• Author / Uploaded
• Jose Miguel Ch

Citation preview

AUTORIDADES

Dr. ROHEL SÁNCHEZ SÁNCHEZ Rector de la Universidad Nacional de San Agustín

Mag. JOSÉ PAZ MACHUCA Director CEPRUNSA

Dra. ROXANA ALEMÁN DELGADO Dra. ANA MARÍA GUTIÉRREZ VALDIVIA Vicerrectora Académica

Coordinadora Administrativa

Lic. EMILIO GUERRA CÁCERES Coordinadora Académico

Dr. HORACIO BARREDA TAMAYO Vicerrector de Investigación

COMITE DE APOYO CEPRUNSA Dra. MERCEDES NÚÑEZ ZEVALLOS Mag. FRESIA MANRIQUE TOVAR Lic. RONALD CUBA CARPIO

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

CAPITULO I

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL El sistema de numeración decimal permite escribir cualquier número con diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

NÚMEROS NATURALES - OPERACIONES FUNDAMENTALES OPERACIONES DE ADICIÓN – SUSTRACCIÓN MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN - POTENCIACIÓN INCLUYENDO OPERACIONES COMBINADAS OPERADORES MATEMÁTICOS Y PROPIEDADES

Estos diez símbolos se llaman cifras o dígitos. En un número, el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa: unidades, decenas, centenas, unidades de mil o de millar, decenas de millar...

CAPACIDAD Aplica las operaciones aritméticas fundamentales para resolver situaciones reales que involucran números naturales, de manera rigurosa y precisa. SITUACIÓN

OPERACIONES FUNDAMENTALES I. ADICIÓN Operación binaria, cuyo objeto es reunir varias cantidades (sumandos), en una sola llamada suma total, siendo estas las partes: 𝟖+𝟔 ⏟ 𝑺𝑼𝑴𝑨𝑵𝑫𝑶𝑺

= 𝟏𝟒 ⏟ 𝑺𝑼𝑴𝑨

Propiedades de la Adición: 1. Clausura: Ɐ a,b ϵ N: a + b 2. Asociativa: Ɐ a,b,c ϵ N: (a + b) + c = a + (b + c) 3. Conmutativa: Ɐ a,b ϵ N: a + b = b + a 4. Elemento neutro aditivo: Ɐ a,b ϵ N: a + 0 = a

NÚMEROS NATURALES El conjunto de los números naturales está formado por: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

ADICIÓN EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal).

PROCEDIMIENTO:

1. Todos los sumandos deben estar en el mismo sistema de numeración.

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales: A) 5 > 3; B) 3 < 5;

2. Se suma como si estuviéramos sumando en el sistema decimal el resultado se descompone en función de la base, es decir se divide entre la base.

3. El residuo se coloca como cifra de la suma parcial y el cociente se lleva para

5 es mayor que 3 3 es menor que 5

añadirle a la siguiente columna y así sucesivamente hasta la última columna.

1

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

EJEMPLO 1: Determine el valor de

CEPRUNSA 2021 FASE I

II. SUSTRACCIÓN

U= 123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)

Operación inversa a la adición, consiste en que dada 2 cantidades llamadas minuendo y sustraendo, se halla una cantidad llamada diferencia.

SOLUCIÓN: Colocando verticalmente los sumandos, considerando el orden (como el sistema decimal eran las unidades, decenas, …, etc.)

𝟏𝟐 ⏟

−

𝑴𝑰𝑵𝑼𝑬𝑵𝑫𝑶 (𝑴)

⏟ 𝟒 𝑺𝑼𝑺𝑻𝑹𝑨𝑬𝑵𝑫𝑶 (𝑺)

=

⏟ 𝟖 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨 (𝑫)

Propiedades de la Sustracción: 1. M = S+D 2. M+S+D=2M COMPLEMENTO ARITMÉTICO (𝑪𝑨𝑵) Es lo que le falta a un número “N”, para ser igual a la unidad de orden inmediato superior, es decir lo que le falta para ser igual a un número formado por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene “N” EJEMPLO 1:

C) CA (7) = 101 – 7 = 10 - 7 = 3 D) CA (341) = 103 – 341 = 1000 – 341 = 659 En general: EJEMPLO 2: Determine el valor de “n” en:

Sea “N” número de “k” cifras, luego: C A (N) = 10 K – N

n325(8)  432n (8)  76508

FORMA PRÁCTICA:

SOLUCIÓN: Colocando verticalmente: ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑛3258 ̅̅̅̅̅̅̅ 432𝑛8 76508 A) De la 1a columna, se tendrá que: 5 (8) + n (8) = 10 (8) B) Llevando a base decimal, se tiene: 5+n =8  n=3

A la primera cifra (diferente de cero) o menor orden se le resta de 10 y a todas las restantes se restan de 9. Si hay ceros en las menores órdenes estos permanecen en el complemento, es decir:

+

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑪 𝑨̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝒂𝒃𝒄𝒅) = (𝟗 − 𝒂)(𝟗 − 𝒃)(𝟗 − 𝒄)(𝟏𝟎 − 𝒅) EJEMPLO 2:

2

i.

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

III. MULTIPLICACIÓN

División Exacta (residuo = 0)

Es una operación binaria, donde dados dos elementos M y m llamados multiplicando y multiplicador se le hace corresponder un tercer elemento P llamado producto. Origen: M  M  M  .........  M  P

EJEMPLO 1: 48

4

 m veces

En general:

En general: P=M x m Dónde:

M : multiplicando

factor

M : multiplicador P: producto

12

D

d

0

q

D =d x q División Inexacta (residuo > 0)

Propiedades de la Multiplicación: POR DEFECTO 1. Clausura: Ɐ a,b ϵ N: a x b 2. Asociativa: Ɐ a,b,c ϵ N: (a x b) x c = a x (b x c) 3. Conmutativa: Ɐ a,b ϵ N: a x b = b x a 4. Elemento neutro multiplicativo: Ɐ a,b ϵ N: a x 1 = a

IV. DIVISIÓN

78

10

78

10

8

7

2

8

78 = 10 x 7 + 8

78 = 10 x 8 - 2

POR DEFECTO

POR EXCESO

En general:

Es una operación binaria que consiste en que, dados dos enteros, el primero llamado dividendo y el segundo llamado divisor, encontrar un tercero llamado cociente. D

d

r

q

D

d

𝒓𝒅

q

D = d x q + 𝒓𝒅

En general:

Dónde:

D =d x q + r Dónde:

POR EXCESO

D: dividendo d: divisor; d  0 q: cociente r: residuo

D

d

𝒓𝒆

q+1

D = d x (q+1) - 𝒓𝒆

𝒓𝒅 : Residuo por defecto 𝒓𝒆 : Residuo por exceso

Observaciones:   

División Entera: Es un caso particular de la división en la que el dividendo, divisor y cociente son número naturales; en este caso se recurre a un cuarto término llamado residuo, se clasifica en:

3

Tanto el dividendo y el divisor en ambas divisiones son iguales. El cociente por exceso, es una unidad más en el cociente por defecto. Lo que falta y sobra en unidades suma exactamente el divisor.

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

Propiedades de la División inexacta:

PROBLEMA 3 En un colegio a cada estudiante se le da 36 hojas para sus exámenes. Si los estudiantes aumentan en 960 y se le reparte 6 hojas menos a cada uno, sin variar la cantidad total de hojas. Indicar la cantidad actual de estudiantes.

𝒓𝒎𝒊𝒏 = 1 𝒓𝒎𝒂𝒙 = d – 1 𝒓𝒆 + 𝒓𝒅 = 𝒅

A) 6890

Dónde: 𝒓𝒎𝒊𝒏 : Residuo mínimo 𝒓𝒎𝒂𝒙 : Residuo máximo 𝒓𝒆 : Residuo por exceso 𝒓𝒅 : Residuo por defecto 𝒅 : Divisor

B) 5500

E) 5760

Cada uno de los 960 estudiantes se les reparte 6 hojas menos, es decir: 36-6=30 hojas, en total se repartió: 960 x 30 = 28 800 hojas. Estas 28 800 resultan de distribuirles 6 a cada uno de los estudiantes antiguos, entonces habían:

PROBLEMA 1

28 800: 6 = 4800 estudiantes inicialmente.

Memo y Pepe juegan sobre la base de que en cada jugada se ganen 5 soles. Después de 20 jugadas Memo resultó ganando 40 soles. ¿Cuántas jugadas de las 20 ganó cada uno?

Luego, ahora habrá:

A) 13 y 7

PROBLEMA 4

B) 10 y 10

C) 12 y 8

D) 14 y 6

D) 16 y 4

SOLUCIÓN:

4800 + 960= 5760

RPTA. E

Una división se efectúa por defecto y por exceso, encontrándose que el resto por defecto, el resto por exceso, el cociente por defecto y el divisor, forman una progresión aritmética de razón 8. Hallar la suma de las cifras del dividendo.

40 = 8 𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 5 Las 12 jugadas restantes ganaron en partes iguales: 𝑀𝑒𝑚𝑜 𝑔𝑎𝑛ó 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑃𝑒𝑝𝑒 =

A) 15

Memo ganó: 8 + 6 = 14 jugadas Y Pepe: 6 jugadas.

RPTA. D

B) 16

C) 17

D) 18

Por defecto:

Por exceso:

E) 19

SOLUCIÓN:

PROBLEMA 2

Disponiendo los datos:

Si a cada uno de mis sobrinos le doy S/ 3 me sobraría S/ 19, pero si a cada uno le doy S/ 5 me sobraría S/ 5. ¿Cuánto tengo? A) 20

D) 8789

SOLUCIÓN:

PROBLEMAS ADICIONALES

Luego:

C) 4340

B) 60

C) 60

D) 40

D n

E) 45

D n+24 n+8

La suma de residuos es igual al divisor, entonces:

SOLUCIÓN:

n+( n+8) = n + 24 

n = 16

De la división por defecto: D = 40 x 32 + 16  D = 1296

De los datos tenemos: 19 − 5 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑖𝑛𝑜𝑠 = =7 5−3 Dinero que tengo: 7 x 3 + 19 = S/ 40

n+24 n+16

La suma de las cifras del dividendo es:1+2+9+6 = 18 RPTA. D 4

RPTA. D

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

PROBLEMA 5

PROBLEMA 7

Una persona recibe una herencia de S/ 18 000, de las cuales separa S/ 3 000 para gastos, y el resto lo invierte en acciones, de la siguiente manera: 1) S/ 5 000 en acciones del tipo “A” a S/ 10 cada una. 2) S/ 6 000 en acciones del tipo “B” a S/ 6 cada una. 3) Lo que queda en acciones del tipo “C” a S/ 8 cada una. ¿Qué precio en promedio pago dicha persona por cada acción?

̅̅̅̅̅̅̅. Al dividir N entre 29 se encuentra el resto máximo. Se tiene el numeró 𝑵 = 𝟔𝒂𝒃𝟏 Calcula la suma de cifras de N sabiendo que es el máximo posible.

A) S/ 6.8

Del enunciado:

B) S/ 7.8

C) S/ 7.5

D) S/ 6.5

A) 16

B) 9

D) 5

E) 3

SOLUCIÓN:

E) S/ 8.0

SOLUCIÓN: 5 000 𝑁° 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = = 500 10 6 000 𝑁° 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = = 1 000 6 4 000 𝑁° 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = = 500 8 Precio promedio por acción es igual a: 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 15 000 = = 𝑆/ 7.5 𝑁° 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 500 + 1000 + 500

C) 10

̅̅̅̅̅̅̅ 6𝑎𝑏1

29

28

̅̅̅̅̅̅ q=2 ∗7

̅̅̅̅̅̅̅ = 29(2 ̅̅̅̅̅̅ ⟹ 6𝑎𝑏1 ∗ 7) ̅̅̅̅̅̅̅ = 29(237) + 28 ⟹ 6𝑎𝑏1 ⟹ ̅̅̅̅̅̅̅ 6𝑎𝑏1 = 29(237) + 28 = 6901 Nos piden: 6 + 𝑎 + 𝑏 + 1 = 6 + 9 + 0 + 1 = 16

RPTA. A

RPTA. C

PROBLEMA 6

PROBLEMA 8

Al dividir dos números enteros positivos el cociente es 24 y el residuo es el mayor posible. Si la suma del dividendo con el divisor es 233, el residuo es:

Si a un número de tres cifras se le resta el cuádruple de su complemento aritmético resulta 255. Halle la suma de cifras de dicho número.

A) 20

A) 17

B) 16

C) 8

D) 18

E) 12

SOLUCIÓN:

B) 11

C) 21

D) 14

E) 20

SOLUCIÓN:

Sean los números A y B, entonces se cumple: A

B

B-1

24

⟹ 𝐴 = 25𝐵 − 1

Sea el número N: 𝑁 − 4(1000 − 𝑁) = 255 5𝑁 = 4255 𝑁 = 851

(1)

Por dato: 𝐴 + 𝐵 = 233 (2) (2) en (1):

Nos piden: 8 + 5 + 1 = 14

⟹ 26𝐵 − 1 = 233 ⟹ 𝐵 = 9 𝑦 𝐴 = 224

RPTA. D

Nos piden: 𝐵−1 =9−1 =8

RPTA. C 5

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

PROBLEMA 9

PROBLEMA 11

Una guarnición de 3 000 hombres tiene provisiones para 70 días, al terminar el día 22, salen 600 hombres. ¿Cuánto tiempo podrán durar las provisiones que quedan al resto de la guarnición?

