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Iñaki Carrascal Mozo. Matemáticas. Mis respuestas a problemas de Yahoo Respuestas! 1.0 07/02/2013. Pág. 1 de 246

Matemáticas Mis soluciones a los problemas de Yahoo Respuestas! Iñaki Carrascal Mozo. fí[email protected] http://www.carrascal.net46.net/físicas/ v1.0: 07/02/2013. Última actualización: v1.0: 07/02/2013

Iñaki Carrascal Mozo. Versión 1.0 – Creado el 07/02/2013. Matemáticas contiene 457 preguntas en 246 páginas Enlace (Link) del documento

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Puesto 3º en “Los mejores de Física”. 93 % Mejor Respuesta. 81 fans. Nivel 7. 25.680 puntos. 1759 preguntas (07/02/2013)

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El 11 de octubre de 2012 me hice miembro de Yahoo! Respuestas y me puse a resolver ejercicios que planteaba la comunidad. Me gustaba el planteamiento de que alguna duda que tuviera alguien pudiera resolverla uno o varios compañeros a través de internet. En (exactamente) un mes alcancé el Nivel 6 (superando los 10.000 puntos). Y en (justamente) dos meses he superado los 17.000 puntos y me he colado hasta el 3º puesto de los “Mejores de Física”. Desde el 07 de febrero de 2013 ocupo el Nivel 7.

He sido “Colaborador destacado” en Física, Matemáticas, Ingeniería y Software. Desde el 23 de noviembre estoy entre los 10 primeros puestos de “Los mejores de Física”, el 03 de diciembre ocupé el 7º puesto, el 15 de diciembre el 5º lugar y el 07 de febrero de 2013, el tercer puesto. He alcanzado un 93 % de Mejor Respuesta. A fecha 07/02/2013 llevo contestadas 1759 preguntas, con 25.680 puntos (nivel 7), tengo un 93 % de Mejor Respuesta, ocupo la 3ª posición de “Los Mejores de Física” y tengo 81 “fans”. A continuación presento unas cuantas preguntas de Yahoo! Respuestas que yo mismo resolví, con la fecha en que lo hice. En la mayoría de ellas he respetado la pregunta original. Quizá haya corregido alguna falta de ortografía o mejorado un poco el enunciado para hacerlo mas claro. Con el tiempo iré ordenando los ejercicios por orden de dificultad creciente. Aunque muchos problemas pueden resolverse de otra forma, creo que las respuestas que he dado son la manera más adecuada de hacerlo, fruto de años de docencia de Física y Matemáticas a nivel universitario. Las respuestas están tal y como las respondí en su momento, con el (sencillo) editor de textos de Yahoo. He procurado poner paréntesis para clarificar las mismas. Las potencias las indico con: ^ (5^4); la raíz cuadrada, con ^(1/2), con SQRT o con “raíz” (ej. raíz (2) = 2^(1/2)); la integral como “integral”. No puedo emplear subíndices (ej. radio de la Tierra: RT; épsilon sub o)... Si alguna de las respuestas es incorrecta, que puede, pues todos somos humanos y de vez en cuando nos confundimos, podéis comunicármelo por correo electrónico: fí[email protected] . Revisaré mi respuesta y la que me indiquéis y la corregiré si es necesario.

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El 18/11/2012 me agregué al foro100cia y el 09/12/2012 al Grupo de Facebook Ayudémosnos en matemáticas por lo que también he incluido mis respuestas a ejercicios que he resuelto a través del foro o de Facebook.

He reunido todos los problemas de Matemáticas en un solo libro. Los de Física, en dos: – Física I, donde se analizan los temas de cinemática, estática, dinámica, trabajo y energía, sistemas de partículas y choques, dinámica de la rotación, campo gravitatorio, fluidos, movimiento armónico simple y movimiento ondulatorio. Este primer tomo incluye un total de 583 preguntas, en 296 páginas. – Física II, donde se analizan los temas correspondientes a la electricidad y magnetismo, óptica y física moderna. El segundo tomo tiene 200 preguntas en 106 páginas. Al comienzo de cada capítulo, indico las fórmulas más usuales que aparecerán en el mismo. Con el tiempo quizá explique cómo usarlas y cómo resolver determinados “problemas modelo”. No es un libro de teoría, sino de problemas. Sólo aparecerán las fórmulas y los problemas resueltos. Siempre podéis recurrir a mi página web para consultar mas fórmulas y datos: http://www.carrascal.net46.net/físicas/ y a Wikipedia: http://es.wikipedia.org/ . Podéis difundir este documento entre vuestros compañeros. Respetad, eso sí, el formato del mismo, su autoría y la marca de agua con mi foto. ¿A que molo de pequeño? Este documento se estará actualizando continuamente por lo que es recomendable que consultéis la última versión desde mi perfil en Scribd: http://es.scribd.com/I%C3%B1akiCarrascal Gracias a quienes habéis preguntado y respondido también. Un saludo a todos y espero que estos problemas os puedan servir en vuestros estudios. Iñaki Carrascal Mozo. Desde Castrillo de Don Juan, un pequeño pueblo de Palencia (España) Si queréis visitar mi pueblo, echad una ojeada a mi web: http://www.castrillodedonjuan.netai.net/

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Índice de capítulos. Matemáticas Tema

Título

Página

Ejercicios

Matemáticas básicas 01

Matemáticas básicas Fracciones. Potencias y radicales. Longitudes, áreas y volúmenes. Despejando variables. Polinomios. Regla de Ruffini...

006

28

02

Ecuaciones, inecuaciones y valores absolutos

017

16

03

Sistemas de ecuaciones (lineales y no lineales)

024

10

04

Exponenciales y logaritmos

029

13

05

Trigonometría

036

20

06

Números complejos

046

13

Álgebra lineal 07

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones Operaciones con matrices. Rango de una matriz. Discusión y resoluciones de sistemas lineales

052

20

08

Espacios vectoriales Dependencia en independencia lineal. Operaciones con subespacios vectoriales.

064

16

09

Aplicaciones lineales Matriz asociada a una aplicación lineal. Núcleo e imagen

072

21

10

Diagonalización de endomorfismos Valores y vectores propios

085

11

11

Formas cuadráticas y producto escalar Signatura de matrices. Subespacio ortogonal.

091

05

Geometría analítica 12

Geometría en el plano y en el espacio Puntos. Vectores. Rectas y planos. Problemas de incidencia y paralelismo. Curvas y superficies.

094

20

13

Cónicas Circunferencia. Elipse. Hipérbola. Parábola. Cónica en polares.

104

25

Cálculo diferencial de una variable 14

Funciones de una variable Dominio y recorrido de una función. Composición de funciones. Evaluando funciones en puntos. Expresión de una función.

117

09

15

Límites y continuidad de funciones de una variable 121 Indeterminaciones y resolución de límites. Continuidad. Regla de L' Hôpital. Cálculo de límites aplicando desarrollos en series de

26

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potencias (para estas dos secciones, véase primero el tema siguiente de cálculo diferencial) 16

Cálculo diferencial de funciones de una variable Cálculo de derivadas. Aplicaciones de la derivada: recta tangente y normal y problemas. Derivabilidad de funciones. Teoremas. Estudio y gráficas de funciones.

134

32

17

Problemas de máximos y mínimos Problemas de optimización.

148

21

Cálculo diferencial de varias variables 18

Funciones de varias variables Dominio y Curvas de nivel. Derivadas parciales. Derivada direccional. Gradiente. Plano tangente y recta normal. Derivación implícita. Desarrollo en serie de Taylor.

158

21

19

Extremos de funciones de varias variables Puntos críticos. Extremos relativos. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange. Extremos absolutos.

166

10

20

Integrales indefinidas 173 Integrales inmediatas. Integración por partes. Integración por cambio de variable. Integración de funciones racionales. Integrales trigonométricas. Integrales de funciones irracionales. Integrales no resolubles.

32

21

Integrales definidas Regla de Barrow. Aplicaciones de la integral definida: cálculo de áreas, longitudes, volúmenes y superficies.

186

23

22

Integrales impropias Criterios de convergencia de integrales impropias de primera y segunda especia. Resolución de integrales impropias.

198

06

23

Integrales curvilíneas

203

03

24

Integrales múltiples (dobles, triples, de superficie)

205

04

25

Ecuaciones diferenciales de primer orden 216 Ecuaciones en variables separadas. Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones lineales. Ecuaciones exactas. Factor integrante. Ecuaciones no lineales. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.

25

26

Ecuaciones diferenciales de segundo orden y orden superior.

232

06

27

Transformada de Laplace

236

08

240

13

Cálculo integral

Ecuaciones diferenciales

Métodos numéricos 28

Métodos numéricos

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Tema 01. Matemáticas básicas Fracciones Pregunta 01. Resuelta el 28/10/2012 1. Perdí 1/5 de mi dinero y preste 1/8 ¿Que parte de mi dinero me quedo ? 2. Perdí 1/5 de mi dinero y preste 1/8 de lo que me quedaba ¿cuanto me quedo? 3. Los 2/3 de una finca se vende 2/5 del resto se siembran de caña y el resto de tabaco ¿Qué parte de la finca se sembró de tabaco ? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1)

