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1. Utiliza dos ecuaciones lineales con dos incógnitas para resolver los siguientes problemas. a. Un avión pequeño puede

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1. Utiliza dos ecuaciones lineales con dos incógnitas para resolver los siguientes problemas. a. Un avión pequeño puede cargar 950 libras de equipaje distribuidas en dos compartimientos de carga. En un vuelo, el avión va totalmente cargado con 150 libras más en un compartimiento que en el otro. ¿Cuánto equipaje hay en cada compartimiento? Compartimiento

Cantidad

Vuelo

Total

Compartimiento 1: 400 libras, compartimiento 2: 550 libras

b. Una parte de $80,000 se invirtió a una tasa de interés del 10%, y el resto al 12%. Si los ingresos anuales por esas inversiones fueron $9,000 ¿Cuánto se invirtió a cada tasa? Cantidad

Inversiones

Inversión al 10%: $ 30,000.00, inversión al 12%: $ 50,000.00

c. Un automóvil recorre 50 millas en el mismo tiempo en que un avión viaja 180 millas. La velocidad del avión es 143 millas por hora mayor que la del automóvil. Calcula la velocidad del automóvil. Distancia

Velocidad

Tiempo

Automóvil Avión

Velocidad del automóvil: 55mph, velocidad del avión: 198mph

d. Un automóvil y un camión salen de La Gloria al mismo tiempo, en direcciones opuestas. Cuando están a 350 millas de distancia entre ellos, el automóvil ha recorrido 70 millas más que el camión ¿Qué distancia recorrió el automóvil?

Distancia

Automóvil

Camión

Distancia que recorrió el automóvil: 210 millas, distancia que recorrió el camión: 140 millas

e. Un fabricante de bicicletas produce vehículos de carrera y de montaña, con los costos unitarios de fabricación que aparecen a continuación: Modelo

Costo de materiales

Costo de mano de obra

carreras

$55

$60

montaña

$70

$90

La empresa ha considerado un presupuesto de $15,900 para gastos de mano de obra y $13,075 para materiales. ¿Cuántas bicicletas de cada tipo se pueden fabricar?

Modelo

$ Materiales

$ Mano de obra

Cantidad

Carreras Montaña

Bicicletas de carreras: 85, bicicletas de montaña: 120

f.

Un campesino tiene a algunos de sus animales bajo una dieta estricta. Cada animal debe recibir 15 gramos de proteínas y 7.5 gramos de carbohidratos. El campesino emplea dos mezclas alimenticias que contienen los nutrientes que tenemos en la siguiente tabla: Mezcla A B

Proteínas 12% 15%

Carbohidratos 9% 5%

¿Cuántos gramos debe usar de cada mezcla para proporcionar las cantidades correctas de nutriente a cada animal? Mezcla A

Proteínas

Carbohidratos

Cantidad

B

Mezcla A: 50 g Mezcla B: 60 g

g. Dos máquinas pueden cepillar placa de latón. Una máquina tiene $600 de costo de mantenimiento y $4 de costo por placa. La otra máquina tiene costos de mantenimiento de $1000 y costo por placa de $2. Calcula el punto de equilibrio. Máquina

$ Mantenimiento

$ Placa

Cantidad

A B

Cepillar 150 placas en la máquina A Cepillar 500 placas en la máquina B

h. Un impresor cuenta con dos prensas. En una, los costos de arreglo son de $2100, y se puede imprimir determinado libro en $59.80 cada ejemplar. La otra prensa tiene costos de arreglo de $3500, y puede imprimir el mismo libro en $59.50. Determina el punto de equilibrio. Prensa A

$ Arreglo

$ Libro

Cantidad

B 35 libros en la prensa A 59 libros en la prensa B

i.