̅̅̅̅̅, si 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝟑. Halla la suma de cifras del complemento aritmético Sea 𝑵 = 𝒙𝒚𝒛 de N

A) 42

B) 65

C) 60

D) 56

A) 9

E) 62

9 − 𝑥 + 9 − 𝑦 + 10 − 𝑧 = 28 − ⏟ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 23

⇒ 28 − 23 = 5

RPTA. C

a)

En un circuito cerrado de 450 metros, dos corredores parten simultáneamente del mismo punto y luego de 30 minutos uno de ellos se lleva 2 vueltas de ventaja. Pero cuando parten en sentidos contrarios, a los 6 minutos, se cruzan por segunda vez. ¿Cuál es la rapidez del más lento? C) 21m/min

D) 48m/min

RPTA. D

OPERADORES MATEMÁTICOS

PROBLEMA 10

B) 40m/min

E) 2

̅̅̅̅̅) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝐴(𝑥𝑦𝑧 (9 − 𝑥)(9 − 𝑦)(10 − 𝑧) Entonces la sumatoria de cifras

3 000 x 22 = 66 000 raciones

3 000 x 70 – 66 000 = 144 000 raciones; que deben consumir entre 2 400, Luego el número de días que durará es:

A) 60m/min

D) 5

Sea el complemento aritmético:

Los 3 000 hombres durante 22 días han consumido:

144 000 ÷ 2 400 = 60 días

C) 13

SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:

Luego quedan:

B) 17

OPERACIONES MATEMÁTICAS

Éste es un tópico que basa su importancia en la gran aplicación que tiene sobre los procesos condicionales y reglamentados, que permite medir la capacidad para captar relaciones u operaciones matemáticas (definidas a partir de las ya conocidas), su definición y el modo de aplicarlas bajo las condiciones o restricciones en las cuales ha sido definida. Para tal efecto, debemos entender lo que es una operación matemática y lo que es un operador matemático. Veamos: Imaginemos que tenemos una máquina procesadora de algodón, tal como se muestra en la figura:

E) 70m/min

SOLUCIÓN: En los 30 minutos el más veloz recorre 2 x 450 = 900 m, más que el otro. En 3 minutos, tiempo que demoran en encontrarse al correr en sentidos contrarios, el más veloz recorrerá 90 m más de los 450 m, que tiene el circuito. De los cuales si quitamos los 90 m que recorrió de más el otro, nos queda 450 – 90 = 360m La mitad de estos es lo que ha recorrido el más lento; es decir 180m en 3 minutos Entonces su rapidez es: 180𝑚 𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 = = 60 𝑚/𝑚𝑖𝑛 3 𝑚𝑖𝑛 RPTA. A

6

Hilo delgado

:

Hilo grueso

:

Tela

:

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

Esta máquina recibe la materia prima que es el algodón y la transforma en un producto terminado, después de un determinado proceso, dependiendo del botón que se haya escogido. Igual ocurre con una operación matemática (representada por la máquina), ya que ella se encarga de obtener resultados, después de un conjunto de procesos que se efectúan sobre determinadas cantidades; estos procesos son diferenciados por el operador que se emplee (representado por los botones).

En el siguiente cuadro mencionamos algunas operaciones matemáticas y los símbolos que las representan. OPERACIÓN Adición

¿QUÉ ES UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA? Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en una cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas o condiciones en la cual se define la operación. Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que la identifica llamado operador matemático. Como ejemplos de operaciones matemáticas tenemos: adición, sustracción, la multiplicación, etc.

Sustracción

-

Multiplicación

X

División

:

Valor absoluto Radicación

¿QUÉ ES UN OPERADOR MATEMÁTICO?

CLASIFICACIÓN

Es aquel símbolo que representa una operación matemática. Nos permite reconocer la operación matemática a emplear con su respectiva regla de definición. Como por ejemplos de operadores tenemos:

1. OPERADORES BINARIOS

a * b = 2a + 3 b

| | √

Consiste en la asociación de un par de elementos de un conjunto para obtener uno nuevo, que es resultado de la operación.

2

Pueden emplearse diferentes signos para indicar una operación binaria; las más usadas son: *; .

Regla de definición

Cuando el resultado de la operación es un elemento del conjunto de partida se dice que el conjunto es cerrado (C) respecto a la operación definida; en caso contrario se dice que el conjunto es abierto (A) respecto a la operación.

Operador matemático

Ejemplo: en el campo de ℕ 3+4=7 ℕC 3 - 4 = -1  ℕ  A 3 x 4 = 12  ℕ  C 3  4 = 0,75  ℕ  A

n  = 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + n

i =1

OPERADOR MATEMÁTICO +

En el conjunto: A = {1; 2; 3; 4 } Se define:

Regla de definición

Operador matemático (1∗2)∗(2∗4)

Calcular: 𝐸 = (3∗3)∗(4∗1) 7

* 1 2 3 4

1 2 3 4 1

2 3 4 1 2

3 4 1 2 3

4 1 2 3 4

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

PRINCIPALES PROPIEDADES DE UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA

16 Se verifica que a ambos lados de la diagonal y en forma simétrica queden elementos iguales. 17 Si en todos los casos los elementos son iguales, la operación es conmutativa. 18 Si en al menos un caso uno de los elementos es diferente, la operación no es conmutativa.

Se define en el conjunto “A” una operación representa mediante el operador *. A. CLAUSURA

C. ELEMENTO NEUTRO (e)

∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐴

∃ 𝐞 ∈ A / ∀a ⇒ a ∗ e = e ∗ a = a

Se toma un par de elementos del conjunto A y se realiza con ellos la operación definida, si el resultado de dicha operación pertenece al conjunto A, entonces se dice que la operación cumple la propiedad de clausura o también que la operación es cerrada en el conjunto A. En tablas:

“e”: Elemento Neutro  En la adición el elemento neutro es el cero (0). 𝑎+0 =0+𝑎 = 𝑎  En la multiplicación el elemento neutro es la unidad (1). 𝑎×1=1×𝑎 =𝑎 En tablas:

A) Se define en el conjunto: 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} * a b c d

a d a b c

b a b c d

c b c d a

d c d a b

Se define en el conjunto: 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} * 1 2 3 4

B. CONMUTATIVA

1 3 4 1 2

2 4 1 2 3

3 1 2 3 4

4 2 3 4 2

∀a, b ∈ A ⇒ a ∗ b = b ∗ a Criterio: El orden de los elementos en la operación no altera el resultado.

1. 2.

En tablas: Se define en el conjunto: 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} * a b c d

a a b c d

b b c d a

c c d a b

d d a b c

Se verifica que la operación sea conmutativa. En el cuerpo de la tabla se buscan: una fila igual a la fila de entrada y una columna igual a la columna de entrada. Donde se intercepten, se encontrará el elemento neutro “e”.

D. ELEMENTO INVERSO ∀a ∈ A, ∃ a−1 /a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e En el caso de la adición.

Criterio: 14 Se ordena la fila y la columna de entrada. En el mismo orden y a partir del vértice del operador. 15 Se traza la diagonal principal (desde el vértice del operador).

a−1 = −a  a + (−a) = 0

En el caso de la multiplicación a−1 = 8

1  a + (−a) = 0 a

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

a−1 = E. ASOCIATIVA E. ASOCIATIVA

CEPRUNSA 2021 FASE I

PROBLEMA 2

1 1 a∙ = 1 a a

Se define: 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 Calcula el valor de: 𝑨 = ( … ((((𝟗𝟗 ∗ 𝟏) 𝟗𝟖 ∗ 𝟐 ) 𝟗𝟕 ∗𝟑 ) 𝟗𝟔 ∗𝟒 ) … ) 𝟏 ∗𝟗𝟗

∀a, b, c ∈ A

A) 0

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) F. DISTRIBUTIVA

B) 1

C) 99

D) 100

E) 98

SOLUCIÓN: Del enunciado tenemos:

∀a, b, c ∈ A a ∗ (b#c) = (a ∗ b)#(a ∗ c) En este caso la operación * es distributiva respecto a la operación #

PROBLEMAS ADICIONALES Del enunciado: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2 Entonces: 50 ∗ 50 = 502 − 502 = 0 Por lo tanto: 𝐴 = (99 ∗ 1)0 = 1

PROBLEMA 1 Se define: 𝒂 ∗ 𝑏 =

PROBLEMA 3

𝑎+𝑏

Hallar: ((((((𝟏 ∗ 𝟐) ∗ 𝟑) ∗ 𝟒) ∗ 𝟓) ∗ 𝟔) ∗ 𝟕) A) 1

RPTA. B

𝑎 𝑏 +𝑏 𝑎

B) 7

Se define la operación ⊛ mediante la siguiente tabla:

C) 28

D) 35

E) 0

⊛ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

SOLUCIÓN: Analizando los datos, se obtiene: 12 + 21 = 1+2 13 + 31 1∗3 = = 1+3 4 1 1 + 4 1∗4 = = 1+4 1∗2 =

3 =1 3 4 =1 4 5 =1 5 17+ 71 1+7

=

𝑏 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐

𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

𝑑 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎

Hallar “x” en: 𝒂−𝟏 ⊛ 𝒃−𝟏 = 𝑿 ⊛ 𝒄 A) a

8 8

B) c

C) b

SOLUCIÓN: Calculamos el elemento neutro: 𝑎 Marcamos en la tabla c ⊛ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

Entonces, se puede concluir: 1∗7=

𝑎 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏

=1 RPTA. A 9

D) d

⊛ 𝑒=𝑎 →𝑒=𝑐 𝑎 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏

𝑏 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐

𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

𝑑 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎

E) 0

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

Hallamos los inversos respectivos: 𝑎 ⊛ 𝑎−1 = 𝑒 → 𝑎 ⊛ 𝑎−1 = 𝑐 𝑎−1 = 𝑎 𝑏−1 = 𝑑 𝑐 −1 = 𝑐 𝑑−1 = 𝑏

… I … II

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 + 2(𝑏 ∗ 𝑎) 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑏 − 𝑎 + 2(𝑎 ∗ 𝑏) Reemplazamos II en I:

Entonces: 𝑎−1 ⊛ 𝑏 −1 = 𝑋 ⊛ 𝑐 𝑎⊛ 𝑑 =𝑋 ⊛ 𝑐 𝑏=𝑋 ⊛ 𝑐 𝑋=𝑏

a b 3 12  3 Piden: 12*3= =3 3 Donde:

RPTA. C

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 + 2(𝑏 − 𝑎 + 2(𝑎 ∗ 𝑏)) 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 + 2𝑏 − 2𝑎 + 4(𝑎 ∗ 𝑏) 𝑎 − 𝑏 = 3(𝑎 ∗ 𝑏)

a *b 

RPTA. C

PROBLEMA 4 PROBLEMA 6

Si se define la operación mediante la tabla adjunta: * 5 6 7 5

5

6

7

6

6

7

5

7

7

5

6

Hallar: (5-1 * 6-1) * 7 A) 0

B) 1

D) 10

E) 8

A) 211 1.

C) 131

B) 145

𝟑

D) 190

15

Igualando las componentes se tiene: 5√𝑚 = 302 3√𝑛 = 6 𝑚 = 36 𝑛 = 27 Reemplazamos: 36+27 30 ∗ 6 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 3 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 19 =

19𝑥20 2

= 190

RPTA. C

RPTA. D

2. OPERADORES NO BINARIOS

PROBLEMA 5

Una operación unaria, terciaria, … etc, es aquella que se define como un conjunto dado S y que emplea uno, tres, … etc elementos de este, respectivamente, a los cuales se les hace corresponder otro elemento, mediante una regla de correspondencia.

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 + 2(𝑏 ∗ 𝑎) Halle: 12 ∗ 3

A) 1

𝒎+𝒏

SOLUCIÓN: C) 6

SOLUCIÓN: Calculamos el elemento neutro 5* e = 5  e=5 De la tabla obtenemos los inversos de 5 y 6 5-1 = 5 6–1 = 7  (5-1 * 6-1) * 7 = (5*7) * 7 =7*7=6

Si:

Si: 𝟓√𝒎 ∗ 𝟐 𝟑√𝒏 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯ + Calcula: 𝟑𝟎 ∗ 𝟔

B) 2

C) 3

D) 4

E) 15

EJEMPLO 1:

SOLUCIÓN:

Si 𝒂 ∈ 𝑹, la operación 𝒂 = 𝒂𝟐 − 𝟑√𝒂, es una operación unaria. Si (𝒙, 𝒚, 𝒛) ⊂ 𝑹, la operación: 𝒙 ⊝ 𝒚 ⊝ 𝒛 = 𝒙 + √𝟑𝒚 − 𝟐𝒛, es una operación ternaria.