1 - 1/5 - 1/8 = 27 / 40

2 ) 1 - 1/5 = 4/5 me quedan. si ahora presto 1/8 de lo que me quedaba, me quedará 7/8 de 4/5 esto es: 7/8·4/5 = 7 / 10 3) 1 - 2/3 = 1/3 es lo que queda de finca sin vender. Si se siembra de caña 2/5, de tabaco se sembrara 3/5 de 1/3. Esto es: (3/5) · (1/3) = 1 / 5 Pregunta 02. Resuelta el 28/10/2012 Problema 1: de un depósito de aceite se vacía la mitad, de lo que queda se vacía otra vez la mitad y después 11/15 del resto. Si al final hay 36 litros¿cuantos había al principio? Problema 2: Compro a plazos una bicicleta que vale 540 euros. El primer mes pago los 2/9; el segundo los 7/15 de lo que me queda por pagar y después 124 euros a) ¿cuanto he pagado cada vez? b) ¿qué parte del precio me queda por pagar? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal PROBLEMA 1. Sea "x" los litros iniciales del depósito - se vacía la mitad, es decir se vacía x/2 - queda x - x/2 = x/2 (o la otra mitad directamente) - se vacía la mitad de nuevo, es decir (1/2)·(x/2) = x/4 - quedara ahora: x/2 - x/4 = x/4 - se vacía 11/15 de x/4, directamente quedarán 4/15 de x/4; es decir: (4/15)·(x/4) = x/15 (al escribir la fracción puse entre "5" en vez de entre "15" - pues bien x/15 = 36, luego x = 540 l PROBLEMA 2. Precio bici 540 € Pago 2/9 de 540 € = (2/9)·540 € = 120 € Me quedan por pagar; 540 - 120 = 420 € Segundo pago: 7/15 de 420 = (7/15)·420 € =196 € Me queda por pagar: 420 - 196 = 224 € Después pago 124 € Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Me queda por pagar: 224 - 124 = 100 € que si 540 € son el 100 %; los 100 € que quedan por pagar serán (regla de tres): 18,5 % o si quieres indicarlo como fracción: si 540 € es el total (1) ...100 € ...serán 100 / 540 = 5/27 Pregunta 03. Resuelta el 10/11/2012 Un niño regala 1/3 de sus bolitas y luego los 2/5 que le queda. Si tiene 60 bolitas, ¿cuántas tenia al principio? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal x bola iniciales regala 1/3 de x = x/3 le quedan x - x/3 = 2x/3 regala 2/5 de 2x/3 = (2/5) · (2x/3) = 4x/15 le quedan 2x/3 - 4x/15 = 2x/5 que son 60 bolitas luego 2x/5 = 60 ; de donde x = 150 bolitas Pregunta 04. Resuelta el 11/11/2012 De un deposito de agua que estaba lleno el lunes e gastaron 2/7 litros; el martes 1/6 litros; y el miércoles, 1/5 litros de su capacidad, quedando aun 7300 litros ¿cual es la capacidad del depósito? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sean x los litros iniciales Gastamos el lunes 2/7 de x = 2x/7 Gastamos el martes 1/6 de su capacidad (entiendo inicial) = x/6 Gastamos el miércoles 1/5 de su capacidad (entiendo inicial) x/5 x - 2x/7 - x/6 - x/5 = 7300 x (1 - 2/7 - 1/6 - 1/5) = 7300 73 x / 210 = 73000 de donde x = 21000 litros es la capacidad del depósito Potencias y radicales Pregunta 05. Resuelta el 28/10/2012 -7/3 raíz cuadrada de 98 - 5/9 raíz cuadrada de 32 + 45 raíz cuadrada de 50 + 8/6 raíz cuadrada de 18 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal raíz (98) = raíz (49*2) = raíz(49) * raíz(2) = 7 raíz (2) raíz (32) = raíz (16*2) = raíz (16) * raíz (2) = 4 raíz (2) raíz (50) = raíz (25*2) = raíz (25) * raíz (2) = 5 raíz (2) raíz (18) = raíz (9*2) = raíz (9) * raíz (2) = 3 raíz (2) Todo junto: Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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-7/3 * 7 raíz (2) - 5/9 * 4 raíz (2) + 45 * 5 raíz (2) + 8/6 * 3 raíz (2)= saca raíz (2) factor común: raíz (2) * (-49/3 - 20/9 + 225 + 4) = (1894/9) * raíz (2) Por cierto comprueba tu enunciado y quizá te hayas equivocado y en vez de "45" has querido decir "4/5" Pregunta 06. Resuelta el 28/10/2012 ¿hallar el valor de k? 1) (2/3)=2^5/3^k 2) (2/K)^3=8/125 3) (-3/4)^k= -27/64 4) (5/2)^6=5^2+k/64 5) (k/3)^(-4)=(3/-5)^4 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Procura poner mas paréntesis para que no haya dudas 1) 2/3 = (2^5) / (3^k) 3^k = 3·2^4 3^k = 48 tomando neperianos: ln (3^k) = ln 48 ; k ln 3 = ln 48 de donde k = (ln 48) / (ln 3) 2) (2/K)^3=8/125 (2^3) / (k^3) = (2^3) / (5^3) pues 8 = 2^3 y 125 = 5^3 simplificas 2^3 y queda k^3 = 5^3 , de donde k = 3 3) (-3/4)^k= -27/64 (-3/4)^k= -3^3 / 4^3 (-3/4)^k= - (3/4)^3 de donde k = 3 4) (5/2)^6=5^2+k/64 yo creo que has querido decir: (5/2)^6=( 5^(2+k) ) / 64 ¿a que sí? (5^6) / (2^6) =( 5^(2+k) ) / (2^6) , pues 64 = 2^6 5^6 = 5^(2+k) 6=2+k k=4 5) (k/3)^-4=(3/-5)^4 (3 / k)^4 = (-3/5)^4 3 / k = -3 / 5 de donde k = -5 Pregunta 07. Resuelta el 28/10/2012 ¿Hallar el valor de k? 6) (7/5)^-2=(5/7)^k 7) (6x9)^k=6^5x9^5 8) (8xk)^4=8^4x7^4 9) (9/7x3/5)^7=k^7x(3/5)^7 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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6) (5/7)^2 = (5/7)^k, de donde k = 1 Nota a^(-b) = 1 / (a^b) 7) (6·9)^k = 6^k · 9^k = 6^5 · 9^5, de donde k = 5 Nota: (a·b)^c = a^c · b^c 8) 8^4 · k^4 = 8^4 · 7^4, de donde tras simplificar 8^4, se ve que k = 7 (misma propiedad que antes) 9) (9/7)^7 · (3/5)^7 = k^7 · (3/5)^7 , de donde tras simplificar (3/5)^7 , queda k =9/7 Pregunta 08. Resuelta el 28/10/2012 Si 2^k+2=a y 3^k-1=b entonces 6^k es … Respuesta: 3 / (4ab) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Hay que acostumbrarse a usar paréntesis para que quede claro. Se supone que dices : 2^(k+2) =a y 3^(k-1)=b Bien. 2^(k+2) = 2^k · 2^2 = 4 · 2^k que vale a ; luego 2^k = a/4 3^(k-1) = 3^k · 3^(-1) = (1/3) · 3^k que vale b ; luego 3^k = 3 b Te piden 6^k = (2·3)^k = 2^k · 3^k , pero 2^k = a/4 y 3^k = 3 b así pues: 6^k = (a/4) · (3b) = (3/4) · a · b Pregunta 09. Resuelta el 09/11/2012 1- Se sabe que 4² = 2². ¿Puede decirse que la potenciación es una operación conmutativa? 2- Un arquitecto de la municipalidad diseña una plaza de 2500 m² al sindico le parece pequeña y quiere duplicar la superficie a) ¿por cuanto hay que multiplicar el lado? b) ¿que sucede con la superficie si el lado se multiplica por 2? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) No: 3^2=9 no es lo mismo que 2^3=8 Aunque "astutamente" te haya sonado la flauta y 2^4 coincida con 4^2 2) L^2 = 2500 : de donde L = 50 m a) Queremos que la superficie sea: 2 · 2500 L^2 = 2 · 2500 ; de donde L = raíz (2) · 50. Debemos multiplicar el lado por raíz (2) b) Se multiplicara por cuatro. pues si S = L^2 S ' = (2 L)^2 = 4 L^2 = 4 S Pregunta 10. Resuelta el 14/11/2012 ¿por favor me podrían explicar este ejercicio: (5^(2n+1)-25^n) : 5^(2n+2)? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 5^(2n+1) = 5^(2n) · 5 = 25^n · 5 5^(2n+2) = 5^(2n) · 5^2 = 25^n · 5^2 ….5^(2n+1)-25^n.......25^n · 5 – 25^n.......25^n · (5 – 1).......4 --------------------- = .---------------------- = ------------------ = ---….....5^(2n+2)................25^n · 5^2................25^n · 5^2......25 Recuerda que (a^b)^c = a^(b·c) y que: a^b · a^c = a^(b + c) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Longitudes, áreas y volúmenes Pregunta 11. Resuelta el 04/11/2012 En una fábrica de comidas enlatadas se utilizan envases en forma de cilindro circular recto de 5 cm de radio. a) escribe la función que permita determinas el volumen (V) de la lata, en función de la altura (h) b) hallar el volumen de la lata si su altura es de 20 cm Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El volumen de un cilindro circular es V = pi · R^2 · h donde R es el radio de la base y h la altura del cilindro a) V (h) = pi · 5^2 · h = 25 · pi · h que vendrá dado en cm^3 si la altura la expresas en cm b) V (h=20cm) = 25 · pi · 20 = 500 · pi cm^3 = 1570,8 cm^3 Pregunta 12. Resuelta el 02/12/2012 En un terreno rectangular de 80 m de largo por 30 m de ancho se quiere construir una casa de 2 plantas, de 20 m de largo y 10 m de ancho. Además de una piscina circular de 5 m de radio. En el resto del terreno se quiere plantar césped. Calcula: a) El área total de la casa b) El área de la piscina c) El área del terreno con césped Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal a) La casa es un rectángulo. El área de un rectángulo es base por altura: A (casa) = 20 · 10 = 200 m^2 b) La piscina es un círculo. El área de un circulo es pi · R^2 siendo R el radio. A (piscina) = pi · 5^2 = 25 pi = 78,54 m^2 c) El área del terreno rectangular, otro rectángulo sera A (terreno) = 80 · 30 = 2400 m^2 Luego el área césped será: A (césped) = A(terreno) - A (casa) - A (piscina) = 2400 - 200 - 78,54 = 2121,46 m^2 Problema 13. Resuelta el 29/12/2012 Calcula el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. El número obtenido es racional o irracional? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El diámetro de la circunferencia es precisamente la diagonal del cuadrado Sea a el lado del cuadrado y D el diámetro D = raíz (a^2 + a^2) = a raíz 2 Nota : con raíz señalo raíz cuadrada Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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luego a = D / raíz 2 = 20 cm / raíz 2 = 14,14 cm Es un número irracional (por la raíz 2), 20 / raíz 2 = (20 raíz 2) / 2 = 10 raíz 2. Despejando variables Pregunta 14. Resuelta el 31/10/2012 ¿Quien me puede ayudar con este despeje M (A+B) = A S + B K Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Primero debes señalar si se trata de "números" o matrices y qué variable quieres despejar: Te voy a despejar todas (M, A, B, S y K) M: M = ( A S + B K ) / (A + B) A: MA+ MB=AS+BK MA-AS=BK-MB A (M-S) = BK - MB A = (B K - M B) / (M - S) B: MA+ MB=AS+BK MB-BK=AS-MA B (M - K) = A (S - M) B = (A S - M A) / (M - K) K: MA+ MB=AS+BK BK= MA+MB-AS K = (M A + M B - A S) / B S: MA+ MB=AS+BK AS=BK-MA-MB S = (B K - M A - M B) / A No te quejarás. Pregunta 15. Resuelta el 14/11/2012 Cómo transformo esta ecuación para hallar tiempo: d=vi*t+(a*t^2)/2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Es una ecuación de segundo grado, a x^2 + b x + c = 0 .......- b + - raíz (b^2 - 4 a c) x = ----------------------------------....................2 a Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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En tu caso: (a/2) · t^2 + vi · t - d = 0 multiplica por 2 (para quitar denominadores) a · t^2 + 2 · vi · t - 2 · d = 0 ......- 2 · vi + - raíz [ (2 · vi)^2 - 4 · a · 2 · d ] t = ------------------------------------------------… ..............................2 a .......- vi + - raíz [ (vi)^2 - 2 · a ·d ] t = -------------------------------------.....................a Polinomios. Descomposición en factores. Regla de Ruffini... Pregunta 16. Resuelta el 03/11/2012 Tengo el siguiente polinomio: p(x) = -2x^3 +14x^2 -16x -32. No puedo buscar factor común 2x ya que tenemos término independiente -32, por lo tanto hay que hacerlo por Ruffini, verdad? ¿Qué raíces os dan? os sale una raíz doble? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Las raíces son x = 4 (doble) y x = -1 El polinomio factorizado: - 2 (x - 4)^2 (x + 1) Pregunta 17. Resuelta el 08/12/2012 Un polinomio de grado 3 cuyos ceros son -4, 3/2, 1/3 con la forma P(x)= k(x+4) (x-3/2) (x-1/3) siendo el termino independiente 16. a) k = 8, b) k = 5, c) k = 4/3, d) ninguna de las anteriores Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Si desarrollaras el polinomio (multiplicándolo todo), el término independiente es precisamente el producto de los términos independientes de cada factor, esto es: k · 4 · (-3/2) · (-1/3) = 16 de donde k = 8 Es decir, opción A Espero te vaya bien en la facultad. Pregunta 18. Resuelta en octubre 2012 1) Hallar el mínimo común denominador de las siguientes expresiones racionales, y reescribirlas con el m.c.d como su nuevo denominador: 2/6x^4y, 4/9x^5y^6, 6/2xy^9 Tengo que tener el: Mínimo común denominador, Numerador de la expresión 1, Numerador de la expresión 2, Numerador de la expresión 3 2) Hallar el mínimo común denominador de las siguientes expresiones racionales: 1/x-4, x+4/x^2-8x+16, 5x/x^2-16 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) El denominador común es 18 x^5 y^9 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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el numerador de la primera fracción sera: 6 x y^9 el numerador de la fracción 2 sera: 8 y^3 el numerador de la fracción 3 sera: 54 x^4 2) El común denominador es: (x-4)^2 · (x+4) Pregunta 19. Resuelta en octubre de 2012 Estoy en octavo grado de secundaria y tengo el siguiente problema, no me da la respuesta.. la división es el resultado de dividir 21 x3 y2 - 24z x2 entre 3xy Las respuestas son: a) 7x2y+3zx b) -3xz-7x2y c) 7x2y-3zx d) -7x2y+3zx Yo la hago y me da 7x2y -8x, que estoy haciendo mal? :c Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Pon paréntesis. ** Si se interpreta: (21 x^3 y^2 - 24 z x^2) / (3 x y) si sacamos 3 y factor común en el numerador y lo simplificamos con los términos correspondientes del denominador queda: x(7 x y^2 - 8z) / y ninguna de las respuestas esta bien ** Si se interpreta (21 x^3 y^2) / (3 x y) - 24 z x^2 = 7 x^2 y - 24 z x^2 y tampoco es ninguna de las respuestas señaladas Pregunta 20. Resuelta en octubre de 2012 Encontrar MCM y MCD de : x4 - 10x2 + 9 i x6 - 9x4 + 9x2 - 4 Y luego : En el polinomio A(X)= x6 - 54 + 6x3 + kx2 + 4x + h. Encuentra k sabiendo que es divisible por x-3 y que 1 es una raíz del polinomio A(x) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) el segundo polinomio no tiene raíces reales; el primero es (x+1)(x-1)(x+3)(x-3) El MCD es 1 El mcm es el producto de ambos polinomios 2) Si 1 es una raíz del polinomio, dicho polinomio es divisible por x-1, es decir podemos hacer "Ruffini" con x=1 y el resto igualarlo a cero. Si hacemos esto, resulta la ecuación 6 + k + h = 0 (1) Lo mismo hacemos con x=3, Ruffini e igualamos a cero, obteniendo h + 9k + 12 = 0 (2) Resolvemos el sistema y resulta h = -21/4 y k = -3/4 Pregunta 21. Resuelta en octubre de 2012 ¿como se realizan estos ejercicio de álgebra? 1: 6x-12= 2: 4x-8y= 3: 24a-12ab= 4 10x-15x2 al cubo Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Supongo que en algunos casos sera sacar factor común 1) 6 (x - 2) 2) 4 (x - 2 y) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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3) 12 a (2 - b) 4) Hay que poner paréntesis, sino no queda claro. Entiendo: ( 10 x - 15·x·2)^3 = (10 x - 30 x)^3 = (20 x)^3 = - 20^3 · x^3 = - 8000 x^3 Nota ^ significa elevado a . Por ejemplo x^3 es x elevado al cubo Pregunta 22. Resuelta en octubre de 2012 La expresión x+2 es factor de f(x) = x³ - 2x² - 10x + k, si k vale: A) -16 B) -8 C) -4 D) 0 E) 2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Aplica Ruffini con x = -2 .....1... -2...-10...k ..-2..... -2.....8....4 ......1...-4....-2...4+k para que sea factor el resto debe ser nulo: 4+k=0, k = -4 ninguna de las respuesta esta bien Pregunta 23. Resuelta el 01/12/2012 Calcula a y b para que P(x) = 2 x^4 + a x^3 + b x^2 – 4 x sea divisible por (x+4) y al dividirlo por (x + 1) el resto sea -6 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Para que sea divisible por x+4, el resto de la hacer la división el polinomio por x+4 debe ser nulo. es decir si hacemos "Ruffini" con x+4, el resto debe ser 0 P(x)=x·(2x^3 + a x^2 + b x -4) ....2......a..........b.............-4 -4........-8.....-4a+32........-4b+16a-12… ....2....a-8......b-4a+32....-4b+16a-132=… -4b+16a-132=0 es decir: -b + 4 a - 33 = 0 (ec.1) En el segundo caso igualaremos el resto a -6 (en vez de a 0) al hacer Ruffini con x=-1 ......2......a.......b.........-4.....… -1..........-2.....-a+2.....-b+a-2...6… ......2.....a-2...b-a+2....-6-b+a..6+b… 6+b-a=-6 b - a = -12 (ec.2) -b + 4 a - 33 = 0 (ec.1) sumando 3a - 33 = -12 de donde a = 7 y b = a-12 = 7 -12 = -5. Pregunta 24. Resuelta el 04/01/2013 Halla el valor de k para que el polinomio p (x) = kx^3 + 2 k x^2 – 3 x + a sea divisible por x-1 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Para que sea divisible por x - 1, el resto de la división del polinomio por x - 1 debe ser 0. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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O lo que es lo mismo, si sustituyen la x por 1 , el valor del polinomio es cero. k · 1^3 + 2 · k · a^2 - 3 · 1 + a = 0 3k-3+a=0 de donde k = (3 - a) / 3 O lo que es lo mismo, haces "Ruffini" con xo = 1 y el resto debe ser cero. Llegas al mismo resultado. Pregunta 25. Resuelta el 28/12/2012 Halla un polinomio de 3º grado, que cumple a la vez las siguientes condiciones a) Tiene por raíz 1, con multiplicidad 2, es decir, que ese factor aparece 2 veces en la descomposición factorial. b) Si lo divides por x, el resto es 5. c) Si le sumas 4 , el polinomio resultante es divisible por x+1 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) el polinomio es de la forma p (x) = (x - 1)^2 · (a x + b) pues es de tercer grado 2) Si lo divides por x, el resto es 5. Evaluar un polinomio en un punto xo es calcular el resto de la división del mismo por x - xo, es decir que si haces "Ruffini" en xo = 0, el resto da 5 por lo tanto será de la forma p (x) = (x - 1)^2 · (a x + 5) 3) p (x) desarrollando el producto queda: p (x) = a x^3 + 3 x^2 + (a - 10) x + 5 si le sumamos 4, p (x) = a x^3 + 3 x^2 + (a - 10) x + 9 es divisible por x + 1, es decir si hacemos "Ruffini" con xo = -1, dará 0 0 = - a + 3 - a + 10 + 9, de donde a = 11 luego el polinomio solicitado es: p (x) = (x - 1)^2 · (11 x + 5) = 11 x^3 + 3 x^2 + x + 5. Ejercicios varios Pregunta 26. Resuelta el 06/12/2012 ¿Problema de rangos o equivalencias? si 0 0 valor absoluto de x es -x si x es < 0. Región I. x > 0 la inecuación queda : sqrt (x^2 - 1) >= x - 3 elevo al cuadrado: x^2 - 1 >= x^2 - 6x + 9 6x >= 10 x>= 5/3 Región I. x < 0 la inecuación queda : sqrt (x^2 - 1) >= -x - 3 elevo al cuadrado: x^2 - 1 >= x^2 + 6x + 9 6x 0, pues el numero de unidades debe ser positivo) Igualas a cero y resuelves la ecuación de segundo grado: x^2 + 7 x - 120 = 0 cuyas soluciones son x = -15 y x = 8 Tenemos que (x + 15) (x - 8) > 0 Planteamos un tabla con intervalos, de - infinito a -15, de -15 a 8 y de 8 a infinito ........... -inf, -15...-15, 8 ... 8, + inf x + 15......-.............+............+ x - 8 ........-.............-.............+ .................+............-.......…...+ La función es positiva en los intervalos -inf a -15 y 8 a inf. Como el número de unidades debe ser positivo, entonces vemos que el número minino de unidades debe ser 8 (extremo inferior del intervalo 8, inf) Pregunta 11. Resuelta el 19/01/2013 a las 21:11 h (hora española). Respuesta número 1530 Hallar el conjunto de solución de las siguientes inecuaciones? x^3 + 7x^2 - 36 ---------------------- = 0 ---- ---- ----3x² 3 3x Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Pon puntos .... para separar términos, fracciones, etc. en Yahoo!. Sino lo pone todo seguido y no se entiende nada. Creo que quieres decir: -2..... 1........ 8 ---- + ---- + ----- >= 0 3x²....3....... 3x ¿a que se lee mejor? Ayúdate de los puntos para las próximas preguntas que hagas por este medio. Bien, vamos a quitar denominadores, multiplicando por x^2 todo (el "3" lo podemos simplificar) -2 + x^2 + 8 x >= 0 es decir: x^2 + 8 x - 2 >= 0 tenemos una inecuación de segundo orden. Para este tipo de inecuaciones, sacas las raíces del polinomio (en este caso, resuelves la ecuación de segundo orden) y haces una tabla con los correspondientes factores en intervalos. En este caso, las raíces son: -4 +3 raíz 2 y -4 - 3 raíz 2, que aproximadamente son 0,24 y -8,24 respectivamente. Haces la tabla: ............- inf, -8,24...-8,24,0,24...0,24, inf x - 0,24......-.................-...........… x + 8,24.....-................+.............… .................+................-...… es positivo en los intervalos (-infinito, -8,24] y [0,24 , infinito) con corchetes en los puntos -8,24 y 0,24 pues la desigualdad en > o igual. Pregunta 13. Resuelta el 03/02/2013 a las 22:15 (hora española). Respuesta número 1711 Alguien me podría ayudar a resolver gráficamente inecuaciones.... sé que por este medio es difícil... por tanto podríais escribirlo lo más claro posible... por ejemplo representar esta: 3x>9 y esta: 2x-3 9 pasas el 3 dividiendo, por lo que x > 9 / 3, es decir x > 3 la solución de la inecuación son los valores de x mayores que 3. Para representar la solución, puedes colocar en la recta real el punto x = 3 y "rayar" a partir de x = 3 (sin incluirlo) ..................////////////////////… .... > .................3............ La solución se puede escribir como un intervalo: (3, infinito) en el 3 he puesto un paréntesis pues no se incluye el mismo La segunda: 2 x - 3 < 5 pasa el 3 (como en una ecuación normal y corriente) a la derecha 2x 6 - 3 x ; 6 x > 6 ; x > 1 (pero menor que 2) es decir la solución es 1 < x < 2 3º (2, + infinito) |x|=x |6-3x | = -6 + 3 x la ecuación quedará: 3 x > -6 + 3 x ; 6 x > -6 ; x > -1 , pero como la x debe ser mayor que 2 ; solución x > 2 es decir la solución es 1 < x < 2 y x > 2 Pregunta 15. Resuelta el 05/02/2013 a las 18:19 (hora española). Respuesta número 1725 ¿Cómo se gráfica |x|+|y|=|x-2|+|y-3|? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Rarito el problema. Mira cuando se anula cada sumando, en x = 0, y = 0, x = 2 e y = 3 Bien: * Si x > 2, abs x = x (abs es valor absoluto), abs (x-2) = x - 2 queda: x + abs y = x - 2 + abs (y - 3) es decir: abs y = - 2 + abs (y - 3) de nuevo miras cuando se anula la y * Si x > 2, e y > 3, abs (y-3) = y - 3, abs y = y queda: y = - 2 + y - 3 ¡ no es posible!, es decir no hay función en la región x>2, y>3 * Si x > 2 y 0 < y < 3, abs y = y, abs (y - 3) = 3 - y queda: y = - 2 + 3 - y, de donde 2 y = 1 , es decir y = 1/2 dibujarías en la región x > 2, con y comprendida entre 0 y 3 el valor constante y = 1/2 (una linea horizontal) * Si x > 0, e y < 0, abs y = -y , abs (y-3) = 3-y Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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queda: -y = -2 + 3 -y , de nuevo ¡no es posible!, es decir, no hay función en la región, x>2, y 0 - vale -x sin x < 0 con abs denoto valor absoluto. Si tienes abs (x - a) miras donde se anula lo que esta dentro del valor absoluto, es nuestro caso en x = a y procedes así: - si x > a, abs (x - a) = x - a - si x < a, abs (x - a) = -(x - a) = a - x ¿Comprendes? Vamos a tu ejercicio. y = abs (x + 3) - 1 ¿donde se anula el valor absoluto?. Ves que es en x = -3. Asi que descomponemos el valor absoluto como: abs (x + 3) = x + 3 si x > -3 abs (x + 3) = -(x + 3) si x < -3 Luego la función te quedará: ** si x > -3 , y = x + 3 - 1, es decir: y = x + 2 es una recta que representarás a partir del punto x = -3 y para representarla darás dos puntos. Por ejemplo: si x = -3 , y = -1, representas el punto (-3, -1). Si x = 1, y = 3, representas el punto (1, 3) y unes ambos puntos, ¿ok? ** si x < -3, y = - x - 3 - 1 , es decir : y = - x - 4, de nuevo otra recta que representas dando dos puntos (menores que -3), si x = -3, y = -1 , punto (-3, -1); si x = -5, y = 1, punto (-5, 1) y representas ambos. Mediante este editor de Yahoo! no puedo representarlas, pero estoy seguro de que lo has entendido, ¿verdad?

