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• juan carlos

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1 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco OPERADOR MATEMÁTICO Se de nomina operador matemático a un símbolo cualquiera, que por si solo no tiene significado. I) OPERADORES CONOCIDOS: Símbolos utilizados en las operaciones clásicas. , + , - , �, Log ,Sen ,

�, etc.

II) OPERADORES DESCONOCIDOS: Cualquier representar matemático. ,

*

símbolo un

puede operador

, # , % , q , a , D , ....... , etc.

Ejemplo: Si: a * b = a + b - 1 ; Hallar 3 * 5 Resolución a * b = a+ b-1 Si: � � 3 * 5 = 3+ 5- 1 3 * 5 = 6 Rpta. OPERACIÓN MATEMÁTICA Es una estructura matemática que relaciona operadores matemáticos con cantidades mediante una ley de formación. 3+ 6 = 9 3 D 2=? 20 �4=5 9 * 2=? Log1010=1 f ( 8) = ?

TIPOS DE OPERACIONES

 Operación Simple: presenta un solo operador por lo tanto existe una sola operación. Ejemplo: 2

Si: a D b = a - b + 1 Hallar: 7 D 1 = ? Resolución: 2

a D b = a - b+ 1 �

�

2

7 D 1 = 7 - 1+ 1 7 D 1 = 49 Rpta.  Operación Compuesta: Presenta dos o mas operaciones. Ejemplo: Se sabe que: 2 a = a( a + 2) a = a -1 ; S= 3 + 3

- 2

Hallar: Resolución:

a = a( a + 2) 2

a - 1 = a ( a + 2) 2

a = a ( a + 2) + 1 a = a ( a + 2) + 1 =

( a + 1) 2

a = a+1

(

2

)

S = ( 3 + 1) + ( 4 + 1) - 2 - 1

S = 6 Rpta.  Operación Condicional: Cuando una misma operación tiene dos o

2 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco mas reglas de correspondencia, condicionados por la relación de sus términos. Ejemplo:

( )

Dada la operación * se define como: �2a - b ; si: a > b a * b = �2 �a - b ; si: a < b

( 2 * 1) * ( 3 * 1) ( 6 * 2)

Hallar: Resolución: 2 * 1 = 2( 2) - 1 = 5

3 * 1 = 3( 3 ) - 1 = 8

6

2 * 2 = 6 - 2 = 34

Reemplazando: ( 2 * 1) * ( 3 * 1)

(6

* 2)

=

5*8 34

2

5 * 8 = 5 - 8 = 17 1 5 * 8 17 = = 34 34 2 Rpta. OPERACIÓN TABULAR: La operación y sus resultados son presentados en una operación de doble entrada, teniendo en cuenta la siguiente figura: Fila de Entrada

* 5 6

Columna 5 6 5 Campo de la tabla de 6 5 6 entrada La ley de formación nos dará:

5* 5 = 6 5* 6 = 5 6* 6 = 6 6* 5 = 5 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES A) PROPIEDAD CONMUTATIVA Se verifica con dos elementos, al invertir los términos la operación toma el mismo valor. a D b= bD a D a b c a a b c b b c a c c a b Se observa que en ambos lados de la diagonal quedan los mismos elementos por lo tanto, dicha diagonal actúa como un eje de simetría, por esto se afirma que la operación es conmutativa. B) PROPIEDAD ASOCIATIVA Se verifica con 3 elementos, al agrupar el primero con el segundo debe resultar el mismo valor de agrupar el segundo con el tercero.

a D ( b D c ) = ( a D b) D c Por lo general no es posible su verificación en tablas ni en regla de correspondencia. 2

2

* b= a + b 2 * ( 1 * 1) = ( 2 * 1 ) * 1 2 * 2= 5* 1

a

8 = 26

(No es conmutativa)

3 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco C)

ELEMENTO

NEUTRO

O

ELEMENTO IDENTIDAD ( N ) Es un elemento único para la operación dada que no altera al elemento que se elija. aDN = a ó B DN = B ó C DN = C

Es decir para cualquier elemento que uno elija, debe ser el mismo elemento neutro. Hallar el elemento neutro de la operación * sabiendo que: a * b = a- b+1 Aplicando el principio de: a *N = a a- N + 1= a N =1 D) ELELEMNTO ABSORVENTE (T) A DT = T