Analizando: 10

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

Finalmente reemplazamos estos resultados en la expresión dada:

PROBLEMAS ADICIONALES

3 − 2 = 117 − 2 = 115 RPTA. E PROBLEMA 1

PROBLEMA 3

Si:

Si:

∫ 𝑷 − 𝟑 = 𝑷(𝑷 − 𝟏)

B) 41

C) 63

D) 38

√𝑓(50)

Hallar: 𝑀 =

Calcular: ∫ 𝟒 + ∬ 𝟐 A) 50

𝑓(1) = 1 y 𝑓(𝑖 + 1) = 𝑓(𝑖) + 2𝑖 + 1 2

A) 20

E) 78

B) 25

SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:

Analizando los datos observamos que se cumple: ∫ 𝑃 − 3 = 𝑃(𝑃 − 1) ⟹ ∫ 𝑃 = 𝑃(𝑃 − 1) + 3

Si: 𝑓(𝑖 + 1) = 𝑓(𝑖) + 2𝑖 + 1 𝑓(1) = 1 = 12

Entonces: ∫ 4 = 4(4 − 1) + 3 = 15 ∫ 2 = 2(2 − 1) + 3 = 5

Entonces:

C) 36

D) 21

E) 64

𝑓(2) = 𝑓(1 + 1) = 𝑓(1) + 2(1) + 1 = 4 = 22 𝑓(3) = 𝑓(2 + 1) = 𝑓(2) + 2(2) + 1 = 9 = 32

Entonces:

𝑓(4) = 𝑓(3 + 1) = 𝑓(3) + 2(3) + 1 = 16 = 42

∬ 2 = ∫ 5 = 5(5 − 1) + 3 = 23 Entonces: 𝑓(50) = 502 Piden:

𝑀=

∫ 4 + ∬ 2 = 15 + 23 = 38

√𝑓(50) 50 = = 25 2 2

RPTA. B

RPTA. D PROBLEMA 4

PROBLEMA 2

Si: 𝒂 = (𝒂 + 𝟏)𝟐 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝒂 ∈ 𝑹, calcular: “X” en:

Si: 𝒂 = 𝟓𝒂𝒂 − 𝟏𝟖.

Calcular: 𝟑 − 𝟐 𝑋 = 100

A) 150

B) 241

C) 263

D) 138

E) 115 A) √5

SOLUCIÓN: Aplicamos la regla de correspondencia en cada término: 3 = 5. 33 − 18 = 117 2 = 5. 22 − 18 = 2 2 = 2 =2 11

B) 3

C) 5

D) √2 − 1

E) 4

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

SOLUCIÓN: Nuestra estrategia consistirá en expresar el segundo miembro de cada igualdad según la regla de correspondencia, lo cual permitirá deducir el valor dentro de cada recuadro: 𝑋 = 100 = 102 = (9 + 1)2 𝑋 = 9 = 32 = (2 + 1)2 2

𝑋 = 2 = √2 = [(√2 − 1) + 1] 𝑋 = √2 − 1

2

RPTA. D

PROBLEMA 5 Si la operación ⨁ se define por: (𝑎 − 3) ⊕ (3𝑏) ⊕ (𝑑 + 4) = (𝑎 − 𝑏 + 𝑑)2 Calcula el valor de: 𝑯 = [(𝒂 + 𝟓) ⊕ (𝟔𝒂) ⊕ (𝒂 − 𝟕)]𝟐 A) 5

B) 4

C) 3

D) 9

E) 2

SOLUCIÓN: Analizando la regla de correspondencia dada, deducimos la regla para elementos individuales: 𝑌 (𝑋) ⊕ (𝑌) ⊕ (𝑍) = [(𝑋 + 3) + (− ) + (𝑍 − 4)] 3 Aplicando esta regla a los términos dados, se tiene: 6𝑎 (𝑎 + 5) ⊕ (6𝑎) ⊕ (𝑎 − 7) = [(𝑎 + 5 + 3) + (− ) + (𝑎 − 7 − 4)] 3 (𝑎 + 5) ⊕ (6𝑎) ⊕ (𝑎 − 7) = 9 RPTA. D

12

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

CAPITULO II

ECUACIÓN Una ecuación es la igualdad entre dos expresiones matemáticas en la cual por lo menos involucra una variable o incógnita. Cuando trabajamos con problemas de aplicación en la vida real, encontramos varias formas de ecuaciones que modelan dicha situación. Entre una de ellas tenemos:

PLANTEO DE ECUACIONES E INECUACIONES ECUACIONES CON UNA VARIABLE ECUACIONES CON DOS O MÁS VARIABLES – INECUACIONES EDADES

Ax + b=0

CAPACIDAD

PLANTEO DE ECUACIONES

Resuelve situaciones cotidianas relacionadas con Ecuaciones e Inecuaciones lineales a través de los diversos métodos de resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones de manera autónoma, crítica y creativa.

Que llamaremos en adelante plantear una ecuación 1.

SITUACIÓN

2.

Sencillos juegos de ingenio como este aparecieron durante muchos años en los periódicos del Reino Unido. Fueron tan famosos que Albert Einstein se interesó en ellos. Y lo curioso fue que, en un mercado de la ciudad de Arequipa, la señora Juana oferta jugos de cuatro frutas que se muestran en la tabla y la suma de los precios unitarios figuran a la derecha y en la parte inferior de la tabla. ¿Cuánto es el precio del jugo de cada fruta de la columna cuya suman total es S /x?

3. 4. 5. 6.

Leemos minuciosamente con el fin de establecer relaciones entre los datos que se nos proporciona y matematizar luego sus condiciones. Utilizar el menor número posible de variables, para lo cual usaremos por lo general, las últimas letras del alfabeto: x, y ó z. Escribimos la ecuación que exprese las condiciones del problema. Resolvemos dicha ecuación o sistema de ecuaciones con los métodos conocidos. Interpretamos el resultado en el lenguaje común Comprobamos el resultado obtenido.

TRADUCCIONES A CIERTOS ENUNCIADOS COMUNES Enunciado La suma de tres números consecutivos es 18

S/ 28

El cuádruple de un número, aumentado en 10 El cuádruple, de un número menos 7

S/ 30

Z excede a Y en 9 Por cada 4 hombres hay 5 mujeres.

S/ 20

Dos unidades menos de cuatro veces un número El cubo del triple del número de infectados

S/ 16

El triple del cuadrado de la edad de Pedro

S/ x

S/ 19

S/ 20

S/ 30

13

Expresión Matemática (𝑥 − 1) + (𝑥) + (𝑥 + 1) = 18 4𝑥 + 10 4(𝑥 − 7) 𝑍−𝑌 = 9 # de hombres: 4k # de mujeres: 5k 4𝑥 − 2 (3𝑥)3 3𝑥 2

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

2. 3. 4. 5.

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una expresión de la forma ax+ by = c donde a, b y c son los coeficientes (números) y “x” e “y” son las incógnitas. Gráficamente una ecuación lineal representa una recta en el plano. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas será de la forma:

Método de reducción Pasos para resolver el siguiente sistema con el método de reducción

Ax + by = c a’x + b’y = c’

𝑥 + 3𝑦 = 4 { 2𝑥 − 𝑦 = 1

Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es encontrar los valores de las incógnitas “x” e “y” que verifican las dos ecuaciones a la vez. Puede suceder que haya una única solución (las rectas se cortan en un punto), que haya infinitas soluciones (las rectas coinciden) o que no haya solución (las rectas son paralelas). Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen tres métodos más utilizados: 1. 2. 3.

Se escoge la incógnita más apropiada para eliminarla; en este caso eliminaremos la incógnita “y”. Se multiplica por 3 a la segunda ecuación, de tal manera que “y” tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, pero con signos opuestos.

método de sustitución, método de igualación y método de reducción.

{

Se resuelve la ecuación resultante 7𝑥 + 3𝑦 − 3𝑦 = 7 → 𝑥 = 1

𝑥 + 3𝑦 = 4 { 2𝑥 − 𝑦 = 1

   

𝑥 + 3𝑦 = 4 6𝑥 − 3𝑦 = 3

Se suman las dos ecuaciones en forma vertical con lo que desaparecerá la incógnita “y”. 7𝑥 + 3𝑦 − 3𝑦 = 7.

Método de sustitución Pasos para resolver el siguiente sistema con el método de sustitución



1+𝑦

Se igualan las dos expresiones resultantes 4 − 3𝑦 = 2 Se resuelve la ecuación obtenida 8 − 6𝑦 = 1 + 𝑦 → 𝑦 = 1 Se sustituye 𝑦 = 1 en la ecuación 𝑥 = 4 − 3(1) → 𝑥 = 1 Solución 𝑥 = 1 𝑦 = 1

Se sustituye 𝑥 = 1 en una de las ecuaciones y se calcula la otra incógnita. PROBLEMA 1

Despejamos “x” o “y” de una de las ecuaciones; en este caso despejaremos “x” de la primera ecuación. 𝑥 = 4 − 3𝑦 Se sustituye en la segunda ecuación el valor de la “x”. 2(4 − 3𝑦) − 𝑦 = 1 Se resuelve la ecuación obtenida 8 − 6𝑦 − 𝑦 = 1 → 𝑦 = 1 Se sustituye 𝑦 = 1 en la ecuación 𝑥 = 4 − 3𝑦 → 𝑥 = 4 − 3(1) = 1 Solución 𝑥 = 1 𝑦 = 1

Manuel gastó la tercera parte del dinero de una herencia en un juego de dormitorio nuevo; tres quintos del resto en remodelar la sala; el diez por ciento de la cantidad inicial invirtió en ropa y el resto S/ 2800 los ahorró. ¿Qué cantidad de dinero heredó? Y brindar como respuesta la suma de sus cifras. A) 13

Método de igualación

B) 15

C) 17

D) 19

E) 9

SOLUCIÓN:

Pasos para resolver el siguiente sistema con el método de igualación 𝑥 + 3𝑦 = 4 { 2𝑥 − 𝑦 = 1 1. Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones; en este caso despejaremos “x”. 𝑥 = 4 − 3𝑦 1+𝑦 𝑥= 2

𝑋 3 2𝑋 + . + 10%𝑋 + 2800 = 𝑋 3 5 3 16800 = 𝑋 RPTA. B

14

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

PROBLEMA 2

SOLUCIÓN:

Dos empresarios arequipeños Roberto y Fabián están conversando de cuánto dinero disponen. Roberto dice: Fabián dame S/ 3600 y así, tendré el doble de dinero que tú y Fabián le contesta: más justo sería que tú me des S/3000 y así tendremos las dos iguales cantidades ¿Cuánto tenía Fabián?

Si no había vehículos al inicio y ninguno al final porque no pueden detenerse. Lo vehículos que entran son igual a los que salen, entonces:

A) S/ 68000 D) S/ 16000

B) S/ 12820 E) S/ 10800

180+70+200+200= 400+x+30+20

C) S/ 16800

x = 200

SOLUCIÓN: Sea: x = dinero que tenía Roberto

PROBLEMA 4 Juan realiza un aplicativo que muestra un número en la pantalla, el cual tiene tres botones especiales. Cuando presiona el botón A, el número que está en la pantalla se duplica, cuando presiona el botón B, el número que está en la pantalla disminuye en 2 y cuando presiona el botón C, el número que está en la pantalla se divide entre 2. Probando el aplicativo digitó su número favorito; presionó tres veces seguidas el botón A; luego, tres veces seguidas el botón B, y luego el botón C, y la pantalla mostró el número 41. ¿Cuál es su número favorito?

y = dinero que tenía Fabián Cuando Roberto dice a Fabián dame S/. 3600 y así tendré el doble de dinero que tú. x + 3600 = 2(y – 3600) De donde: x = 2y – 10800 .... (I)

A) 9

Cuando Fabián le contesta más justo es que tú me des S/ 3000 y así los dos tendremos iguales cantidades. y + 3000 = x – 3000 De donde: x = y + 6000 .... (II) Igualamos (I) y (II) 2y – 10800 = y + 6000  y = 16800. RPTA. C

C) 11

D) 12

E) 13

X: número favorito. 𝟐(𝟐(𝟐𝒙))−𝟐−𝟐−𝟐 𝟐

= 𝟒𝟏 RPTA. C

PROBLEMA 5 El director de una I.E realizó un proyecto de presentación teatral con sus estudiantes de quinto grado, con la finalidad de reunir fondos y terminar de construir el comedor estudiantil, recibiendo el apoyo de los padres de familia y el de la Municipalidad la cual le brindó gratuitamente su anfiteatro. El costo de las entradas fue de 30 soles para los adultos y 20 soles para los niños. Si el sábado pasado asistieron 248 personas y se recaudaron 5930 soles, ¿cuántos adultos y cuántos niños asistieron a la función de teatro el sábado?

La ciudad de Arequipa sufre un gran congestionamiento debido a lo cual las calles permiten solo un sentido de desplazamiento de los vehículos, según las flechas. Los números adjuntos a cada flecha indican la cantidad de vehículos que transitan cierto día de la semana. Si ningún vehículo se ha detenido o estacionado en estas calles, y al inicio del día no había vehículos en ninguna de estas calles, calcula el valor de X. B) 200 E) 600

B) 10

SOLUCIÓN:

PROBLEMA 3

A) 30 D) 350

RPTA. B

A) 151 adultos y 97 niños

B) 124 adultos y 124 niños

C) 97 adultos y 151 niños

D) 69 adultos y 179 niños

E) 60 adultos y 178 niños

C) 250

15

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

SOLUCIÓN:

PROBLEMA 7

Para responder las preguntas, primero modelamos la situación con un sistema de ecuaciones.