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Tema 03. Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones lineales Pregunta 01. Resuelta el 01/11/2012 1. Si Pedro tiene el triple de dinero que Juan y que ambos tienen 2000 cuanto tendrá cada uno 2. La suma de los dígitos de un numero entero de 2 cifras es 9 si se invierten las cifras el numero queda aumentado en 27, ¿cual es el número? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1. juan: x pedro: 3 x x + 3 x = 2000 ; de donde 4 x = 2000 ; x = 500 juan tiene 500 y pedro 3·500 = 1500 2. Numero: xy --> El numero es 10 x + y x+y=9 Invertidas las cifras: yx --> El numero es 10 y + x 10 y + x = 10 x + y + 27 ==> 9 x - 9 y = -27 ; y - x = 3 y+x=9 y-x=3 sumando: 2 y =12 ; y = 6 sustituyendo calculamos x = 3 El numero es 36 Pregunta 02. Resuelta el 28/11/2012 Un cierto número de estudiantes debe acomodarse en una residencia. Si se ubicaran 12 estudiantes por habitación quedarían 2 estudiantes fuera. Si se ubicaran 3 estudiantes por habitación sobrarían 2 habitaciones. ¿cuantas habitaciones disponibles hay en la residencia y cuantos estudiantes deben acomodarse en ella? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Creo que te has equivocado en el enunciado, pues al resolver el sistema me sale unas soluciones sin sentido. Creo que quieres decir que "si se ubicaran 2 estudiantes " 2 estudiantes en vez de 12 , ¿a que sí? Te lo resuelvo suponiendo 2 estudiantes (imaginate 12 personas en la misma habitación) Sea x el numero de estudiantes e y el numero de habitaciones Si se ubicaran 2 estudiantes por habitación quedarían 2 estudiantes fuera 2y=x-2 Si se ubicaran 3 estudiantes por habitación sobrarían 2 habitaciones. 3 (y - 2) = x Resuelve el sistema, x = 3 y - 6 luego 2 y = 3 y - 6 - 2, de donde y = 8 habitaciones Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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x = 3 · (8 - 2) = 18 estudiantes. Compruébalo. Está bien. Pregunta 03. Resuelta el 02/12/2012 En una cafetería mezclan 2 marcas de café, una de 7 euros/kg y la otra de 9,5 euros/kg. El encargado quiere preparar 20 kg de una mezcla de los dos cuyo precio sea de 8 euros/kg. ¿Cuánto debe poner de cada clase? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea x los kilos de la primera marca, 7 €/kg e y los kilos de la segunda, 9,5 €/kg x + y = 20 Para el precio medio (ponderado) x · 7 + y · 9,5 -------------------- = 8 .......20 Resolvemos el sistema: y = 20 -x 7 x + 9,5 (20 - x) = 160 7 x + 190 - 9,5 x = 160 190 - 160 = 9,5 x - 7x 30 = 2,5 x de donde x = 12 kilos e y = 20 - 12 = 8 kilos Pregunta 04. Resuelta el 31/01/2013 a las 21:38 h (hora española). Respuesta número 1632 La cifra de las decenas de un numero de dos cifras excede a la cifra de las unidades en 2. Si el numero se divide entre la suma de sus cifras, el cociente es 7 ¿Cual es ese numero? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El numero es xy x son las decenas e y las unidades La cifra de las decenas de un numero de dos cifras excede a la cifra de las unidades en 2: x=y+2 Si el numero se divide entre la suma de sus cifras, el cociente es 7 (10 x + y) / (x + y) = 7 Resolvamos el sistema 10 x + y = 7 x + 7 y 10 (y + 2) + y = 7 (y + 2) + 7 y 10 y + 20 + y = 7 y + 14 + 7 y 20 - 14 = 7 y + 7 y - 10 y - y 6 = 3 y, de donde y = 2, x = y + 2 = 2 + 2 = 4 El numero es el 42 . Puedes comprobar que es correcto. Pregunta 05. Resuelta el 02/02/2013 a las 15:18 (hora española). Respuesta número 1652 Si la base de un rectángulo aumenta 2 m y la altura 1 m el área aumenta 19 m3 calcula las dimensiones? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Vas a obtener un sistema compatible indeterminado, tendremos muchas posibilidades (con ciertas restricciones, como son que x e y sean mayores que cero). En efecto, sea x la base e y la altura del rectángulo. El área inicial es A = x · y Si la base aumenta 2 m y la altura 1 m, el nuevo área será: (x + 2) (y +1) = A (de antes) + 19 Has puesto m^3 , son metros al cuadrado Es decir: (x + 2) (y +1) = x y + 19 desarrollando x y + x + 2 y + 2 = x y + 19 simplificando x + 2 y = 17 Todas las dimensiones (con x , y, positivas, claro) que verifiquen la relación anterior cumplen con la condición del enunciado. Por ejemplo, si x = 5, y = 6 (la base puede ser mas pequeña que la altura) Si x = 7, y = 5. Vamos a comprobarlo en este caso: Área inicial = 7 · 5 = 35 m^2. area final (al incrementar 2 y 1 respectivamente): 9 · 6 = 54 m^2. Vemos que 35 + 19 = 54 Si x = 9, y = 4, etc. Y esto poniendo valores "enteros" a las dimensiones. Pregunta 06. Resuelta el 02/02/2013 a las 18:51 (hora española). Respuesta número 1662 En una empresa trabajan 60 personas. usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. si el numero total de personas que usan gafas es 11. ¿ cuantos hombres y mueres hay en la empresa? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea x el numero de hombres e y el numero de mujeres x + y = 60 (ec. 1) usan gafas: 0,16 x + 0,20 y = 11 es decir, multiplicando por 100: 16 x + 20 y = 1100 (ec. 2) y resolvemos el sistema. De la ec. (1), y = 60 - x por lo que 16 x + 20 (60 - x) = 1100 16 x + 1200 - 20 x = 1100 - 4 x = - 100, de donde x = 25, e y = 60 - 25 = 35. Habrá pues, 25 hombres y 35 mujeres. Comprueba que el 16 % de los hombres son 4 y el 20 % de mujeres son 7. La suma de ellos son 11 que son los que usan gafas. Pregunta 07. Resuelta el 02/02/2013 a las 23:46 (hora española). Respuesta número 1677 - En un hotel hay 67 habitaciones entre dobles y sencillas. Si el número total de camas es 92. ¿Cuántas habitaciones hay de cada tipo? - En un almacén hay dos tipos de lámparas, las de tipo A que utilizan 2 bombillas y las de tipo B que utilizan 7 bombillas. Si en total en el almacén hay 25 lámparas y 160 bombillas ¿Cuántas lámparas hay de cada tipo? Información adicional. No que me los resuelvan, que me ayuden a entenderlos. Cómo se llegan a plantear y que puntos hay que ver por que y maestra no lo explica nada bien. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Te voy a ayudar a plantearlos y entenderlos, como pides. Y como también pides, no te los Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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resolveré, pues sabrás hacerlo. a) Sea x el numero de habitaciones dobles e y el numero de habitaciones sencillas Primera ecuación del sistema para resolver: En un hotel hay 67 habitaciones... es decir x + y = 67 Segunda ecuación del sistema: Si el número total de camas es 92... si una habitación es doble tiene dos camas, luego en x habitaciones dobles habrá 2 x camas si una habitación es sencilla tiene una sola cama, luego en y habitaciones sencillas habrá y camas es decir el numero total de camas sera: 2 x+ y = 92 Debes resolver el sistema: x + y = 67 2 x + y = 92 por sustitución, reducción, igualación. b) tenemos x lampara del tipo A e y lamparas del tipo B primera ecuación del sistema: hay 25 lamparas.... x + y = 25 segunda ecuación: hay 160 bombillas, cada lampara A tiene 2 bombillas, por los tanto en x lamparas del tipo A habrá 2 x bombillas cada lampara del tipo B tiene 7 bombillas, por lo tanto en y lamparas del tipo B habrá 7 y bombillas es decir, la segunda ecuación sera: 2 x + 7 y = 160 Debes resolver el sistema: x + y = 25 2 x + 7 y = 160 Sistemas de ecuaciones no lineales Pregunta 08. Resuelta el 28/11/2012 Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 16 cm y un área de 30 cm^2, halla la medida de los dos catetos. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea x la medida de un cateto e y la medida del otro Área = 30 ; x · y / 2 = 30; x · y = 60 Hipotenusa = 16 ; x^2 + y^2 = 16^2 de la primera ecuación despeja y = 60/x y sustituyes en la segunda x^2 + (60/x)^2 = 256 x^2 + 3600/x^2 = 256 x^4 - 256 x^2 + 3600 = 0 ecuación bicuadrada (haz si quieres el cambio x^2 = t para hacerlo mas fácil) cuya solución es x^2 = 241,07 y x^2= 14,93 por lo que x = raíz (241,07) = 15,53 y en este caso y = 60/15,53 = 3,86 La otra solución es x = raíz 14,93 = 3,86, por lo que y = 15,53 Es decir los catetos son 3,86 y 15,53. También tu profe podría haber escogido unos datos de forma que dieran las soluciones exactas. Pregunta 09. Resuelta el 28/10/2012 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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¿Como resuelvo un sistema de ecuación no lineal? Hola, este sistema de ecuaciones no lineal x^2 – y^2 = 1 y=mx-2 Tiene que dar la raíz de +-3, alguien puede explicarme como hacerlo por favor Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal x^2 - y^2 = 1 y=mx-2 veamos , sustituyes la y de la segunda ecuación en la primera x^2 - (m x -2)^2 = 1 desarrollas la ecuación y la resuelves , queda una de segundo grado. Ahora bien, no sé muy bien tu pregunta pues en principio tienes 3 incógnitas: x, y , m pero tan solo dos ecuaciones. ¿O "m" es un parámetro y quieres calcular x e y en función de m? O quizá lo que estés tratando es de trazar una tangente a una curva (hipérbola); entonces tienes una nueva condición que "nos sacamos de la manga". Y es que al ser tangente el punto es "único". Es decir, que al resolver la ecuación de segundo grado, el discriminante (el conocido b^2 - 4 a c) debe ser nulo. Pregunta 10. Resuelta el 28/10/2012 ¿Me estoy equivocando en el planteamiento de este problema? Perímetro de un rectángulo: 26. Diagonal: 10 2x + 2y = 26 -> x + y = 13 x^2 + y^2 = 10^2 x = (13 - y) x^2 + y^2 - 100 = 0 (13 - y)^2 + y^2 - 100 = 0 169 + y^2 - 26y + y^2 - 100 = 0 2y^2 -26y + 69 = 0 Al resolver me da algo raro. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal No sale nada raro, simplemente que las soluciones no son "elegantes" (no salen números enteros ni fraccionarios). Se obtiene: y = 9,28 e y = 3,72 Si y = 9,28, x = 3,72 y al revés. Es decir, uno de los lados del rectángulo es 3,72 y el otro 9,28. Lo tienes bien el problema.

