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• Ivonne Andrea

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Capítulo 1 Ondas electromagnéticas

Índice 1.1. Campos magneticos inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2.1. Solución propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.3. El espectro electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.3.1. Bandas de frecuencia de comunicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.4. Ondas electromagnéticas viajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.5. Energía en ondas EM; el vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.6. Presión de Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.7. Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.8. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 1. Ondas electromagnéticas

1.1. Campos magneticos inducidos El objetivo de esta sección es el de revisar y desarrollar, aunque sea brevemente, algunas de las ideas necesarias para apreciar el concepto de ondas electromagnéticas. Se sabe por experimentos que las cargas, aunque estén separadas en el espacio, experimenta una interacción mutua. Como una posible explicación se podría especular que cada carga emite (y absorbe) un flujo de partículas indetectables (fotones virtuales). El flujo de estas partículas entre las cargas se puede considerar como una forma de interacción. Alternativamente, se puede tomar el punto de vista clásico e imaginar que cada carga está rodeada de algo llamado un campo eléctrico. Entonces se necesita suponer solamente que cada carga interacciona directamente con el campo eléctrico en el que está sumergido. þ en la posición Entonces, si una carga q experimenta una fuerza FþE , el campo eléctrico E þ Además se observa que una carga móvil puede exde la carga esta definido por FþE = q E. perimentar otra fuerza FþM la cual es proporcional a su velocidad þv . Entonces se tiene que þ tal que FþM = qþv × B. þ Si ambas definir aún otro campo, a saber la inducción magnética B, fuerzas FþE y FþM ocurren simultáneamente se dice que la carga se mueve a través de una región ocupada tanto por campos eléctricos como magnéticos donde: þ + qþv × B þ FþL = q E

(1.1)

Hay otras varias observaciones que se pueden interpretar en términos de estos campos y al hacerlo así se puede obtener una mejor idea de las propiedades físicas que se deben þ y a B. þ Como se verá, los campos eléctricos son generados tanto por cargas atribuir a E eléctricas como por campos magnéticos variables con el tiempo. Similarmente, los campos

Figura 1.1. a) Capacitor circular cargado. Las flechas rojas representan el campo eléctrico entre las placas. b) Un capacitor con carga creciente con el tiempo. Las flechas rojas representan el campo eléctrico, y los bucles morados representan el campo magnético inducido.

magnéticos son generados por corrientes eléctricas y por campos eléctricos variables en el þ y de B þ es el punto clave en la descripción de la luz y su tiempo. Esta interdependencia de E elaboración es la motivación para mucho de lo que sigue. 4

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1.2. Ecuaciones de Maxwell

Figura 1.2. a) Campo magnético uniforme constante. b) Un capacitor con carga creciente con el tiempo. Campo magnético uniforme creciente con el tiempo, que induce un campo eléctrico representado por los bucles rojos.

1.2.

Ecuaciones de Maxwell

Los fenómenos eléctricos, magnéticos y luminosos fueron unificados a finales del siglo XIX por James Clerk Maxwell. La ley de Maxwell-Ampère completa el conjunto de cuatro ecuaciones conocido como ecuaciones de Maxwell, que describen las interacciones entre cargas eléctricas, corrientes, campos eléctricos y campos magnéticos. Estas ecuaciones consideran la electricidad y el magnetismo como dos aspectos de una fuerza unificada denominada electromagnetismo. En su formulación actual, las leyes de Maxwell en el vacío pueden establecerse en forma integral mediante las ecuaciones descritas a continuación:

Tabla 1.1. Ecuaciones de Maxwell que describen fenómenos electromagnéticos.

