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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

PROBABILIDADES El estudio de la “probabilidad”, nos proporcionan una teoría matemática para medir la posibilidad de ocurrencia de un evento o suceso en un experimento aleatorio (no determinístico) o experimento que depende del azar. Si lanzamos una moneda y nos preguntaran que posibilidad tienen la parte de la cara de aparecer, ninguno de nosotros dudará al responder que tiene una entre dos posibilidades o sea:

1 2

o el 50%, este razonamiento es un

ejemplo de situaciones en las cuales no estamos absolutamente seguros de lo que va ocurrir pero expresa cierto grado de predicción de lo que puede suceder. A continuación, mencionaremos las definiciones necesarias para hacer entendible el tema en mención. Experimento Aleatorio (): Prueba o ensayo que depende del azar, o sea que sus resultados no pueden predecirse sin haber realizado previamente la prueba, pero si que hay un conjunto de posibles resultados, por ejemplo: 1: Lanzar una moneda y observar la cara superior 2: Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior Espacio Muestral (): Conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. I)

En “1” del ejemplo anterior

 = {C, S}

7

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Solución: Posibles   :  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  n() = 6 Resultados   : A = {1, 3, 5}  n(A) = 3  Favorables 

Casos

 P(A) =

3



6

1 2

Ejemplo 02: En una urna donde hay 7 bolas blancas, 5 bolas rojas y 3 bolas azules. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 2 bolas éstas sean de color rojo? Solución: Casos a favor: tenemos que sacar un grupo de 2 bolas rojas de un total de 5 disponibles  n(A) = C 52  10 Total de Casos: Tenemos que extraer 2 bolas de un total de: 7 5   3   15      Blancas Rojas Azules

 105  n() = C 15 2

 P(A) =

10 105



2 21

C: Cara, S: Sello Número de elementos: n () = 2 II) Para “2”:  = {1; 2; 3; 4; 5; 6}  n () = 6

Propiedades I. 0  P(A)  1 II. Si: P(A )0  A   

Evento o Suceso: Cualquier subconjunto de un espacio muestral, se denota con las primeras letras mayúsculas del alfabeto. Ejemplo: Para “2”, el siguiente evento: A: Obtener un número par al lanzar un dado. A = {2; 4; 6} n(A) = 3 Tipos de Evento I) Evento Seguro: Llamado también “universal”, porque siempre ocurre. A: Al lanzar una moneda y obtener cara o sello A = {C, S} =  II. Evento Imposible: Llamado también “vacío”, porque nunca ocurre B: Al lanzar una moneda y obtener 2 caras B = {C, C} =  III. Evento Contrario (A’): O complementario, se considera cuando un evento ocurre y otro no, es decir “A’” es el evento contrario a “A” Ejemplo: A: lanzar un dado y obtener un número par Entonces: A’: Lanzar un dado y no obtener un número par. IV) Eventos Mutuamente Excluyente: Si la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de los demás (no pueden juntos) Ejemplo: A: lanzar un dado y obtener un número múltiplo de 2  A = {2, 4, 6} B: Lanzar un dado y obtener 1 o 3  B = {1, 3} OJO: Si A y B son mutuamente excluyentes entonces: A  B =  V) Eventos Independientes: Cuando la ocurrencia de uno de los eventos, no afecta la ocurrencia de los demás (Pueden ocurrir en forma conjunta). Ejemplo: A: Lanzar una dado y obtener un número primo: A = {2; 3; 5} OJO: Si A y B son eventos independientes entonces pueden ocurrir en forma simultánea

III. Si: P(A )1  A 

A: Evento imposible

Definición de Probabilidad: Si “A” es un evento de un espacio muestral (), entonces la probabilidad de ocurrencia de “A” se denota P(A) y está dada por:

n( A) Número de casos Favorables a "A" P( A)   n () Número Total de casos posibles Ejemplos 01: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar, al azar un dado?