Un vendedor puede elegir entre dos opciones de salario: a. Una comisión directa del 7%, o b. $1500 mensuales + comisión del 2%. ¿Cuánto debe vender esa persona para obtener la misma retribución en cualquier plan? Si vende menos ¿Qué plan le conviene? Si vende más ¿Cuál de los dos planes es mejor? 1) Opciones A

Venta

Comisión

Sueldo

B

2)

y

3)

y

Debe vender $ 30,000.00 para recibir en ambos casos $ 2,100.00 Si gana menos le conviene el plan B, y si gana más le conviene el plan A

j.

Si dos ángulos son complementarios, su suma es 90°. Si uno de dos ángulos complementarios mide 16° más que el otro, calcula el valor de cada ángulo. Ángulo

Medida

Suma Los ángulos miden 37⁰ y 53⁰

k. La fórmula para convertir grados Fahrenheit (F) en grados Celsius (C) es:

¿Cuándo será la temperatura en grados Celsius la misma que en grados Fahrenheit?

-40⁰C será igual a -40⁰F

l.

Se quiere obtener 1 lingote de oro de 1 kg de peso y ley de 900 milésimas, fundiendo oro de 975 milésimas y oro de 875 milésimas. ¿Qué cantidad hay que fundir de cada clase? Ley

Peso

Sueldo

Total

750 g del lingote de 875 milésimas 250 g del lingote de 975 milésimas

m. Un comerciante compró dos relojes distintos por 18 €. y los vendió por 19.35 €. ¿Cuánto pagó por cada reloj si en la venta del primero ganó un 20% y en la del segundo perdió un 5%? Compra

Venta

Reloj 1 Reloj 2 Total

Pagó 9 € por cada reloj

n. Se tienen dos soluciones de la ecuación ax + by = 15. La primera x = 2 e y = -1

y la

segunda solución x = -2 e y = -29. Calcula a y b.

a=7 b = -1

o. Dos líquidos de densidades 0,7 kg/L y 1,3 kg/L se mezclan obteniéndose un líquido de densidad 0,9 kg/L. Halla la cantidad de líquido que hay que tomar de cada clase para obtener una mezcla de 30 L. Volumen

Densidad

Masa

Líquido 1 Líquido 2 Total

27 kg

10 L del líquido de densidad 0.7 kg/L y 20 L del líquido de densidad 1.3 kg/L

p. Un vinatero poseía 760 litros de vino de $82.50/litro. Por tener poca salida comercial decidió mezclarlo con cierta cantidad de otro vino de $72/litro. ¿Qué cantidad del segundo vino ha de mezclar con el primero para que la mezcla resulte a $75 el litro? Volumen

Precio / L

Precio total

Líquido 1 Líquido 2 Total

Se requieren 1900 L del segundo líquido

q. Se ha comprado alcohol de quemar a $25/litro y se ha mezclado con otro de $27/litro. Halla la cantidad que entra de cada clase para obtener 100 litros de mezcla de $25.50/litro.

Precio / L

Volumen

Precio total

Alcohol 1 Alcohol 2 Total

Se requieren 75 L del alcohol que cuesta $ 25.00/L Se requieren 25 L del alcohol que cuesta $ 27.00/L

r.

Dos grifos han llenado un depósito de 31 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas. Después llenan otro depósito 27 m3 corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas. ¿Cuántos litros vierte por hora cada grifo? Velocidad

Depósito 1 Volumen

Tiempo

Velocidad

Depósito 2 Volumen

Tiempo

Grifo 1 Grifo 2 Total

La velocidad de un grifo es de 3000 L/h y del otro es de 5000 L/h

s. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo los dos grifos a la vez? Grifo Velocidad Volumen Tiempo

El tiempo en el que se llenará será de 1.42 h

t.