B DT = T , C DT = T

E) ELEMENTO INVERSO (I) A D I = N ; N=Elemento Neutro

1 Si: a * b = 3a + b Hallar: 5 * 8 a) 25 b) 21 d) 26 e) 24

c) 23

Resolución: a * b = 3a + b 



5 * 8 = 3( 5 ) + 8 = 23 5 * 8 = 23 Rpta. q 2 2 Se define: A = 2A - 5A + 3

q Calcular: ( -2 ) a) 23 b) 21 N.A. d) 20 e) 16

c)

Resolución: A q = 2A 2 - 5A + 3

( -2 ) q = 2( -2) 2 - 5( -2) + 3 ( -2 ) q = 21 Rpta. 3 Se define: a D b = a + b ; si a>b

a D b = ab

; si a< b Calcular: R = ( 2 D 1) D ( 1 D 2 ) a) 7 b) 6 c) 1 d) 8 e) 5

Resolución: 2 D1 = 2 + 1 = 3 1 D 2 = ( 1) ( 2 ) = 2

4 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco

R = ( 2 D 1) D ( 1 D 2 ) R = 3D 2 R = 3+ 2 = 5 R = 5 Rpta.

4 Si: a # b = 2a - 5b Hallar “x” si: x # 3 = 8 5 a) 2 7 d) 8

3 5 b) 22 e) 3

23 c) 2

Resolución: a # b = 2a - 5b x # 3 = 2( x ) - 5( 3 ) = 8 2( x ) - 5( 3 ) = 8

3 a) 2

( 3 * 4 ) .( 5 * 3 ) ( 2 * 3 ) .( 2 * 5 )

8 15 b)

3 8 7 15 d)

4 1 3

Hallar: a) 91 d) 92

-1 -1 5 Si: a * b = a + b

Hallar:

a = 4a - 3b b

6 Si

23 x = 2 Rpta.

M=

1 1 5 + = 2 3 6 1 1 7 2 * 5 = 2-1 + 5-1 = + = 2 5 10 Reemplazando en “M” 7 8 ( 3 * 4 ) .( 5 * 3 ) 12  15 M= = ( 2 * 3 ) .( 2 * 5 ) 5  7 6 10 14 M = 15 = 8 7 15 12 Rpta. 2 * 3 = 2-1 + 3-1 =

 b) 62 e) 63

5 3 2 c) 64

Resolución: c)

1 = 4  1 - 3  3 = -5 3 3 = 4  3 - 3 2 = 6 2

e) N.A.

Resolución: 1 1 7 + = 3 4 12 1 1 8 5 * 3 = 5-1 + 3-1 = + = 5 3 15 3 * 4 = 3-1 + 4-1 =

Luego: 4 -5

4 -5 4 1 3

5 =  4  4 - 3( - 5 )   ( 4  5 - 3  6 ) 6





�

5 = 6 5 3 2

62

= 62

5 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco 2 2 9 Si: a + b = a

Rpta .

“x” si: 2x * 3 = x ( 4x + 3 ) a) 2

7 Si: a * b = 3a - 2b Calcular: R = ( 2 * 5) * ( 3 * 7) a) 1 b) 3 d) 2 e) –3

c) –2

Con la definición: 3a - 2b R =  3( 2 ) - 2( 5 )  *  3( 3 ) - 2( 7 ) 

( 2x ) 2 + 32 = x ( 4x + 3 )

a* = 2a - 1 , si: a � 2

R = -12 + 10  R= - 2 Rpta.

Calcular:

E =  3 * -2 *  * - ( - 3 ) * a) 15 b) 18 d) 14 e) 17

2a + 3b a- b xD 2=

Hallar “x” en: a) –13 b) 12 13 d) 2 e) –12

Resolución: 2( x ) + 3( 2 ) xD 2= x- 2 Con: 2x + 6 4 = Luego: x - 2 3 6x + 18 = 4x - 8 2x = -26  x= - 13 Rpta.

c) 3

10 Se definen: a* = 3a - 2 , si: a  2

R =  -4  *  -5  R = 3( -4 ) - 2( -5 )

8 Se define:

d) 4 Resolución:

b) 5 1 e) 2

4x2 + 9 = 4x2 + 3x x = 3 Rpta.