En las ecuaciones de la tabla, E y B son el campo eléctrico y la inducción magnética respectivamente, qenc es la carga total encerrada en la superifice cerrada A, ienc es la corriente encerrada dentro de la trayectoria s, y µ0 y ǫ0 son la permeabilidad magnética y la permitividad dieléctrica del vacío respectivamente. Jose Quiñonez Choquecota

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Capítulo 1. Ondas electromagnéticas

1.2.1. Solución propuesta Mediante el uso de los teoremas de Stokes y de Gauss se puede obtener la formulación diferencial de las ecuaciones de MaxweIl que quedan como:

(1.2) donde ρ es la densidad de carga (carga q por unidad de volumen) y þj es la densidad de corriente (corriente i por unidad de área transversal). En el vacío y sin cargas, ambos son cero; þ representa el vector con derivadas parciales en cada dirección ρ = 0 y þj = 0. El símbolo ∇ þ = ( ∂ , ∂ , ∂ ). espacial. En coordenadas cartesianas, es ∇ ∂x ∂y ∂z En regiones en las que no haya cargas y corrientes (el "vacío") las ecuaciones (1.2) predicen la existencia de campos eléctricos y magnéticos que pueden propagarse en forma de ondas (aún en ausencia de medio material). En otras palabras se tendrá que: þ ∂2E ∂t2 2þ þ = µ0 ǫ 0 ∂ B ∇2 B ∂t2 de donde resulta que la velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío es: þ = µ0 ǫ 0 ∇2 E

c= √

1 ≈ 3 × 108 µ0 ǫ 0

(1.3) (1.4)

(1.5)

Las soluciones de la ecuación en forma de ondas planas, de una onda electromagnética que se desplaza en la dirección x positiva son: þ r, t) = E0 sen(kx − ωt)ˆj E(þ þ r, t) = B0 sen(kx − ωt)kˆ B(þ

(1.6) (1.7)

donde k = 2π/λ es el número de onda y ω = 2πf es la frecuencia angular de una onda con longitud de onda λ y frecuencia f . En la fig. 1.3 se Observe que la magnitud de ambos campos no depende de las coordenadas y o z, sino sólo de la coordenada x y del tiempo t. Este tipo de onda, en el que los vectores del campo eléctrico y del campo magnético están en un plano, se denomina onda plana. Ejercicio 1.1 Una onda electromagnética plana se desplaza en el vacío. El campo eléctrico ˆ Determine la ecuación que describe el campo þ = E0 cos(kx−ωt)k. de la onda está dado por E magnético de la onda. 6

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1.3. El espectro electromagnético

Figura 1.3. Representación de una onda electromagnética que se desplaza en la dirección x positiva en un instante dado.

1.3.

El espectro electromagnético

la rapidez de las ondas EM en el espacio vacío está dada por: c=

1 E =√ ≈ 3 × 108 m/s B ǫ 0 µ0

Las frecuencias de las ondas EM (f ) y la longitud de onda (λ) se relaciona mediante la ecuación: c = λf Aquí, c es la rapidez de la luz. El espectro electromagnético se ilustra en la figura 1.4 e in-

Figura 1.4. El espectro electromagnético.

cluye ondas electromagnéticas cuyas longitudes de onda varían desde 1000 m y son más largas hasta menos de 10−12 m, con frecuencias correspondientes que varían de 105 a 1020 Hz. Las ondas electromagnéticas con longitudes de onda (y frecuencias) en ciertos intervalos se identifican con nombres característicos: La luz visible se refiere a ondas electromagnéticas que podemos ver a simple vista, con longitudes de onda desde 400 nm (azul) hasta 700 nm (rojo). La respuesta máxima del ojo humano es alrededor de 550 nm (verde) y cae rápidamente lejos de esa longitud de onda. Otras longitudes de onda de las ondas electromagnéticas son invisibles para el ojo humano. No obstante, podemos detectarlas por otros medios. Jose Quiñonez Choquecota