A: Evento

Seguro

IV. Aplicación del Evento Contrario P(A) = 1 - P (A’) o P(A) + P (A’) = 1 Ejemplo 01 ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola de una urna donde hay 3 bolas rojas, 7 bolas azules, 4 bolas blancas y 2 bolas negras: esta no sea roja? Solución: A: Evento de extraer una bola que no sea roja A’: Evento de extraer una bola roja P(A) = 1 - P (A’) P(A) = 1  P(A) =

3  Rojas disponible s 16

 T otal de Bolas

13 16

Ejemplo 02: ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un sello en el lanzamiento de 3 monedas? Solución: A: Evento de obtener al menos un sello (Puede ser 1 sello, 2 sellos o 3 sellos) A: Evento de no sacar ningún sello, es decir todos los resultados deben ser caras Moneda

Número total de posibilidades

:

1ra

y

2

x

A’ = {CCC}  n (A’) = 1 P(A) = 1 - P (A’) = 1 -

1 8



7 8

En general: V. P(A  B) = P(A) + P (B) - P(A  B) Ejemplo 01:

2da y 2

x

3ra 2

= 8

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par ó múltiplo de 3 al lanzar un dado? Solución:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n() = 6 3

A = {2, 4, 6}

n(A) = 3

P(A) =

B = {3, 6}

n(B) = 2

p(B) =

A  B = {6}

n(A  B) = 1

P(AB) =

6 2 6

3 6



2 6



1 6



6

2



B

02. Se lanzan 2 dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como suma 10? a) 1/36 b) 1/3 c) 1/12 d) 2/15 e) 5/18

1

3

6 4

5

03. Se lanzan 3 monedas. ¿Cuáles es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras? a) 1/2 b) 3/8 c) 1/3 d) 1/4 e) 5/8

Del diagrama: n (A  B) = 4; n () = 6  P(A  B) =

4 6



2 3

VI. VI) Para Eventos Mutuamente Excluyentes (A  B =) P(A  B) = P(A) + P (B) Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 o 4 al lanzar un dado? Solución: A = {3} n(A) = 1 P(A) =

1 6

; B = {4} n (B) = 1 P (B) =

1

1

1

+

6

6

=

1 3

VII. Para Eventos Independientes (Ocurrencia simultánea) P(A  B) = P(A) x P (B) P(A) y P (B) a la vez Ejemplo: Se lanza un dado y una moneda simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo y un sello? Solución: A = {2, 3, 5} n(A) =3 P(A) = B = {S}

n(B) = 1 P(B) =

3 6 1



1 2

2

Como ocurren simultáneamente, entonces: P(A  B) = P(A) x P(B) =

1 2

x

1 2

=

1 4

VIII. Probabilidad Condicional La probabilidad de que ocurra un evento “A”, una vez que el evento “B” haya ocurrido, está dado por:

P( A / B) 

P( A  B) P( B)

Dónde: P (B)  0

Ejemplo: Se lanza un par de dados. Si la suma es 6. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los dados sea 2? Solución: B = {(1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1)}  n(B) = 5 A = {(2; 4), (4; 2)}  n(A) = 2 A  B = {(2; 4), (4; 2)}  n(A  B) = 2 Sabemos que: P(A / B) 

 P(A/B) =

# de maneras que " A" y " B" ocurren # de maneras que " B" ocurren 2 5

IX. Para varios eventos mutuamente excluyentes: P(A) + P (B) + P(C) +.... = 1

04. Se lanzan 2 dados y 1 moneda. Halle la probabilidad de obtener 2 números pares y un sello. a) 1/4 b) 1/8 c) 1/5 d) 1/9 e) 8/9 05. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja, ésta sea múltiplo de 6? a) 2/3 b) 2/13 c) 3/13 d) 4/13 e) 5/13

6

 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n () = 6 Como: A  B =   P (A  B) = P(A) + P (B) =

1 7

01. Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4? a) 1/3 b) 2/3 c) 1/4 d) 2/5 e) 3/5

OJO: También se puede resolver por conjuntos 2

3 caballos A, B y C intervienen en una carrera, “A” tiene doble posibilidad de ganar que “B” y “B” el doble de ganar que “C”. ¿Cuál es la probabilidad de ganar de “C”? Solución: P(C) = x  Posibilidad de ganar de “C” P(B) = 2x; P(C) = 4x P(C) + P(B) + P(A) = 1 Luego: x + 2x + 4x = 1