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Tema 04. Exponenciales y logaritmos. ab =a b−c (a b )c =a b ·c a · a =a c a Definición de logaritmo: log a N =x . El logaritmo en base a de N es el exponente al que hay que elevar la base para que nos dé el número. Esto es: a x =N Propiedades de los logaritmos: a log =log a – log b log (a · b)=log a+logb log( ab )=b log a b b

c

b+c

()

Pregunta 01. Resuelta en octubre de 2012 Resolver para x las siguientes ecuaciones 1) 3^x-1 – 2/3 = 1/3 2) a^2x-1 = 3(a^x + 1) 3) 4^x- 10 * 2^x + 25 = 0 4) 2^2x-5 – 2^x-5 = 1 5) (2/5)^1+2x : (25/4)^x+2/3 * (5/2) ^x/2 = 1 6) log (3x+2) = log (x-4)+1 7) log2 (9^x-7) = 2 + log2 (3^x-1+1) 8) e^x + e^-x = 2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Te resuelvo la 8) y poco a poco te iré resolviendo el resto (8) x=0, pues exp (0)=1 y exp(-0)=1, 1 + 1 = 2 (6) log (3x+2) = log(x-4) + 1 log (3x+2) = log(x-4) + log 10 log (3x+2) = log(10 (x-4)) 3 x + 2 = 10 x - 40 42 = 7 x x=6 Pon correctamente los paréntesis en el resto de las ecuaciones, pues no quedan claras. Pregunta 02. Resuelta el 10/11/2012 ¿Resolver estas ecuaciones? 1) 4x^3e^-3x-3x^4e^-3x=0 2) e^4x + 4e^2x – 21=0 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) Sacamos x^3 · e^(-3x) factor común: x^3 · e^(-3x) [4 - 3 x] = 0 de donde x = 0 y x = 4/3 2) Llamamos e^(2x) = t queda una ecuación de segundo grado: t^2 + 4 t - 21 = 0 que resuelves y sus soluciones son : t = 3 y t = -7 Si t = 3 = e^(2x) tomando neperianos: ln 3 = 2 x; de donde x = (ln 3) / 2 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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la otra solución no es valida pues la exponencial no puede ser negativa Pregunta 03. Resuelta en octubre de 2012 Supóngase que una población experimental de moscas de la fruta aumenta de acuerdo con la ley de crecimiento exponencial. Si hay 100 moscas tras el segundo día del experimento y 300 después del cuarto día, ¿Cuántas moscas había en población original? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea No el numero inicial de moscas N = No e^(k t) donde t es el tiempo, en días Datos: 100 = No e^(k·2) 300 = No e^(k·4) dividiendo la segunda entre la primera 3 = e^(2k) tomando neperiano k = (ln 3) / 2 sustituyendo en la primera ecuación 100 = No e^(2 (ln 3) /2) 100 = No e^ln 3 = 3 No ; No = 100/3 moscas Pregunta 04. Resuelta en octubre de 2012 ¿Cómo resuelvo lne (1/e^2) y la otra es loge e-4 ? Información adicional: es que el ejercicio viene así ln e^(1/e^2) y la otra igual loge ^e^-4 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) No entiendo bien tu primera cuestión. Voy a interpretar que es logaritmo en base e (logaritmo neperiano) de 1/e^2 ln = log en base e ln (1/e^2)= ln (e^(-2))=-2 pues el neperiano y la exponencial son funciones inversas. 2) De nuevo tienes que escribir mejor la expresión, emplea paréntesis. Yo lo interpreto como (ln e) - 4 = 1 - 4 = -3 porque si es ln (e-4) no existe al ser el neperiano de un número negativo. Pregunta 05. Resuelta el 27/10/2012 Resolver las dos siguientes ecuaciones: 1) log (2 x - 6) - log (x - 1) = log (8) - log (x^2 - x) 2) 2 x^3 - 4 x^2 - 2 x = - 8 sin hacer la fórmula de ecuación de tercer grado Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Aplica propiedades de los logaritmos: log ( (2x-6) / (x-1) ) = log ( 8 / (x^2-x) ) (2x-6) / (x-1) = 8 / (x^2-x) (2x-6)·(x^2-x)=8(x-1) 2x^3 - 2x^2 - 6x^2 + 6x = 8x -8 2x^3 - 8x^2 - 2x + 8 = 0 x^3 - 4 x^2 - x + 4 = 0 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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de donde x=1, x=-1 y x=4 solo sirve la solución x=4, pues en las otras quedan logaritmos de números negativos. 2) 2x^[3]-4x^[2]-2x=-8 2 x^3 - 4 x^2 - 2 x + 8 = 0 x^3 - 2 x^2 - x + 4 = 0 no salen soluciones "bonitas" (enteras o fraccionarias). Representa la función en Google. Es decir escribe en el buscador y = x^3 - 2 x^2 - x + 4 y Google te hace la gráfica. Podrás ver el punto de corte aproximado en x=-1,3 Pregunta 06. Resuelta el 10/11/2012 ¿ayuda como resuelvo este logaritmo? log (2 x - 7) - log (x - 1) = log 5 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Propiedades de los logaritmos: suma de logaritmos = logaritmo del producto resta de logaritmos = logaritmo del cociente En nuestro caso: log [ (2 x - 7) / (x - 1) ] = log 5 ¡fuera logaritmos! (2 x - 7) / (x - 1) = 5 2 x - 7 = 5 (x - 1) 2x-7=5x-5 -2 = 3 x de donde x = -2/3, pero esta solución no es valida porque queda el logaritmo de un numero negativo. Así que LA ECUACION NO TIENE SOLUCION. Pregunta 07. Resuelta el 04/01/2013 (Pregunta eliminada) ¿Cuál es la solución y procedimiento de log (x - 1) = 1 – log (x + 2)? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal log(x-1)=1-log(x+2) Muy importante cuando resolvamos ecuaciones con logaritmos es COMPROBAR LAS SOLUCIONES que hayamos obtenido, pues el logaritmo sólo existe de números positivos. log (x - 1) + log (x + 2) = 1 recuerda que log 10 = 1 y también recuerda que log a + log b = loag (a · b) log (x-1)(x+2) = log 10 fuera logaritmos! (x - 1) · (x + 2) = 10 desarrolla y despeja x^2 + 2x - x - 2 = 10 x^2 + x - 12 = 0 de donde x = -4 y x = 3 (resuelve la ecuación de segundo grado). Ahora bien x = -4 NO ES CORRECTA, pues al sustituir en la ecuación original queda el logaritmo Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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de un numero negativo, el cual no existe. En cambio x = 3 SÍ ES CORRECTA, pues quedarían logaritmo de 2 y logaritmo de 5 (números ambos positivos). Así que la solución correcta es SOLAMENTE x = 3. Pregunta 08. Resuelta el 01/11/2012 ¿cómo resuelvo esto: 8^(-x) = 35? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Tomando logaritmos (neperianos por ejemplo) a ambos lados ln (8^(-x)) = ln 35 - x ln 8 = ln 35 - x = (ln 35) / (ln 8) x = - (ln 35) / (ln 8) x = -1,71 Pregunta 09. Resuelta en octubre de 2012 a) 3^(x-1) + 3^x + 3^(x+1) = 39 b) 9^(x+1) = 55 + 8*3^x c) (log(5-x^3)) / (log(1-x)) = 3 d) log_x (2 + x - 2 x^2) = 3 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal a) 3^(x-1)+3^x+3^(x+1)=39 3^x · 3^(-1) + 3^x + 3^x · 3 = 39 3^x (1/3 + 1 + 3) = 39 3^x · 13/3 = 39 3^x = 39·3/13 3^x = 9 3^x = 3^2 x=2 b) 9^(x+1)=55+8*3^x 3^(2 x + 2) - 8 · 3^x - 55 = 0 9 · (3^x)^2 - 8 · 3^x - 55 = 0 . Llamamos a 3^x = t y queda una ecuación de segundo grado 9 t^2 - 8 t - 55 = 0, cuyas soluciones son: vaya... no salen "elegantes" t = 2,96 (ajustada a 2 decimales) y la otra es negativa (no tiene sentido que 3^x sea negativo) así que si 3^x = 2,95 , tomando neperianos: ln 3^x = ln 2,95 ; x = (ln 2,95) / (ln 3) = 0,99 Nota: si en vez de "55" es "53" sí tiene una solución guay: x = 1. Repasa a ver si era 53 c) (log(5-x^3))/(log(1-x))=3 log (5 - x^3) = 3 log (1-x) log (5 - x^3) = log (1-x)^3 (5 - x^3) = (1-x)^3 5 - x^3 = 1 - 3 x + 3 x^2 - x^3 3 x^2 - 3 x - 4 = 0 vaya , ¡qué números te ponen!, no salen "elegantes" Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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x = 1,76 (ajustada a dos decimales), que no sirve pues se obtiene al sustituir en la ecuación original el logaritmo de un numero negativo x = -0,76 que sí vale d) log_x (2+x-2x^2)=3 ¿es logaritmo en base x? si es así x^3 = 2 + x - 2 x^2 x^3 + 2 x^2 - x - 2 = 0 cuya solución es x = 1, por Ruffini (las otras dos soluciones son negativas y no sirven) Pregunta 10. Resuelta el 28/11/2012 ¿la expresión ln (x(x+1))3 en términos de ln(x) y ln (x+1)? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Supongo que quieres indicar elevado a la "3". Debes emplear dos propiedades básicas de los logaritmos (da igual la base) log (a^b) = b · log a log (a · b) = log a + log b En nuestro caso, ln [ (x(x+1))^3] = 3 · ln [x · (x+1)] = 3 · [ln x + ln (x+1)] Pregunta 11. Resuelta el 28/11/2012 ¿Problemas con estos ejercicios. Logaritmos.? 1) Log25 1/2 = x 2) Log4/3 9/16 = x 3) Log3 √3 = x 4) Log5 3√25 = x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Debes aplicar la definición de logaritmo: logaritmo en base a de N = x es el exponente x al que hay que elevar la base a para que nos dé el número N es decir: a^x = N 1) Log25 1/2 = x 25^x = 1/2 éste es difícil pues no sale "por la definición" aplicas neperianos ln 25^x = ln (1/2) x ln 25 = ln 1 - ln 2 x = -(ln 2) / (ln 25) = -0,22 (con la calculadora) Mira a ver si has copiado bien el ejercicio por si acaso 2) Log4/3 9/16 = x (4/3)^x = 9/16 (4/3)^x = (16/9)^(-1) (4/3)^x = (4/3)^(-2) de donde x = -2 3) Log3 √3 = x Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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3^x = raíz 3 3^x = 3^(1/2) de donde x = 1/2 4) Log5 3√25 = x 5^x = 3 raíz 25 = 3 · 5 = 15 de nuevo éste no puedes resolverlo directamente. Debes aplicar neperianos (por ejemplo) ln 5^x = ln (15) x ln 5 = ln (15) x = ln (15) / (ln 5) = 1,68 (con calculadora). Venga, intenta tú el resto. Pregunta 12. Resuelta el 02/12/2012 La expresión para cierto cultivo bacteriano viene dada por F(t) = B e^(0,04 t) donde F(t) bacterias se encuentra presentes a los t minutos de tiempo y B representa una constante. a. Si inicialmente se encuentran 2500 bacterias, encontrar el valor de B b. Con el valor de B anterior cuantas bacterias habrá dentro de 2 horas Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal F(t) = B · e^(0,04 t) a) Sustituyes t por 0 y calculas B sabiendo que e^0 = 1 F (0) = 2500 = B · e^(0) de donde B = 2500 luego F(t) = 2500 · e^(0,04 · t) b) Sustituyes t por 120 (hay que ponerlo en minutos, no en horas) y calculas F, con la calculadora. F (t = 120 min) = 2500 · e^(0,04 · 120) = 303776 Pregunta 13. Resuelta el 15/12/2012 (Facebook) Hola como despejo "n" de la siguiente ecuación utilizando el ln: 380000 = 25000 · [ 1 - 1,05^(-n) ] / 0,05 La solución es 29.25 aprox. Gracias! Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Pasas el 0,05 multiplicando y el 25000 dividiendo. Es decir: 380000 · 0,05 / 25000 = 1 - (1.05)^(-n) 0,76 = 1 - (1.05)^(-n) pasamos el (1.05)^(-n) a la izquierda y el 0,76 a la derecha (1.05)^(-n) = 1 - 0,76 (1.05)^(-n) = 0,24 es ahora, cuando tienes aislada la potencia (con la n) cuando tomas logaritmos a ambos lados (yo suelo tomar neperianos que son los que más aparecen en Física) ln (1.05)^(-n) = ln 0,24 Iñaki Carrascal Mozo Una propiedad de los logaritmos es que ln a^b = b ln a (da igual la base) - n · ln 1,05 = ln 0,24 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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n = - (ln 0,24) / (ln 1,05) calculadora en mano, n = 29,25 ¿Entendiste?