En una expedición a la Selva, unos científicos encontraron un animal raro tal es así que los dedos de sus cuatro extremidades inferiores exceden en 16 al total de dedos de sus 3 extremidades superiores. Si el total de dedos que posee es igual al total de dedos que tienen 2 seres humanos, ¿cuántos dedos tienen en cada extremidad inferior?

Sea “x” el número de adultos e “y” el número de niños. {

30𝑥 + 20𝑦 = 5930 𝑥 + 𝑦 = 248

A) 7

Simplificando la primera ecuación y empleando el método de reducción, tenemos lo siguiente: 3𝑥 + 2𝑦 = 593 { 𝑥 + 𝑦 = 248

E) 28

A partir de ello, se tendrá: {

RPTA. C Resolviendo el sistema: x = 28

PROBLEMA 6

;

𝒙 − 𝒚 = 𝟏𝟔 𝒙 + 𝒚 = 𝟒𝟎 y = 12

Como el total de dedos de cuatro extremidades inferiores es 28, entonces cada

Arquímedes tiene una tina cuya capacidad es 490 litros. Para que la tina esté llena, cuando Arquímedes esté dentro, es preciso echar 24 baldes con agua. Si Arquímedes tuviese el doble de volumen, se echaría 4 baldes menos. ¿Cuál es el volumen de Arquímedes y cuál es el volumen del balde en litros? B) 74; 18,5 E) 70; 16

D) 4

En base a las condiciones dadas, matematizamos de la siguiente manera: x = Total de dedos de las cuatro extremidades inferiores y = Total de dedos de las tres extremidades superiores

Restando las ecuaciones, x = 97, luego reemplazando el valor de x en la segunda ecuación, en la cual obtenemos y = 151

A) 70; 18 D) 72; 18

C) 5

SOLUCIÓN:

3𝑥 + 2𝑦 = 593 { 2𝑥 + 2𝑦 = 496

Respuesta: 97 adultos y 151 niños.

B) 6

extremidad superior, debe tener:

C) 70; 17,5

SOLUCIÓN: 24 b + A = 490 20b + 2A = 490  4b = A Reemplazando: 7A = 490 A= 70 ; b = 17,5 RPTA. C 16

𝟐𝟖 𝟒

= 𝟕 dedos. RPTA. A

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

INECUACIONES

Multiplicando la primera inecuación por 5 y la segunda por menos 2, tenemos: 25D + 10I < 500 4D  10I < 80 21D < 420 D < 20

Una inecuación es una desigualdad condicional que se establece entre dos expresiones matemáticas, donde hay por lo menos una variable, a la que denominaremos incógnita. Ejemplo:

Como “D” es el mayor posible  D = 19 Reemplazando: 5(19) + 2I < 100 I < 2.5 2(19) + 5I > 40 I > 0.4  0,4 < I < 2,5 1o2 ∴ En el bolsillo izquierdo tiene 1 o 2 monedas

𝐿𝑎 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑛𝑧𝑜 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 ⏟ ⏟ 𝑒𝑛 ⏟9 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑑𝑒 ⏟ 𝑎⏟ 19 𝑥

+

El lenguaje matemático:

9

>

19

𝑥 + 9 > 19

PROBLEMA 1 Si la cantidad de patas de pavos en una granja es más de 30, siendo esta una cantidad mínima, se vende una cierta cantidad de pavos quedando menos de 5, ¿cuántos pavos quedan si se vendieron lo mínimo posible? A) 12

B) 13

SOLUCIÓN: 2x > 30

C) 4

D) 5

E) 6

Los estudiantes de una institución con la finalidad de recaudar fondos, realizarán un evento de música clásica en el auditorio de la universidad. El grupo de música clásica cobra por concierto un pago único de S/ 3500 o un pago de S/ 1700 más el 30 % de la venta de las entradas. Si asistieron 300 personas. ¿Cuál es el precio máximo que pueden cobrar por entrada para que la segunda forma de pago no exceda al pago único?

De los datos: x > 15



Luego: x–y 11



y = 12

RPTA. C

PROBLEMA 3

A) 13 RPTA. C

B) 7

C) 17

D) 19

E) 20

SOLUCIÓN: 3500 ≥ 1700 + 30%(300). 𝑋

PROBLEMA 2

20 ≥ 𝑋 ==> 𝑋 = 20

Pedro ha puesto en su bolsillo izquierdo solo monedas de S/ 2 y en el derecho solo monedas de S/ 5. Observa que el dinero que tiene en total no llega a los S/100, y que si la cantidad de monedas que tiene en cada uno de los bolsillos fuese al revés lo que tendría superaría de todos modos los S/40. Si la cantidad de monedas de S/ 5 que tiene es la mayor posible. ¿Cuántas monedas tiene en el bolsillo izquierdo? A) 3 B) 4 o 5 C) 1 o 2 D) 6 o 7 E) 2

PROBLEMA 4

SOLUCIÓN: Sea el número de monedas: Del problema se tiene: 5D + 2I < 100 2D + 5I > 40

A) Entre 10 y 15 D) Entre 25 y 30

RPTA. E

El precio de venta de un artículo está dado por A = 200 – 3x dólares, donde “x” es el número de artículos vendidos. Si el costo por producir estos “x” artículos es C = (650 + 5x) dólares, ¿cuántas unidades de este artículo se deben producir y vender de manera que la utilidad no sea menor que 2 500 dólares?

17

B) Entre 30 y 35 E) Entre 20 y 35

C) Entre 20 y 25

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

EDADES

SOLUCIÓN: Sabiendo que se deben producir y vender “x” artículos de manera que la utilidad no sea menor que 2500 dólares, se necesitaría lo siguiente: Ingreso = (#de artículos vendidos) (precio de venta) Además, la utilidad se calcularía a partir de: Utilidad = ingreso – costo Por lo tanto:

La edad es el tiempo de vida de las personas, animales u objetos; en esta sección es importante considerar la conjugación del verbo en tiempos diferentes ellos son: 

Tiempo pasado: tenía, tuve, hace, etc.



Tiempo presente: tengo, tienes, actualmente, etc.

 Tiempo futuro: tendrás, dentro de, etc. A continuación, se muestra los cuadros de dos tipos de problemas más comunes de edades:

𝑈(𝑥) = (𝑥)(200 − 3𝑥) − (650 + 5𝑥) Como la utilidad no debe ser menor a 2500 dólares, entonces:

•

𝑈(𝑥) ≥ 2500 (𝑥)(200 − 3𝑥) − (650 + 5𝑥) ≥ 2500

Hace 5 años

𝑥 2 − 65𝑥 + 1050 ≤ 0 (𝑥 − 30)(𝑥 − 35) ≤ 0 De acuerdo a lo obtenido el número de unidades que se deben producir y vender debe estar comprendido entre 30 y 35. RPTA. B

•

Dentro de 6 años

PASADO

PRESENTE

FUTURO

A-5

A

A+6

Cuando intervienen las edades de dos o más personas. PASADO

PROBLEMA 5 Iván es un joven granjero de La Joya; quien tiene el deseo de llegar muy lejos en su vida, pero por ahora, tiene en su granja 120 animales, entre pavos y conejos, en corrales separados. Él observa que, si pasa 20 conejos al corral de los pavos, entonces el número de patas que se cuentan en este corral sería mayor que el número de patas que se cuentan en el corral de los conejos. ¿Cuántos pavos como mínimo puede haber en la granja? A) 54

Cuando interviene la edad de una sola persona.

B) 56

C) 60

D) 48

PRESENTE

FUTURO

Yo

a

b

c

Tu

m

n

p

Se cumple que, la diferencia de edades entre dos personas es constante en cualquier tiempo: 𝑎 − 𝑚 = 𝑏– 𝑛 = 𝑐 − 𝑝 Además:

E) 72

𝐀ñ𝐨 𝐝𝐞 𝐧𝐚𝐜𝐢𝐦𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨 + 𝐞𝐝𝐚𝐝 𝐚𝐜𝐭𝐮𝐚𝐥 = 𝐚ñ𝐨 𝐚𝐜𝐭𝐮𝐚𝐥

SOLUCIÓN: I. II.

PROBLEMA 1 Julio le dice a Diana: “yo tengo el triple de la edad que tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades será 12 años” ¿Qué edad tiene Diana?

# pavos: x #conejos: 120 – x 2x + 4 . 20 > 4(100 – x)

x > 53,3 Por lo tanto, como mínimo hay 54 pavos.

A) 18 RPTA. A 18

B) 20

C) 22

D) 24

E) 26

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

SOLUCIÓN:

PROBLEMA 3 Pasado

Presente

Futuro

Julio

y

3x



Diana

x

y

3x

Andy, un niño muy inquieto, observa que cuando su padre tenía 41 años, él tenía 14, es decir, el mismo número, pero con las cifras invertidas. Si el padre vivió 100 años. ¿Cuántas veces más volvió a ocurrir este caso? A) 5 B) 3 C) 2 D) 4 E) 6

La diferencia de edades es una constante. 𝑦 − 𝑥 = 12 y 4𝑥 = 2𝑦

SOLUCIÓN: De las condiciones dadas se deduce que: Andy es menor que su padre en: 41 -14 =27 años y esa diferencia se mantendrá constante en el transcurso del tiempo. Edad de Andy: ̅̅̅̅ 𝒂𝒃 ; Edad del Padre: ̅̅̅̅ 𝒃𝒂

Reemplazando 𝑥 = 12 Por lo tanto 𝑦 = 24 RPTA. D

Ahora: ̅̅̅ 𝑏𝑎 − ̅̅̅ 𝑎𝑏 = 27 → 9𝑏 − 9𝑎 = 27 → Como: 𝒃 − 𝒂 = 𝟑. Entonces habría 6 soluciones:

PROBLEMA 2 ̅̅̅̅̅ años El papá de Darío tenía “m” años cuando vino a Arequipa y después de 𝑚𝑚 ̅̅̅̅ años y Darío con 𝑚𝑛 ̅̅̅̅ nació Darío. Si el papá de Darío está actualmente con 𝑛𝑚 años. ¿Cuál es la edad actual del papá de Darío? A) 80

B) 73

C) 53

D) 40

E) 68

SOLUCIÓN:

Papá Darío

LLEGADA

PASADO

ACTUAL

m

̅̅̅̅̅ m+𝑚𝑚

̅̅̅̅ 𝑛𝑚

0

̅̅̅̅ 𝑚𝑛

Edad de Andy

Edad del Padre

14

41

25

52

36

63

47

74

58

85

69

96

𝑏−𝑎 = 3

El número de veces más que volvió es: 5 RPTA. A

̅̅̅̅̅=𝑚𝑛 ̅̅̅̅ − 𝑛𝑚 ̅̅̅̅ m+𝑚𝑚 21m=9n m/n=3/7 m y n numerales menores que 10, entonces:

PROBLEMA 4 Cuando él nació, yo tenía la edad que tú tienes, que a su vez es la edad que él tendrá cuando tú tengas 20 años y yo el doble de lo que tienes. ¿Qué edad tienes, si él tiene la edad que yo tenía cuando tú naciste, y en ese entonces mi edad era 5 años menos que tu edad actual? A) 25 años B) 18 años C) 23 años D) 20 años E) 15 años

m=3 y n=7 ̅̅̅̅ =73 edad del padre 𝑛𝑚 RPTA. B

19

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

SOLUCIÓN: CUANDO TÚ NACISTE

CUANDO ÉL NACIÓ

Yo

X -5

X

Tú

0

PRESENTE

FUTURO

X

20

X -5

X

PROBLEMA 6 Timoteo le dice a Karina mi edad es 4 años menor que la edad que tú tenías, cuando yo tenía 8 años menos de la edad que tú tienes y cuando tú tengas el doble de la edad que tengo, nuestras edades sumarán 82 años. ¿Qué edad tiene Karina?