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Capítulo 1. Ondas electromagnéticas Las ondas infrarrojas (con longitudes de onda justo más largas que la luz visible hasta alrededor de 10−4 m) se sienten como calor. Es posible usar detectores de ondas infrarrojas para medir fugas de calor en casas y oficinas, así como para localizar volcanes en gestación. Muchos animales han desarrollado la habilidad para ver ondas infrarrojas, por lo que pueden ver en la oscuridad. Los haces infrarrojos también se usan en grifos automáticos en sanitarios públicos y en unidades de control remoto para televisiones y reproductores de DVD. Los rayos ultravioleta con longitudes de onda apenas más cortas que la luz visible de algunos nanómetros (10−9 m) pueden dañar la piel y provocar quemaduras de sol. Afortunadamente, la atmósfera de la Tierra, en particular su zona de ozono, impide que la mayor parte de los rayos ultravioleta lleguen a la superficie de la Tierra. Los rayos ultravioleta se usan en hospitales para esterilizar instrumental y producir propiedades ópticas como la fluorescencia. Las ondas de radio tienen frecuencias que varían desde varios cientos de kHz (radio AM) hasta 100 MHz (radio FM). También se usan ampliamente en astronomía porque pueden pasar a través de nubes de polvo y gas que bloquean la luz visible; el telescopio de largo alcance mostrado en la figura es una colección de telescopios que usan ondas de radio. Las microondas , usadas para hacer palomitas en hornos de microondas y transmitir mensajes por teléfono a través de torres o satélites de retransmisión, tienen frecuencias de alrededor de 10 GHz. En el radar se usan ondas con longitudes de onda entre las ondas de radio y las microondas, lo que les permite viajar fácilmente a través de la atmósfera y reflejar objetos cuyo tamaño va desde el de una pelota de baloncesto hasta el de una nube tormentosa. Los rayos X , usados para producir imágenes médicas, como la que muestra la figura, tienen longitudes de onda del orden de 10−10 m. Esta longitud es aproximadamente la misma que la distancia entre átomos en un cristal sólido, de modo que los rayos X pueden usarse para determinar la estructura molecular detallada de cualquier material que pueda cristalizarse. Los rayos gamma , emitidos en el decaimiento de núcleos radiactivos, tienen longitudes de onda muy cortas, del orden de 10−12 m, y pueden dañar las células humanas. Se usan a menudo en medicina para destruir células cancerosas o tejidos malignos difíciles de investigar.

1.3.1. Bandas de frecuencia de comunicación

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1.4. Ondas electromagnéticas viajeras

Figura 1.5. El espectro electromagnético.

Figura 1.6. Bandas de frecuencia asignadas a transmisiones de radio, televisión, teléfonos celulares y conexiones WiFi para computadoras.

1.4.

Ondas electromagnéticas viajeras

Siempre que existe una carga eléctrica con aceleración hay emisión de energía radiante»; o lo que es lo mismo: las fuentes de radiación electromagnética son cargas eléctricas aceleradas. En la figura se aprecian muchas cosas acerca del campo de radiación. Primero, los campos eléctrico y magnético en cualquier punto son perpendiculares entre sí, y a la dirección de viaje de la onda. Segundo, se puede ver que los campos alternan en su sentido ( es hacia la página en algunos puntos y hacia fuera de la página en otros; apunta hacia arriba en algunos puntos y hacia abajo en otros). Así, las intensidades de campo varían de un máximo en una dirección, a cero, a un máximo en la otra dirección. Los campos eléctrico y magnético están en fase: esto Jose Quiñonez Choquecota

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Capítulo 1. Ondas electromagnéticas

Figura 1.7. (a) Amplitud modulada. (b) Frecuencia modulada. Para ambos casos, la curva verde representa la señal portadora; la curva roja, la señal modulada y la curva azul significa la información que se está transmitiendo.

es, tienen un valor de cero en los mismos puntos y alcanzan sus máximos en los mismos puntos en el espacio.

Figura 1.8. Onda electromagnética

Las ondas electromagnéticas (EM) Son ondas transversales porque la amplitud es perpendicular a la dirección de viaje de la onda. Sin embargo, las ondas EM siempre son ondas de campos, no de materia (como las ondas en el agua o en una soga). Puesto que son campos, las ondas EM se pueden propagar en el espacio vacío. Como se vio, las ondas EM se producen mediante cargas eléctricas que oscilan y, en consecuencia, experimentan aceleración. De hecho, en general se dice que Las cargas eléctricas aceleradas producen ondas electromagnéticas. Las ondas electromagnéticas también se generan de otras formas, las cuales requieren descripción en los niveles atómico y nuclear, como se estudiará más adelante.

1.5.