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Tema 05. Trigonometría

Triángulo de catetos a (contiguo al ángulo) y b (opuesto al ángulo) e hipotenusa c Seno: sen θ = b / c ; Coseno cos θ = a / c; Tangente: tan θ = b / a = sen θ / cos θ Cosecante: cosec θ = 1 / sen θ Secante: sec θ = 1 / cos θ Cotangente: ctg θ = 1 / tg θ 2 2 sen θ+cos θ=1 a b c = = Teorema del seno (A es el ángulo opuesto al lado a...) : ̂ ̂ ̂ sin A sin B sin C Teorema del coseno (q es ángulo opuesto al lado a): a 2=b2+c 2 – 2 b c cos θ

seno coseno

0º

30º

45º

60º

0

1 2

√2

√3

2

3

√3

√2

3

2

1

1 2

90º 1 0

Evaluando expresiones Pregunta 01. Resuelta el 08/12/2012 Calcular la expresión: (Sec 30 csc 45) / (Cot 45 tan 30) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal -La secante es la inversa del coseno sec 30º = 1 / cos 30º El cos 30º = (raíz 3) / 2, luego sec 30º = 2 / raíz 3 -La cosecante es la inversa del seno cosec 45º = 1 / sen 45º El sen 45º = (raíz 2) / 2, luego cosec 45º = raíz 2 (después de racionalizar) - La cotangente es el coseno entre el seno ctg 45º = cos 45 / sen 45 = 1 (pues el sen y el cos de 45 coinciden) - la tangente es el seno entre el coseno Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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tg 30º = sen 30º / cos 30º = (1/2) / (raíz 3)/2 = 1 / raíz 3 El cociente que pides es, pues: (2 / raíz 3)·raíz 2 -------------------- = 2 · raíz 2 1 · 1/(raíz3) Comprobar identidades Pregunta 02. Resuelta en octubre de 2012 ¿Ayuda para solucionar una identidad Trigonométrica!? sen2x + csc2x = sec2x csc2x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Lado izquierdo: cosec 2x = 1 / sen 2x sen 2 x + cosec 2 x= ( (sen 2x)^2 +1 ) / (sen 2x) Lado derecho: sec 2x = 1 / (cos 2x) ; sec 2 x · cosec 2 x = 1 / ( cos 2x · sen 2x) Así pues: ((sen 2x)^2 + 1) / sen 2x = 1 / ( cos 2x · sen 2x) simplificamos sen 2x del denominador, queda 1 + (sen 2x)^2 = 1 / cos 2x Tal y como esta copiado, la igualdad no se verifica. Pregunta 03. Resuelta el 07/11/2012 Problema de verificación de identidades trigonométricas: cot x cos x / cos^3 x = cscx/1+sen x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Acostumbra a poner paréntesis. se supone que lo que quieres comprobar es que (cot x) . (cos x) / (cos x)^3 ¿=? (cosec x) / (1 + sen x) La relación anterior tal y como está escrita NO SE CUMPLE. En efecto: lado izquierdo: (cot x) . (cos x) / (cos x)^3 = (cot x) / (cos x)^2 = [(cos x) / (sen x)] / (cos x)^2 = 1 / [ (sen x) · (cos x)] lado derecho: (cosec x) / (1 + sen x) = (1 / sen x) / (1 + sen x) = 1 / [ (sen x) · (1 + sen x) ] vemos que no son iguales, pues cos x no es igual a 1 + sen x Pregunta 04. Resuelta el 10/11/2012 Resolver las siguientes identidades trigonométricas a) (1 + cscx) / (cosx + ctgx) = secx b) (1+cos t/sen t) + (sen t / 1+ cos t) =2csc t c) tan^2x= sec^2 x / csc^2 x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Mas que "resolver", lo que te piden es "comprobar" que se verifican las identidades anteriores. cosec x = 1 / sen x sec x = 1 / cos x Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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ctg x = cos x / sen x 1) ( 1 + (1/senx) ) / (cos x + (cosx)/(sen x)) = sen x + 1........cos x sen x + cos x..................sen x + 1 ------------- : ----------------------------- = ---------------------..sen x......................sen x ........................cos x (sen x +1) = 1 / cos x = sec x 2) Pon PARENTESIS. Creo que quieres decir: ( 1 + (cos t / sen t) ) + (sen t / (1+ cos t)) =2csc t …...sen t + cos t...........sen t........ ...------------------- + --------------.= ........sen t...................1 + cos t .....sent + cost + cost sen t + cos^2 t + sen^2 t = -----------------------------------------------------… …........................(1 + cos t) sen t .........sent + cost + cost sen t + 1 = ----------------------------------------… ................(1 + cos t) sen t .....sent + cost (1 + sen t) + 1 = ----------------------------------… ..........(1 + cos t) sen t …..(1 + cost) (1 + sen t) = ----------------------------- = cosec t + 1. No sale ….......(1 + cos t) sen t así que voy a interpretar que tienes: ( 1 + cos t) / sen t) + (sen t / (1+ cos t)) =2csc t …....1 + cos t..........sen t...... ...--------------- + --------------.= ..........sen t...........1 + cos t ...(1 + cos t)^2 + (sen t)^2 ...--------------------------------.= .......(sen t) (1 + cos t) 1 + 2 cos t + cos^2 t + sen^2 t..............2 (1 + cos t) --------------------------------------… -------------------------.......(sen t) (1 + cos t).........................(sen t) (1 + cos t) = 2 / sen t = 2 cosec t c) tan^2x= sec^2 x / csc^2 x lado izquierdo: (sen x)^2 / (cos x)^2 lado derecho: (1/ cos^2 x) / (1 / sen^2 x) = (sen x)^2 / (cos x)^2 Ok. Pregunta 05. Resuelta el 22/12/2012 Comprobar lo siguiente: tg^2 x – sen^2 x=tg^2 x * sen^2 x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Tg^2 x – sen^2 x = tg^2 x * sen^2 x lado izquierdo Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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(sen^2x / cos^2x)-sen^2x denominador común (sen^2 x - sen^2 x cos^2 x) / cos^2 x pero cos^2 x = 1 - sen^2 x luego (sen^2 x - sen^2 x (1 - sen^2 x)) / cos^2 x (sen^2 x - sen^2 x + sen^4 x) / cos^2 x (*) lado derecho: tg^2x*sen^2x = (sen^2x / cos^2x) · sen^2x sen^4 x / cos^2 x (**) comprobado, vemos que (*) = (**) Simplificar expresiones Pregunta 06. Resuelta el 04/11/2012 1) Simplifica : ?Secx - Cosx / Cscx – Senx --> Todo eso es raíz cúbica 2) Si : Tanx - Cotx = ?5 , hallar : Tan²x + Cot²x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) …..sec x - cos x............(1 / cos x) - cos x.............(1 - (cos x)^2 ) / cos x ------------------------ = -------------------------- = -----------------------------cosec x - sen x.............(1 / sen x) - sen x.............(1 - (sen x)^2 ) / sen x (sen x)^2 / cos x..............(sen x)^3 ------------------------ = --------------(cos x)^2 / sen x.............(cos x)^3 al sacar la raíz cubica, quedara: (sen x) / (cos x) = tg x 2) Por el cuento de la vieja: 2) tg x - 1 / (tg x) = raíz(5) (tg x)^2 - 1 = raíz (5) · tg (x) de donde (tg x)^2 = 1 + raíz (5) · tg (x) (tg x)^2 - raíz (5) · tg (x) - 1 = 0 Resolviendo la ecuación se obtiene: tg x = 2,62 ó tg x = -0,38 Si tg x = 2,62 ; ctg x = 1/2,62 de modo que (tg x)^2 + (ctg x)^2 = (2,62)^2 + 1 / 2,62^2 = 7 >>>>> La otra solución de tg x = -0,38, conduce al mismo resultado para (tg x)^2 + (ctg x)^2 , es decir,7. Pregunta 07. Resuelta el 11/11/2012 1) Si tg (45° + x) = 5/7, calcular : tg x 2) Si sen (x + y) = 3 sen (x - y) , hallar M = tg x · ctg y Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) Recuerda que: tan (a + b) = (tan a + tan b) / (1 - tan a · tan b) tan (45+x) = (tan 45 + tan x) / (1 - tan 45 · tan x) = (1 + tan x) / (1 - tan x) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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pues tan 45º = 1 1 + tan x ------------- = 5/7 1 - tan x 7 (1 + tan x) = 5 (1- tan x) 7 + 7 tan x = 5 - 5 tan x 12 tan x = -2 tan x = -1/6 2) Recuerda: sen (a+b) = sen a cos b + sen b cos a sen (a-b) = sen a cos b - sen b cos a en nuestro caso sen x cos y + sen y cos x = 3 (sen x cos y - sen y cos x) 2 sen x cos y = 4 sen y cos x ( sen x cos y ) / (sen y cos x) = 4 / 2 tg x · ctg y = 2, que es lo que pides Nota: tan = tg Pregunta 08. Resuelta el 11/11/2012 1) Calcular el valor de : P = tg 21° + tg 24° + tg 21° · tg 24° 2) Si : x + y = 60°. Hallar : R = sen x cos y + cos x sen y / cos x cos y – sen x sen y Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) tan 45º = tan (21 + 24) = 1 tan (x + y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x tan y) de donde tan 21 + tan 24 = (1 - tan 21 tan 24) · tan 45º = (1 - tan 21 tan 24) P = Tg21° + Tg24° + Tg21° . Tg24° = P = (1 - tan 21 tan 24) + tan 21 tan 24 = 1 ¡yupi! 2) sen (a+b) = sen a cos b + sen b cos a cos (a+b) = cos a cos b - sen a sen b R = Senx Cosy + Cosx Seny / Cosx Cosy – Senx Seny = R = sen (x+y) / cos (x+y) = tan (x+y) = tan 60 = raíz (3) Pregunta 09. Resuelta el 11/11/2012 Sabiendo que 3 tg^2 x = 1 y que x entre 0º y 360º, calcular, sin utilizar calculadora: a) cos x, b) sen x ; c) x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 3 tg^2 x = 1 Te lo voy a resolver en orden (según lo que te piden). Porque es mas fácil: primero sacar el angulo y luego el coseno y el seno. a) cos x ? 3 (sen^2 x) / (cos^2 x) = 1 3 (1 - cos^2 x) = cos^2 x 3 - 3 cos^2 x = cos^2 x ; 3 = 4 cos^2 x de donde cos^2 x = 3/4 por lo que : Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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cos x = + raíz(3) / 2 cos x = - raíz(3) / 2 b) sen x ; sen^2 x + cos^2 x = 1 de donde sen^2 x = 1 - cos^2 x sen^2 x = 1 - 3/4 = 1/4, por lo que sen x = 1/2 sen x = -1/2 c) el ángulo puede ser 30º , 180-30=150º , 180+30 = 210º y 360-30 = 330º ó -30º pues el seno de 30 es 1/2 Ecuaciones trigonométricas Pregunta 10. Resuelta en octubre de 2012 Resolver la ecuación: (sen x)^3 -1.5 (sen x)^2 +1 = 0 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal ¿Donde está la x? Supongo que querrás decir: (sen x)^3 -1.5 (sen x)^2 +1 = 0 Cambio sen x = t t^3 - 3/2 t^2 + 1 = 0 2 t^3 - 3 t^2 +1 = 0 resuelves por Ruffini, t = 1 (doble) es solución, la otra es t = -1/2 sen x = 1 ; x = 90º + 360 k (donde k es un numero entero) sen x = -1/2, x = -30º + 360 k, o bien x = 210º + 360 k Pregunta 11. Resuelta en octubre de 2012 ¿Me ayudan por favor a encontrar la solución de (intervalo de solución [0, 2 pi] = [0',360']? 2 cos x + 1= 0 , sen*x + tan*x = 0 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El problema esta mal planteado o NO TIENE SOLUCION. Pues de la primera ecuación cos x = -1/2 de donde x = 120º, pero si sustituimos en la segunda ecuación sin 120 + tan 120 no es cero. Pregunta 12. Resuelta el 09/11/2012 ¿Ayuda ecuación trigonométrica? 2 / (cos x – 1) + cos x = 2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal No tiene solución (en el cuerpo de los números REALES). En efecto (suponiendo cos x distinto de 1) 2 + (cos x) (cos x - 1) = 2 (cos x - 1) 2 + (cos x)^2 - cos x = 2 cos x - 2 (cos x)^2 - 3 cos x + 4 = 0 si despejas "cos x" de la ecuación de segundo grado anterior, se obtienen resultados (números) complejos. Pregunta 13. Resuelta el 02/12/2012 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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¿Quien me puede ayudar a resolver esta ecuación 2 sen^2 (x/2) - 3 sen(x/2) + 1 = 0 ? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Ecuación de segundo grado en sen (x/2) ......x.....3 +- raíz (9 - 8)....3+-1 sen - = ----------------------- = ------......2..............2·2..............4 solución 1: sen x/2 = (3+1)/4 = 1 de donde x/2 = 90º + 360k siendo k un numero entero k=0,1,2,... de donde x = 180º + 720 · k solución 2: sen x/2=(3-1)/4=1/2 de donde x/2 = 30º + 360 k; x = 60º + 720 · k o bien x/2 = 180-30 + 360 k = 300º + 720 · k Pregunta 14. Resuelta el 25/11/2012 ¿Cómo se resuelve esto? 1) cos x + 3 sen x =1 2) 2 cos ² x - 3 cos x + 1 = 0 3) 2 cos² x = cos x + 1 4) 4 cos² x - 3 cos x - 1 = 0 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 4) ecuación de segundo grado en cos x .............3 +- raíz (9 + 16).....3 +- 5 cos x = ------------------------- = ---------........................8.............… cos x = 1, de donde x = 0º + 360 · k siendo k un numero entero cos x = -1/4 , de donde x = arc cos (-1/4) + 360 · k 3) igual, ecuación de segundo grado en cos x 2 cos^x - cos x - 1 = 0 ............1 +- raíz (1+8).....1 +- 3 cos x = -------------------- = ----------...................4..................… de donde cos x = 1, de donde x = 0º + 360 · k siendo k un numero entero cos x = -1/2, de donde x = 120º + 360 · k y también: x = 240º + 360 · k 2) igual, ecuación de segundo grado en cos x 2 cos^x - 3 cos x + 1 = 0 ..............3 +- raíz (9-8)........3 +- 1 cos x = -------------------- = --------.......................4..................….4 de donde cos x = 1, de donde x = 0º + 360 · k siendo k un numero entero cos x = 1/2, de donde x = 60º + 360 · k y también: x = 300º + 360 · k 1) jeje, éste es mas difícil cos x = (1 - 3 sen x) eleva al cuadrado cos ^2 x = 1 + 9 sen^2 x - 6 sen x 1 - sen^2 x = 1 + 9 sen^2 x - 6 sen x Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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pues sen^2 x + cos^2 x = 1 10 sen^2 x - 6 sen x = 0 2 sen x (5 sen x - 3) = 0 de donde sen x = 0, x = 0º + 360 · k siendo k un numero entero y sen x = 3/5, de donde x = arc sen (3/5) Pregunta 15. Resuelta el 08/12/2012 ¿Como compruebo la siguiente identidad? (1 - cos^2 x)(1 + cos^2 x) = 1 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal No puede comprobarla porque no es cierta la igualdad anterior. Sustituye un valor para x, por ejemplo x=60º cos 60=1/2 (1 - (1/2)^2) · (1 + (1/2)^2) = (1-1/4) · (1 + 1/4) = (3/4)·(5/4) = 15 / 16 que no es 1 Otra cosa es que quieras resolver la ecuación anterior, para determinar los valores de "x" que la verifican. En este caso 1 - cos^4 x = 1 pues suma por diferencia = diferencia de cuadrados cos^4 x = 0 de donde cos x = 0, por lo que x = 90º + 360 · k siendo k un número entero o x = 270º + 360 · k, siendo k un número entero Por ejemplo x = 90º es solución de la ecuación, pues cos 90º = 0, sustituyendo en la ecuación del enunciado, (1 - 0) · (1+ 0) = 1 Ok, verifica. Pregunta 16. Resuelta el 16/12/2012 ¿Cómo resuelvo la siguiente ecuación entre 0 y 2pi: sen^2 x - cos^2 x = 1? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sencillo si tienes en cuenta que cos^2 x - sen^2 x = cos 2x luego la ecuación queda mas sencilla: cos 2 x = -1 de donde 2 x = pi ó 3 pi si 2 x = pi , x = pi /2 >>> solución 1 si 2 x = 3 pi , x = 3 pi / 2 >>> solución 2 Otra manera de resolverlo: Ten en cuenta que cos^2 x = 1 - sen^2 x por lo que si sustituimos en la ecuación, queda sen^2 x - (1 - sen^2 x) = 1 2 sen^2 x =2 sen^2 x =1 una solución: sen x = 1 , de donde x = pi/2 la otra solución: sen x = -1, de donde x = 3 pi / 2 Problemas resueltos utilizando trigonometría