2x

Él

A) 28 años

B) 18 años

RPTA. E PROBLEMA 5 Juan es padre de dos hijos y hace 10 años la suma de las edades de sus hijos era 1/3 de la edad de Juan. Si uno de los hijos es 2 años mayor que el otro y la suma de sus edades actuales es 14 años menos que la edad de Juan, ¿dentro de cuántos años la suma de las edades de los hijos será 60? B) 18

C) 6

D) 30 años

E) 22 años

SOLUCIÓN:

Por aspa: x +x = (x-5)+20x= 15

A) 10

C) 24 años

D) 14

PASADO

PRESENTE

FUTURO

Timoteo

b-8

a

82-2a

Karina

y=a+4

b

2a

a=y–4 2b -8 = 2a + 4b – a = 6 3a = 82 -2a +b5a -b = 82 4a = 88a = 22 b= 28

E) 20

RPTA. A SOLUCIÓN: PASADO

PRESENTE

PROBLEMAS ADICIONALES

FUTURO

Juan

x-10

x

Hijo mayor

y- 10

Y=17

17+m

Hijo menor

y-12

y -2 =15

15+m

PROBLEMA 1 Luis tiene tantos años como el triple de la suma de las edades de sus dos hijos. Dentro de 20 años, tendrá el doble de la edad de su hijo mayor. Si la diferencia de edades de sus hijos es 4, ¿Cuál es la edad de Luis? A) 28 años B) 34 años C) 30 años D) 32 años E) 36 años SOLUCIÓN: P = 3 (H+ H-4)

60 2y- 22=(x-10)/36y – x =56 2y – 2 = x – 142y – x = - 12 2x = 92x=46 y = 17

12 = 6H – P…(1) P + 20 = 2(H + 20) P – 2H = 20 … (2)

32 + 2m = 60

4H=32 H=8 P= 36

m= 14 RPTA. D

RPTA. E 20

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

PROBLEMA 2

PROBLEMA 4

Si al doble de la edad de Vieri se le suma la edad de María, se obtiene la edad de Luís aumentada en 17 años. Además, la tercera parte de la edad de María más el doble de la edad de Luís, es igual a la edad de Vieri aumentada en 39 años. Si la tercera parte de la suma de las edades de Vieri y María es 16 años menos que la edad de Luís, ¿Cuál es la suma de sus edades? A) 55 B) 52 C) 68 D) 46 E) 58 SOLUCIÓN: Sean M, V y L las edades de María, Vieri y Luís, respectivamente. 2𝑉 + 𝑀 = 𝐿 + 17 𝑀 + 2𝐿 = 𝑉 + 39 3 𝑉+𝑀 = 𝐿 − 16 { 3 Resolviendo el sistema: Vieri, María y Luis tienen: 15, 12 y 25 años respectivamente. RPTA.B

Un coleccionista de monedas tiene en su poder entre 197 y 205 monedas de oro, que las reparte a sus tres hijos: Abel, Benito y Carlos. Benito recibe 15 monedas más que Carlos, Abel recibe el doble de lo que recibe Benito. ¿Cuántas monedas recibe Carlos si se sabe que es un número impar? A) 45 B) 53 C) 27 D) 17 E) 39 SOLUCIÓN: Sean: a = Monedas que recibe Abel b = Monedas que recibe Benito c = Monedas que recibe Carlos. Por dato: 197  a + b + c  205 b = c + 15, a = 2b, c es impar. a = 2c + 30 Reemplazando: 197  2c + 30 + c + 15 + c  205 152  4c  160

PROBLEMA 3 Andy terminó la secundaria y antes de viajar a Estados Unidos a estudiar, festejó su cumpleaños con 9 amigos en junio del 2017, y se le ocurrió sumar las edades de todos con los años en que habían nacido, obteniendo como resultado 20165. ¿Cuántos cumpleaños faltaban festejar el resto del año? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

38  c  40 Como c debe ser impar,  c = 39 RPTA. E PROBLEMA 5 En un determinado transporte público, solo existe el pasaje adulto y el medio pasaje. El pasaje adulto vale S/1,50 y el medio pasaje S/0,80. Si durante un tiempo “t” de recorrido se recaudó S/23,50 y, además, se cobró más pasajes adultos que medios pasajes, ¿cuántos pasajeros pagantes subieron durante el tiempo “t”?

SOLUCIÓN: Suponiendo que todos ya cumplieron años: Edad + año de nacimiento = 2017 E1 + N1 = 2017 E2 + N2 = 2017 E3 + N3 = 2017 … y así 10 sumandos Total = E + N = 10 x 2017 = 20170

A) 25 SOLUCIÓN: De los datos:

Si todos ya hubiesen cumplido el resultado debió ser 20170, pero como el resultado real es 20165, quiere decir que: 20170-20165 = 5 amigos todavía no cumplen años.

B) 22

Cantidad de pasajeros

RPTA. D

Costo total

21

C) 17

D) 19

E) 18

Adultos (S/1,50)

Medio pasaje (S/0,80)

x

y

1,50x

0,80y

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

1,50 x + 0,80 y = 23,50 15 x + 8 y = 235 5 20 13 5 Por dato: Se cobró más pasajes adultos que medios pasajes (x > y). Dónde: x = 13; y = 5. Por lo tanto, el total de pasajeros es x + y = 18 RPTA. E PROBLEMA 6 Brito le dice a Óscar: “Tú tienes la mitad de lo que tenías y tendrías el triple de lo que tienes, si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, entonces tendrías lo que yo tengo que es 9 soles más de lo que tendrás”. ¿Cuánto más de dinero tiene Brito que Oscar? 1.

S/

18

B) C)

S/

12 S/15 E) S/28

D) S/27

SOLUCIÓN:

OSCAR BRITO

PASADO

PRESENTE

FUTURO

TENIAS

TIENES

TENDRAS

2X

X

3X

3X+9 3𝑋 + 𝑋 + 3𝑋 = 9 + 30 𝑋=3

Oscar tiene: 3 soles Brito tiene: 18 soles La diferencia: 15 soles RPTA. C

22

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

CAPITULO III

De manera similar, "b" es divisor de "a" si la división de "a" entre "b" es un número entero.

NÚMEROS ENTEROS NUMEROS PRIMOS Y NUMEROS COMPUESTOS – CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD - MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO - MÁXIMO COMÚN DIVISOR CRIPTOARITMÉTICA (REPRESENTACIÓN DE UN NUMERAL) CIFRAS EN SISTEMA DE BASE 10 Y OTROS DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO

Sí "a" es un número entero, siempre se cumple que 1 y -1 son divisores de "a", como las divisiones: 𝒂

−𝒂 −𝟏

Son números enteros: 𝒂 𝟏

=a

y

𝒂 −𝟏

= -a

El conjunto de divisores de un entero "a" está simbolizado por: Div(a), y en la práctica, se obtiene calculando los divisores positivos de "a" y sumando sus opuestos.

CAPACIDAD

Ejemplo:

Escribimos el conjunto de los divisores de -18:

Aplica las propiedades de los números enteros en la solución de situaciones cotidianas utilizando diversas estrategias de solución y justificando sus resultados de manera autónoma, responsable y creativa. SITUACIÓN

y

𝟏

Div ( -18) = { 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 9, -9, 18, -18 } DIVISOR:

PROBLEMA

Divisor, de un número entero “A”, es cualquier otro entero “B” tal que la división A  B es exacta. Por ejemplo, 15 es divisor de 45 porque la división 45  15  3 es exacta.

Si me sumas a mí mismo dos veces, seré 30. Si me divides entre el tercer Si me sumas a mí mismo dos veces, seré 30. me divides entre el tercer menor número primo obtendrás la mitad del Si primer número compuesto. menor número primo obtendrás la mitad del primer número compuesto. ¿Quién soy? ¿Quién soy? A) 15 B) 8 C) 20 D) 10 E) 30 A) 15 B) 8 C) 20 D) 10 E) 30

Entonces podemos decir que un número “B” es divisor de “A”, cuando “B” está contenido en “A” en una cantidad entera y exacta de veces. Ejemplo: los divisores del número 40 son: 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20 y 40.

DIVISIBILIDAD MÚLTIPLO:

La divisibilidad es la propiedad de un número entero que se divide por otro, resultando un número entero.

Múltiplo, de un número entero “B”, es otro número “A”, tal que algún entero “C”. Así, 45 es múltiplo de 15 porque 45  15  3 .

Donde a y b, dos números enteros, diremos que "a" es un múltiplo de "b" si hay un entero "c", tal que, cuando lo multiplicamos por "b" es igual a "a". Es decir, "a" es un múltiplo de "b" si:

A  B C , para 

En otras palabras “A” es múltiplo de “B” cuando al dividir “A” entre “B” el cociente es un número entero y no deja residuo.

a=b. c

Por ejemplo: 40 es múltiplo de 8 por que 40 lo contiene a 8, cinco veces.

Siendo “c” otro número entero.

60 es múltiplo de 10 por que 60 lo contiene a 10, seis veces.

El conjunto de todos los múltiplos de un número entero "a" se obtiene multiplicando "a" por cada número entero.

Notación: 40  5 K; donde K 

Ejemplo: Escribimos el conjunto de múltiplos de 6:



( 6 ) = { 0, 6, -6, 12, -12, 18, -18, …. } 23

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

PRINCIPALES CRITERIOS DE LA DIVISIBILIDAD

40  5 se lee que 40 es múltiplo de 5. Sucesión de Múltiplos Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por los sucesivos números naturales y por sus opuestos, ±1, ±2, ±3… Por tanto, cualquier número tiene infinitos múltiplos. Por ejemplo:

abcde  5 e Si e  5(e {0,5})  abcde  5

0

1

2

3

…

Por 5

4 (múltiplos de 4)

….

–12

–8

–4

0

4

8

12

…

Por 25 Por 125

EN BASE 10

Todo número es múltiplo de sí mismo, pues 7  7 .

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

abcde  25 de Si de  25(de {00, 25, 50, 75})  abcde  25 0

0

0

abcde  125 cde. Si

0

0

cde  1 25(cde  {000, 125, 250,....,875})  abcde  125

0

0

0

Por 3

abcde  3 a  b  c  d  e. Si a  b  c  d  e  3  abcde  3

Por 9

abcde  9 a  b  c  d  e Si a  b  c  d  e  9  abcde  9

Por 11

Ningún número es múltiplo de cero.

0

0

0

a b c d e  11 e  d  c  b  a     

0

0

0

Si a  b  c  d  e  11  abcde  11

0

Por 7

Cero es múltiplo de cualquier número excepto de sí mismo.

0

a b c d e f g h  7 (3a  b)  (2c  3d  e)  (2 f  3g  h) N  7 31 231 

2 3 1



N

 0

Por 13

GENERAL

I)

abcde  8 cde Si cde  8 (cde {000, 008, 016,.....,992})  abcde  8

–1

OBSERVACIONES:

I)

Por 8 –2

“ A es divisible por B”

1.

abcde  4 de Si de  4(de {00, 04, 08,12,...,96})  abcde  4

–3

“ B divide a A”

0

Por 4

….

“ B es divisor de A”

0

abcde  2 e .Si e  2(e  {0, 2, 4, 6, 8})  abcde  2

Números enteros

La relación “A es múltiplo de B” se puede expresar así:

0

Por 2

24

a b c d e f g h  13 3a  (b  4c  3d )  (3  4 f  3 g )  h 3 1 4 3 1 4 3 1 



N





Por 33

abcde  33 a  bc de Si a  bc de  33  abcdef  33

Por 99

abcde  99 a  bc de Si a  bc de  99  abcdef  99

Por “n-1”en base“n ”

0

0

0

0

0

0

0

N  13

0

0

0

abcde( n )  (n  1) a  b  c  d  e Si a  b  c  d  e  (n  1)  abcde( n 1)  (n  1)

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es menor que el número final de la lista.

NÚMEROS PRIMOS y NÚMEROS COMPUESTOS

Los números que permanecen en la lista son los primos.

NÚMERO PRIMO: Un número entero mayor que 1 que no se puede obtener al multiplicar otros números enteros.

Vamos a calcular por este algoritmo los números primos menores que 40. 1. Escribimos los números, en nuestro caso serán los comprendidos entre 2 y 40.

Ejemplo: 5 es un número primo. No podemos multiplicar 2, 3 o 4 juntos para hacer 5. (Solo 1 × 5 funciona, pero dijimos que usamos otros números enteros).

2

Ejemplo: 6 se puede hacer por 2 × 3, por lo que NO es un número primo (es un número compuesto)

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

NÚMERO COMPUESTO: Un número entero que se puede hacer multiplicando otros números enteros. Ejemplo: 6 se puede hacer por 2 × 3, así que es un número compuesto.

2. Eliminamos los múltiplos de 2.

Pero 7 no puede hacerse multiplicando otros números enteros (1 × 7 funcionaría, pero dijimos que usamos otros números enteros), por lo que no es un número compuesto, es un número primo.

2 21

Todos los números enteros por encima de 1 son compuestos o primos.

3

5

7

9

11

13

15

17

19

23

25

27

29

31

33

35

37

39

3. El siguiente número es 3, como 3 2 < 40 eliminamos los múltiplos de 3. 2

3

5

23

25

7

11 29

13

31

17 35

19

37

4. El siguiente número es 5, como 52 < 40 eliminamos los múltiplos de 5. Criba de Eratóstenes

2

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado.

3

5

7

23

11 29

13

17

31

19

37

Partimos de una lista de números que van de 2 hasta un determinado número. Eliminamos de la lista los múltiplos de 2.

5. El siguiente número es 7, como 7 2 > 40 el algoritmo termina y los números que nos quedan son primos.

Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue eliminado (el 3) y eliminamos de la lista sus múltiplos, y así sucesivamente.

2

3 23

25

5

7

11 29

31

13

17 37

19

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

Los primeros 48 números primos. ________________________________________________________________

PROBLEMAS ADICIONALES

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

PROBLEMA 1

59

61

67

71

73

79

83

89

En una determinada I.E. del estado, el número que representa el sueldo de un profesor tiene 15 divisores y está representado por 45x . ¿Cuánto recibirá el siguiente año si el estado aumentará su sueldo en un 20%?