Energía en ondas EM; el vector de Poynting

Cuando usted camina bajo la luz solar siente calor. Si permanece mucho tiempo bajo dicha luz, usted presentará quemaduras de piel. Estos fenómenos son ocasionados por las ondas electromagnéticas emitidas por el Sol. Estas ondas electromagnéticas transportan energía generada en las reacciones nucleares en el núcleo del Sol.

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1.5. Energía en ondas EM; el vector de Poynting

Figura 1.9. Circuito RLC acoplado con una antena que emite ondas electromagnéticas viajeras.

La razón a la que una onda electromagnética transporta energía suele definirse en térþ dado por: minos de un vector, S, þ × B) þ þ = 1 (E (1.8) S µ0 Esta cantidad se denomina vector de Poynting, en honor del físico británico John Poynþ está ting (1852- 1914), quien fue el primero en analizar sus propiedades. La magnitud de S, relacionada con la razón instantánea a la que la energía es transportada por una onda electromagnética sobre un área dada, o simplemente, la potencia instantánea por unidad de área: B A - Potencia -þ(1.9) S = -S - = Area Instantanea Así, las unidades del vector de Poynting son watts por metro cuadrado (W/m2 ). þ es perpendicular a B, þ entonces tendriamos: Para una onda electromagnética, donde E 1 (EB) µ0

S=

(1.10)

Las magnitudes del campo eléctrico y del magnético están relacionadas directamente por E/B = c. Por lo tanto, podemos expresar la potencia instantánea por unidad de área de una onda electromagnética en términos de la magnitud del campo eléctrico o de la magnitud del campo magnético. Puesto que suele ser más fácil medir un campo eléctrico que un campo magnético, la potencia instantánea por unidad de área está dada por: S=

1 2 E cµ0

(1.11)

Ahora podemos sustituir una forma sinusoidal para el campo eléctrico, E = E0 sen(kx−ωt), y obtener una expresión para la potencia transmitida por unidad de área. No obstante, la forma usual para describir la potencia por unidad de área en una onda electromagnética es la intensidad, I, de la onda, dada por: I = Sprom = S¯ =

A

potencia área

B

prom

=

é 1 è 2 E0 sen2 (kx − ωt) prom cµ0

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(1.12) 11

Capítulo 1. Ondas electromagnéticas Las unidades de intensidad son las mismas que las del vector de Poynting, W/m2 . El va1 lor promediado en el tiempo de sen2 (kx − ωt) = , de modo que podemos expresar la 2 intensidad como 1 E02 1 1 c 2 (1.13) I= = ǫ0 cE02 = B cµ0 2 2 2 µ0 0 La INTENSIDAD de una onda electromagnética es la energía que por unidad de tiempo atraviesa la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación; su valor coincide con el valor promedio del vector de Poynting (FLUJO DE ENERGÍA) Las ondas electromagnéticas planas son transversales y su dirección de propagación es la del vector de Poynting y por tanto perpendicular al campo eléctrico y magnético, que a su vez son perpendiculares entre sí y están en fase; siendo en cada instante y en cada punto las densidades de energía magnética y eléctrica iguales, y el cociente entre los módulos instantáneos del campo eléctrico (E) y el magnético (B), igual a la velocidad de la luz. Ejercicio 1.2 La radiación proveniente del Sol llega a la Tierra (en la parte alta de la atmósfera) a una razón aproximada a 1350 J/sm2 (= 1350 W/m2 ). Suponga que ésta es una sola onda EM y calcule los valores máximos de E y B.

1.6.

Presión de Radiación

A la fuerza ejercida por la onda electromagnética que incide sobre la unidad de área de una superficie, la llamamos PRESIÓN DE RADIACIÓN. Si las ondas electromagnéticas conducen energía, entonces se puede esperar que también transporten cantidad de movimiento lineal. Cuando una onda electromagnética encuentra la superficie de un objeto, sobre la superficie se ejercerá una fuerza como resultado de la transferencia de cantidad de movimiento (F = dp/dt), tal como cuando un objeto en movimiento golpea una superficie. La fuerza por unidad de área que ejercen las ondas se denomina presión de radiación y fue Maxwell quien predijo su existencia. Él demostró que si un objeto absorbe por completo un haz de radiación EM (luz, por ejemplo), entonces la cantidad de movimiento transferida es: ∆p =