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Pregunta 17. Resuelta el 25/10/2012 En el patio del colegio hay un árbol de 10 m de altura, calcula la longitud de la sombra cuando los rayos del sol proyectan un ángulo de 40 grados, sobre la horizontal. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal ...!\ ...!.\ h.!..\ ...!...\ ...!....\ theta ...------…..x tangente de theta = cateto opuesto (h) / cateto contiguo (x = longitud de la sombra) tan 40º = 10 / x. De donde x = 10 / tan 40º = 11,92 m Pregunta 18. Resuelta el 02/02/2013 a las 19:54 (hora española). Respuesta número 1665 Triángulo rectángulo es isósceles y su hipotenusa vale 7?2 calcula las razones trigonométricas de cualquiera? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea x cualquiera de los catetos, son iguales pues es isósceles. Por el teorema de Pitágoras: x^2 + x^2 = (7 raíz 2)^2 2 x^2 = 7^2 · 2, de donde x = 7 Sea theta el angulo (dicho angulo lo sabemos pues al ser rectángulo e isósceles es de 45º -la suma de los tres angulo es 180º-) ! !.\..7 raíz 2 !...\ !------ theta ..7 cos theta = 7 / (7 raíz 2) = 1 / raíz 2 sen theta = 7 / (7 raíz 2) = 1 / raíz 2 tg theta = 7 / 7 = 1 ctg theta = 1 / tg theta = 1 / 1 = 1 sec theta = 1 / cos theta = 1 / (1 / raíz 2) = raíz 2 cosec theta = 1 / sen theta = 1 / (1 / raíz 2) = raíz 2 Pregunta 19. Resuelta el 02/02/2013 a las 20:24 (hora española). Respuesta número 1668 En un museo hay un cuadro de 2 m de alto. Una persona situada frente al cuadro ve la parte superior de éste con un ángulo de elevación de medida pi/3 radianes y la parte inferior con un ángulo de depresión cuya medida es pi/6 radianes. De las siguientes medidas la que más se aproxima a la distancia del cuadro al ojo del observador es: a) 0,7 m ; b) 1,5 m ; c) 0,87 m ; d) 1,75 m Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

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......./...!.! ....../....! x ...../.60.!.! ..../---y-!-! .....\.30!...! .......\...!...! 2 - x .........\.!...! tg 60º = x / y tg 30º = (2 - x) / y Necesitamos calcular y de la primera ecuación x = y · tg 60º y · tg 30º = 2 - y · tg 60º y (tg 30º + tg 60º) = 2 de donde y = 2 / [tg 30º + tg 60º] = 0,87 m. Opción C Pregunta 20. Resuelta el 05/02/2013 a las 17:28 (hora española). Respuesta número 1720 Una fuente de agua está en el centro de un prado circular. Un estudiante quiere calcular la altura de la fuente pero no debe pisar el prado, camina alrededor y calcula que su circunferencia es de (18, 35 ± 0, 05) m a continuación desde el borde del prado mide el ángulo de elevación de la parte alta de la fuente y encuentra que es de 55, 0° ± 0, 2° ¿Cuál es la altura de la fuente? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Si has calculado la longitud de la circunferencia L = 2 pi R, el radio de la misma será: R = L / (2 pi) = 2,92 ± 0, 05 m Y si conoces el ángulo de elevación, tienes un triangulo que puedes determinar a partir de la relación trigonométrica correcta: ...../! .../..!.h ./....! theta es el angulo en el vértice izquierdo ------..R.. tg theta = h / R de donde h = R · tg theta h = 2,92 · tg 55º = 4,17 m Para determinar el error, quizá sea un poco complicado para tu nivel, pues se determinar a partir del diferencial de una función , en este caso de dos variables, R y theta y necesitas hacer derivadas parciales, ¿sabes hacerlas?

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Tema 06. Números complejos i2 = -1; i= √−1 Forma binómica: z = a + i b donde a es la parte real y b la parte imaginaria Forma polar: rθ, donde r es el módulo y θ el argumento Paso de binómica a polar:

{

r= √ a 2 +b2

b θ= arctan a

Paso de polar a binómica:

cos θ {x=r y=r sin θ

Forma trigonométrica y exponencial: z =a+i b=r θ =r cos (θ)+i r sen( θ)=r e i θ Complejo conjugado: z* = a - i b Fórmula de Euler: e i θ=cos (θ)+i sen (θ) Operaciones con números complejos Sean z1 = a1 + i b1 = r1 [θ1] ; z2 = a2 + i b2 = r2 [θ2] – Suma (en binómica): z1 + z2 = a1 + a2 + i (b1 + b2) – Diferencia (en binómica): z1 - z2 = a1 - a2 + i (b1 – b2) – Producto (en polar): z= z 1 · z 2 =r 1 · r 2 [ θ1 +θ 2 ] z 1 r1 – Cociente (en polar): z= = [θ1 −θ2 ] z2 r2 Pregunta 01. Resuelta el 28/11/2012 ¿Cuál es la aplicación de los números complejos en la ingeniería y la telecomunicación? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Fundamentalmente los vas aplicar al resolver problemas de circuitos en corriente alterna, con resistencia, condensadores, autoinducciones. Operarás con números complejos, sumas, productos y cocientes... pasarás continuamente de forma polar a binómica y viceversa. -A la resistencia R le asociaremos un numero complejo real, que es el valor de la propia resistencia R -A una autoinducción L le asociaremos el numero complejo imaginario puro positivo, j w L (normalmente para no confundirla con la intensidad, la unidad imaginaria se designara por j en vez de con i) -A un condensador el numero complejo imaginario puro negativo, -j / (w C) En serie la impedancia equivalente es la suma de impedancias (complejas) y en paralelo haremos 1 / Z = 1 / Z1 + 1/ Z2 + ... Pregunta 02. Resuelta el 16/12/2012 ¿Números complejos forma polar a rectangular y sus sumas en paralelo y serie? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Paso de forma polar a binómica Sea z = ro angulo theta (forma polar) en forma binómica: z = a + b i donde a = ro · cos theta Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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b = ro · sen theta Paso de binómica a polar Sea z = a + b i , entonces ro = raíz (a^2 + b^2) theta = arc tg (b/a) Suma de complejos. En forma binómica: Sea z1 = a1 + b1 i y z2 = a2 + b2 i z1 + z2 = (a1 + a2) + i (b1 + b2) Si aplicas a circuitos con impedancias, - en serie, la impedancia equivalente es la suma de impedancias: z = z1 + z2 + ... - en paralelo, la admitancia (inversa de la impedancia) es la suma de admitancias : 1/z = 1/z1 + 1/z2 + ... Pregunta 03. Resuelta en octubre de 2012 ¿La raíz cúbica de 64? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La raíz cúbica de 64 proviene de la solución de la ecuación x^3 = 64, que al ser de tercer grado tiene TRES soluciones. No se si has visto o no números complejos. Deberías señalar el nivel que tienes en la pregunta. Una solución real es x = 4 (pues 4^3 = 64), pero hay otras dos soluciones complejas que son (en forma polar): 4 ángulo 120º y 4 ángulo 240º o en forma binómica: 4 (cos 120º + i sen 120º) ; 4 (cos 240º + i sen 240º) que se pueden simplificar teniendo en cuenta los valores del seno y el coseno de 60 (raíz de 3 entre 2 y 1/2 respectivamente) Pregunta 04. Resuelta el 28/11/2012 ¿Cual es la raíz cuarta de 160? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 160 = 16 · 10 raíz cuarta (160) = raíz cuarta (16 · 10) = raíz cuarta (2^4 · 10) = + - 2 raíz cuarta (10) = + - 3,56 (con dos decimales) Tenemos dos soluciones reales una positiva x1 = + 2 raíz cuarta (10) = + 3,56 (con dos decimales) y otra negativa x2 = - 2 raíz cuarta (10) = - 3,56 (con dos decimales) y además otras dos soluciones complejas conjugadas (en concreto: +3,56 i y -3,56 i, siendo i la unidad imaginaria i^2 = -1) , pues una raíz cuarta tiene CUATRO SOLUCIONES. En el cuerpo de los números reales serían +3,56 y -3,56 (repito, ajustada a dos decimales). Pregunta 05. Resuelta el 08/12/2012 ¿pasa de forma binómica a polar? Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Modulo 1 argumento 72 grados ; Modulo 1 Argumento 144º ; Modulo 1 argumento 216º Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Para pasar el número complejo de forma polar z = ro angulo theta a binómica z = a + b i (pero no lo que tú pones en el enunciado, tú quieres pasar de forma polar a binómica, pero lo has escrito mal) a = ro · cos theta b = ro · sen theta z1 = 1 L 72º La "L" es para separar el módulo del argumento. a = 1 cos 72º = 0,31 b = 1 sen 72º = 0,95 Con lo que el número complejo es z1 = 0,31 + 0,95 · i (he ajustado el resultado a dos decimales y lo he hecho con la calculadora, claro). Los otros dos ejercicios son IGUALES. z2 = 1 L 144º = 1 cos 144º + i 1 sen 144º = -0,81 + 0,59 i z3 = 1 L 216º = 1 cos 216º + i 1 sen 216º = -0,81 - 0,59 i Pregunta 06. Resuelta el 01/11/2012 Determinar los números complejos z distinto de 0 que satisfacen la condición de que z + 1/z pertenezca a R. Representar en el plano el conjunto de los puntos cuyo afijo verifica esta condición. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea z = x + i y el número complejo, con x e y reales z + 1/z = (z^2 + 1) / z = ( (x + i y)^2 + 1) / (x + i y) multiplicamos y dividimos por el complejo conjugado del denominador: (x^2 + 2 x y i - y^2 + 1) ( x - i y) / (x^2 + y^2) para que sea real, la parte imaginaria del complejo anterior debe ser nula (tomaré la parte imaginaria del numerador = 0) - y (x^2 - y^2 + 1) + 2 x^2 y = 0 de donde una solución es y = 0 (lógico el número z sería x -real directamente-), si lo representamos sale la recta y = 0 (eje x) la otra solución es -x^2 + y^2 - 1 + 2 x^2 = 0 de donde x^2 + y^2 = 1 (que si lo representamos en el plano complejo sale una circunferencia de centro el origen y radio 1) Pregunta 07. Resuelta el 01/12/2012 1- Calcula m y n para que se cumpla la igualdad (4m-2i) / (3+ni) = 6-2i 2- La suma de dos números complejos es 3+i la parte real de uno de ellos es 2. Determina dichos números sabiendo que su cociente es imaginario puro 3- La suma de las partes reales de dos complejos conjugados es 6 y el modulo de uno de ellos es 5. Calcula ambos números Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) 4 m - 2 i = (6 - 2i) · (3 + ni) 4 m - 2 i = 18 + 6 ni - 6 i + 2 n pues i^2=-1 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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iguala parte real e imaginaria 4 m = 18 + 2 n -2 = 6n -6 de donde n =2/3 m = 29/6 2) z1 = 2 + a i z2 = b + ci z1 + z2 = 3 + i 2 + b + (a+c)i = 3 + i de donde 2 + b = 3, b = 1 a+c =1 de momento: z1 = 2 + a i z2 = 1 + (1-a) i Real (z2 / z1) = 0 (al se imaginario puro) haciendo el cociente (multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador), e igualando la parte real a cero, llegamos a que 2 + a - a^2 = 0 de donde a = -1 y 2 por lo que z1 = 2 - i y z2 = 1 + 3 i o bien z1 = 2 + 2 i y z2 = 1 - i 3) z1 = a + b i z2 = a - bi (al ser complejo conjugado) a + a = 6, luego a = 3 z1 = 3 + bi modulo z1 = 5 = raíz (3^2 + b^2) de donde b = +4 ó b = -4 Los números son 3+ 4i y 3 - 4i Pregunta 08. Resuelta el 08/12/2012 Si z1 = 27210 º, z2 = 350 º y z3 = 172 º se pide: a) Calcular la forma polar de los complejos z1 · z2, z1 / z2 y z1 · (z2) 3 y explicar si alguno de ellos es un número real. b) Representar gráficamente los complejos z3, (z3) 2, (z3) 3, (z3) 4 y (z3) 5, explicando qué forman sus afijos. c) Comprobar que el número complejo w = 370 º es una raíz cúbica de z1 (lo cual, si os fijáis bien, no pide, en absoluto, saber calcular raíces cúbicas) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal No entiendo los números complejos que escribes, separa el módulo del argumento. Voy a interpretarlos así: z1 = 27 L 210º z2 = 3 L 50º z3 = 1 L 72º La "L" es para separar el módulo del argumento del numero complejo a) z1 · z2 = ro1·ro2 L (theta1 + theta2) z1 · z2 = 27·3 L (210 + 50) = 81 L 260º z1 / z2 = ro1 / ro2 L (theta1 - theta2) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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z1 / z2 = 27/3 L (210 - 50) = 9 L 160º (z2)^3 = ro2^3 L (3 · theta2) (z2)^3 = 1^3 L (3·72º) = 1 L 216º b) lamento que no pueda hacerte el dibujo con este editor de textos de Yahoo! c) podemos comprobar que w^3 = z1 (3 L 70º)^3 = 27 L 210º, ves como corresponde? Pregunta 09. Resuelta el 29/12/2012 Calcula el valor de z^6, sabiendo que ......-1+?3i z= ----------........2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal en forma polar -1 + raíz 3 i es modulo: r = raíz (1 + 3) = 2 tan theta = -raíz 3, de donde theta = 120º z^6 = [(2 angulo 120º) / 2]^6 = (2/2)^6 angulo 6·120º 6·120º = 720º que equivalen a 0º luego z^6 = 1 angulo 0º = 1 Recuerda que en forma polar en muy sencillo hacer la potencia de un numero complejo (ro angulo theta)^n = modulo (ro^n) angulo (theta·n) Pregunta 10. Resuelta el 29/12/2012 ¿Cuál es el módulo y el argumento del número complejo z=1- i/(1+i/(1-i/(1+i))) ? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal A mi me sale z = 0. A ver cómo lo ponemos aquí: empecemos por abajo del todo 1 - i/(1+i) = (1 + i - i) / (1 + i) = 1 / (1 + i) por lo que i/(1-i/(1+i)) = i / [1 / (1 + i)] = i (1 + i) = i - 1 1+i/(1-i/(1+i)) = 1 + i - 1 = i por lo que quedará: z=1-i/i=1-1=0 Pregunta 11. Resuelta el 31/12/2012 Necesito saber como representar en una gráfica los siguientes números complejos: ------> {z e(perteneciente) C / |z-2i| {z e C / z z(conjugado) > 4} ------> {z e C / |z-3i| = 4} Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal No puedo hacerte la gráfica, pero te lo indico: 1) Puntos interiores a la circunferencia de centro el punto (0, 2) y radio 1 incluyendo el "borde" de la circunferencia. En el eje x se representa la parte real, y el en y la imaginaria, de ahí que el centro es el (0, 2) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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2) puntos exteriores (sin el borde) a la circunferencia de centro el origen y radio 2 lo ves claramente si escribes el numero complejo como z = x + i y 3) como el primero. Circunferencia (el borde solo) de centro el punto (0, 3) y radio 4. Pregunta 12. Pregunta resuelta en diciembre (Facebook) ¿Alguien me puede ayudar a saber bajo qué condiciones el módulo de la suma de 2 números complejos es igual al módulo de la diferencia de los números? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo z1 = a1 + b1 · i , el otro, z2 = a2 + b2 · i. Haz la suma: z1 + z2= a1 + a2 + (b1 + b2) i su modulo : raíz [(a1 + a2)^2 + (b1 + b2)^2] Haz la resta: z1 + z2= a1 - a2 + (b1 - b2) y su módulo : raíz [(a1 - a2)^2 + (b1 - b2)^2] iguala ambos (elevando al cuadrado) (a1 + a2)^2 + (b1 + b2)^2 = (a1 - a2)^2 + (b1 - b2)^2 al desarrollar los cuadrados se irán: a1^2, a2^2, b1^2 , b2^2 y quedará 2 a1 a2 + 2 b1 b2 = - 2 a1 a2 - 2 b1 b2 es decir 4 a1 a2 + 4 b1 b2 = 0 o sea: a1 · a2 + b1 · b2 = 0 lo que señalé en el primer comentario . Me indicaron que no resolviera el ejercicio, sino que sólo señalara cómo se hacía. Ahí está la respuesta. Ejemplo z1 = 1 + i, z2 =1 - i (vemos que cumple la condición que he deducido) z1 + z2 = 2 y su modulo: 2 z1 - z2 = 2 i y su módulo: 2 vemos que ambos soy iguales. Pregunta 13. Resuelta el 22/12/2012 (Facebook) Como resolveríais esta ecuación en R y en C. z^2 (1 + i) - z (1 + 3 i) + 2 + 4 i = 0 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo ¿Por que no resuelves la ecuación como una ecuación de segundo grado en "z"? Con la fórmulas,[-b +- raíz (b^2 - 4 a c)] / (2a)