97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173

A) S/ 1600

179 181 191 193 197 199 211 223

B) S/ 2430

C) S/ 2015

D) S/ 1850

E) S/ 2680

SOLUCIÓN:

sueldo  45 x

¿Cuántos hay?

sueldo  32 x.5 x

Euclides demostró hace miles de años que hay un número infinito de números primos. Tienden a estar espaciadas bastantes juntos cuando son números pequeños, y se distancian a medida que crecen. A partir de ahora, el principal conocido más grande tiene más de 17 millones de dígitos.

Cantidad de divisores=15 (2x+1)(x+1)=15

Usos

x=2

Un uso importante de los números primos es en el campo del cifrado. A veces, las páginas web contienen información personal e información que desea mantener estrictamente privada, como números de tarjetas de crédito. No desea que nadie "escuche" en Internet para ver esta información.

sueldo actual=452 sueldo actual=S/ 2025 el siguiente año aumento de sueldo en 20%

Para hacer esto, las páginas pueden ser cifradas durante la transmisión (convertidas en galimatías usando un código secreto). El método de codificación utiliza una técnica que involucra un gran número que es el producto de dos números primos. Resulta extremadamente difícil encontrar estos factores a menos que los conozca de antemano.

S/ 2015 + 20%(2025) Sueldo próximo año=S/ 2430 RPTA. B PROBLEMA 2 Ana tiene tantos caramelos como la cantidad de divisores que tiene 324, ¿cuántos caramelos tiene Ana?

Números compuestos Los números compuestos son lo opuesto a los números primos. Son enteros que sí tienen factores enteros. Cualquier número entero que no sea primo es un número compuesto. Está 'compuesto' de otros factores enteros.

A) 24

B) 6

C) 15

D) 8

E) 12

SOLUCIÓN:

Por ejemplo, 12 es un número compuesto (y, por lo tanto, no primo) porque tiene los factores enteros 2,2,3:

324  22.34

2 × 2 × 3 = 12

hallamos cantidad de divisores: CD (324) = (2+1) (4+1) CD (324) = 15 RPTA. C

26

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

PROBLEMA 3

PROBLEMA 4

En una reunión se observó: la cantidad de concurrentes que tiene estudios de postgrado es múltiplo de 3, la catorceava parte de los asistentes son arquitectos y la dieciochoava parte son ingenieros. Si el local tiene un límite de 1000 personas, ¿cuántos asistieron como máximo?

Si M  3x  3x 1  3x  2  3x  3 tiene 53 divisores positivos que no son números primos. Determine el valor de “x”. A) 6

A) 872

B) 880

C) 852

D) 892

B) 2

C) 7

D) 5

E) 8

E) 882 SOLUCIÓN:

M  3x  3x 1  3x  2  3x 3

SOLUCIÓN: N es el número de concurrentes a la reunión

Simplificando:

N° de personas con postgrado: N  3 o

N° de arquitectos: N° de ingenieros: Entonces: N:

o

M  3x.40

M  3x.23.5

o N  N  14 14

CDPRIMOS  CDNO

o N  N  18 18

o

3

o

+

53

PRIMOS

 CD( M )

= (x+1)(3+1)(1+1)

56 = 8 ( x + 1 )

3;14;18

N= 126 o

Donde

N=126k

x=6 RPTA. A

Por condición: N15; entonces el orden sería:

66 12

15

; 12 ;

28 12

;

12 15 12

PROBLEMA 1 ;

En el Campeonato Descentralizado de futbol peruano 2018, de las tandas de 8 3 penales; 25 fueron atajados por el portero, 10 fueron lanzados fuera de la portería o impactados en el marco (sin ser anotación), y el resto fueron anotados, ¿cuál es la mínima cantidad de penales que pudieron haber sido lanzados?

.

NÚMEROS DECIMALES

A) 25

Los números decimales son números racionales que cuentan con una parte decimal y una parte entera, para obtener un número decimal de una fracción, dividimos el numerador por el denominador.

B) 50

C) 62

D) 100

E) 120

SOLUCIÓN: Los penales que fueron anotados son

Ejemplo:

19

.

50

Si x es la cantidad de penales lanzados, entonces

5 = 1,25 4

8 3 19 𝑥; 𝑥; 𝑥 25 10 50

Al dividir 5/4 obtenemos un número decimal 1,25 que está conformado por una parte entera (1) y parte decimal (25) separado por una coma decimal.

deben ser enteros, de donde el mínimo valor de x es 50. RPTA. B

Número decimal exacto

Tienen un número finito de cifras decimales. El denominador de la fracción irreductible que lo origina como factores primos solamente de 2 o5

Ejemplos: 3 = 0,3 10 7 − = − 0,28 25 48

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

PROBLEMA 2

SOLUCIÓN:

Pedro viajó con su familia de Arequipa a Camaná. Para comenzar el viaje, llenaron totalmente el tanque de gasolina. En un tramo del viaje, la gasolina que aún quedaba en el tanque estaba representada en la escala del panel de control del auto. ¿Qué parte del tanque todavía tiene gasolina? ¿Qué parte del tanque de gasolina se ha consumido hasta este momento?.

FRACCIÓN

FRACCIÓN EQUIVALENTE

1 5 1 = 4 4

20 16

3 4

12 16

Analizamos el problema; la medida de la llave de boca debe ser mayor que 3⁄4 y 1 menor que 1 o de sus expresiones equivalentes. 4

12 20

II. A) 100mL

B) 40mL

C) 60mL

D) 80 mL

E) 50mL

m n

EL TANTO POR CIENTO (%) Es un caso particular del tanto por cuanto y se da cuanto el total se divide en 100 partes iguales y tomamos cierto número m de esas partes. Las m partes equivalen al m por 100 del total o al m por ciento del total, es

SOLUCIÓN: 𝟏 𝟐 𝟑

decir m

𝒒𝒖𝒆𝒅𝒂 𝒗𝒊𝒏𝒐 = ( ( × 𝟐𝟎𝟎)) = 𝟓𝟎𝒎𝑳 𝟐 𝟑 𝟒

100

del total. m por ciento < > m % < >

m 100

RPTA. E III. AUMENTOS Y DESCUENTOS SUCESIVOS PROBLEMA 5

Se dan sobre todo en las transacciones comerciales realizándose de manera consecutiva, los mismos que pueden ser reemplazados por un aumento único o por un descuento único.

En un salón hay 80 alumnos; se sabe que 3 de 4 alumnos son mujeres, y de éstas 2 de cada 5 gustan escuchar música cuando estudian. ¿Cuántas mujeres estudian en silencio, si se sabe que todas estudian? A) 24

B) 28

C) 30

D) 32

DU  A  B 

E) 36

51

AB 100

Au  A  B 

AB 100

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

IV.

CEPRUNSA 2021 FASE I

VARIACIÓN PORCENTUAL

2.

Se trata del aumento o disminución que experimenta una cantidad una figura o un sólido con respecto a sus dimensiones o valores iniciales este aumento o disminución esta expresado en porcentaje.

Es una o varias centésimas partes de una cantidad cualquiera. Formula General: Dónde:

2   p   Aumento   2p    %  10   

V.

Ejemplos: 3.

Toda cantidad referencial, respecto a la cual se va a calcular un porcentaje; se considera como el 100%. Para las transacciones comerciales los términos que se utiliza son los siguientes:

Pv = Pc +G Pv = Precio de venta

4.

Pv  Precio de venta

Pc = Precio de costo

5.

G  Ganancia

6.

Pc  Precio de costo

7.

P  Perdida

Pv = Precio de venta

8.

GB  Ganancia Bruta

Pc = Precio de compra

9.

GN  Ganancia Neta

P = Pérdida

Observación:

G = Ganancia : Pv = Pc  P

1.

X = Tanto por ciento. P = Porcentaje.

Para resolver problemas de porcentajes relativos a las ventas; debemos tener presente lo siguiente:

Dónde:

X%N=P

N = Unidad referencial.

APLICACIONES COMERCIALES

Dónde:

Tanto por ciento:

Tanto por cuanto:

P L = PF = PM

Precio de lista= Precio fijado=Precio de mercado

El a por b de una cantidad N; es otra cantidad de la misma especie; tal que sea a la primera como a es b.

x a  N b



. Ahora veamos los distintos casos que ocurren en una transacción comercial:

a X  (N) b

a.

Pv  Pc  Ganancia Pv  Pc  GB

Ejemplos: Si tenemos: b.

A) 3 por 10 significa 3por cada 10 el cual es: 3/10

Cuando se Originan Gastos

GB  GN  Gastos Adicionale s

B) 5 por 8 significa 5 por cada 8 el cual es: 3/8.Lurgo aplicando el tanto por cuanto a una cantidad:

a por b de

Cuando Existe Ganancia

c.

a N  (N) b

Cuando Existe Pérdida Pv = Pc-Pérdida

52

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

Importante:

PROBLEMA 2

1. Todo porcentaje de ganancia o pérdida que no refiera a la unidad de venta o

Sebastián gana el premio de la lotería recibiendo S/ 16560 después que le descontaron 8% por impuesto de ley. ¿De cuánto era el premio?

alguna otra unidad; se asumirá que es sobre el precio de costo.

2. Todo descuento se hace sobre el precio de oferta o precio de lista; a no ser que el problema refiera a otra unidad.

A) S/ 18600

B) S/18000

C) S/19600

D) S/17600

E) S/18440

Descuento Sucesivos: 2.

Observación: Nótese que el orden en que se efectúan los descuentos no afecta el descuento total.

3.

Dentro del problema de los descuentos sucesivos; es muy común. El trabajar con 2 descuentos para ello: El descuento equivalente (DE) a 2 descuentos dados D1 y D2 es:

4.

De = 400% - (100 – D1) de (100 – D2) %

5.

De = D1 + D2 – D1 de D2

SOLUCIÓN: 92 𝑃 = 16560 100 𝑃 = 18000 RPTA. B PROBLEMA 3

Aumentos Sucesivos:

Dayana compró, en reventa, dos entradas al Estadio Nacional; en una gana el 15 % y en la otra pierde 10 %. Si en total ganó S/ 350, ¿cuál fue el precio de compra de las dos entradas?

A = A1 + A2 + A1 de A2 Ejemplo:

1er aumento 10%; segundo descuento: 20%  A = 10% + 20% + 10% de 20%

A) S/ 8 000

A = 10% + 20% + 2% = 32%

SOLUCION:

B) S/ 7 000

C) S/ 10 000

D) S/ 14 000

E) S/ 3 000

15%Pc-10%PC = 350 PROBLEMA 1

Pc = 7000

Una caja contiene únicamente monedas y anillos; ambos objetos están hechos de oro o de plata. Se sabe, además, que 20% de estos objetos en la caja son anillos y 40% de las monedas son de plata. Si en la caja hay exactamente 156 monedas de oro, entonces ¿cuál es la cantidad de anillos en la caja?

2Pc = 14000

A) 65

B) 82

C) 104

D) 169

RPTA. D

E) 170

SOLUCIÓN: Como 20% de los objetos son anillos, 80% serán monedas, de las cuales 40% son de plata, por tanto 60% de las monedas son de oro. Es decir, que 60% de 80% (que corresponde a 0,60x80% = 48%) de los objetos son monedas de oro. Entonces 48% del total es igual 156, lo que implica que en total hay 325 objetos. Finalmente, 20% (325) = 65. RPTA.A 53

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

REGLA DE INTERÉS SIMPLE

INTERÉS SIMPLE En este caso, el capital es constante durante todo el tiempo, el interés o ganancia es directamente proporcional al tiempo y a la tasa.

CONCEPTOS ELEMENTALES

CAPITAL (C):

INTERÉS (I):

Ejemplo: Rolo le prestó 5000 soles a Rodrigo con una tasa de 2% anual. Calcule el interés generado. en 5 años.

Designa un conjunto de bienes o una cantidad de dinero de los que se puede obtener ingresos en el futuro.

Como la tasa es 2% anual, por cada año que pasa se gana el 2% de S/. 5000 = S/. 100 entonces en 5 años se gana 5 veces S/. 100 = S/. 500.

Es la ganancia o utilidad que produce el capital durante un cierto tiempo que puede ser anual., semestral, trimestral, o mensual

Fórmula general del interés: 𝑰 =𝑪 × 𝒓× 𝒕

Ejemplo: Si se depositan $1000 en un banco y, después de cierto tiempo y se retira en total $1200, significa que se ha ganado un interés de $200.

Fórmula para determinar el monto:

Expresa el tanto por ciento del capital que se paga por la utilización de éste durante un tiempo.

𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒓 × 𝒕)

Ejemplos: Una tasa de 12% mensual significa que se gana el 12% del capital por cada mes. TASA DE INTERÉS (r%):

Una tasa de 25% bimestral significa que se gana el 25% del capital por cada dos meses.

Que nos dice que el interés es DP al capital, rédito o tasa de interés y el tiempo; es decir se duplica el interés cuando se duplica el capital, permaneciendo el resto de magnitudes, rédito y tiempo constantes.

Observación: Cuando no se especifique cada cuánto tiempo se aplica la tasa se deberá considerar tasa anual.

Reglas prácticas:

Intervalo durante el cual se presta o utiliza el capital.