∆U c

(Radiación completamente absorbida)

(1.14)

donde ∆U es la energía absorbida por el objeto en un tiempo ∆t y c es la rapidez de la luz. Si, en vez de ello, la radiación se refleja por completo (suponga que el objeto es un espejo), entonces la cantidad de movimiento transferida es el doble, tal como cuando una pelota rebota elásticamente sobre una superficie: ∆p =

2∆U c

(Radiación completamente reflejada)

(1.15)

Si una superficie absorbe parte de la energía y refleja otra parte, entonces ∆p = a∆U/c, donde a es un factor entre 1 y 2. 12 Jose Quiñonez Choquecota

1.6. Presión de Radiación Al usar la segunda ley de Newton se pueden calcular la fuerza y la presión ejercidas por la radiación sobre un objeto. La fuerza F está dada por: F =

dp dt

La tasa promedio a la que se entrega energía al objeto se relaciona con el vector de Poynting mediante: dU = IA (1.16) dt donde A es el área transversal del objeto que intercepta la radiación. La presión de radiación P (suponiendo absorción completa) está dada por: P =

1 dp 1 dU I F = = = (completamente absorbida) A A dt Ac dt c

(1.17)

Si la luz se refleja por completo, la presión es el doble: P =

2I F = A c

(completamente reflejada)

(1.18)

La presión de la radiación proveniente de la luz del Sol es comparativamente pequeña. La intensidad de la luz solar en la superficie de la Tierra es cuando mucho 1400 W/m2 cuando el Sol se encuentra en el cenit y el cielo está despejado. (Esto sólo puede ocurrir entre los Trópicos de Cáncer y Capricornio, situados a ±23º de latitud con respecto al Ecuador.) Así, la máxima presión de la radiación de la luz solar que es totalmente absorbida es P =

1400 I = 4.67 × 10−6 Pa = c 3 × 108

Ejercicio 1.3 ¿Cuál es la máxima presión de radiación debida a la luz solar que incide sobre una superficie perfectamente reflejante? Ejercicio 1.4 La potencia de un apuntador láser verde es 1.00 mW. Una persona dirige el haz del apuntador en forma perpendicular a una hoja de papel blanca, que refleja la luz. El punto de luz sobre el papel mide 2.00 mm de diámetro. Ejercicio 1.5 La radiación proveniente del Sol que llega a la superficie de la Tierra (luego de pasar a través de la atmósfera) transporta energía a una razón aproximada de 1000 W/m2 . Estime la presión y la fuerza ejercidas por el Sol sobre su mano estirada. Ejercicio 1.6 ¿Cuál es la presión de la radiación debida a la luz solar que incide sobre una superficie perfectamente absorbente, cuyo vector normal a la superficie forma un ángulo de Jose Quiñonez Choquecota

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Capítulo 1. Ondas electromagnéticas 70º con respecto a la luz incidente?

1.7. Polarización Para la onda electromagnética representada en la, el campo eléctrico siempre apunta a lo largo del eje y. La dirección en la que se desplaza la onda es la dirección x positiva, de modo que el campo eléctrico de la onda electromagnética está dentro de un plano de oscilación

Figura 1.10. Onda electromagnética con el plano de oscilación del campo eléctrico mostrada en color rosa.

Si el campo eléctrico de la onda oscila sólo en la dirección y; y nunca cambia de orientación. Este tipo de onda se denomina onda plana polarizada en la dirección y. Las ondas electromagnéticas que constituyen la luz emitida por las fuentes de luz más comunes, como el Sol o una bombilla incandescente, tienen polarizaciones aleatorias. Cada onda tiene su vector de campo eléctrico oscilando en un plano diferente. Este tipo de luz se denomina luz no polarizada La luz no polarizada puede transformarse en luz polarizada al hacerla pasar por un polarizador. Un polarizador sólo permite el paso de una componente de los vectores de campo eléctrico de la luz. Una forma de elaborar un polarizador consiste en producir un material que conste de largas cadenas paralelas de moléculas, que efectivamente dejen que pasen las componentes de la luz con polarización paralela a las cadenas y bloqueen las componentes de la luz con polarización perpendicular a esa dirección. 14 Jose Quiñonez Choquecota

1.7. Polarización

Figura 1.11. a) Vectores de campo eléctrico en el plano yz, que definen que el plano de polarización está en el plano xy. b) Vectores de campo eléctrico orientados a ángulos aleatorios.