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Tema 07. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

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1. Matrices y sistemas 2. Espacios vectoriales 3. Aplicaciones lineales 4. Diagonalización 5. Formas cuadráticas. Producto escalar Operaciones con matrices

Pregunta 01. Resuelta el 27/10/2012 Si tengo dos matrices (A y B) de dimensión 4x3 ¿puedo calcular A*B? ¿Y puedo sumar A+B? ¿puedo multiplicar la transpuesta de A*B? ¿puedo hacer la inversa de A? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal A * B no se puede hacer pues el numero de columnas de la primera matriz no coincide con el numero de filas de la segunda A + B se puede hacer porque ambas tienen la misma dimensión Si A*B no se puede hacer, tampoco existirá su traspuesta. Entiendo que el enunciado dice la transpuesta de (A*B), no la (traspuesta de A) * B No puede hacer la inversa de A pues no es una matriz cuadrada Pregunta 02. Resuelta el 27/10/2012 ¿Multiplicación de dos matrices? Tengo la matriz A: -4 0 2 -1 y B: -1 4 3 -3 Tengo que determinar la matriz X sabiendo que A*X + B = A. O sea, X = (A - B) * matriz inversa de A ¿no? ¿es así no? ¿qué resultado os da la matriz inversa? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal No, lo haces mal porque el PRODUCTO DE MATRICES NO ES CONMUTATIVO. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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A*X + B = A A*X = A -B ahora multiplicamos POR LA IZQUIERDA POR A^(-1) y tenemos en cuenta que A·A^(-1)=I queda X = A^(-1) · (A - B) La matriz inversa de A es A^(-1) = (1/4)..(-1....0) ...................... ..(-2...-4) Pregunta 03. Resuelta en octubre 2012

Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Según el enunciado la matriz A queda …...(1...2) A = (2...2) det A = -2 y la matriz B debe ser .......(0... 4) B = (-4 .. 0) ..............................(-2.... 4) de modo que B-2I = (-4 ... -2) det (B-2I)= 4 +16 = 20 det (A·X)= det A · det X luego -2 · det X = 20 det X = -10 La respuesta es la C Pregunta 04. Resuelta el 28/10/2012 ¿Matemática básica matrices? si: A=[ 2 1) [ 0 -1) B=[ -4 -2) [5 -2) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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C=[ 1 2 ) [ 3 4) Entonces determinar [(A+B)^t.(B+C)^t) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Si A = (2...1) .. B = (-4....-2) .......(0..-1)..........(5.....-2) ....C = (1....2) ..........(3....4) A+B= (-2...-1) ..........(5...-3) ...(A+B)t = (-2...5) ...................(-1.-3) B+C=(-3...0) ..........(8....2) ...(B+C)t=(-3...8) .................(0....2) luego (A+B)^t.(B+C)^t = (-2...5)...(-3...8) = (-1..-3)...(0....2) = (6 ... -6) ...(3...-14) porque supongo que sabrás sumar y multiplicar matrices. Si no sabes, dime y te explico cómo. Pregunta 05. Resuelta el 03/11/2012 Tengo la matriz: -1 -3 0 4 -4 0 -1 -2 -1 -4 -3 5 Me sale rango 3 al haber intercalado una fila, y en 6 pasos la he resuelto quedándome la última fila de ceros. ¿no es así? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El rango en 3 en efecto. Pero no es necesario ni siquiera hacer ceros. La matriz tiene 4 filas y 3 columnas luego como máximo el rango es 3 Si hacemos el determinante 3x3 de las tres primeras filas (desarrollando por menores complementarios de la tercera columna o por Sarrus si quieres) vemos que es distinto de cero. Luego el rango es 3

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Pregunta 06. Resuelta el 25/11/2012 Buenas tengo una ecuación de matrices en la que: B= 1 a ..... b 3 C= -1 .......3 D=5 .....10 (no hagáis caso a los puntos solo los he puesto para que no se muevan los números) pide determinar a y b de manera que : B*C-D=O -> (siendo O= matriz nula) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Si B*C-D=O, entonces: B*C = D multiplica B por (recuerda que el producto no es conmutativo) y lo igualas a D, tendras un sistema con dos ecuaciones con dos incógnitas que resolverás. (1..a)..(-1)....(.5) (b..3)..(.3) = (10) Supongo que sabrás cómo se multiplican matrices, ¿no? -1 + 3 a = 5, de donde a = 2 -b + 9 = 10 , de donde b = -1 Pregunta 07. Resuelta el 28/11/2012 ¿Matriz inversa duda (elementos 0)? Hace unos días tuve un parcial en el cual no dieron una matriz, que contenía en su primera fila dos elementos seguidos 0 (ceros) a11 y a12 respectivamente, también en otros lugares, el problema era hacer una su matriz inversa, yo lo intente hacer por la el método de matriz ampliada (el cual lo aumenta una matriz identidad), ahora como verán el primer elemento tenia que ser 1, pero era 0, entonces, que hago en ese caso? Lo que hice es cambiar la fila por otra, es mas cuando lo hice sucedió otra ves mas en el proceso y lo hice otra ves mas. La pregunta es, ¿qué hago en esos casos?, ¿qué propiedad utilizo? Al cambiar una fila o columna. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal No puedes emplear ese método si el "pivote" es nulo. Y si intercambias filas , te vas a liar. ¿Por que no empleas el clásico método de calcular la inversa (siempre y cuando el orden de la matriz no sea muy grande, claro? 1. Se calcula el determinante de la matriz A y se comprueba que es distinto de cero 2. Se calcula la matriz traspuesta A^t en la que intercambiamos filas y columnas (las filas pasan a ser columnas y viceversa) 3. se calcula la matriz adjunta de la traspuesta (A^t)^a, en la que sustituimos cada elemento por su adjunto (el determinante que resulta de simplificar filas y columnas) teniendo en cuenta el signo (-1)^(i+j) 4. La matriz inversa es dividir entre el determinante la matriz anterior A ^(-1) = (1 / det A ) · (A^t)^a Pregunta 08. Resuelta el 08/12/2012 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Si se multiplican dos matrices, A y B, ¿A·B es también una matriz simétrica? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Si A es un matriz simétrica, A^t = A (nota A^t es la matriz traspuesta) Si B es un matriz simétrica, B^t = B Veamos si A·B es o no simétrica, es decir, si (A·B)^t = A·B Sí lo es. En efecto, recordando que (A·B)^t = B^t · A^t (ésta es una propiedad de las matrices traspuestas) (A·B)^t = B^t · A^t = B · A al ser B y A simétricas (relaciones de arriba). Así pues hemos demostrado que (A·B)^t = A·B, es decir que A· B es simétrica. Pregunta 09. Resuelta el 23/01/2013 a las 13:04 h (hora española). Respuesta número 1565 Dada la matriz A=(fila 1: 3, 5; fila 2: -2, 1), sea B la matriz que verifica A·B=(fila 1: -2, 7; fila 2: 1, 3) a) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas. b) Resuelve la ecuación matricial A^(-1) · X – B = B · A Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Para que exista inversa, el determinante de la matriz (cuadrada, claro) debe ser distinto de cero A = (3..5) ......(-2.1) det A = 3·1 - 5 · (-2) = 3 + 10 = 13 distinto de 0 luego existe inversa B = (-2..7) ......(1..3) det B = - 6 - 7 = - 13 distinto de 0, luego existe inversa b) A^(-1) · X - B = B · A pasamos B a la derecha A^(-1) · X = B · A + B A^(-1) · X = B · (A + I) siendo I la matriz identidad multiplicamos POR LA IZQUIERDA por la matriz A (el producto de matrices no es conmutativo) A · A^(-1) · X = A · B · (A + I) A · A^(-1) = I, por lo que X = A · B · (A + I) A·B = (-1..36) ......... (5..-11) supongo que sabrás sumar y multiplicar matrices, ¿no? A + I = (4..5) ..........(-2..2) luego X = (-1..36) · (4..5) ......(5..-11)..(-2..2) y si no me he colado en las operaciones, sale X = (-76..67) ......(42...3) Pregunta 10. Resuelta el 03/02/2013 a las 00:24 (hora española). Respuesta número 1680 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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¿Como hallar las matrices de los adjuntos e inversa de la siguiente? 1200 0300 0021 0003 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El adjunto de un elemento es el determinante que resulta de simplificar la fila y la columna del elemento en cuestión, teniendo en cuenta un signo (-1)^(fila + columna) Para calcular la matriz inversa de una matriz dada A, por este procedimiento: 1. calculas el determinante y compruebas que es distinto de cero, det A 0 2. calculas la matriz traspuesta, A^t en la que intercambiamos filas por columnas y columnas por filas 3. calculas la matriz adjunta (A^t)^a de la traspuesta, en la que sustituimos cada elemento por su adjunto (como hemos definido antes) 4. A^(-1) = (1 / det A) · (A^t)^a Nota: cuando pongo A^t es para denotar la matriz traspuesta (no estoy elevando la matriz a una potencia t); lo mismo con la adjunta de la traspuesta. Pero para matrices tan sencillas (pese a que sea 4x4) como la del enunciado, es mucho mas sencillo utilizar el método de Gauss. Colocas la matriz que te dan y a continuación de ella la matriz identidad (4 x 4 en tu caso; ya sabes, con unos en la diagonal principal y el resto ceros). Pues bien haces operaciones elementales entre filas hasta llegar a la matriz identidad. Si ahora haces esas mismas operaciones elementales y en el mismo orden sobre la matriz identidad, la matriz que resulta es la inversa de la dada. 12001000 03000100 00210010 00030001 Por ejemplo hacemos F3 -1/3 F4 12001000 03000100 0 0 2 0 0 0 1 -1/3 00030001 F1 - 2/3 F2 1 0 0 0 1 -2/3 0. 0 0 3 0 0 0...1...0..0 0 0 2 0 0...0...1.-1/3 0 0 0 3 0.. 0.. 0. 1 1/3 F2 1/2 F3 1/3 F4 y ya tenemos la inversa 1 0 0 0... 1 -2/3 0. 0 0 1 0 0... 0..1/3...0..0 0 0 1 0... 0...0..1/2.-1/6 0 0 0 1... 0.. 0.. 0. 1/3 que seria 1 -2/3 ..0. 0 0..1/3...0..0 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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0...0..1/2.-1/6 0.. 0.... 0. 1/3 Sistemas de ecuaciones Pregunta 11. Resuelta el 27/10/2012 ¿Rango matriz ampliada?. Tengo la siguiente matriz ampliada: 1 1 73 1 -2 -2 3 1 -1 1 3 ¿qué rango tiene? ¿es un sistema compatible indeterminado? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Es fácil. Haz ceros por "Gauss", haciendo operaciones elementales F2 - F1 F3 - F1, quedando 1....1....7....3 0...-3...-9....0 0...-2...-6....0 dividimos entre -3 la segunda y entre -2 la tercera y queda: 1....1....7....3 0....1....3....0 0....1....3....0 por lo que el rango es 2. El sistema sería compatible indeterminado. Pregunta 12. Resuelta en octubre de 2012 ¿Como resuelvo una ecuación 3x3 incompletas?. La ecuación es -2 x – 2 y + z = 9 3x–y=3 3y–z=9 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal De la segunda ecuación: x = 1 + y/3 ; de la tercera: z = 3 y - 9. sustituyendo en la primera -2 (1 + y/3) - 2 y + 3 y - 9 = 9 - 2y/3 + y = 20 -2 y + 3 y = 60 ; y = 60 ; x = 1 + 60/3 = 21 ; z= 3·60 - 9 = 171 Pregunta 13. Resuelta en octubre de 2012 ¿Sistema 3x4 ¿compatible indeterminado?. Tengo el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: 2 x + 3 y +-6 z = 50 5 x + 6 y +-1 z = 63 2 x + 1 y +-6 z = 42 El +- de la tercera columna supongo que sólo tiene peso el menos. Me sale compatible, ¿cómo se calculan las incógnitas x, y y z? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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De muchas formas: puedes resolverlo por Cramer, por Gauss, por la inversa, por factorización LU, empleando métodos numéricos. O más sencillo: resta la primera y la tercera ecuación: 2 y = 8 ; de donde y = 4 f (x) = x ' 1- El Rango de una transformación lineal es subconjunto del dominio del espacio V. No sabría responderte pues no sé cuál es V. Pero el rango de una transformación lineal es el rango de la matriz de la aplicación lineal, es un número, entonces eso de que es un ¿subconjunto?. Yo diría falso desde este punto de vista. 2 -Para determinar el rango de una Transformación lineal T(x)=Ax, sólo se toman en cuenta las filas no nulas de la matriz escalonada reducida. Cierto, pues el rango de una transformación lineal es el rango de la matriz de la aplicación lineal y si hay filas (o columnas) nulas, no "contribuyen" al rango.

