• Author / Uploaded
• Juan De La Cruz

Citation preview

Probabilidad: Introducción El concepto de probabilidad no es extraño para casi todas las personas y suele encontrarse en la comunicación cotidiana, por ejemplo, puede escucharse decir que la probabilidad de lluvia en un día es de 80 %, la probabilidad de que falle una máquina es de 5 %, etc. Así, se tiene la costumbre de medir la probabilidad de ocurrencia de algún resultado de un experimento por medio de un número entre cero y uno. Un Experimento es el proceso mediante el cual obtenemos una observación.El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aún realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar: Ejemplo 1: lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser ”águila” o “sello”, pero no sabemos de antemano cual de ellos va a salir. Ejemplo 2: En la Lotería Nacional, el "Gordo" (en México y España se llama "Gordo" al primer premio) puede ser cualquier número entre el 1 y el 100,000, pero no sabemos a priori cual va a ser. Hay experimentos que no son aleatorios (determinísticos) y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad. Ejemplo: en lugar de tirar la moneda al aire, directamente seleccionamos la cara. Aquí no podemos hablar de probabilidades, sino que ha sido un resultado determinado por uno mismo. Antes de calcular las probabilidades de un experimento aleatorio hay que definir una serie de conceptos: Evento simple o suceso simple: se refiere a cada uno de los posibles resultados que se pueden presentar en el experimento. Se denotan con letras mayúsculas. Ejemplo1: al lanzar una moneda al aire, los eventos simples son águila y sello. Estos eventos se pueden simbolizar de la siguiente manera: E1= águila, E2= sello Ejemplo 2: Al lanzar un dado, los eventos simples son el 1, el 2, .., hasta el 6. Los eventos simples generados son: E1=1, E2=2,E3=3, E4=4, E5=5,E6=6. Evento compuesto o suceso compuesto: es un conjunto de eventos simples. Ejemplo: lanzamos un dado y queremos que salga un número par. El evento "numero par" es un evento compuesto, integrado por 3 eventos elementales: el 2, el 4 y el 6. Este evento compuesto se puede denotar por: A = 2,4,6 Al conjunto de todos los posibles eventos simples lo denominamos espacio muestral. Generalmente se representa con la letra S .Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas los resultados posibles). Ejemplo 1: Si tiramos una moneda al aire una sola vez, el espacio muestral será “águila” o “sello”.

1

S = águila, sello Ejemplo 2: Si el experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el espacio muestral estaría formado por (águila-águila), (sello-sello), (águila-sello) y (selloáguila). S = aa, ss, as, sa,, Probabilidad: Relación entre eventos Entre los eventos se pueden establecer distintas relaciones: a) Un evento puede estar contenido en otro: los posibles resultados del primer evento también lo son del segundo, pero este segundo evento puede tener además otros resultados suyos propios. Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos eventos A: que salga el número 6, y B: que salga un número par. Vemos que el evento A está contenido en el evento B. B = 2,4,6

A =6

AB

b) Dos eventos pueden ser iguales: esto ocurre cuando los dos eventos tienen los mismos elementos. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos: A :que salga número par, y B: que salga múltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos. A =2,4,6

B = 2,4,6

A=B

c) Unión de dos o más eventos: la unión será otro evento formado por todos los elementos de los eventos que se unen. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos: A: que salga número par y B: que el resultado sea mayor que 3. El evento unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6. A =2,4,6

B = 4,5,6

A  B = 2,4,5,6

d) Intersección de eventos: es aquel evento compuesto por los elementos comunes de dos o más eventos que se interceptan. Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y analizamos dos eventos A: que salga número par, y B: que sea mayor que 4. La intersección de estos dos eventos tiene un sólo elemento, el número 6 (es el único resultado común a ambos eventos: es mayor que 4 y es número par). A =2,4,6

B = 5,6

A  B = AB = 6

2

e) Eventos excluyentes, ajenos, disjuntos o incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su intersección es el conjunto vacío). Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos A: que salga un número menor que 3, y B: que salga el número 6. Es evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo. A =1,2,

B = 6

A  B = AB =   = 

f) Eventos complementarios: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro. Si A es el evento de interés entonces su complemento es A’ = Ac = A Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos A: que salga un número par, y B: que salga un número impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa). A =2,4,6