Resolución:

aDb=

* b , Calcular:

4 3 c)

c) 19

Resolución: Con las definiciones 3  2 : 3* = 3( 3 ) - 2 = 7 2 = 2 : 2* = 2( 2 ) - 1 = 3 -3  2 : ( -3 ) * = 2( -3 ) - 1 = -7 Luego: E =  7 - 3 * - ( -7 ) E = ( 4) * + 7 E =  3( 4 ) - 2 + 7 = 17 Rpta. 11 Se define la operación ( * ) , en el   Conjunto 6 , 4 , 2 mediante:

6 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco d) 78

* 6 4 2 6 4 2 6 4 24 26 46 2 6 4 2

E=

Calcular: 1 13 a) 3 23 d) 1

Resolución: Con la definición en: 4 q x = 1,7

 ( 6 * 2) * ( 2 * 4 )  ( 4 * 2)

b) 13

x2 + 2( 4 ) = 1,7 10 x2 + 8 = 17  x2=9 x= 3

c)

2 con: x = 3  5( 3 ) - 10( 3 ) + 1 = 16

2

con: x = -3  5( - 3 ) - 10( - 3 ) + 1 x = 16 Rpta.

e) 2

Resolución: Forma de ubicar valores en la tabla: *  b .   a. * b = R a ...... R Con la tabla: 6 * 2= 6 2* 4=4 4 * 2 = 46 Luego:

E=

e) 16

13 Si: b = 3a - 2b + c a c Calcular:3 2

1 2

1 3 2 a) 27 d) 28

1

3 b) 26 e) 29

 6 * 2

E=

6 = 46 46 3 23 Rpta.

12 Si:

a qb =

Resolución: 3 = 3 ( 2 ) - 2( 3 ) + 1 = 1 2 1 1 = 3( 3 ) - 2( 1) + 2 = 9 3 2

b2 + 2a 10

2

Además: 4 q x = 1,7

1

2 Calcular: 5x - 10x + 1

a) 74

b) 73

c) 18

= 3 ( 1 ) - 2( 2 ) + 3 = 2 3

Luego con el total: 1 = 3( 9 ) - 2( 1) + 2 = 27 9 2

c) 24

7 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco Resolución: ( x # 1) D ( - 2 # 3 ) = 2 q 1 27 Rpta.

14 Si: a * b = a - b a+ b 1 aDb = 3 2 Hallar “n” en la expresión: nD 2 = n * 2 13 11 2 a) b) 2 13 c) 4 11 e) 4

d) 11 Resolución: nD 2 = n * 2 n+ 2 1 - = n- 2 3 2 ( 2 n + 2 ) - 3 = 6( n - 2 ) 2n + 4 - 3 = 6n - 12 13 n = 4 Rpta. 15

( 2x + 1) D  2( -2 ) + 3 = 2( 2 ) 1 - 1 ( 2x + 1) D ( -1) = 4 - 1 3( 2x + 1) - ( - 1) = 3 6x + 3 + 1 = 3  x=

16 Se define:

b

( x #1) D ( -2 # 3 ) = 2 q 1 1 1 1 a) 3 b) 3 c) 6 d) 6 e) 3

1 6

Rpta.

a = 2a + 1

x - 2 = 13 Hallar “x” en: a) 1,5 b) 3,5 c) 3 d) 6,5 e) 4,5 Resolución: I) a 13 le damos la forma: 2a + 1

13 = 2( 6 ) + 1 , luego: 13 = 6 II) a 6 le damos la forma : 2a + 1 Luego se tiene que: 5 6 = 2  + 1 , luego: 6=  2 13 =

Se definen: a q b = 2a - b a D b = 3a - b a # b = 2a + b Hallar: “x” en:

-

Finalmente: x- 2 =

Luego:

De donde:

x- 2=

5 2

5 2

5 2

5 5  x=2+ 2 2

8 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco x = 4,5 Rpta.

( -3) # = 3( -3) 2 + 4 = 31

¡Interesante! Ahora te toca a ti resolver los ejercicios 17 y 18

8

Hallar: “x” = 13

a) 2 d) 5

= 9 - 8 = -503

#

= 9 - 4 = -55

4

3

3

( -1) # = 3( - 1) 2 + 4 = 7 Luego: S = 31 - ( - 503) + ( - 55) + 7 S = 486 Rpta.

