A es: En este caso, la frecuencia relativa del evento A proporciona una estimación de la probabilidad real del evento A.

Los axiomas de Kolmogorov (1903-1987) 

Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definido un ∆ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores reales a los miembros de ∆, a los que denominamos "sucesos", se dice que P es una probabilidad sobre (Ω,∆) si se cumplen los siguientes tres axiomas. Primer axioma



La probabilidad de un suceso es un número real mayor o igual que 0. P (A) ≥ 0



Segundo axioma La probabilidad del total, , es igual a 1. P (Ω) = 1



Tercer axioma Si dos sucesos A y B, son mutuamente excluyentes o independientes, entonces:



P (A o B) = P (A) + P (B)

Ejemplos 

En un proceso que fabrica latas de aluminio, la probabilidad de que una lata tenga alguna fisura en su costado es de 0.02,la de que otra la tenga en la tapa es de 0.03 y de que una más presente una fisura en el costado y en la tapa es de 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una lata en forma aleatoria tenga una fisura? ¿Cuál es la probabilidad de que no la tenga?

 Un ingeniero que vigila el control de calidad toma una muestra de 100 unidades fabricadas por determinado proceso y encuentra que 15 de ellas son defectuosas. Verdadero o falso. A) La probabilidad de que una unidad fabricada por este proceso esté defectuosa es 0.15. B) La probabilidad de que una unidad fabricada por este proceso esté defectuosa se aproxima a 0.15,pero no es exactamente igual a 0.15.

Teoremas de Probabilidad 1 Regla de Adición La Regla de Adición nos da la forma de calcular la probabilidad de que ocurra el evento A ó B ó ambos. a) Si los eventos son No excluyentes

A

B

P ( A U B )= P (A) + P( B ) – P ( A ∩ B)

b) Si los eventos son Mutuamente Excluyentes A

B

P ( A U B ) = P (A) + P( B )

Teoremas de Probabilidad 2. Regla de Multiplicación La Regla de Multiplicación nos da la forma de calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos.

a) Si los eventos son Dependientes o relacionados A

B

P ( A ∩ B )= P (A) P ( B / A ) P ( A ∩ B )= P (B) P ( A / B )

b) Si los eventos son Independientes

A

B

P ( A ∩ B ) = P (A) P ( B)

25

Teoremas de Probabilidad 3. Probabilidad Condicional

La probabilidad de que ocurra un evento dado que otro evento ya ha ocurrido se llama Probabilidad Condicional a) Si los eventos son Dependientes o relacionados A

B

b) Si los eventos son Independientes

A

= P ( A ∩ B ) / P (B)

P ( A / B ) = P (A)

P ( B / A ) = P ( A ∩ B ) / P (A)

P ( B / A ) = P (B)

P(A/B)

B

26

Ejemplos Un vehículo tiene dos motores: uno principal y otro auxiliar. El componente del motor falla sólo si fallan ambos motores. La probabilidad de que el motor principal falle es de 0.05 y la de que el motor auxiliar falle es de 0.10. Suponga que los motores principal y auxiliar funcionan de manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el componente del motor falle? Solución

La probabilidad de que el componente del motor falle es la probabilidad de que ambos motores fallen. Por tanto, P (componente del motor falla)= P(motor principal falla y motor auxiliar falla)Puesto que los motores son independientes, se puede usar la ecuación P ( A / B ) = P (A) P (motor principal falla y motor auxiliar falla)=P(motor principal falla)*P(motor auxiliar falla) = (0.10)(0.05)=0.005

Probabilidad Total y Teorema de Bayes Partición del espacio muestral

• Probabilidad total.

P( B)  P( A1 ) P( B / A1 )  P( A2 ) P( B / A2 )  ...  P( An ) P( B / An )

Probabilidad Total y Teorema de Bayes. • Teorema de Bayes P( A1 / B) 

P( A1 ) P( B / A1 ) P( A1 ) P( B / A1 )  P( A2 ) P( B / A2 )  ...  P( An ) P( B / An )

Ejemplo • En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas. Se elige un estudiante al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que viva en la localidad?.¿Cuál es la probabilidad de que no viva en la localidad?. b) Se elige un estudiante al azar y resulta que ha nacido en la localidad. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico? • Resolución a: P(A)= 60% = 60 / 100 = 0,6  Sea chica. P(O)= 1 – P(A) = 1- 0,6 = 0,4  Sea chico. P(L/A)=85%=85/100=0,85  P(L/O)=70%=70/100=0,7  P(NL/A)=15%=15/100=0,15  P(NL/O)=30%=30/100= 0,3 

Sea chica y viva en la localidad. Sea chico y viva en la localidad Sea chica y no viva en la localidad Sea chico y no viva en la localidad

P(L) = P(A).P(L/A) + P(O).P(L/O) = 0,6.0,85 + 0,4.0,7 = 0,51+0,28=0,79 P(NL)=P(A).P(NL/A)+P(O).P(NL/O)=0,6.0,15+0,4.0,3 = 0,09+0,12=0,21

• • • •

Empleando el diagrama del árbol P(L/A)=0,85

Chica y viva en L

P(A)=0,6

• • • • •

0,6.0,85 = 0,51

P(NL/A)=0,15 0,6.0,15 = 0,09

Chica y no viva en L

P(L/O)=0,7

0,4.0,7 = 0,28

Chico y viva en L

P(NL/O)=0,3

0,4.0,3 = 0,12

Chico y no viva en L

P(O)=0,4

• •

P(L)

•

P(NL) = 0,09 + 0,12 = 0,21

•

Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1.

= 0,51 + 0,28 = 0,79

•

Resolución b:

•

Empleando el diagrama del árbol P(L/A)=0,85

0,6.0,85 = 0,51

Chica y viva en L

P(NL/A)=0,15

0,6.0,15 = 0,09

Chica y no viva en L

P(L/O)=0,7

0,4.0,7 = 0,28

Chico y viva en L

P(NL/O)=0,3

0,4.0,3 = 0,12

Chico y no viva en L

P(A)=0,6

P(O)=0,4

P(O/L)

= 0,28 /(0,51+0,28) = 0,28/0,79 = 0,3544

De igual manera podemos calcular la probabilidad de que sea chica: P(A/L) = 0,51 /(0,51+0,28) = 0,51/0,79 = 0,6456 Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1.

Retroalimentación con nota (1 punto adicional en el trabajo de la presente semana) 1. ¿Qué axiomas deben cumplir la teoría de probabilidades?, ¿cuáles son? 2. ¿Cuándo decimos que dos eventos son independientes? 3. ¿Cuándo decimos que un evento es seguro, de un ejemplo? 4. ¿ Cuándo decimos que un evento es improbable, de un ejemplo? 5. Crea una situación donde se puede aplicar el teorema de Bayes .

BIBLIOGRAFIA BASICA: Estimado estudiante, puedes revisar los siguientes textos que se encuentran en tu biblioteca: 1

519.2 SCHE

SCHEAFFER Mc. CLAVE

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA 2005 INGENIERÍA

2

519.5 LEVI/P

LEVINE-KREHBIELBERENSON

ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN.

519.2 HINE

WILLIAM W. HINES DOUGLAS C. MONTGOMERY DAVID M. GOLDSMAN CONNIE M. BORROR

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA 2011 INGENÍERIA

3

2006

"La creatividad es muy importante en la vida: te da diversidad. Si eres creativo, pruebas diferentes maneras de hacer cosas y cometes muchos errores también. Pero si tienes valentía de continuar a pesar de tus errores, obtendrás la respuesta" Bill Fitzpatrick