Dos grifos alimentan simultáneamente un depósito tardando 2.4 horas en llenarlo. Si se abriera cada grifo por separado el primero tardaría 2 horas menos que el segundo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno de ellos en llenarlo de manera independiente? Grifo Velocidad Volumen Tiempo

Un grifo tarda 6 horas y el otro 4 horas

u. En una peluquería se hace una mezcla para un tinte. Si añadiésemos 4ml a la cantidad utilizada del producto A, el volumen sería el mismo que un tercio del producto B. Por otro lado, el doble del volumen de A es lo que le falta al B para medir 250 ml. ¿Qué cantidad se usa de cada producto? a.

47.6 ml de producto A y 154.8 ml de B

b.

774/5 ml de A y 238/5 de B

c.

No está la respuesta A

B

Cantidad inicial Condición 1 Condición 2

Las opciones a. y b. cumplen con las condiciones

v. Una piscifactoría cultiva en sendos tanques truchas y doradas. Si se colectara un tercio de las truchas y la mitad de las doradas se obtendrían 184 peces. Por otro lado, si se colectara la quinta parte de las truchas y la cuarta parte de las doradas obtendríamos 98 peces. ¿Cuántos peces de cada especie hay en cada tanque? a.

270 doradas y el resto truchas

b.

248 doradas y 180 truchas

c.

No está la respuesta Cantidad

Condición 1

Condición 2

Truchas Doradas Total

Opción b. 248 doradas y 180 truchas

w. Un depósito A contiene 32 litros de una solución de alcohol al 25% en volumen. Otro depósito B contiene 50 litros de solución de alcohol al 40% en volumen. Hallar el volumen que se debe extraer de cada uno de ellos para obtener 40 litros de solución de alcohol al 30% en volumen.

Depósito

Volumen

Concentración

Volumen mezcla

A B Mezcla

26.7 L de A y 13.3 L de B

x. Un depósito A contiene 40 L de una solución salina con una cantidad de sal de 80 kg. Otro depósito B contiene 120 L de una solución con 60 kg de sal disuelta. Hallar el volumen que se debe extraer de cada uno de ellos para obtener 30 L de solución cuya concentración sea de 1.5 kg/L.

Depósito

Volumen

Cantidad de sal

Concentración

Volumen mezcla

A B Mezcla

20 L del depósito A y 10 L del depósito B

y. Una aleación contiene un 10% de zinc y un 20% de cobre. Hallar el número de kilogramos de zinc y cobre que se deben alear con 100 kg de la aleación dada, para obtener una tercera aleación con un 20% de zinc y un 24% de cobre.

Concentración Aleación

Zinc

Cobre

Peso Zinc

Cobre

Aleación

1 2 3

10 kg de cobre y 15 kg de zinc

z. Una aleación cuya masa es de 600 kg está compuesta por 100 kg de cobre y 50 kg de estaño. Otra aleación de 1000 kg está compuesta por 300 kg de cobre y 150 kg de estaño. Hallar las masas de cobre y de estaño que se deben mezclar con las dos aleaciones dadas para obtener una tercera aleación con un 32% de cobre y un 28% de estaño. Los % son en masa.

Concentración Aleación

Cobre

Estaño

Peso Cobre

Estaño

x

y

Aleación

1 2 3

500 kg de estaño y 400 kg de cobre

aa. Se tiene una solución de HCl con una concentración al 50% y otra al 80%. ¿Qué cantidad de cada una se debe mezclar para obtener 100 ml de una solución al 68%? Los tantos por ciento son en volumen. Solución de HCl A

Concentración

Volumen mezcla

B Mezcla

Se deben agregar 40 ml de la solución al 50% y 60 ml de la solución al 80%

bb. En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?

Cantidad

Puntuación

Calificación

Aciertos Errores

16 aciertos y 4 errores

cc. La cifra de las decenas de un número de dos cifras es doble que la cifra de las unidades. Halla ese número sabiendo que si le sumamos el número formado por sus cifras cambiadas de lugar el resultado es 99.