B = 1,3,5

A =B

Cálculo de probabilidades Probabilidad Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor ocurrencia de un determinado resultado (evento) cuando se realiza un experimento aleatorio. La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%): El valor cero corresponde al evento imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero. El valor uno corresponde al evento seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%). El resto de eventos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más factible sea que dicho evento tenga lugar. ¿Cómo se mide la probabilidad? Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace que define la probabilidad de un evento como el cociente entre eventos simples favorables y eventos simples posibles. P(A) = eventos simples favorables / eventos simples posibles

Veamos algunos ejemplos:

3

a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2 (evento A): el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). A =2

S = 1,2,3,4,5,6

Por lo tanto: P(A) = 1 / 6 = 0.166 (o lo que es lo mismo, 16.6%) b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par (A): en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. A =2,4,6 Por lo tanto: P(A) = 3 / 6 = 0.50 (o lo que es lo mismo, 50%) c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5 (A): en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. A =1,2,3,4 Por lo tanto: P(A) = 4 / 6 = 0.666 (o lo que es lo mismo, 66.6%) d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad (A): tan sólo un caso favorable, el número que jugamos (¡qué triste...¡), frente a 100,000 casos posibles. Por lo tanto: P(A) = 1 / 100,000 = 0.00001 (o lo que es lo mismo, 0.001%) Merece la pena ...... Por cierto, tiene la misma probabilidad el número 45,264, que el número 00001, pero ¿cuál de los dos comprarías? Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos: a) El número de resultados posibles (eventos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "eventos simples favorables / eventos simples posibles" el cociente siempre sería cero. b) Todos los eventos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla.

4

A la regla de Laplace también se le denomina probabilidad a priori o probabilidad clásica, ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades. ¿Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qué hacemos?, ¿ponemos una denuncia? No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que en este caso podemos acudir a otro modelo de cálculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo frecuentista): Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles eventos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades. Ejemplo: si lanza una vez una moneda al aire y sale "águila", quiere decir que el evento "águila" ha aparecido el 100% de las veces y el evento "sello" el 0%. Si lanza diez veces la moneda al aire, es posible que el evento "águila" salga 7 veces y el evento "sello" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del evento "águila" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%. Si repite este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los eventos "águila" y "sello" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos eventos según el modelo frecuentista. En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los eventos tengan la misma probabilidad. Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento un número elevado de veces, la "águila" saliera con una frecuencia, por ejemplo, del 65% y la "sello" del 35%. Estos valores serían las probabilidades de estos dos eventos según el modelo frecuentista. A esta definición de la probabilidad se le denomina probabilidad a posteriori o frecuentista, ya que tan sólo repitiendo un experimento un número elevado de veces podremos saber cual es la probabilidad de cada evento. Probabilidad de eventos o sucesos Al definir los eventos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos eventos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades. a) Un evento puede estar contenido en otro: Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos eventos: A: que salga el número 6, y B: que salga un número par. Dijimos que el evento A está contenido en el evento B. A =6

B = 2,4,6

P(A) = 1/6 = 0,166

5

P(B) = 3 / 6 = 0,50 Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del evento contenido A, es menor que la probabilidad del evento que lo contiene B. b) Dos eventos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos eventos son las mismas. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos: A: que salga número par, y B: que salga múltiplo de 2. A =2,4,6

B = 2,4,6

Las soluciones coinciden en ambos casos. P(A) = 3 / 6 = 0.50 P(B) = 3 / 6 = 0.50 c) Intersección de eventos: es aquel evento compuesto por los elementos comunes de los dos o más eventos que se intersecan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos: A: que salga número par, y B: que sea mayor que 3. La intersección de estos dos eventos tiene dos elementos: el 4 y el 6. A =2,4,6

B = 4,5,6

A  B = AB = 4,6 

Su probabilidad será por tanto: P(A  B) = 2 / 6 = 0.33 d) Unión de dos o más eventos: la probabilidad de la unión de dos eventos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos eventos que se unen, menos la probabilidad del evento intersección P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos: A: que salga número par, y B: que el resultado sea mayor que 3. El evento unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6. A =2,4,6

B = 4,5,6

A  B = AB = 4,6  A  B = 2,4,5,6

P(A) = 3 / 6 = 0.50 P(B) = 3 / 6 = 0.50

6

P (A  B) = 2 / 6 = 0.33 Por lo tanto, P (A  B) = (0.50 + 0.50) – 0.33 = 0.666 e) Eventos excluyentes: la probabilidad de la unión de dos eventos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los eventos (ya que su intersección es el conjunto vacío y por lo tanto no hay que restarle nada). P(A  B) = P(A) + P(B) Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos: A: que salga un número menor que 3, y B: que salga el número 6. A =1,2

