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• Johana Iturrizaga Silvestre

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PRÁCTICA CALIFICADA N° 03 Tema: PROGRESIONES ARITMÉTICAS Apellidos y nombres: ___________________________________________________________________________

1. Conociendo el último término 199, de una progresión aritmética (p.a.), el número de ellos 100, y la suma de sus términos 10.000, calcular el primero y la razón. (𝑎2 +199)

𝑆𝑛 = 10.000 = 100

An = 1.99

10.000

N = 100

50

2

= 𝑎2 + 1.99

SN = 10.000

200 = 𝑑1 + 1.99

Ai = P (1)

200 − 1.99 = 𝑎 𝐿=𝑎

D = P ()

. 199 = 𝐿 + ( 99 )𝑑 198 = 99 𝑑 2 = 𝐷𝐿 2. Calcular la suma y el último término de una p.a. de razón 4, sabiendo que consta de 12 términos y el primero vale 7.

A1 = ?

𝑎𝑛 = 7 + (12 − 1)4

N = 12

𝑎𝑛 = 7 + 44

Sn = ?

𝑎𝑛 = 51

An = 7

𝑆=

12 ( 7+51 ) 2

𝑠𝑛 = 6 𝑥 58

D=4

𝑠 = 348 3. Calcular la suma y el número de términos de una p.a., cuyo primer término es 4, el último 40 y la razón 3.

An = 40

440 = 4 + (𝑚 − 1)3

M = ? 13

36 = 3 (𝑚 − 1)

Sn = ? 286

36 = 3𝑚 − 3

A1 = 4

39 = 3𝑚

D=3

13 = 𝑛

𝑆𝑛 = 𝑆𝑛 =

13 ( 4+40 ) 2

13 ( 44 ) 2

𝑆𝑛 =

572 2

= 286

4. Conociendo el primer término de una p.a. 3, el último 25 y el número de términos 12, determinar la razón y la suma. A1=3

25 = 3(12 − 1). 𝑑

𝑠𝑛 =

12(3+25) 2

An=25

22 = 11𝑑

𝑠𝑛 = 6(20)

N=12

2=𝑑

𝑠𝑛 = 168

D=? Sn=? 5. Conociendo el primer término 3, el último 39 y la suma 210 de las términos de una p.a., calcular la razón y el número de términos. S = 210 d=? n=? 210 = (3 + 39) n / 2 210 = 42 * n / 2 210 = 21 * n n = 10

39 = 3 + (10 - 1) * d 39 - 3 = 9 * d 36 = 9 * d d=4

n = 10 y d = 4

6. Formar una p.a. de términos positivos de razón 2, el último 18 y 88 la suma de sus términos. d=2 an = 18 S = 88

18 = a1 + (n - 1) 2 18 = a1 + 2n – 2 20 = a1 + 2n a1 = 20 - 2n

176 = (20 - 2n + 18)*n 176 = (38 - 2n) * n 2n2 - 38n + 176 = 0 n2 - 19n + 88 = 0

88 = (a1 + 18) * n / 2 176 = ( a1 + 18) * n n = 11 n=8

n = 8 = 20 - 2n; = 20 - 16 =4

176 = (20 - 2n + 18)*n 176 = (38 - 2n) * n 2n2 - 38n + 176 = 0 n2 - 19n + 88 = 0 n = 11 a1 = 20 - 2n a1 = 20 - 22 a1 = - 2

7. Determinar el número de términos de una p.a. y el último, sabiendo que el primero vale 3, la razón es 2 y la suma 120. n=?

an = 3 + (n - 1) * 2

120 = (3 + an) * n / 2

an = 1 + 2n

an = ?

an = 3 + 2n – 2

240 = ( 3 + 1 + 2n) * n

an = 1 + 20;

a1 = 3

an = 1 + 2n

240 = 4n + 2n2

an = 21

d=2

n2 + 2n - 120 = 0

S = 120 n = 10; an = 21 8. Cuál será la profundidad de un pozo si por el primer metro se han pagado S/.760 y por cada uno de los restantes, S/.150 más que por el anterior. El pozo ha costado S/.43.700 𝑎1 = 760

𝑆𝑛 = (

𝑟 = 150

43700 = (

𝑎1 +𝑎𝑛 2

760+𝑎𝑛 2

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

)𝑛

𝑎𝑛 = 760 + (𝑛 − 1)150

) 𝑛 … (∗)

𝑆𝑛 = 43700

𝑎𝑛 = 760 + 150𝑛 − 150

𝑠 = ??