Figura 1.12. Luz no polarizada que pasa a través de un polarizador vertical. Después de que la luz pasa por el polarizador, está verticalmente polarizado.

Consideremos la intensidad de la luz que pasa por un polarizador. La luz no polarizada con intensidad I0 tiene componentes iguales en las direcciones y y z. Después de pasar por un polarizador vertical, sólo quedan las componentes y (la componente vertical). La intensidad, I, de la luz que pasa por el polarizador está dada por: 1 I = I0 2

(1.19)

porque la luz no polarizada tiene contribuciones iguales de las componentes y y z y sólo las 1 componentes y son transmitidas por el polarizador. El factor sólo es válido para el caso 2 de luz no polarizada que pasa por un polarizador. Cuando luz polarizada incide en un polarizador y la polarización de la luz no es paralela ni perpendicular al ángulo de polarización del polarizador se tiene que considerar el ángulo entre la luz polarizada y el ángulo depolarización θ. En tal sentido la magnitud del campo eléctrico transmitido, E, está dada por E = E0 cos θ Jose Quiñonez Choquecota

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Capítulo 1. Ondas electromagnéticas

Figura 1.13. a) Luz polarizada verticalmente que incide sobre un polarizador vertical. b) Luz polarizada verticalmente que incide sobre un polarizador horizontal.

Figura 1.14. Luz polarizada verticalmente que incide sobre un polarizador cuyo ángulo de polarización no es paralelo ni perpendicular a la polarización de la luz incidente.

donde E0 es la magnitud del campo eléctrico de la luz polarizada incidente. podemos ver que la intensidad de la luz antes de pasar por el polarizador, I0 , está dada por I0 =

1 2 E 2cµ 0

(1.20)

Después de que la luz pasa por el polarizador, la intensidad, I, está dada por: I=

1 2 E 2cµ

(1.21)

Podemos expresar la intensidad transmitida en términos de la intensidad inicial como sigue: I=

1 1 2 1 2 E = (E0 cos θ)2 = E cos2 θ ⇒ I = I0 cos2 θ 2cµ 2cµ 2cµ 0

(1.22)

Esta ecuación se denomina ley de Malus y sólo es válida para luz polarizada incidente en un polarizador. 16 Jose Quiñonez Choquecota

1.7. Polarización Ejercicio 1.7 Luz no polarizada pasa a través de dos Polaroid; el eje de uno es vertical y el del otro está a 60º con la vertical. Describa la orientación e intensidad de la luz transmitida.

Ejercicio 1.8 Suponga que luz no polarizada con intensidad I0 inicialmente incide sobre el primero de tres polarizadores colocados en línea recta. La dirección de polarización del primer polarizador es vertical. El segundo polarizador tiene una dirección de polarización que forma un ángulo de 45º con respecto a la vertical. El tercer polarizador tiene una dirección de polarización que forma un ángulo de 90º con respecto a la vertical. ¿Cuál es la intensidad de la luz después de pasar por los tres polarizadores, en términos de la intensidad inicial?

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Capítulo 1. Ondas electromagnéticas