17 Si: a = 1 + 3a

x-1

#

20 b) 3 e) 6

c) 4

Calcular: E = #( 2) + * ( 3)

18 Se define:

n = n ( n + 2)

Se define: #( x + 2) = 2x + 5 * ( x - 2) = 5x - 2

n R

;

Resolución: Calculo de: #( 2)

+

Hallar “x” en:

x + 2 = 2  x=0

4x + 1 =24

Luego: #( 2) = 2( 0) + 5 = 5 Calculo de * ( 2) x - 2 = 2  x=4

a) 5 - 1 d) 4

b) 3 - 1 e) –4

5

c)

19 Se definen en los reales: #

a

2

= 3a + 4 , si: a2 Hallar el valor de:

S = ( - 3) - 8 + 4 + ( - 1) a) 486 b) 476 c) 496 d) 0 e) –1

Luego: * ( 2) = 5( 4 ) - 2 = 18 Finalmente: E = 5 + 18 = 23 Rpta.

a - 8 = 210 Hallar “a” en: #

a) 10 d) 14

b) 8 e) 16

Resolución: 3

Resolución:

210 = 6 - 6 = 6 3 6= 2 - 2= 2 Pero:

c) 12

9 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco 3n + 2 ....... ( I ) 2n Calculemos: 3 n +2

210 = 2 Luego: Comparando: a - 8 = 2  a= 10 Rpta.

n =

22 Si:

*

3

3 5

=

n

n =

5 3

5 35 55 353 * 555 a) 355 5353 d) 3553

;

Calcular:

b) 533

c)

e) 3555

2 n

3 n +2 2 n

........ ( II )

Reemplazando I en II  3n + 2  3 +2  2n  n=  3n + 2  2   2n  9n + 6 + 4n 13n + 6 2n n= = 6n + 4 6n + 4 2n

Resolución: 353 * 555 3535 ;

2

6n + 4n = 13n + 6

5* 5 = 55 ( coloco 5 y llevo 5 )

2

3* 5 = 5 * 3 35

6n - 9n - 6 = 0 ( 6n + 3) ( n - 2) 1  n= y n= 2 2 Rpta.

353 * 555 = 3535 Rpta.

24

23 Sea la operación 3n + 2 n = 2n Entonces n = n el ; valor es: de “n” en: a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

Resolución: De la condición:

Se define en los R a = a( a + 24 ) x

= 4x - 40

23

c) 3

Calcular: a) 1 d) 2

b) 3 e) 4

c) 5

Resolución: Al no tener definida la operación triángulo debemos despejar de la

10 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco segunda expresión, aplicando la E = 3  ( 4  ( 5  ( ......) ) )

144 4244 43

primera.

x

a

E = 3 a Donde “3” trabaja como “a”

= x  x + 24

"a " trabaja como “b”

Pero por definición de la segunda operación tenemos.

3 E = 3  a = 3 + 2( 3) E = 27 + 6 = 33 Rpta.

4x - 40 = x  x +24 2

x + 24 x = 4 x - 40

26 Si

x + 12 =

2

100 operadores

= 4x + 104

a) x+200 x+210 d) x–200

4x + 104

x = 2 x + 26 - 12 Aplicando la regla de formación:

b) x+205

c)

e) x–201

Resolución: De la condición x-1 = x+1

23 = 2 23 + 26 - 12

23 = 2( 7) - 12

23 =

; Calcular:

..... x + 5 ..... 1 4 4 4 2 4 4 43

2

x + 24 x + 144 = 4x - 40 + 144

 x + 12

x-1 = x+1

* Para un operador x + 5 = x + 6 - 1 = x + 6 - 1 = x + 5 + 2( 1)

* Para dos operadores

2 Rpta.

x + 7 = x + 6 - 1 = x + 8 + 1 = x + 5 + 2( 2)

3

25 Siendo a  b = a + 2a Calcular:

* Para 3 operadores

E = 3 � ( 4 �( 5 �( .......) ) ) 1 4 4 42 4 4 43 100 parentesis

a) 32 d) 33 Resolución:

b) 34 e) 35

c) 36

x + 9 = x + 10 - 1 = x + 10 + 1 = x + 5 + 2( 3) . . . . . . . . . . . .

* Para 100 operadores Para 100 Operadores = x + 5 + 2( 100 ) = x + 205 Rpta.

11 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco

D ( N ) = 10 ; si: N>1 D ( N ) = 0 ; si: N  1 Determine el número de valores que puede tomar la operación R, si Z   1 , 299 .