𝑎𝑛 = 610 + 150𝑛. . (∗∗)

43700 = ( 43700 =

760+(610+150𝑛) 2

(1370+150𝑛) 2

0 = 75𝑛2 + 685𝑛 − 73700

)n

0 = 15𝑛2 + 137𝑛 − 8740

𝑛

15𝑛2

43700 = (685 + 75𝑛)𝑛 43700 = 685𝑛 + 75𝑛2

+ 437

𝑛

− 20

0 = (15𝑛 + 437)(𝑛 − 20) 𝑛

−437 15

𝑛 = 20

9. Hallar el número de términos de una p.a. que tiene por primer término 7, por último 112 y por razón 3. A1 = 7

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 112 = 7 + (𝑛 − 1)3

N=? An = 112 D=3

112 − 7 = (𝑛 − 1)3 105 = (𝑛 − 1)3 105 3

=𝑛−1

35 = (𝑛 − 1)

35 + 1 = 𝑛 36 = 𝑛

𝑆=

𝑆= 36(7+112) 2

𝑆 = 18 (119) 𝑆 = 2142

𝑛(𝑎1 +𝑎𝑛) 2

10. Hallar los cuatro ángulos de un cuadrilátero, sabiendo que forman p.a. de razón igual a 25º.

A1 = 1 𝑆=

An = 12

( 1+12 ).12 2. 13.12

D=1

𝑆=

N = 12

𝑆 = 78

2

S=? 11. La suma de cierta cantidad de números impares consecutivos tomados a partir de 1, es 11.025. Calcular el último de los citados números impares.

A1 = 1

𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1). 2

D=2

𝑎𝑛 = 1 + 2𝑛 − 2

S = 1.1 .025

𝑎𝑛 = 2 𝑛 − 1 11025 =

An = ?

22050 = (1 + 2𝑚 − 1) 22050 = 2𝑚2 𝑛2 = 11025

(1+𝑎𝑛).𝑛

𝑛 = 105

2

𝑛 = 2𝑚 − 1

𝑎𝑛 = 210 − 1

𝑎𝑛 = 209

12. Calcular la distancia que recorre un peón que arroja un cubo de agua en cada uno de los 30 árboles de un lado de la calzada, sabiendo que el primer árbol dista del pozo 10 m. y entre sí distan 6 m. y al final deja el cubo al lado del pozo.

𝑎𝑛=20+(𝑛−1)12

𝑠 = 30(20 + 368)

= 20 + 348

𝑠 = 15(388)

𝑎𝑛 = 368

𝑠 = 5820

13. Calcular la suma de todos los números que, teniendo tres cifras, son múltiplos de 7. A1 = 105 An = 994 D=7

994 = 105 + (𝑛 − 1). 7 994 − 105 = (𝑛 − 1). 7 889⁄ = 𝑛 − 1 7

𝑆=

(105+994).128 2.

𝑆 = 1099.64 𝑆 = 70.336

𝑛 = 128 14. Cuántas campanadas da diariamente un reloj que suena solamente las horas. a1 = 1 S = ?

S = (1 + 12) * 12 / 2;

an = 12

S = 13 * 6;

d=1

S = 78 campanadas en doce horas

n = 12

S = 156 campanadas

15. Los ángulos de un triángulo están en p.a., valiendo uno de ellos 100º. Hallar el valor de los demás.

180 = (a1 + 90) * 3 / 2

an = a1 + (n- 1) * d

an = 90

360 = (a1 + 90) * 3

90 - 30 = 2d

n=3

120 = a1 + 90

60 = 2d

S = 180

a1 = 30

d = 30 30, 60 y 90

16. Hallar la suma de los números pares que están comprendidos entre 99 y 1001. 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 𝑠𝑛 =

1000 = 100 + (𝑛 − 1)2

(𝑎1 +𝑎𝑛)

𝑆𝑛 =

900 = (𝑛 − 1)2

2

(100+1000) 2

𝑆𝑛 =

900 = 2𝑛 − 2

𝑆𝑛 =

496100 2

541

100−451 2

= 248056

900 = 2𝑛 900 = 𝑛 451 = 𝑛 17. Hallar la suma de todos los números múltiplos de 4 comprendidos entre 124 y 1.416. 1416 = 124 + (𝑛 − 1). 4

𝑠 =? 𝑎𝑖 = 124

1292 =(n-1).4

𝑎𝑛 = ? 1416

323 = 𝑛 − 1 𝑠 = (124 + 1416).

𝑑=4 𝑠=

1540𝑥324 2

𝑛 = 324 324 2

= 249.480

18. Hallar la suma de los cincuenta primeros números que son múltiplos de siete. 𝑠𝑛 = ?

𝑎𝑛 = (50 − 1)7

𝑎𝑛 = 7

𝑎𝑛 = 7 + 49(7)

𝑎𝑛 = ?

𝑎𝑛 = 7 + 343

𝑑=7

𝑎𝑛 = 350

𝑛 = 50

𝑠𝑛 =

𝑠𝑛 = 525

50.(7+350) 2⁄ 1

19. Hallar la suma de los términos de la siguiente progresión: 5, 8, 11, 14, ... , 338. a1 = 5 an = 338 d=3 S=?

338 = 5 + (n - 1) * 3 333 = (n - 1) * 3 111 = n – 1 n = 112

S = (5 + 338) * 112 / 2; S = 343 * 56; 18.208

20. Interpolar 10 elementos entre los números 3 y 25, para que formen progresión. A1 = 3

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑑

An = 25

25 = 3 + (12 − 1). 𝑑

N = 12

22 = 11 . 𝑑

N=?

𝑑=2