Decenas

Unidades

Número Condición 1 Condición 2

El número es 63

dd. Dos compañeros de BUP hacen un trabajo de historia y lo tienen que pasar a máquina. Si lo hacen los dos juntos, tardan 12 horas, pero Pepe, mecanografiándolo todo él sólo, invierte 10 horas más que Paco. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno por separado? Compañeros Paco

Velocidad

Tiempo

Pepe Ambos

Paco tarda 20 horas y Pepe tarda 30 horas

A. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Métodos:

I.

Suma y/o resta-sustitución

II.

Determinantes

III.

Gráfico

1. Resuelve los siguientes problemas. a. Un artista hace tres tipos de estatuas de cerámica, con un costo mensual de $650 por 180 estatuas. Los costos de fabricación de los tres tipos son $5, $4 y $3, respectivamente. Si vende sus estatuas a $20, $12 y $9, respectivamente, ¿cuántas de cada tipo debe fabricar para obtener $2,100 de ingresos mensuales? Estatuas

Cantidad

Costos fabricación

Recio de venta

A B C Total

180

 Método de suma-resta y sustitución

1.

Elegir dos ecuaciones para eliminar una variable haciendo multiplicaciones y sumas:

2.

Elegir otro par de ecuaciones (incluyendo la que falta) para eliminar la misma variable:

3.

Resolver las ecuaciones como un sistema de 2x2:

4.

Sustituir el resultado :

5.

Sustituir en una de las ecuaciones originales :

30 estatuas A, 50 estatuas B y 100 estatuas C

b. En cada uno de tres alimentos, la unidad de peso tiene los nutrientes que se muestran en la tabla. ¿Cuántas unidades de peso de cada uno se deben ingerir para obtener exactamente 11 gramos de grasas, 6 gramos de carbohidratos y 10 gramos de proteínas? Alimento Grasas Carbohidratos Proteínas

Alimento

A

1

1

2

B

2

1

1

C

2

1

2

Grasas

Carbohidratos

Proteínas

A B C Total

11

 Método de determinantes 1.

Hacer el primer determinante con los coeficientes de las literales

2.

Sustituir en D los coeficientes de a por los términos constantes

3.

Sustituir en D los coeficientes de y por los términos constantes

4.

Sustituir los valores obtenidos en una ecuación para obtener el tercer valor

1 g de A, 2 g de B y 3 g de C

c. Un fabricante de ropa produce sacos, camisas y pantalones. En la tabla siguiente vemos el tiempo necesario para cortar, coser y empacar cada prenda. ¿cuántas prendas de cada una debe producir para llenar todas las horas disponibles de trabajo?

Actividad Corte Costura Empaque

Actividad

Sacos

Camisas Pantalones Tiempo disponible

Corte

20 min

15 min

10 min

115 horas

Costura

60 min

30 min

24 min

280 horas

Empaque

5 min

12 min

6 min

65 horas

Pantalones

Tiempo disponible

Sacos

Camisas

120 sacos, 200 camisas y 150 pantalones

d. Una fábrica produce tres tipos de balones de futbol, con un costo mensual de $24,450 por cada 1125 balones. Los costos de fabricación de los tres tipos de balones son $40, $30 y $20. Estos balones se venden en $160, $120 y $100, respectivamente. ¿Cuántos balones de cada tipo se fabrican si la ganancia mensual es de $117,200?

Balones Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Total

Cantidad

Costo mensual

Precio de venta

Tipo 1: 40 Tipo 2: 115 Tipo 3: 970

e. El dueño de una tienda quiere mezclar cacahuates de $20 el kg, almendras de $ 35 kg y nueces de la India de $25 el kg, para obtener 50 kg de una mezcla que pueda vender a $25 el kg. Usó 15 kg menos de almendras que de cacahuates. ¿Cuántos kilogramos de cada producto debe utilizar? Precio / kg Cacahuates Almendras Nueces de la India Total

Cantidad

Cacahuates: 30 Almendras: 15 Nueces de la India: 5