• Author / Uploaded
• Vergil

Citation preview

Ondas electromagnéticas Resumen 

  

Son generadas por cargas eléctricas oscilantes. Las ondas radiadas están compuestas por campos electrónicos y magnéticos, los cuales forman ángulos rectos entre si y también ángulos rectos en la dirección de la propagación de la onda como se muestra en la figura 1. De este modo, las ondas electromagnéticas son de naturaleza transversal. ⃗ están relacionados por 𝐸 = 𝑐𝐵. Las amplitudes de los campos 𝐸⃗ 𝑦 𝐵 Las ondas electromagnéticas cubren un amplio rango de frecuencias. La onda electromagnética es una onda plana (como se muestra en la figura ⃗ 1), donde se ilustra una onda plana polarizada linealmente (los campos 𝐸⃗ 𝑦 𝐵 están restringidas a ser paralelos a ciertas líneas en el plano 𝑦𝑧).

Figura 1. 

⃗ están dadas para los campos de la Las ecuaciones de los campos 𝐸⃗ 𝑦 𝐵 figura 1, es decir en la dirección x, por :

𝜕 2 𝐸⃗ 1 = 𝜕𝑡 2 𝜇0 𝜀0 ⃗ 𝜕 2𝐵 1 = 2 𝜕𝑡 𝜇0 𝜀0 Con la velocidad de onda 𝑐 = 𝑣 = 

1 √𝜇0 ∗𝜀0

𝜕 2 𝐸⃗ 𝜕𝑥 2 ⃗ 𝜕 2𝐵 𝜕𝑥 2

= 3.0𝑥108 𝑚/𝑠

⃗ en la dirección 𝑥 es : La solución de onda plana para los campos 𝐸⃗ 𝑦 𝐵 𝐸 = 𝐸0 sin(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡). 𝐵 = 𝐵0 sin(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡).



𝑐𝑜𝑛 𝜔 𝑐= 𝑘 𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑘 = 2𝜋/𝜆 En general las ecuaciones de onda están dada por: 𝜕 2 𝐸⃗ 1 2 = ∇ 𝐸⃗ , 𝜕𝑡 2 𝜇0 𝜀0 𝑦 ⃗ 𝜕 2𝐵 1 2 ⃗, = ∇ 𝐵 2 𝜕𝑡 𝜇0 𝜀0 donde, 𝜕2

𝜕2

𝜕2

∇2 = 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦 2 + 𝜕𝑧 2 ,

⃗ son funciones de 𝑟⃗⃗ y del tiempo es decir, en tres dimensiones 𝐸⃗ 𝑦 𝐵 𝑡. Tenemos por lo tanto que 𝜕 2 𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) 𝜕 2 𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) 𝜕 2 𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) 𝜕 2 𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) 2 = 𝑣 [ + + ] 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕2 𝜕2 𝜕2 = 𝑣 [ 2 + 2 + 2 ] 𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 2

Con 𝑣 =

1 √𝜇0 𝜀0

y con 𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) correspondiendo a 𝐸(𝑟, 𝑡)

De igual manera para el campo magnético B ⃗ (𝑟, 𝑡) ⃗ (𝑟, 𝑡) 𝜕 2 𝐵 ⃗ (𝑟, 𝑡) 𝜕 2 𝐵 ⃗ (𝑟, 𝑡) 𝜕 2𝐵 𝜕 2𝐵 2 = 𝑣 [ + + ] 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕2 𝜕2 𝜕2 ⃗ (𝑟, 𝑡) = 𝑣 [ 2 + 2 + 2] 𝐵 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 2

La ecuación de onda se escribe en este caso como ⃗ • 𝑟 − 𝑤𝑡) = 𝜉0 sin(𝑘𝑥 𝑥 + 𝑘𝑦 𝑦 + 𝑘𝑧 𝑧 − 𝑤𝑡), 𝜉(𝑟, 𝑡) = 𝜉0 sin(𝑘 donde 𝜉(𝑟, 𝑡) 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜

Con 𝑘 =

𝜔 𝑣

= √𝑘𝑥 2 + 𝑘𝑦 2 + 𝑘𝑧 2 , (𝑣𝑒𝑟 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2), 𝜔 = 𝑘𝑣 = 𝑘𝑐 ⃗ = 𝑘𝜇̂ 𝑘

Figura 2 Se puede demostrar que 𝑢̂ 1 1 𝑥 ⃗ × 𝐸⃗ = |𝑘𝑥 ⃗ = 𝑘 𝐵 𝑤 𝑤 𝐸𝑥

𝑢̂𝑦 𝑘𝑦 𝐸𝑦

𝑢̂𝑥 ⃗ ×𝐵 ⃗ = − |𝑘𝑥 𝐸⃗ = − 𝑤 𝑘 𝑤 𝐵𝑥 𝑐2

𝑐2

𝑢̂𝑧 𝑘𝑧 | 𝐸𝑧 𝑢̂𝑦 𝑘𝑦 𝐵𝑦

𝑢̂𝑧 𝑘𝑧 | , 𝐵𝑧

Si bien las magnitudes de los campos eléctricos y magnéticos están relacionadas ⃗. por 𝐸 = 𝑐𝐵, vectorialmente la ecuación no se cumple ya que, 𝐸⃗ ≠ 𝑐𝐵

Energía electromagnética ⃗ /𝜇0 se llama vector de Poyting. Su magnitud corresponde a la El vector 𝑆 = 𝐸⃗ 𝑥𝐵 intensidad y su dirección a la del avance de la onda. Recuerde que intensidad es la energía por unidad de tiempo y unidad de área y por lo tanto 𝐼 = 𝑣 ∈= 𝑐 ∈, con ∈ densidad de energía eléctrica y magnética, es decir ∈=∈𝐸 +∈𝐵 La expresión promedio del vector de Poyting < 𝑆 > esta dada por

1

1

< 𝑆 > =< 𝐼 > = 𝑐 ∈= 2 𝑐𝜀0 𝐸0 = 𝑐 2 𝜀0 𝐸02 y por lo tanto,

1 𝜀 𝐸, 2 0 0 donde 𝐸0 = 𝐸𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝐸𝑚á𝑥, y también 𝐵0 = 𝐵𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝐵𝑚á𝑥 ∈=

Se puede demostrar que las densidades de energía eléctrica y magnética de una onda plana son igual, es decir, 1 ∈𝐵 = 𝜀0 𝐸02 =∈𝐸 , 4 1 1 1 ∈=∈𝐵 +∈𝐸 = 𝜀0 𝐸02 + 𝜀0 𝐸02 = 𝜀0 𝐸02 =∈ 4 4 2 La expresión anterior se puede obtener a partir de la definición del vector de Poyting. ⃗ 𝐸⃗ 𝑥𝐵 ⃗ , y si la onda Recuerde que el vector de Poyting está dado por 𝑆 = = 𝑐 2 𝜀0 𝐸⃗ 𝑥𝐵 𝜇0

es plana, armónica y polarización lineal ( 𝐸 = 𝐸0 sin 𝑘(𝜇̂ ⃗⃗⃗ . 𝑟 − 𝑐𝑡) ). ⃗⃗⃗ 𝑥𝐵 ⃗ | = 𝑐 2 𝜀0 |𝐸 ⃗ | = 𝑐 2 𝜀0 𝐸𝐵𝑠𝑖𝑛(90) = 𝑐𝜀0 𝐸 2 , pues 𝐵 = 𝐸 |𝑆̅| = |𝑐 2 𝜀0 𝐸⃗ 𝑥𝐵 𝑐 Por lo tanto tenemos que: ⃗ . 𝑟 − 𝜔𝑡) , y promediando por período, 𝐼 =< 𝑐𝜀0 𝐸 2 sin2 (𝑘 ⃗ .𝑟 − |𝑆̅| = 𝐼 = 𝑐𝜀0 𝐸 2 sin2 (𝑘 1 𝜔𝑡) > = 2 𝑐𝜀0 𝐸 2 que es la intensidad de energía eléctrica y magnética, como 𝐼 = 𝑐 ∈, resulta que 1 ∈= 2 𝜀0 𝐸 2