1.8. Resumen Las ecuaciones de Maxwell describen cómo las cargas eléctricas, las corrientes eléctricas, los campos eléctricos y los campos magnéticos se afectan entre sí, constituyendo una teoría unificada de electromagnetismo. Para una onda electromagnética que se desplaza en la dirección x positiva, los camþ pos eléctrico y magnético pueden ser descritos por E(x, t) = E0 sen(kx − ωt)ˆj y ˆ donde k = 2π/λ es el número de onda y ω = 2πf es þ B(x, t) = B0 sen(kx − ωt)k, la frecuencia angular. Los campos eléctrico y magnético oscilatorios en una onda EM son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación. Las ondas EM son ondas de campos, no de materia, y se pueden propagar en el espacio vacío. Las magnitudes de los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética en cualquier instante y lugar fijos están relacionadas por la velocidad de la luz, E = cB. La velocidad de la luz puede relacionarse con las dos constantes electromagnéticas √ básicas: c = 1/ µ0 ǫ0 . La potencia instantánea por unidad de área transportada por una onda electromag1 2 nética es la magnitud del vector de Poynting S = E , donde E es la magnitud cµ0 del campo eléctrico. La intensidad de una onda electromagnética se define como la potencia promedio 1 E02 1 1 c 2 por unidad de área transportada por la onda, I = = ǫ0 cE02 = B . cµ0 2 2 2 µ0 0 La presión de radiación ejercida por las ondas electromagnéticas de intensidad I está dada por P = I/c si las ondas electromagnéticas son absorbidas totalmente, o P = 2I/c si las ondas se reflejan perfectamente. La polarización de una onda electromagnética está dada por la dirección del vector de campo eléctrico. 1 La intensidad de luz no polarizada que ha pasado por un polarizador es: I = I0 , 2 donde I0 es la intensidad de la luz no polarizada incidente sobre el polarizador. La intensidad de luz polarizada que ha pasado por un polarizador es: I = I0 cos2 θ donde I0 es la intensidad de la luz polarizada incidente sobre el polarizador y θ es el ángulo entre la polarización de la luz polarizada incidente y el ángulo de polarización del polarizador.

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1.9. Problemas propuestos

1.9.

Problemas propuestos

Problema 1.1 Una onda senoidal electromagnética plana polarizada, viaja en el vacío en la dirección positiva del eje OX; el valor máximo del vector del campo eléctrico, que se encuentra vibrando en la dirección del eje OY, es de 30 N/C; si su frecuencia es de 15 MHz, determinar: a) Valor máximo del campo magnético asociado. b) Ecuaciones de los campos þ þ E(x, t) y B(x, t) de la onda. Problema 1.2 El campo eléctrico de una onda EM plana está dado por Ex = E0 cos(kz + ωt), Ey = 0, Ez = 0. Determine a) la dirección de propagación y b) la magnitud y dirección de þ B. Problema 1.3 Una onda electromagnética armónica plana de 6 × 1014 Hz de frecuencia, se propaga en el vacío en el sentido positivo del eje OX. La onda está polarizada con el campo eléctrico, de amplitud 25 V/m, vibrando en la dirección z = 3y/4. Obtener las ecuaciones de propagación de la onda. Problema 1.4 Las ondas electromagnéticas y las ondas sonoras pueden tener la misma frecuencia. a) ¿Cuál es la longitud de onda de una onda electromagnética de 1.00 kHz? b) ¿Cuál es la longitud de onda de una onda sonora de 1.00 kHz? (La rapidez del sonido en el aire es 341 m/s.) c) ¿Puede usted escuchar una onda electromagnética de 1.00 kHz? Problema 1.5 Una onda EM, que se dispersa esféricamente, proviene de una fuente de 1500 W. A una distancia de 5.0 m, ¿cuál es la intensidad y cuál es el valor máximo del campo eléctrico? Problema 1.6 ¿Cuáles son E0 y B0 a 2.00 m de una fuente de luz de 75 W? Suponga que la bombilla emite radiación de una sola frecuencia uniformemente en todas direcciones. Problema 1.7 La intensidad promedio de la señal de una estación de TV particular es de 1.0×10−13 W/m2 cuando llega a una antena de TV satelital de 33 cm de diámetro. a) Calcule la energía total recibida por la antena durante 6.0 horas de transmisión de los programas de esta estación. b) ¿Cuáles son las amplitudes de los campos E y B de la onda EM? Problema 1.8 ¿Cuán práctica es la potencia solar para varios dispositivos? Suponga que, en un día soleado, la luz solar tiene una intensidad de 1000 W/m2 en la superficie de la Tierra y que, cuando un panel de celdas solares se ilumina por esa luz solar, puede convertir el 10 % de la energía de la luz solar en potencia eléctrica. Para cada dispositivo dado a continuación, calcule el área A del panel solar necesario para activarlo. a) Una calculadora consume 50 mW. Encuentre A en cm2 . ¿A es suficientemente pequeña para que el panel solar se pueda montar directamente en la calculadora que activa? b) Una secadora de cabello consume 1500 W. Encuentre A en m2 . Si se supone que ningún otro dispositivo electrónico opera dentro de una casa al mismo tiempo, ¿A es suficientemente pequeña para que la secadora de cabello Jose Quiñonez Choquecota