2

x = x +2x+2 27 Si:

2

x =;xHallar el valor de “x”

x =1

tal que: a) –1

b) 0

c)

d) 1

e) - 2

2

Resolución: De la definición: x =

( x + 1) 2 + 1

2

x + 2x + 2 �

x =x

2

Nos piden el valor de “x” en:

x =1

( )

( x + 1) 2 + 1 = x{+ 1 2 + 1 = 0 0

D  D ( 300 - Z)  Z a) 1 b) 3 d) 2 e) 149 R=

Resolución: Por dato D ( N ) = 10 ; D( N) = 0 ;

c) 298

N>1 N1

1  Z  299 1  300 - Z  299 D ( 300 - Z) = 10 ó 0 Si: D ( 300 - Z) = 0

�D ( 300 - Z) � � R= D � = D ( 0) = 0 � � Z �  10  D ( 300 - Z) = 10  R=D    Z Si: Además conocemos que: 10 10 1  Z  299    10 299 Z Analizando “Z” puede tomar valores: 1 y 1

R = 10 ó R=0 2 valores

De donde: x = - 1 Rpta.

Puede tomar

28 Se define el operador D , tal que.

b-1  b 29 Si:  x  = bx 2

Rpta. y

3 f ( x + 1) =  x  + 3  x  + f ( x )

Calcular: f ( 4) = 2 a) –85 125 d) –105

12 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco

f ( 2)

sabiendo b) –120

que c)

e) –40

Resolución: De la definición: 345   99 ; 999  W ( 345) = 2

50   9 ; 99  W ( 50) = 1 5   0 ; 9  W ( 5 ) = 0

70   9 ; 99  W ( 70) = 1

Resolución: Por dato:  xb  = bxb-1 ; Entonces: 2 3 f ( x + 1) =  x  + 3  x  + f ( x )

2

= 2x + 9x + f ( x ) Luego:

22   9 ; 99  W ( 22) = 1 Luego nos piden: R=

W ( 345) + W ( 50 ) - W ( 5 ) W ( 70) + W ( 22)

( 2) ( ) ( ) ( ) 1f 243 = 12434 +294 34 3 + f 3

2 + 1- 0 3 = = 1,5 2+ 1 2 1,5 R= Rpta.

Luego: f ( 3) = -85 * Para x = 2 , se tiene:

( 16 �27) + ( 9 �64 ) 31 Hallar: Si se conoce que:

* Para x = 3 , se tiene: 2

87

R=

(a

( 423) + f ( 2) ( ) ( ) 1f 233 = 12424 +294 2 -85

40

Luego: f ( 2) = - 125 Rpta. 30 Se define el operador W ( N ) ; tal que: Si : N   0 ; 9  W ( N ) = 0

Si : N   9 ; 99  W ( N ) = 1 Si : N   99 ; 999  W ( N ) = 2 Hallar el valor de R. W ( 345 ) + W ( 50 ) - W ( 5 ) R= W ( 70) + W ( 22) a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 3,0 e) 2,0

2

3

�b

) = 2ab - a

a) 40 d) 36

2

3

+b

b) 50 e) 65

c) 48

Resolución Dado la forma y resolviendo:

( 16 �27) 

(

2

3

= 4 �3

( 16 �27) ( 16 �27)

)

= 2( 4 ) ( 3) - ( 4 ) + 3 2

2

= 24 - 16 + 9 = 17

(

)

( 9 �64 )

= 3 �4

( 9 �64 ) ( 9 �64 ) ( 9 �64 )

= 2( 3 ) ( 4 ) - 3 + 4

2

3

2

= 24 - 9 + 16

= 31

17 + 31 = 48

Rpta.