PROBLEMITAS DE CLASE

3 A

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Rpta.: x =

1

 P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) P(A  B) =

8

06. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja ésta sea mayor que 8 pero menor que 13 y además sea roja? a) 4/13 b) 3/13 c) 2/13 d) 1/13 e) 5/8 07. Al lanzar 2 dados, determine la probabilidad de que la suma de ambos dados no supere a diez. a) 11/15 b) 11/18 c) 5/9 d) 5/6 e) 11/12 08. En un jardín de infancia hay 12 niños y 4 niñas, si se escogen 3 estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean todas niñas? a) 2/65 b) 2/35 c) 1/70 d) 1/140 e) 2/120 09. Tres naranjas y 3 limas están en una caja. Si escogemos 2 frutas al azar, halle la probabilidad de sacar 1 naranja y 1 lima. a) 2/17 b) 1/8 c) 3/7 d) 8/17 e) 9/15 10. Se tiene un grupo de 10 sillas, donde 6 son defectuosas. Si se escogen al azar 4 sillas halle la probabilidad de que 2 sean exactamente defectuosas. a) 2/5 b) 3/5 c) 5/7 d) 6/11 e) 3/7 11. La probabilidad de que Lady ingrese a la UNT es 0,70; que ingrese a la UPAO es 0,40. Si la probabilidad de que no ingrese a ninguna es 0,12. Halle la probabilidad de que ingrese a ambas a la vez. a) 0,42 b) 0,22 c) 0,24 d) 0,48 e) 0,52 12. En una urna se encuentran 50 fichas marcadas del 1 al 50. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una ficha, ésta sea múltiplo de 5 o múltiplo de 8? a) 8/25 b) 1/10 c) 2/5 d) 3/10 e) 6/25 13. En una reunión hay 10 hombres, de los cuales 5 son limeños y hay 15 mujeres de las que 3 son limeñas. Si se escoge una persona al azar; halle la probabilidad de que sea hombre o sea de lima. a) 13/25 b) 12/25 c) 15/25 d) 17/25 e) 16/25 14. Renzo tiene 3 novias y no sabe con quién casarse. La probabilidad que se case con Rosa es 0,2; la probabilidad que no se Case con Alberta es

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0,4. ¿Cuál es la probabilidad que se case con Panchita, que es su tercera novia? a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,5 e) 0,7

28. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma entre 4 y 9 en el lanzamiento de 2 dados, si se sabe que la suma es impar? a) 8/9 b) 4/9 c) 5/9 d) 2/3 e) 7/9

15. Se lanza un dado. La probabilidad de que salga un número cualquiera es proporcional a dicho número. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número para al lanzar el dado? a) 4/7 b) 3/7 c) 5/9 d) 4/9 e) 5/12

29. Una carta es extraída de un mazo de 52 cartas y se pone a un lado sin verlo que es. ¿Cuál es la probabilidad de que en una segunda extracción de las cartas restantes ésta sea un 5? a) 3/13 b) 2/13 c) 1/13 d) 3/26 e) 5/13

16. En una carrera de caballos el caballo “A” tiene las apuestas 3:1 a su favor; mientras que el caballo “B” las tiene 4:1 en su contra. ¿Cuál es la probabilidad que cualquiera de estos caballos gane? a) 0,90 b) 0,95 c) 0,80 d) 0,85 e) 0,15

30. La probabilidad que Frank apruebe su examen es 17/20; la probabilidad que estudie correctamente es 3/4 y la probabilidad de que apruebe su examen dado que estudio correctamente es 14/15. ¿Cuál es la probabilidad que estudie correctamente dado que aprobó su examen? a) 7/10 b) 17/20 c) 14/17 d) 2/3 e) 5/17

17. Un artillero dispara a un blanco. Se sabe que la probabilidad de acertar en un disparo es 0,45. Si efectúa 2 disparos. ¿Cuál será la probabilidad de no acertar en ninguno? a) 0,3020 b) 0,3025 c) 0,2530 d) 0,2030 e) 0,2025 18. La probabilidad que tiene Karen de aprobar un examen en 2/5. Si da 3 exámenes ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos 1 de ellos? a)