𝐈=

1 año 12 meses. TIEMPO (t):

𝐂 × 𝐫 × 𝐭 𝟏𝟎𝟎𝐌 ⇒ 𝐈= … "t" 𝒆𝒏 𝒂ñ𝒐𝒔 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 + 𝐫𝐭

1 mes comercial 30 días También se tiene que:

1 año comercial 360 días 1 año común 365 días

𝑰=

1 año bisiesto 366 días

𝑪 × 𝒓 × 𝒕 … "t" 𝒆𝒏 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 𝟏𝟐𝟎𝟎

Es la suma del capital y el interés generado. 𝑰=

Monto = Capital + Interés MONTO (M):

Ejemplo: Si un capital de 3000 soles, genera un interés de 500 soles, el monto es: 3000 soles + 500 soles = 3500 soles.

54

𝑪 × 𝒓 × 𝒕 … "t" 𝒆𝒏 𝒅í𝒂𝒔 𝟑𝟔𝟎𝟎

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

PROBLEMA 1

PROBLEMA 2

Gilda acude a un prestamista para solicitar S/ 5 000 para los gastos escolares de sus tres hijos, dicho préstamo lo debe cancelar dentro de tres meses, con un interés simple mensual de 20%. Si Gilda firma un contrato que en una de sus cláusulas establece que, en caso de mora, le cobrarán el 1% de interés simple diario sobre la cantidad que debía devolver por el tiempo que exceda al plazo fijado y Gilda paga el total del préstamo en 5 días después de los tres meses, ¿cuánto pagaría en total? A) S/ 5400

B) S/ 6400

C) S/ 8200

D) S/ 8400

Camila pregunta a Darío: ¿Cuánto de interés generará un préstamo de S/ 960 por un tiempo de 8 meses al 24% semestral? La respuesta correcta de Darío es: A) S/ 300,3 306,1

E) S/ 6200

B) S/ 298,5

C) S/ 307,2

D) S/ 295,4

E)

S/

SOLUCIÓN: 𝐼 = 960 ×

SOLUCIÓN: Calculamos el monto a pagar en los tres meses:

4 × 8 = 307,2 100 RPTA. C

c: S/5 000 r: 20% mensual t: 3 meses M = C (1 + r. t) M = 5 000(1 + 0,20. 3) M = 8 000 Calculamos la mora: C: S/8 000 r: 1% diario t: 5 días I = c. r. t I = 8 000. 0,01. 5 = 400 Total del préstamo pagado: 8000 + 400 = 8 400 La mora que se debe pagar por los 5 días es S/400 y el pago total es S/8400 RPTA. D

55

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

RAZONES Y PROPORCIONES

CAPITULO VI

Una razón geométrica entre dos magnitudes es una comparación entre las dos cantidades mediante una división entre dichas cantidades

MAGNITUDES PROPORCIONALES RAZONES Y PROPORCIONES, MAGNITUDES DIRECTAS E INVERSAS REPARTO PROPORCIONAL, REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA POLEAS, RUEDAS Y ENGRANAJES

Ejemplo Se realiza una encuesta a un grupo de estudiantes del CEPRUNSA, sobre la práctica de algún deporte. Luego de un análisis de las respuestas se concluye que: 6 de cada 10 estudiantes practica algún deporte. La razón entre los estudiantes que practican deporte y el total de estudiantes es de 6 a 10 que es equivalente a 3 : 5 ó 2/5; de la misma forma la razón entre los estudiantes que practican deporte y los que no es 6 : 4 .

CAPACIDAD Notación

Resuelve problemas que permiten modelizar el conocimiento matemático como actividad humana, aplicando los fundamentos de la proporcionalidad directa e inversa de forma crítica, creativa y consistente.

a/b =K, donde a es el antecedente y b el consecuente de la razón Proporción geométrica

a c = b d

SITUACIÓN

Propiedad fundamental “Producto de los extremos es igual a productos de los medios” Matemáticamente:

a. d = b. c

PROBLEMA 1 Una esfera, un cono y un cilindro tienen el mismo radio e igual volumen. La altura del cilindro es h y la altura del cono es H. encuentre la razón H/h, entre las alturas del cono y del cilindro. A) 1/2

B) 1/4

C) 3

D) 1/3

E) 2

SOLUCIÓN: Aplicando las condiciones del enunciado: Volumen del cilindro = Volumen del cono 𝑉𝑐𝑖𝑙 = 𝑉𝑐𝑜𝑛 Reemplazando y simplificando:

1

𝐻

𝜋𝑟 2 ℎ = 3 𝜋𝑟 2 𝐻 ⟹ ℎ = 3 RPTA.C

PROBLEMA 2 56

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

Si la edad de Juan es a la de Carlos como 3 es a 2, y la de Luis a la de Carlos como 2 es a 3. Si sus edades suman 76 años Hallar la edad del menor. A) 18

B) 32

C) 36

D) 16

PROBLEMA 4 Lo que cobra y gasta un docente suman S/ 4800. Si lo que gasta y lo que cobra están en la relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 1 a 2?

E) 24

A) 450

SOLUCIÓN: Homogenizando los índices: Juan

D) 820

E) 480

Aplicando el criterio de las partes: 4800/2+3= 960

4K

9k+6k+4k=76, donde k=4 Edad de Luis: 4x4=16

Cobra;

960x3=2880

Gasta:

960x2=1920

Siendo “x” la cantidad a disminuir en el gasto:

RPTA. D

1920-x/ 2880= 1/2 Resolviendo: x=480

PROBLEMA 3

RPTA.E

A una fiesta de cachimbos de una escuela profesional de la UNSA, concurren 360 personas, entre hombres y mujeres, asistiendo 5 hombres por cada 4 mujeres; después de medianoche se retiran igual número de hombres y mujeres; quedan entonces 3 hombres por cada 2 mujeres. ¿Cuántas parejas formadas por un hombre y una mujer se retiraron? A) 60

C) 760

SOLUCIÓN:

9K

Carlos 6K Luis

B) 840

B) 100

C) 120

D) 80

PROBLEMA 5 En el cumpleaños décimo octavo de Rodrigo, el número de hombres y mujeres estaban inicialmente en razón de 2 es a 3; llegaron luego 9 parejas y el número de hombres y mujeres estuvieron en la razón de 3 es a 4. Halle el número de varones al inicio.

E) 144

SOLUCIÓN:

A) 27

B) 20

C) 44

D) 36

E) 18

Aplicando el criterio de las partes: 360/5+4 =40 H= 200 y M= 160

SOLUCIÓN:

Si se retiran “x” parejas:

Denotando hombres y mujeres con 2k y 3k respectivamente: 200-X/160-X =3/2

Aplicando la condición final:

Aplicando la propiedad fundamental y resolviendo: x=80

2k+9/3k+9=3/4 RPTA.D

Resolviendo: k= 9 Número de hombres: 9x2=18 RPTA. E 57

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

REPARTO PROPORCIONAL

PROBLEMA 2

Es el procedimiento aritmético que consiste en dividir o distribuir cierta cantidad en forma directa o inversamente proporcional a determinados números denominados “índices de proporcionalidad”.

Repartir 495 lapiceros en partes inversamente proporcionales a las edades de Jaimito, Brunito y Carlitos, cuyas edades son: 5 ,6 y 8 respectivamente, Dar como respuesta lo que le corresponde a Carlitos.

El reparto puede ser simple, directo o inverso, o compuesto, cuando se combinan ambos.

A) 75

Un abuelo reparte 900 soles entre sus tres nietos Juan, Pedro y Carlos, de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde al menor de ellos?

B) 30

C) 120

D) 100

E) 40

SOLUCIÓN: Invirtiendo los índices de proporción: 1/5; 1/6; 1/8

Una primera estrategia es aplicar la propiedad fundamental de las relaciones DP,

Homogenizando: 24/120; 20/120; 15/20.

A/B=K y de la serie de razones iguales: X/8=Y/12=Z/16=X+Y+Z/8+12+16

A Carlitos le corresponde: 15x495

X/8=900/36; de donde: x=200

24+20+15

Otra estrategia es aplicar el criterio de las partes, la cantidad a repartir: 900 se divide en (8+12+16) partes, y en consecuencia a Juan, el menor, le corresponde

Simplificando y efectuando: 75 lapiceros RPTA. A

900/36 x 8=200 soles En cambio en un reparto inverso, en donde el de mayor índice recibe menos y viceversa, se aplica la propiedad fundamental de las relaciones IP: A.B=K

REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO

Por ejemplo .si el mismo abuelo anterior, reparte 990 soles entre sus mismos nietos en forma inversa a los números: 1 ,2 y 3, de donde:

Es aquel donde una cantidad es dividida simultáneamente en partes que son directamente proporcionales a otras cantidades (índices de proporcionalidad), que a su vez pueden ser directas o inversamente proporcionales a otras cantidades.

1X=2Y=3Z=K, transformando la expresión en un reparto directo, para eso dividimos entre 6: X/6=Y/3=Z/2=990/11=90=K En este caso Juan recibe: 90x6=540 soles

PROBLEMA 3

PROBLEMA 1

Repartir 170 en partes DP con 4; 5 y 6 e IP a 2; 4; 6. Dar como respuesta la parte menor

Repartir 150 soles en partes directamente proporcionales a las edades de tres niños cuyas edades son: 5; 6 y 9 respectivamente Hallar lo que recibe el segundo. A) 45

B) 37,5

C) 67.5

D) 82

A) 75

C) 80

D) 100

E) 40

E) 48 SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:

x 

B) 50

170 = x + y + z =; multiplicamos los índices directamente proporcionales a 170 por las inversas de los índices inversamente proporcionales a 170.

5(150 ) 6(150 ) 9(150 )  37,5 ; y   45 ; z   67,5 569 569 569

x = 4. ½  x =2

x = 37,5; y= 45; z = 67,5

y = 5.

RPTA. A

58

¼  y =5/4

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

z = 6. 1/6  z =1

La constante de proporcionalidad es 35 km/gal y verifica: A/B=K, por lo que son magnitudes directamente proporcionales Si dos magnitudes A y B son directamente proporcionales, entonces esa relación lineal es representada como una recta:

Homogenizando los índices: 8, 5,4 Realizando el reparto proporcional en función de éstos

A

170(8) 170(5) 170( 4) x   80; y   50 ; z   40 17 17 17

A es D.P. con B

. . . .

 x  80 ; y  50 ; z  40 RPTA. E

MAGNITUDES PROPORCIONALES La proporcionalidad directa es el constructo matemático que caracteriza la condición o estructura subyacente a este tipo de situaciones y que afirma que la razón constante de dos magnitudes que covarían, varían mutuamente, en función de una constante de proporcionalidad y dicha covariación se modela a través de una función lineal de la forma y= kx ; donde k es la constante de proporcionalidad y que también se denota: y/k=k

....

Un auto, a 60 km/h demora 30 minutos en recorrer un trayecto. Si su velocidad es de 100 km/h tardaría 15 minutos y si fuese a 150 km/h tardaría 10 minutos. ¿Son inversamente proporcionales la velocidad y el tiempo?

Las magnitudes proporcionales están presentes en la cotidianeidad; por ejemplo:

Nuestras magnitudes son la velocidad y el tiempo. Su tabla de valores es:

Un auto gasta un galón de gasolina por cada 100 km que recorre. La siguiente tabla muestra el consumo de gasolina relacionado con la distancia recorrida. ¿Son directamente proporcionales la distancia recorrida y el consumo de gasolina por parte de ese automóvil?

Distancia ( km )

35

105

280

B

Velocidad ( km/h )

60 120

180

Tiempo ( min )

30 15

10

350 La constante de proporcionalidad es la misma, ya que:

Consumo ( gal )

1

3

8

10

60x30= 120x15= 180X10= 1800, por lo tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales y verifican; A x B= K

Magnitudes: distancia recorrida y consumo de gasolina.:

Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando al aumentar A, la magnitud B disminuye en la misma proporción o viceversa.

35/1=105/3=280/8=350/10=35

59

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

Si dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales, entonces su gráfica resulta una curva que corresponde a una media hipérbola.

PROBLEMA 2 El tono o frecuencia de la cuerda de un violonchelo es directamente proporcional a la tensión de la cuerda e inversamente proporcional a su longitud. Si la longitud aumenta 20% y la tensión disminuye en 20%. ¿En qué porcentaje varía el tono?

A

A) 50 %

B) -20.5 %

C) -44.5%

D) 100%

E) -33.3%

A es I.P. con B

. . .

SOLUCIÓN: Construyendo el modelo matemático correspondiente: 𝑭∙𝑳 = 𝒄𝒕𝒆 𝑻 Dónde: F: frecuencia de la cuerda T: tensión de la cuerda

B

....