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Capítulo 1. Ondas electromagnéticas se pueda activar mediante un panel solar montado en el techo de la casa? c) Un automóvil requiere 20 hp para avanzar por la autopista con velocidad constante (este automóvil se desempeñaría de manera deficiente en situaciones que requieran aceleración). Encuentre A en m2 . ¿A es suficientemente pequeña de manera que este panel solar se pueda montar directamente sobre el automóvil y lo active en tiempo real? Problema 1.9 Una fuente de luz monocromática emite 1.5 W de potencia electromagnética de manera uniforme en todas las direcciones. Encuentre el vector de Poynting en un punto situado en cada una de las siguientes ubicaciones: a) A 0.30 m de la fuente. b) A 0.32 m de la fuente. c) A 1.00 m de la fuente. Problema 1.10 Suponiendo que de una bombilla de 60 W, el 60 % se convierte en radiación electromagnética y que ésta se propaga uniformemente en todas las direcciones (isotrópicamente), determinar a 2 m de ella: a) La intensidad. b) La presión de la radiación. c) Las amplitudes de los campos eléctrico y magnético. Problema 1.11 La radiación del Sol llega a la Tierra a razón de 1.40 kW/m2 por arriba de la atmósfera y a razón de 1.00 kW/m2 sobre la playa de un océano. a) Calcule los valores máximos de E y B por arriba de la atmósfera. b) Encuentre la presión y la fuerza ejercidas por la radiación sobre una persona acostada en la playa expuesta al Sol y cuya área es 0.750 m2 . Problema 1.12 Un láser que produce un punto de luz de 1.00 mm de diámetro brilla perpendicularmente sobre el centro de una placa de aluminio circular perfectamente reflejante (de 2.00 mm de diámetro), montada verticalmente sobre un trozo plano de corcho que flota en la superficie del agua en un gran vaso de precipitados. La masa de este velero es 0.100 g, y recorre 2.00 mm en 63.0 s. Suponga que la potencia del láser es constante en la región en la que está ubicado el velero durante su movimiento. ¿Cuál es la potencia del láser? (Ignore la resistencia del aire y la viscosidad del agua.) Problema 1.13 Una onda electromagnética plana de 100 W/m2 incide sobre una superficie de 100 cm2 . Determinar: a) La fuerza ejercida sobre tal superficie si la incidencia es normal y absorbe toda la radiación. b) Si se refleja totalmente. c) ¿Como se modifican estos resultados si el ángulo de incidencia de la radiación es de 45º? Problema 1.14 Luz no polarizada de intensidad I0 incide sobre una serie de cinco polarizadores, cada uno rotado 10º con respecto al polarizador precedente. ¿Qué fracción de la luz incidente pasa por la serie de polarizadores? Problema 1.15 Luz no polarizada pasa a través de seis hojas Polaroid sucesivas, cada uno de cuyos ejes forma un ángulo de 45º con la anterior. ¿Cuál es la intensidad del haz transmitido? 20 Jose Quiñonez Choquecota

1.9. Problemas propuestos Problema 1.16 Dos polarizadores A y B se alinean de manera que sus ejes de transmisión son vertical y horizontal, respectivamente. Un tercer polarizador se coloca entre estos dos, con su eje alineado a un ángulo θ con respecto a la vertical. Si se supone que luz polarizada verticalmente, con intensidad I0 , incide sobre el polarizador A, encuentre una expresión para la intensidad de la luz I transmitida a través de esta secuencia de tres polarizadores. Calcule la derivada dI/dθ; luego úsela para encontrar el ángulo θ que maximiza I.

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