98 125

b)

27 125

c)

8 125

d)

117 125

e) 1

31. De un mazo de 52 cartas normales se extraen 2 cartas rojas; luego se extraen 13 cartas al azar; dado que las 13 cartas son del mismo color, ¿Cuál es la probabilidad que ellas sean negras? a) 23/31 b) 4/62 c) 18/31 d) 25/31 e) 25/62 32. Un saco contiene 2 bolas rojas, 3 blancas y azules, todas del mismo tamaño. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 3 bolas sin reposición; la 1º sea roja y las siguientes de cualquier color, menos roja? a) 1/2 b) 1/4 c) 1/6 d) 1/9 e) 1/3

19. En una caja hay 12 tornillos de los cuales 4 están en buen estado. Carlitos toma al azar 3 tornillos. Halle la probabilidad de que por lo menos uno sea bueno. a) 7/55 b) 13/55 c) 41/55 d) 31/55 e) 27/55

33. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma menor que 5 en el lanzamiento de 2 dados; si se sabe que la suma es par? a) 2/9 b) 1/9 c) 2/3 d) 4/9 e) 10/11

20. 3 alumnos de la Academia Integral tienen las probabilidades de ingresar a la UNT que son: 0,2; 0,3 y 0,5. Si postulan los 3 ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos puedan ingresar y el otro no? a) 0,12 b) 0,07 c) 0,22 d) 0,24 e) 0,26

34. Se lanza un par de dados. Halle la probabilidad de que la suma sea 10 a mayor, si: a) Aparece un 5 en el primer dado. b) Aparece un 5 en uno de los dados por lo menos. a) 1/3 y 2/11 b) 1/3 y 1/9 c) 1/3 y 3/11 d) 1/2 y 1/6 e) 1/3 y 1/5

21. Juan y Lucho se ordenan en una fila con 6 amigos más. ¿Cuál es la probabilidad que Juan y Lucho estén juntos? a) 2/3 b) 3/4 c) 5/8 d) 1/3 e) 3/8 22. Malú, su padre, sus 3 hermanos y su novio van al cine y encuentran una fila de 6 asientos ¿Cuál es la probabilidad de que al ubicarse el padre quede entre Malú y su novio? a) 1/30 b) 1/15 c) 2/15 d) 1/10 e) 1/6 23. Se quiere formar palabras con las letras: N, A, V, I, O, S. ¿Cuál es la probabilidad de que las palabras empiecen en N y terminen en O? a) 1/15 b) 1/30 c) 2/15 d) 3/40 e) 1/40 24. En un local comercial de 3 pisos que tiene 3 tiendas en cada piso, dos personas van a hacer 2 compras cada una. Determine la probabilidad que todas las compras sean en tiendas distintas a) 7/12 b) 31/126 c) 112/243 d) 56/63 e) 70/729 25. Tres hermanitos A, B y C juegan con 5 amiguitos más y forman una ronda. Halle la probabilidad que los tres hermanitos se encuentren separados en dicha ronda. a) 1/6 b) 7/9 c) 1/8 d) 1/7 e) 6/7 26. Tres hermanos llegan de viaje y deciden alojarse en un hotel de habitaciones individuales. ¿Cuál es la probabilidad de que ellos se hospeden en un mismo piso, si dicho hotel tiene 4 pisos sabiendo que en el primer piso hay 2 habitaciones ocupadas, en el segundo una y en cada piso hay 5 habitaciones? a) 7/242 b) 5/136 c) 8/235 d) 6/137 e) 4/523 27. Un examen contiene 10 preguntas que deben responderse con verdadero o falso calcular la probabilidad de responder 7 preguntas con falso y las 3 restantes con verdadero. a) 15/128 b) 3/123 c) 12/123 d) 25/132 e) 25/128