L: longitud de la cuerda Reemplazando los datos del enunciado:

PROBLEMA 1

𝐹∙𝐿 (𝑥𝐹)(1.20)𝐿 = 𝑇 (0.80)𝑇

La pérdida de carga de agua que circula por un tubo varía en razón inversamente proporcional a su diámetro. Si en un tubo de 10 cm de diámetro, la pérdida de carga fue de 15cm3, ¿Cuál es la perdida de carga de otro tubo de 30 cm de diámetro, en cm3? A) 5

B) 2

C) 3

D) 4

Simplificando y efectuando: 1 =

E) 1

(𝑥)(1.20) (0.80)

→

𝒙 = 𝟐/𝟑

Por lo tanto, el tono disminuye en: 1/3=33.3 RPTA.E

SOLUCIÓN: La pérdida de carga y el diámetro del tubo por el cual circula el agua, tienen una relación IP, por lo que:

PROBLEMA 3

Diámetro x Pérdida= k Reemplazando: 10.15=30 X X= 5

José fue contagiado con Covid-19, si su bienestar es DP a la cantidad de verduras y frutas que consume e IP a la cantidad de productos procesados consumidos. Además, cuando consume 400 g de frutas y verduras diariamente y 100g de productos procesados su bienestar en la escala del 1 al 10 es como 8. ¿Cuál será su índice de bienestar, cuando consuma 500g de frutas y verduras, e ingiera 400 g de productos procesados?

cm3 RPTA. A

A) 7

60

B) 6.5

C) 5.5

D) 6

E) 5

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

SOLUCIÓN:

REGLA DE TRES SIMPLE

Construyendo el modelo matemático correspondiente: B.PP/F.V

Es un método o procedimiento, que relaciona un par de magnitudes proporcionales

Bienestar x productos procesados/ frutas. verduras

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

8x100/400 = B x 200/ 500

Se aplica cuando 2 magnitudes aumentan o disminuyen ambas en la misma proporción, por ejemplo, si se duplica el número de panes comprados, se pagará el doble de su precio, e igualmente si se reduce a la mitad el número de panes comprados, el precio de los mismos, también se reduce a la mitad

De donde: bienestar=5 RPTA.E PROBLEMA 4

Si A es una magnitud DP a la magnitud B, se verifica:

Francisca y María quieren comprar un terreno, el dueño les indica que el precio es directamente proporcional al cuadrado de su área. Si cada persona quiere comprar la mitad por separado, ¿gana o pierde el dueño en esta venta en relación a que si lo hubiera vendido el terreno a una sola persona y cuánto? A) Gana 25%

B) Pierde 25%

D) Pierde 50%

E) Gana 50%

A1 /A2 =B1 /B2 REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

C) Gana 0,5%

Se aplica cuando 2 magnitudes covarían en forma inversa, es decir mientras una se duplica la otra se reduce a la mitad; un ejemplo cotidiano, es que si duplicamos el número de albañiles en una obra, el tiempo empleado se reduce a la mitad Si A es una magnitud IP a la magnitud B, se verifica:

SOLUCIÓN:

A1 B1

Construyendo el modelo matemático correspondiente: 𝑃 = 𝑘𝐴2

=

A2 B2

PROBLEMA 1

Si lo vendiera a una sola persona: 𝑘𝐴

2

Un agricultor siembra los 7/9 de un terreno con alfalfa hasta las 10:45 a.m. comenzando su trabajo a las 9 a.m. ¿A qué hora culminará con su trabajo?

Si vende a dos personas es decir la mitad del terreno, a cada una:

A) 11:30 horas B) 10:50

1 2 1 2 1 𝑘 ( 𝐴) + 𝑘 ( 𝐴) = 𝑘𝐴2 2 2 2 Por lo tanto recibe la mitad de lo que hubiera recibido al vender todo a una sola persona; pierde el 50%

C) 11:00

D) 11:45

E) 11:15

SOLUCIÓN: Planteando una regla de tres simple directa:

RPTA. D

105 min------------------7partes X ------------------- 9partes De donde: X = 105 x 9/7 = 135 min = 2h 15min Por lo que culminará su trabajo: 9:00 + 2h 15min = 11h15min RPTA. E

61

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

PROBLEMA 2

PROBLEMA 4

Un pastor tiene 420 alpacas y tiene icho suficiente para 70 días. Si vende 70 alpacas antes que el invierno llegue. ¿Cuántos días más de lo previsto durarán los alimentos?

Dieciocho docentes de Razonamiento Lógico Matemático, crean y resuelven 80 problemas de magnitudes proporcionales en cierto número de horas, sí 3 de ellos se retiran por problemas de salud, demoran 2 horas más para realizar el mismo trabajo. ¿En cuántas horas finalmente se realiza el trabajo?

A) 18

B) 14

C) 15

D) 28

E) 20

A) 12

C) 10

D) 15

Planteando la regla de tres inversa:

Planteando una regla de tre simple inversa.

18 docentes-------------- x días

420 alpacas -------------------- 70 días 350 alpacas -------------------

15 docentes --------------(x+2) días

x días

Aplicando la propiedad concerniente:

420. 70 = 350. X

18 x=15(x+2)

Simplificando y efectuando:

Despejando: x=10

X=84 días.

RPTA. C

Por lo que: 84-70= 14 días RPTA. B

PROBLEMA 5

PROBLEMA 3

Un reservorio de agua tipo cisterna (forma circular y semienterrado). del distrito de Punta de Bombón, suministra agua a aproximadamente 8000 habitantes; si según la OMS, el acceso óptimo, es el consumo de una cantidad promedio de 100 litros por persona de agua, por día abastecida de manera continua a través de varios grifos. Si el volumen de regulación está representado por el 25% de la demanda anual promedio. ¿Cuántos metros cúbicos de agua debe almacenar el reservorio si además debe tener 25% de reserva por alguna contingencia?

En la fábrica de panetones de la UNSA, 5 máquinas envasan 4500 cajas en una jornada de 8 horas. ¿Cuántas máquinas envasadoras más se debe comprar para producir 13500 cajas en el mismo tiempo? (considerar que todas las máquinas tienen el mismo rendimiento). A) 16

E) 8

SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:

De donde:

B) 13

B)1 5

C) 10

D) 5

E) 12

A) 100500

SOLUCIÓN:

B) 73000

C) 90250

D) 91250

E) 92300

SOLUCIÓN:

Planteando la regla de tres simple directa:

Planteando la relación directa respectiva:

5 máquinas ------------- 4500 cajas

100 l/persona x 8000 personas = 800 000 l= 800 m 3/día

(5+x) maq. ------------- 13500 cajas

Para un año el volumen de regulación:

Como varían de forma directa las 2 magnitudes, al triplicar el número de cajas, se debe triplicar el número de máquinas:

800 m3/día x 365 días/añox 25/100 = 73 000 m3 Considerando 25% más de reserva:

5x3=15 máquinas

73000 x 5/4 = 91 250 m3

Por lo que se debe comprar: 15-5 =10 máquinas

RPTA. D

RPTA. C 62

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

REGLA DE TRES COMPUESTA

PROBLEMA 3

Es un procedimiento que relaciona 3 o más magnitudes proporcionales

Una empresa tiene 3 máquinas de 70% de rendimiento para producir 1600 envases en 6 días de 8h/d de trabajo. Si se desea producir 3600 envases en 4 días de 7 h/d, ¿Cuántas máquinas de 90% de rendimiento se requieren?

Los métodos utilizados, son el de reducción a la unidad, el método de los signos, el método de las proporciones y el método de las líneas

A) 8

PROBLEMA 1

B) 16

C) 15

D) 20

C) 9

D) 15

E) 10

SOLUCIÓN:

Rodrigo tiene que hacer un trabajo de investigación de la universidad en 20 días trabajando 8 horas por día, pero transcurridos 2 días solo avanzó la octava parte. ¿Cuántas horas deberá trabajar diariamente para culminar la investigación en el tiempo planificado, si además le falta realizar el trabajo de campo que tiene 80% más dificultad que lo avanzado? A) 12

B) 12

Organizando las magnitudes según el supuesto y la interrogante: Obreros

E) 14

SOLUCIÓN:

días

h/d

obra

3(70%)

6

8

1600

x(90%)

4

7

3600

Aplicando el método de las magnitudes proporcionales:

Aplicando el método de las magnitudes proporcionales: 2. 10

=

3 × 70% × 6 × 8 4 × 7 × 𝑥 × 90% = 1600 3600

18. x

1/8. 100%

𝑥 = 9

7/8. 180%

RPTA. C

Simplificando y despejando: x=14 horas

PROBLEMA 4

RPTA. E

En un crudo mes de invierno un estibador ha transportado 32 sacos de camotes en 4 días, trabajando 8 horas diarias. ¿En cuántos días transportará 50 sacos de doble peso que los anteriores, reduciendo la distancia de 100 a 80 km, y trabajando 2 horas más diariamente?

PROBLEMA 2 Si 6 operarios de 90% de rendimiento cada uno, hacen 40 mesas en 15 días trabajando 8 h/día. ¿Cuántos obreros de 60% de rendimiento cada uno, harán en 20 días de 9 h/día hacen el doble de mesas, pero con una dificultad menor, que es 2/3 que la primera? A) 12

B) 8

C) 12

D) 14

A) 16

B) 12

C) 18

Relacionando la magnitud incógnita con cada una de las otras: D.P.

Aplicando el método de las líneas: 90%

5

X

60%

20

8 9

1 2

E) 8

SOLUCIÓN:

E) 15

SOLUCIÓN: 6

D) 15

1 2/3

Planteando la ecuación respectiva:

I.P.

D.P.

D.P.

Sacos

Días

Horas

Peso

Distancia

32

4

8

1

100

50

x

10

2

80

Si la relación es DP, la razón se invierte:

6.90%.15.8.2.2/3 = X 60%.20.9.1

X=4.8/10.50/32.80/100.2

Simplificando y efectuando: x = 8

Simplificando y efectuando: x = 8

RPTA. B

RPTA. E 63

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

POLEAS Y ENGRANAJES

PROBLEMA 2

Los engranajes y poleas son elementos de transmisión que utilizan ruedas para realizar el movimiento de las máquinas. Es necesario recordar que el tamaño de una rueda y su número de vueltas tienen una relación inversamente proporcional

Las ruedas traseras y delanteras de un automóvil tienen respectivamente un diámetro de 0,85m y 1,1 m. Si las ruedas traseras han dado 340 vueltas, ¿cuántas han dado las delanteras? A) 840

B) 412

C) 540

D) 510

E) 440

POLEAS SOLUCION:

Son 2 ruedas conectadas por una faja o banda que es la que transmite el movimiento, éstas pueden ser de transmisión abierta o paralela o de transmisión cruzada .Hay poleas con bandas o fajas paralelas y otras con bandas cruzadas que se utilizan como mecanismo de transmisión en máquinas utilizadas en la industria.

ENGRANAJES Son 2 o más ruedas dentadas en contacto que transmiten potencia en una máquina. En el caso de 2 ruedas a la más grande se le denomina: corona y a la más pequeña: piñón. Si hay más de 2 ruedas dentadas se le denomina tren de engranajes. Ecuación fundamental:

RPTA. E PROBLEMA 3 Si la rueda dentada “A” da 144 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas más que “D” dará “B”?

Tamaño. Velocidad =K

Donde el tamaño puede ser el número de dientes, el radio y la velocidad el número de vueltas o RPM. PROBLEMA 1 En una máquina antigua un engranaje tiene 2 ruedas de 20 y 16 dientes respectivamente. Si la rueda mayor da 8 vueltas, averigua cuántas vueltas da la menor A) 8

B) 12

C) 140

D) 10

A) 180

E) 15

B) 102

C) 120

D) 100

E) 192

SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:

Como es un tren de engranajes,se verifica en las ruedas Ay D que:

El número de dientes y vueltas guardan una relación de proporcionalidad inversa, porque cuantos más dientes tiene, menos vueltas dan. Por tanto aplicamos una regla de tres inversa. 20x8=16x V,

40x144=80xVD Vd= 7 2

de dónde: V=10 vueltas

En Ay B:

RPTA. D

40x144=30.VB

Vb= 192 Finalmente: 192-72=120 RPTA. C 64

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

CEPRUNSA 2021 FASE I

PROBLEMA 4

SOLUCIÓN:

Calcular las revoluciones por minuto que dará la rueda motriz A del siguiente sistema para que, la conducida B gire a 50 rpm.

Aplicando la relación inversa respectiva: VADA = VBDB = VCDC = VDDD 80 (5) = VB (10) = VC (20) = VD (25) VB + VC + VD = 40 + 10 + 16 = 76 RPTA. A PROBLEMA 6

A) 10

B) 20

C) 30

D) 40

E) 50

Si la polea A gira en sentido antihorario, ¿en qué sentido giran B y C, respectivamente?

SOLUCIÓN: Aplicando la ecuación fundamental de las poleas: V .D =k O también como es 5 veces el diámetro de la B, dará la quinta parte de vueltas por minuto: 10 rpm RPTA. A PROBLEMA 5 Cuatro ruedas dentadas "A", "B", "C" y "D" poseen respectivamente: 5; 10; 20 y 25 dientes y engranan tal como se muestra en la figura. Si "A" da 80 RPM ; hallar la suma de las RPM. que dan entre "B", "C" y "D".

A) Antihorario-horario

B) Horario–horario

D) Horario-antihorario

E) Antihorario-antihorario

C) No se mueven

SOLUCIÓN: A gira en sentido antihorario, la siguiente (a la izquierda) en sentido horario, la siguiente antihorario, la siguiente antihorario, entonces B en sentido horario. Luego, antihorario, horario, antihorario, horario y finalmente C en sentido antihorario. A) 76

B) 98

C) 88

D) 98

RPTA. D

E) 200

65