2

13 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco d) 8 4

e) 9

Sabiendo que: q

q

-1

a * b = ( a + b + 5) 2 q q además: 3 * x = 14 Calcular: x a) 14 d) 12

q

q

*5

b) 15 e) 10

c) 13

  5 En: A = 1 , 2 , 3 , 4 , se define la operación ( * ) 1

Se define: 2

1 1 1 2 2 3 3

*

2

a * b = a + 3b + b a#b = - b + a

Calcular:

E = ( 5#6) * ( 4#9)

a) 10 d) 13 2

b) 11 e) 15 2

2

valor de: ( 22202222 q 22202221) a) 44404443 b) 88808884 c) 44404441 d) 44404442 e) 1 3

Si:

b a

c= 3a - 2b - c

4 4 1 4

Hallar el valor de verdad de: I) x * 2 = 1 ; tiene 1 raíz II)  x, y  A: x * y=y* x III)  2 * 3 *  1* 4  = 4 a) VFF b) FFF d) FFV e) VVF 6

c) VVV

En el conjunto N, se define: 2

a* b = -b + a 2

Calcular: 7 8 4 + + 5 5 3 6 0 6 a) 5 b) 6 c) 7

3 3 1 1

4 4 2 3 4

c) 12

Si: M q N = M - N ; Calcular el

2 2 1 1

a q b = - b + 3a a D b = 3b + 2a además: x *x=6 y q y = -4

14 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco

Calcular: x D y a) 12 b) 13 d) 20 e) 18

d) 21 c) 14

e) 22

11 Sabiendo que: m%n = 2m - n ; si: m>n

m%n = m + n

En �, se define: b- a a+ b a* b = a#b = 2 2 y Resolver: 2 * ( 3#x ) = ( x#11) * 6 a) 2 b) 3 c) –2 d) –3 e) 1 7

; si: m  n

Calcular: ( 3 %4 ) % ( 5 %2) a) 12 b) 16 c) 10 d) 15 e) 18 12 Se definen: 2

a#b = a - b

; si: a>b

2

3

a#b = 2a - b

8

; si: a  b Calcular: R = ( 3#2) - ( 2#3) a) 0 b) 12 c) –12 d) 26 e) 30

( 2* x ) D ( 2* 3) = 4 * x

13 Si: qq

Si: a * b = 2a - b a D b = 2b - a Hallar “x” en: a) 5 d) 8

b) 6 e) 4

c) 7

2

a)

2 3

3 2

3 3

24 2

4 43

4 23 3

2q

( Calcular: R = 3 + 5 a) 20 b) 19

)

8

2

c)

-( 2

)

# *

c) 18

2

a + b ; Hallar “x”

1 2

( x - 4 ) # ( 20 - x )

1 2

1 2

= ( x + 4 ) # ( x - 6)

a) 3 b) –3 d) 8 y 3 e) 8 y –3 15 Se definen: x* y = x

= 4x + 7

* #

c) 1

e)

�: a#b =

10 Si: x* = 2x + 1 Además: ( x * )

2

14 Se define en los

4

#

q

b) 2

d) 4

Calcular: 22234 q 24344 a) 33422 b) 33224 42234 d) 33234 e) 34434

*

=2 2

Calcular:

9 Se define:

q 2

qq

-2

x # y = 4x

+y

-1

-2

- 45y

-2

Hallar: ( 2 * 2) - ( 4#3) a) 5,1

b) 4,7

c) 8

15 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco c) 5,5 d) 5,8

d) 9 e) 4,8 2

16 Si: a * b = a + 1 + 2b 2

20 Si:

2

a qb = a b+ b a E =  ( 5 q 1) q 6 + ( 8 * 6 )

Hallar: a) 63647 6374 d) 6485

b) 6557

c)

e) N.A.

e) 10 a %b =

1 2 a + 4b 2 2

a # b = a b- b 1 4 %P = ( 5 # P ) 3 Hallar “P” a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 5

17 Siendo: 2

a q b = 2a - 3b + ab a % b = 6a + 3b - ab a # b = 4ab - 6a + 6b ( ) Calcular: 6 q  2 % 3#1  a) 100 c) 108 d) 120

21 Si: 5#5 = 50 5#0 = 5 0#5 = 5 Hallar la suma de 5055 # 505 a) 6 b) 15 d) 25 e) 50

b) 109 e) 130 2

18 Si: #( x ) = x - 1

x + 1)

b) x

3 c) x ( x - 3)

3(

x + 4)

3 d) x ( x - 1)

3 e) x ( x + 2)

mD n = 19 Se define: Además:

5Dn =

c) 5 2

D ( x) = x - 1 ( ) Efectuar: # D x  = ? a) x

de:

22 Se define: m* n = 3m - m ( ( ( ))) Calcular: R = 1 * 2 * 3 * ......

3

3(

cifras

2

2

a - 2b 2

2

a +b

7 34

Calcular: E = n ( n - 2) + 5 a) 6 b) 7

c) 8

a) 1 d) 4

b) 2 e) –2

c) 3

23 En la tabla ( * ) se define:

* c a b c c a b a a b c b b c a Podemos afirmar que: I) Es conmutativa II) Es interna III) Es asociativa a) FFF b) VVV

c)