35. Una persona lanza repetidas veces 2 dados y gana si obtiene 8 puntos antes de obtener 7. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? a) 1/2 b) 3/5 c) 5/11 d) 7/13 e) 3/8 PROBLEMITAS PARA LA CASA 01. Una urna contiene 10 bolas blancas, 20 negras y 30 rojas, si se extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener una bola blanca o negra? a) 1/ 5 b) 1/ 8 c) 1/ 2 d) 1/ 4 e) 1/ 3 02. En una baraja de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de obtener una carta de corazones con un valor menor que 7 ó un valor mayor que 10? a) 9/ 52 b) 6/ 52 c) 8/ 52 d) 5/ 52 e) 7/ 52 03. Se tira dos veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 veces cara? a) 1/ 2 b) 2/ 3 c) 1/ 4 d) 1/ 8 e) 2/ 5 04. Se lanza un dado dos veces en forma sucesiva. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos resultados sean de puntaje 3? a) 1/ 36 b) 1/ 18 c) 1/ 6 d) 1/ 8 e) 1/ 12 05. Una bola se extrae aleatoriamente de una urna que contiene 3 bolas rojas y 2 azules. Determinar la probabilidad de que la bola sea roja. a) 1/6 b) 3/5 c) 2/3 d) 2/5 e) 1/5 06. Se extrae un bolo de un total de 10 (los bolos están numerados del 1 al 10) ¿Cuál es la probabilidad que dicho sea múltiplo de 3, si se sabe que fue par? a) 2/ 3 b) 1/ 5 c) 2/ 5 d) 3/ 5 e) 1/ 3 07. Sobre una mesa hay 20 tornillos, de los cuales 5 son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad que al tomar 3 tornillos, los 3 sean defectuosos? a) 1/114 b) 1/24 c) 3/20 d) 3/50 e) 1/41

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Reyes 08. Determinar la probabilidad de obtener por lo menos 2 caras al tirar las monedas 3 veces a) 0,33% b) 66,2% c) 50% d) 1/4% e) 33,8% 09. Si se tiene 8 libros diferentes de los cuales 2 son de aritmética y el resto es de historia. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger al azar un libro, resulte de aritmética? a) 10% b) 20% c) 25% d) 30% e) 12,5% 10. Se quiere seleccionar un comité de 5 personas a partir de 7 mujeres y 6 varones. ¿Qué probabilidad habría que el comité esté integrado por 2 mujeres? a) 1/7 b) 37/91 c) 141/429 d) 140/429 e) 3/38 11. En una urna se tiene 7 bolas azules y 5 bolas blancas, todas del mismo tamaño. Si extraemos 3 bolas, una por una sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea azul, la segunda blanca y la tercera azul? a) 4/ 47 b) 6/ 44 c) 7/ 44 d) 5/ 44 e) 3/ 44 12. Ana, Betty y 4 amigas más van a ser ubicadas en una carpeta de 6 asientos. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana y Betty se sienten juntas? a) 2/ 3 b) 1/ 8 c) 1/ 3 d) 5/ 3 e) 6/ 3

21. La probabilidad de que Magaly compre una blusa es 0,3 y de que compre una falda es 0.5 Hallar a probabilidad de que compre sólo una de dichas prendas, si la probabilidad de que no compre ninguna es 0,5. a) 0,1 b) 0.2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 22. De una caja que contiene 3 bolas negras, 4 blancas y 2 amarillas, se extrae al azar una de ellas. Hallar la probabilidad de que la bola extraída no sea negra. a) 1/3 b) 4/7 c) 5/9 d) 2/3 e) 4/9 23. Se ubican 5 personas {dos de ellas son Pedro y Walter) en una mesa circular. ¿Qué probabilidad hay de que Pedro y Walter no se ubiquen juntos? a) 1/3 b) 2/5 c) 1/4 d) 1/2 e) 3/4 24. De 100 pacientes examinados, 20 padecían de artritis, 32 padecían de gastritis y 8 tenían ambos males. Hallar la probabilidad de seleccionar un paciente que padezca de artritis ó gastritis. a) 11/25 b) 11/50 c) 17/50 d) 13/50 e) 19/25 25. En una caja hay 30 bolas del mismo tamaño numeradas del 1 al 30. Si se eligen 3 números al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean consecutivos? a) 1/147 b) 1/145 c) 2/145 d) 3/406 e) 1/155