B = 6

A  B = AB =  

A  B =  1,2,6

La probabilidad del evento unión de estos dos eventos será igual a: P(A) = 2 / 6 = 0.333 P(B) = 1 / 6 = 0.166 Por lo tanto, P(A  B) = 0.33 + 0.166 = 0.50 f) Eventos complementarios: la probabilidad de un evento complementario a un evento A es igual a 1 - P(A) Ejemplo: lanzamos un dado al aire. El evento A es que salga un número par, luego su complementario, evento B, es que salga un número impar. A =2,4,6

B = 3,5,6

La probabilidad del evento A es igual a : P(A) = 3 / 6 = 0.50 Luego, la probabilidad del evento (B) es igual a: P(B) = 1 - P(A) = 1 – 0.50 = 0.50 Se puede comprobar aplicando la regla de "eventos simples favorables / eventos simples posibles": P(B) = 3 / 6 = 0,50 g) Unión de eventos complementarios: la probabilidad de la unión de dos eventos complementarios es igual a 1.

7

REGLAS DE CONTEO DE EVENTOS SIMPLES Para aplicar la Regla de Laplace, el cálculo de los eventos simples favorables y de los eventos simples posibles a veces no plantea ningún problema, ya que son un número reducido y se pueden calcular con facilidad: Por ejemplo: La probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2. Tan sólo hay un evento simple favorable, mientras que los eventos simples posibles son seis. Probabilidad de acertar al primer intento el sigo zodiacal de una persona. Hay un evento simple favorable y 12 eventos simples posibles. Sin embargo, a veces calcular el número de eventos simples favorables y eventos simples posibles es complejo y hay que aplicar reglas matemáticas: Ejemplo 1:Para ir de Obregón a Los Mochis, una persona puede hacerlo en motocicleta, automóvil , tren o avión y para ir de Los Mochis a La paz lo puede hacer en avión o barco solamente. Encuentre la probabilidad del evento A que esta persona viaje en automóvil de Obregón a Los Mochis y en barco de Los Mochis a La Paz(Use la definición a priori de la probabilidad) Ejemplo 2: De un lote de 20 artículos de los que 5 son defectuosos se eligen 2. Calcular la probabilidad de que los dos artículos sean defectuosos. Ejemplo 3: Encuentre la probabilidad de que el evento A en el cual Gonzalo, José y Javier ocupen los puestos de presidente, secretario y tesorero( respectivamente) de un comité ciudadano. Para esta elección se tienen 20 ciudadanos disponibles. En estos casos, determinar el número de eventos simples favorables y de eventos simples posibles es complejo. Las reglas matemáticas que nos pueden ayudar son: El principio fundamental del conteo (regla mn), combinaciones y el cálculo de permutaciones. a) Regla mn Con m elementos a1, a2,a3,...,am y n elementos b1, b2, b3, .....,bn, es posible formar mn pares que contengan un elementos de cada grupo. Esta regla se puede generalizar a mas de dos grupos para formar tercias, cuartetas, etc. En donde los objetos seleccionados son uno de cada grupo. Así se puede poner mnt....xyz. Para el ejemplo en el cual se lanzan dos monedas, cada moneda tiene dos opciones posibles “águila” o “sello”, así entonces los eventos generados son: MONEDA 1 2 E1 A A E2 A S E3 S A E4 S S

8

De aquí que el número de eventos generados son N = (m)(n) = (2)(2) = 4 Si el numero de monedas usadas hubieran sido 3, entonces los eventos generados serían: MONEDA 1 2 3 E1 A A A E2 A A S E3 A S A E4 A S S E5 S A A E6 S A S E7 S S A E8 S S S Aquí los eventos generados son N = mnt = (2)(2)(2) = 8 En e l ejemplo anterior se puede calcular la probabilidad de que caigan: a) exactamente un águila b) dos águilas c) al menos dos aguilas d) ningún águila Para a) los eventos simples favorables son E4, E6, E7. La probabilidad es: P(A) = 3/8 Para b) los eventos simples favorables son E2, E3, E5 . La probabilidad es: P(B) = 3/8 Para c) los eventos simples favorables son E1, E2, E3, E5. La probabilidad es: P(C) = 4/8 = 1/2 Para d) los eventos simples favorables son E8, La probabilidad es: P(D) = 1/8 En el ejemplo 1 el número de maneras en que puede viajar de Obregón a Los Mochis son 4, esto es m igual a 4. De manera similar, de Los Mochis a La Paz puede viajar de dos maneras es decir n igual a 2. De esta forma el número total de maneras en que puede viajar de Obregón a la Paz es mn = (4)(2) = 8 Entonces la probabilidad(A) de que una persona viaje de Obregón a La paz, viajando en automóvil de Obregón a Mochis y en barco de Mochis a La Paz esta dada por: P(A) = números de eventos simples favorables /números de eventos simples posibles Como solo hay una forma de viajar en automóvil de Obregón – Mochis y en barco Mochis –La Paz y hay 8 formas totales diferentes de viajar de Obregón – La Paz, entonces:

9

P(A) = 1/8 = 12.5%. e) Permutaciones Son arreglos ordenados de n objetos distintos tomados r cada vez. Se calcula de la siguiente manera: n

Pr  Prn 

n! (n  r )!

El termino " n ! " se denomina "factorial de n" y es la multiplicación de todos los números que van desde "n" hasta 1. Por ejemplo: 4 ! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 En ejemplo 3, P(A) = números de eventos simples favorables /números de eventos simples posibles Aquí solo hay un evento simple favorable y 6840 eventos simples posibles, entonces: P(A) =

f)

1  n Pr

1 1 1    0.0146% n! 20! 6840 (n  r )! (20  3)!

Combinaciones

Es el numero de maneras en las que se pueden seleccionar r objetos de n objetos disponibles en los cuales el orden de selección no es de importancia. Se calcula de la siguiente forma:

n n!   =nCr = C nr  r!( n  r )! r  Por ejemplo se van a seleccionar al azar a dos personas de un total de 5 disponibles: a) Considere que las personas se identifican con números del 1 al 5. El espacio muestral es: E1: 1,2 E2: 1,3 E3: 1,4 E4: 1,5

10

E5: 2,3 E6: 2,4 E7: 2,5 E8: 3,4 E9: 3,5 E10: 4,5 a) Encuentre la probabilidad de elegir a la persona 1 y a la persona 2 b) Encuentre la probabilidad de elegir a la persona 5 c) Encuentre la probabilidad de elegir a la persona 2 o a la persona 3 o a ambas En a) el evento simple favorable es E1 . La probabilidad es: P(A)=1/10 En b) los eventos simples favorables son E4, E7, E9 E10. La probabilidad es: P(B)=4/10=2/5 En c) los eventos simples favorables son E1, E2, E5, E6, E7, E8, E9. La probabilidad es: P(B)=7/10 En el ejemplo 2: P(A) = números de eventos simples favorables /números de eventos simples posibles El número de eventos simples posibles es el número de eventos en los que se selecciona a 5 artículos de los 20 (n) disponibles. Dado que el orden de selección de los artículos no importa, cada selección de 2 (r) es una combinación y se puede calcular de la siguiente forma:

C 220 

20!  190 2! (20  2)!

Para determinar el número de eventos simples favorables usaremos la regla mn en donde m es el número de maneras en las que se pueden seleccionar exactamente a 2 artículos defectuosos de entre los 5 defectuosos disponibles, es decir:

11

m = C 25 

5!  10 2! 3!

Para determinar el número de maneras n en la que se pueden seleccionar a ningún artículo defectuoso de entre los 15 artículos restantes, esto es n = C 015 

15! 1 0! 15!

Entonces el número de maneras en las que se seleccionan a dos artículos defectuosos de un total de 5 disponibles es mn = (10)(1) = 10 De aquí que la probabilidad buscada es:

C 25 C 01 5 P(A) = 10/190 = 5.26% C 22 0 1.- Ejercicio Calcular la probabilidad de acertar los 6 números al comprar un sorteo Melate: Solución: Se aplica la Regla de Laplace (eventos simples favorables / eventos simples posibles).El número de eventos favorables es tan sólo uno (acertar los 6 números). Los eventos simples posibles se calculan como una combinación en las que se seleccionan los seis números de 46 disponibles y en los cuales el orden de selección no importa. Por lo tanto, los eventos simples posibles son:

C646 

46!  9366819 6! 40!