16 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco FFV d) FVV

E) VVF

29 Si:

*

24 Se definen: 3 2

5a

a) 8 d) 4

.y

b) 7 e) 6

4b

c) 9

25 Se define:

( 26 a * b = a + b 2

Además:

2

2 -1

Calcular: ( 4 * 40 ) + ( 3 * 13) a) 24 b) 25 d) 28 e) 32

Calcular: PAPA ,si:

6 11

( 2D 4 ) % ( 3D1) = PAZ

2 Calcular: ( 2n + 5 ) a) 4 b) 16 d) 256 e) 225 2

c) 64

28

2

Siendo:

2M + N M - 2N 2 3 5 x # 5 = 11 6 Además: M #N =

b) 1313

c)

e) 1414 2a + b a 3 2

31 Se define: Calcular: ( 4b + 3) , a partir de: bq 2 = 2

a) –4 d) 1

2

b) –5 e) –6

c) –1 2

32 Si: a # b = 2a + b - 3b 2

a * b = 2a + b - 3b Calcular: S =  ( - 2) #( - 1)  *  1* 2

7 #y= 7 Calcular: 12( y # x ) a) 140 b) 162 d) 142 e) 150

a) 1818 2424 d) 1919

a qb =

27 Si: x = ( x + 1) + ( x - 1) q q Hallar: P = ( x + 1) - ( x - 1) a) 6 b) 0 c) 8x d) 6x e) 8

c) 26

30 Se define: a %b = 5b + 3a

) ( a2 - b )

6* n = 5

q

1

2 4 6 1 -3 - 1

2 3

x qy = x y ; x * y=x y Hallar “ a + b ” en:

x q  x * ( x q y )  = x

2

c) 182

a) 11 d) 10

b) 13 e) 12

c) 15

17 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco

37 Se define ( * ) tabla:

33 Se define: 1 3 5 1 53 31 51

*

3 1 5 5

5 3

2 2 20 5 5 3 2

Calcular: 5153 * 1335 a) 8133 b) 8131 d) 8313 e) 3131

c) 3133

35 Se define en los �: a* = 3a - 2

;

Si: a>2

a* = 2a + 1

;

Si: a  2

Calcular: R = ( 3 * -1* ) *+ 2 *

( 36 Si: - 5 + x

2 q

)

c) 14

= 2x - 3

( -7 + x3 )  = 3x2 - 2x + 1 } q

b) 22 e) 32

c) 29

b) 53 c) 32 e) 35

38 Sabiendo que: xqy =

2

2

x #y ( y + 1) #( x + 2)

 m+ n  m #n=    m- n  Calcular: 4 q 3

2

a) 2 e) 1

d) 5

b) 3

c) 4

39 Si: a  b = a

ba

; Hallar “x”

1 22

 1 xx =    2 Si: 1 1 2 4 a) b)

d) 2



Calcular: S = 11 + 20 a) 21 d) 27

Hallar: "bc" , si:

a) 52 d) 23

Calcular: ( 1 + 3a ) x a) 1 b) –1 c) 1–3a d) 1–a e) 1+a

b) 15 e) 20

3 3 23 50

( 235 * 523) + ( 3 * 3) = bbc

34 Si: a  b = a + 3b + b Además: a  x = 1

a) 10 d) 13

5 5 10 23

*

3 1

mediante la

e)

1 8 c) 2

40 Se define: x q z = ( xq5) x

Hallar “a” en: a

x

z

= 32

18 Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco a) 1 e) 5

b) 2

c) 4

d) 8

1.

2.

3.

4

5.

6.

7.

8.

9.

b

b

b

d

d

e

e

a

c

10 .

11.

12 .

13

14 .

15 .

16 .

17 .

18 .

d

b

d

a

d

e

c

c

d

19 .

20 .

21 .

22 .

23 .

24 .

25 .

26 .

27 .

c

d

c

b

b

a

a

e

d

28 .

29 .

30 .

31 .

32 .

33 .

34 .

35

36 .

b

d

a

d

e

d

b

d

b

37 .

38 .

39 .

40 .

c

b

b

e