13. Se lanzan dos dados simultáneamente, uno rojo y el otro negro. ¿Cuál es la probabilidad de obtener en uno resultado par y en el otro un número impar? a) 1/ 4 b) 1/ 2 c) 1/ 3 d) 1/ 5 e) 1/ 6

26. Determinar la probabilidad de que al extraer 2 cartas de una baraja éstas sean corazones. a) 1/13 b) 1/2 c) 1/17 d) 3/28 e) 4/25

14. Si se arrojan 5 monedas, la probabilidad de obtener 3 sellos y 2 caras es. a) 0,5 b) 0,32 c) 0,3275 d) 0,1 e) 0,3125

27. A una señora embarazada le diagnostican que tendrá trillizos. ¿Cuál es la probabilidad que el día del parto nazcan 3 mujeres? a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8 d) 1/16 e) 1/3

15. De una baraja de 52 cartas, se sacan 3 naipes, de uno en uno y se devuelven después de cada extracción. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean tréboles? a) 1/4 b) 1/13 c) 1/16 d) 1/64 e) 1/21

28. La probabilidad que tiene “A” de ganar a B en una partida de ajedrez es igual a 1/3. ¿Cuál es la probabilidad que tiene “A” de ganar por lo menos una de tres partidas? a) 1/9 b) 1/27 c) 8/27 d) 19/27 e) 4/27

16. Se lanza un dado y se sabe que el resultado es un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que ese número sea divisible por 3? a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6

29. De una caja que contiene 5 focos defectuosos y 6 focos en buen estado se sacan dos focos a la vez. Hallar la probabilidad de que los dos sean buenos. a) 7/9 b) 4/11 c) 7/11 d) 8/11 e) 3/11

17. Diana quiere pintar un triángulo de la figuras. Si escoge uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que pinte un triángulo que contenga a lo más 2 regiones simples?

30. En una caja hay 30 fichas numeradas del 1 al 30, todas del mismo tamaño y forma. Si se extrae una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ésta sea múltiplo de o de 5? a) 8/15 b) 13/30 c) 1/2 d) 7/15 e) 3/10 31. Se lanzan dos dados al mismo tiempo. Hallar la probabilidad de que la suma de los resultados de los dos dados sea igual a 10 o igual a 7. a) 1/3 b) 4/7 c) 5/9 d) 2/3 e) 4/9

a) 15/9

b) 13/20

c) 9/10

d) 7/20

e) 11/20

18. Dos turistas encuentran tres hoteles denominados “A”, “B” y “C”, y se alojan al azar pudiendo estar ambos turistas en un mismo hotel. ¿Cuál es la probabilidad de que el hotel B no aloje a ninguno? a) 2/7 b) 4/7 c) 4/9 d) 1/3 e) 5/9 19. En una urna se tienen 20 fichas numeradas del 1 al 20. Se extrae una ficha y se sabe que su número es par. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea divisible por 3? a) 2/13 b) 3/10 c) 1/10 d) 1/15 e) 7/10 20. Tres cazadores A, B y C están apuntando con sus rifles a un león. La probabilidad de que A acierte el disparo es 4/5, la de B es 3/7 y la de C es 2/3. Si los tres disparan, ¿cuál es la probabilidad de que los tres acierten? a) 27/35 b) 17/35 c) 18/35 d) 8/35 e) 99/105

32. En una reunión hay 10 hombres y 8 mujeres. Si se eligen 3 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean mujeres? a) 8/102 b) 13/102 c) 7/102 d) 15/102 e) 11/102 33. Un recipiente contiene 4 bolas rojas y 4 bolas blancas; todas del mismo tamaño y material. Si se extraen dos bolas una a una. Calcule la probabilidad de obtener una de cada color. a. Con reposición. b. Sin reposición a) 1/2; 3/7 b) 24/49; 2/7 c) 12/49; 2/7 d) 1/2; 4/7 e) 8/49; 4/7 34. Le piden a ‘Tito” que escriba un número de 3 cifras. El número escrito por “Tito” esté formado sólo por cifras ¿Cuál es la probabilidad de que el impares? a) 5/36 b) 1/8 c) 7/36 d) 7/18 e) 5/18