Y la probabilidad de acertar los 6 resultados es: P(A) = 1/9366819 = 0.00000010675 = 0.000010675% No demasiado elevada....pero el que compra melate esta en la jugada (quien quita y ...) Ejercicio 2 Calcular la probabilidad de que en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que llegan en los primeros lugares (sin importar cual de ellos queda primero, cual segundo y cual tercero). Solución:

12

Se aplica la Regla de Laplace. Los eventos simples favorables es tan sólo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar. Los eventos simples posibles se calculan como combinaciones de 12 elementos tomados de 3 en 3 (es decir, determinamos todos las posibles alternativas de 3 caballos que pueden entrar en las 3 primeras posiciones). Como el orden de estos 3 primeros caballos no importa, utilizamos combinaciones . Por lo tanto, los casos posibles son:

Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:

Algo mayor que en el melate.... Eso sí, se paga menos. Ejercicio 3 Y si hubiera que acertar, no sólo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su llegada a la meta. Solución: Los eventos simples favorables sigue siendo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar, colocados en su orden correspondiente en la boleta de apuesta. Los eventos simples posibles se calculan ahora como permutaciones (ya que el orden influye) de 12 elementos tomados de 3 en 3 (calculamos todas las posibles maneras en que los 12 caballos podrían ocupar las 3 primeras posiciones.

P31 2 

12!  1320 (12  3)!

Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es: P(A) = 1/320 = 0.00076 = 0.076% Menor que en el ejemplo 3. Ya no vale acertar que 3 caballos entran en primer lugar, sino que tenemos que acertar el orden de su llegada a la meta. ASIGNACIONES 1.- Una aerolínea tiene 6 vuelos diarios de Nueva York a California y 7 vuelos de California a Hawai. Si los vuelos se hacen en días separados, ¿cuántos diferentes arreglos de vuelos puede ofrecer la aerolínea de Nueva York a Hawai? R:42

13

2.- Una operación de montaje de una empresa manufacturera requiere de tres pasos que se pueden realizar en cualquier orden, ¿de cuántas maneras se puede hacer el montaje? R: 6 3.- Un experimento consiste en lanzar dos dados. Encuentre el número total de eventos resultantes en este experimento. R : 36 4.- Cierta marca de automóviles tiene cinco modelos diferentes, con cuatro tipos de motores, con dos tipos de transmisiones, y en ocho colores: a) ¿Cuántos coches tendría que adquirir un distribuidor si quiere incluir un automóvil por cada combinación modelo-motor-transmisión? R :40 b)¿Cuántos coches tendría que tener en existencia un centro de distribución si almacenara los coches de todos los colores disponibles para cada combinación de a)? R:320 5 ¿Cuántos números telefónicos diferentes de siete dígitos se pueden formar si el primer dígito no puede ser cero? R:9000000 6.- El jefe de personal de una corporación ha contratado diez ingenieros ¿De cuántas formas se pueden ocupar tres puestos diferentes en una fábrica? R:720 7.- La probabilidad desempeñó un función en el fraude en la lotería. Para determinar cada dígito del número ganador de tres dígitos se indica cada uno de los números 0,1,2,.....,9 en una pelota de ping pong; las diez pelotas se introducen en una urna y el número seleccionado del dígito es el número de la pelota que flota hacia la parte superior de la máquina. Para alterar las probabilidades, unos defraudadores inyectaron un líquido en todas las pelotas excepto las numeradas con el 4 y el 6. Después compraron todos los boletos de lotería con los posibles números ganadores. ¿Cuántos posibles números ganadores había? R:8 8.- Un investigador quiere determinar el efecto de tres variables, presión, temperatura y el tipo de catalizador, en la producción de un proceso de refinación. Si el investigador tiene la intención de utilizar tres temperaturas, tres presiones y dos tipos de catalizador, ¿Cuántos experimentos habrá que hacer? R:18 9.- Cinco empresas hacen propuestas con respecto a tres contratos separados. Una empresa puede obtener a lo mas un contrato. Los contratos son bastantes diferentes,¿Cuanto eventos diferentes se pueden tener de este experimento que consiste en asignar los contratos a las empresas? R: 60 10.- Cuatro personas de igual preparación solicitan dos puestos idénticos en una compañía. Uno y solamente un aspirante es miembro de un grupo minoritario. Los puestos se otorgan seleccionando dos de los aspirantes al azar. Encuentre la probabilidad de que el aspirante del grupo minoritario sea seleccionado para un puesto. R : 1/2

14

11.- Un furgón contiene seis sistemas electrónicos complejos. Se seleccionan al azar dos de los seis para someterlos a pruebas rigurosas y clasificarlos como defectuosos o no defectuosos. a) Si dos de los seis sistemas son realmente defectuosos, encuentre la probabilidad de que al menos uno de los dos sistemas probados sean defectuosos. Encuentre la probabilidad de que los dos sean defectuosos. b) Encuentre las probabilidades indicadas en a) para el caso de que cuatro de los seis sistemas sean realmente defectuosos: a) 3/5;1/15 b) 14/15; 2/5 12.- Un minorista vende solamente dos tipos de consolas estereofónicas y la experiencia muestra que tienen igual demanda. Cuatro clientes entran uno tras otro a la tienda para comprar un estereo. El minorista se interesa en la preferencia de sus clientes. Encuentre la probabilidad de que los cuatro clientes prefieran el mismo tipo de consola R:1/8 13.- Dos equipos de béisbol, I y II, tienen la misma capacidad y juegan el uno contra el otro una serie de cuatro juegos. Se registra el resultado de cada juego. Encuentre la probabilidad de que el equipo I gane exactamente tres veces. R:1/4 14.- Los enfermos no hospitalizados que acuden a una clínica pueden elegir una de tres secciones para ser atendidos. Suponga que los médicos son asignados aleatoriamente a tales secciones y que por esto los pacientes no presentan preferencia alguna con respecto a una sección. Tres pacientes acuden a la clínica y se observa la sección que eligen. Encuentre la probabilidad de que cada sección reciba un paciente. R:2/9

15.-Un inversionista tiene la oportunidad de invertir en tres de cinco tipos recomendados de acciones. El inversionista no sabe que sólo dos de los cinco tipos producirá un beneficio sustancial en los próximos cinco años. Si el inversionista selecciona los tres tipos de acciones al azar (dándole a cada combinación de tres tipos la misma probabilidad de selección). ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione los dos tipos de acciones más beneficiosos? R: 3/10 16.-Cuatro trabajadores, de los cuales dos pertenecen a un grupo minoritario, se asignan a cuatro empleos netamente distintos. La asignación de empleos es imparcial, es decir, si una asignación es tan probable como cualquier otra, ¿cuál es la probabilidad de que los dos trabajadores del grupo minoritario sean asignados a los dos empleos menos deseables? R: 1/6 17.-Una caja de fusibles contiene 20 unidades, de las cuales cinco están defectuosas. Si se seleccionan al azar tres de los fusibles y se sacan de la caja en sucesión, a)¿cuál es la probabilidad de que los tres fusibles estén defectuosos.? R: 0.0026 b)¿cuál es la probabilidad de que al máximo uno este defectuoso? R: 0.8596 18.-Se lanzan dos dados. a)¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen en la cara superior sea igual a 7? b) ¿a 11?. c)¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan dos 4?, d)¿primero un 4 y después un numero inferior a 4? Respuestas: a) 1/6 b)1/18 c) 1/36 d) 1/12

15

19. La siguiente tabla presenta un resumen de las características solicitadas en 940 órdenes de compra de computadoras Memoria adicional no

si

Procesador de

no

514

68

alta velocidad

si

112

246

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se ordene un procesador de alta velocidad o memoria adicional? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se ordene un procesador de alta velocidad ni memoria adicional? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se ordene un procesador de alta velocidad y sin memoria adicional? d) ¿Cuál es la probabilidad de que se ordene un procesador de alta velocidad ? Respuestas: a) 0.4532 b)0.6191 c) 0.1191 d) 0.3809 20.- Una organización de investigación del consumidor ha estudiado los servicios dentro del periodo de garantía que ofrecen los 50 distribuidores de automóviles nuevos en cierta ciudad y sus hallazgos se resumen en la siguiente tabla: Buen servicio dentro del período de garantía

10 años o más en el negocio 16 Menos de 10 años en el negocio 10

Mal servicio dentro del período de garantía

4 20

Si se elige de manera aleatoria un distribuidor: a) ¿Cuál es la probabilidad de que ofrecerá un buen servicio? b) ¿Cuál es la probabilidad de que proporcione buen servicio dentro del período de garantía y tenga menos de 10 años en el negocio? c) ¿Cuál es la probabilidad de que proporcione buen servicio dentro del período de garantía o tenga menos de 10 años en el negocio? Respuestas: a) 0.52 b) 0.20 c) 0.92

16