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3 -El rango es igual a la base del contradominio. Me imagino que "contradominio" es la imagen. Y el rango de la aplicación lineal coinciden con la DIMENSION de la imagen, de nuevo es un número no una "base" (salvo que quieras referirte a la dimensión de la base y no a la base en si) 4 -La integral definida, cuyo integrando es una función polinómica es una Transformación lineal. Si, pues la integral de una suma es la suma de integrales y la integral de una constante por una función, se saca la constante y se integra la función 5 -El núcleo de una Transformación lineal es subconjunto del dominio del espacio V. Si interpretamos V como el espacio de partida (el que yo llamé E) es verdadero, pero si V es el espacio de "llegada" E ' es falso. 6 -El Ker(T) es sinónimo del núcleo de la transformación lineal. Verdadero. No hay explicación el núcleo se designa con Ker (del alemán, creo, kernel) 8 -La base del contradominio esta formada por los vectores preimagen. "Preimagen", la primera vez que lo oigo, pero intuyo que son los vectores de partida, los "orígenes". Seria falso si interpreto el "contradominio" como la imagen 9 -La dimensión de la base del núcleo es igual al espacio vectorial V. De nuevo confundimos la dimensión de un (sub)espacio vectorial que es un número con el espacio vectorial que estará determinado por unos vectores o unas ecuaciones cartesianas o paramétricas del mismo. Yo diría falso. 10 -Los vectores que hacen cero la transformación lineal, corresponden al Ker(T). Verdadero, ésa es precisamente la definición de núcleo. Pregunta 19. Resuelta el 23/01/2013 a las 13:13 h (hora española). Respuesta número 1566 Sea f : R3 ?? R3 la aplicación lineal definida en la base canónica por (x, y, z) ?? (x + y + 2*z, x ? y + z, 2*y + z). • [0.5 puntos] Halle la matriz asociada a f en la base canónica. • [0.5 puntos] Calcule una base del núcleo de f y otra de la imagen de f. • [0.5 puntos] ¿Es R3 = ker(f) ? Im(f) suma directa del núcleo e imagen? Los dos primeros apartados los he resuelto, el núcleo y la imagen me quedan: Kerf={(-3,1/2,1)} e Imf={(1,1,0),(1,-1,2)} y la matriz del primer apartado: 112 1 -1 1 021 ¿Me puede alguien confirmar que esos resultados son correctos y decirme cómo se hace el último apartado?. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La matriz de la aplicación lineal que has puesto es correcta. El núcleo no me sale igual. Veamos tienes que resolver el sistema A · x = 0 siendo x y 0 vectores columna. Es decir el sistema x + y + 2*z = 0 x?y+z=0 2*y + z = 0 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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si sumas las dos primeras, 2 x + 3 z = 0, z = -2x/3 de la tercera, y = -z/2 = x/3 por lo que el núcleo es (x,y,z) = (x, x/3, -2x/3) = x (1, 1/3, -2/3) = (1, 1/3, -2/3) multiplicando por 3 queda la base del núcleo (3, 1, -2) La imagen es correcta pues la dimensión de la imagen es el rango de la matriz de la aplicación lineal que es 2, o también puede verse de que dim Ker f + dim Im f = dim E 1 + dim Im f = 3, de donde dim Im f = 2 Para que sea suma directa debes comprobar que la suma de ambos es R3 y que la intersección es cero. Para ello puedes probar que son linealmente independientes, colocar los dos vectores de la imagen y el del núcleo como columnas de una matriz, haz el determinante y verás que sale distinto de cero. Pregunta 20. Resuelta el 23/01/2013 a las 16:18 h (hora española). Respuesta número 1576 ¿Como calculo el núcleo y la imagen de esta aplicación lineal? Sea F: P2----->R3 / F (a + b x + c x^2) = (a – b, a + c, 2 a - b+… Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal ¿Está incompleto el enunciado, al venir puntos suspensivos...? Voy a suponer que la aplicación lineal es lo que tienes puesto: F(a+bx+cx^2)=(a-b,a+c,2a-b) creo que quizá te falte un "c" al final La matriz de la aplicación lineal es A = (1 ..-1..0) ......(1...0...1) ......(2..-1...0) Como el rango de la aplicación lineal es 3 (al ser el determinante de la misma distinto de cero), el núcleo tiene dimensión cero. El núcleo es únicamente el polinomio 0. La imagen es todo R3. La dimensión de la imagen es 3. Ahora bien, si lo que has querido decir es: F(a+bx+cx^2)=(a-b,a+c,2a-b+c), la matriz es ahora A = (1 ..-1..0) ......(1...0...1) ......(2..-1...1) sale el determinante cero por lo que el rango de la aplicación lineal es 2 y 2 es también la dimensión de la imagen. El núcleo tendrá dimensión 1, pues dim Ker f + dim Im f = dim E (que es 3) Para calcular el núcleo resolvemos el sistema homogéneo x-y=0 x+z=0 2z-y+z=0 de donde y = x, z = -x luego (x, y, z) = (x, x, -x) = x (1, 1, -1) El núcleo serian los polinomios de la forma 1 + x + x^2 (o proporcionales al mismo). Una base de la imagen estaría formada por dos vectores linealmente independientes, por ejemplo, las dos primeras columnas de la matriz de la aplicación lineal Base de Im f = {(1,1,2),(-1,0,-1)}

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Pregunta 21. Resuelta el 06/02/2013 a las 19:31 (hora española). Respuesta número 1750 Me gustaría que me explicasen por qué la dimensión del núcleo de la aplicación definida como f (x, y, z) = (2 x - y, 0) es 2, al hallar una base del núcleo obtengo (1, 2), no se por qué sale la otra. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea la aplicación lineal de R3 en R2, el núcleo se define como los vectores de R3 cuya imagen es el vector nulo (de R2). es decir 2x-y=0 0=0 de donde y = 2x y ¡ atención ! z toma cualquier valor por lo tanto un vector genérico del núcleo es el : (x, y, z) = (x, 2 x , z) = x (1, 2, 0) + z (0, 0, 1) Ves que la base del núcleo está formada por dos vectores de R3: B de Ker f = {(1, 2, 0) , (0, 0, 1)} por lo que la dimensión es 2.

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Tema 10. Diagonalización de endomorfismos 2

λ – tr ( A) λ+det A=0

(

a A= d g

b e h

c f i

)

−λ3 +(tr A) λ2 – [ a e+a i+e i – ( b d +c g + f h) ]λ+det A=0

Pregunta 01. Resuelta el 12/11/2012 ¿La inversa de la matriz A=A^-1 existe si y sólo si el producto de sus valores característicos es distinto de 0? Suponer que la matriz A de n x n tiene los valores característicos ?_1, ?_2, ..., ?_k. Mostrar que A^-1 (la inversa de A) existe si y sólo si ?_1*?_2*...*?_k es distinto de cero. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal En efecto. Hay dos invariantes en una matriz (cuando se cambia de base en un endomorfismo): la traza y el determinante. El determinante es el PRODUCTO DE VALORES PROPIOS, por que que si el distinto de cero (es decir si todos los valores propios son diferentes de cero), el determinante es distinto de cero y existirá inversa. det A = landa1 · landa2 · .... Lo puedes ver si por ejemplo has diagonalizado la matriz. Ésta tiene los valores propios en la diagonal principal y su determinante (al ser diagonal) es el producto de los elementos de la diagonal principal, es decir el producto de valores propios. Si alguno de éstos es cero, el determinante es nulo y no existirá inversa. Pregunta 02. Resuelta el 31/12/2012 Sea la matriz A con valor propio $ y vector propio V. Sabemos que A (v)= $(v). Demostrar que A^n(v)= $^n(v) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Eres mi última respuesta del Año. Lo puedes probar por inducción: como A · v = landa · v A^2 · v = A · A · v = A · landa · v = landa · A · v = landa · landa v = landa^2 · v A^3 · v = A · A^2 · v = A · landa^2 · v = landa^2 · A · v = landa^2 · landa · v = landa^3 · v En general A^n · v = landa^n · v Para completar el proceso de inducción, supones válido para n-1, es decir A^(n-1) · v = landa^(n-1) · v y compruebas que se verifica para n, que es evidente si multiplicamos la expresion anterior por A A·A^(n-1) · v = A · landa^(n-1) · v A^n · v = landa^(n-1) · A · v Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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A^n · v = landa^(n-1) · landa · v A^n · v = landa^(n) · v , lqqd donde landa es el valor propio y v el vector propio. Pregunta 03. Resuelta el 04/01/2013 1. Demostrar que la matriz A y la matriz At (traspuesta de A) tiene los mismos valores propios, 2. Si A tiene como valores propios a a1, a2, a3, .., an, ¿qué valores propios tiene A^(-1) y A^n? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) evidente pues el determinante de una matriz y el de su traspuesta coinciden. De ahí que si restamos landa a la diagonal principal de la matriz A y landa ' a la diagonal principal de la matriz A^t (traspuesta), al ser ambos determinantes iguales, landa ' deberá ser igual a landa. 2) en el primer caso: 1/a1 , 1/a2, 1/a3... en el segundo caso a1^n, a2^n... En efecto: primer caso: A · x1 = a1 · x1 siendo a1 el valor propio asociado al vector propio x1 A^(-1) · x1 = landa · x1, donde landa es el valor propio asociado a A^(-1) multiplico por A A · A^(-1) x1 = A landa · x1 I · x1 = landa · A · x1, siendo I la matriz identidad x1 = landa · a1 · x1 de donde landa = 1 / a1 , ¿ok? segundo caso: igual A · x1 = a1 · x1 siendo a1 el valor propio asociado al vector propio x1 A^2 · x = landa · x, donde landa es el valor propio asociado a A^2 A · A · x = landa · x A · a1 · x = landa x a1 · A · x = landa · x a1 · a1 · x = landa · x de donde landa = a1^2 es el valor propio asociado a A^2 y en general a1^n para la matriz A^n Pregunta 04. Resuelta el 16/11/2012 ¿Cuáles son los valores de m porque la matriz NO sea diagonalizable? la matriz es: [ 2 , 0 , 0] [ 1 , 5 , -1] [6 - m, 5 - m , m - 1] Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Obtienes los valores propios: det (A - landa I) = 0 Supongo que no tendrás dificultades para ello. Yo obtengo: landa = 2 ; landa = 4 y landa = m - Si m es distinto de 2 y de 4 : es DIAGONALIZABLE Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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- Si m = 2, tenemos, landa = 2 (doble) y landa = 4. Estudiamos para landa = 2 (valor propio problemático), la matriz queda: [2 , 0 , 0 ] [1 , 5 , -1] [4, 3, 1] Si le restamos 2 a la diagonal principal obtenemos la matriz: [0 , 0 , 0 ] [1 , 3 , -1] [4, 3, -1] de rango 2, por lo que el numero de vectores propios es 1 y NO ES DIAGONALIZABLE - Si m = 4, landa = 4 (doble) y landa = 2. Estudiamos para landa = 4 la matriz queda [2 , 0 , 0 ] [1 , 5 , -1] [2, 1, 3] Si le restamos 4 a la diagonal principal obtenemos la matriz: [-2 , 0 , 0 ] [1 , 1 , -1] [2, 1, -1] de rango 2, luego obtengo un valor propio y NO ES DIAGONALIZABLE. Así que , en resumen, NO ES DIAGONALIZABLE, para m = 2 o m = 4. Nota importante: no he llegado a calcular los vectores propios pues he tenido en cuenta que : el numero de vectores propios asociados al valores propio landa sub i es igual a la dimensión de E (orden de la matriz) - rango de la matriz (A - landa sub i · I) Espero haberte ayudado. Pregunta 05. Resuelta el 09/12/2012 (pregunta 1286) Los valores propios de una matriz cuadrada de A de orden dos valen 3 y 5. Hallar el polinomio característico de A, así como la inversa de A en función de potencias de A. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El polinomio característico es: p (x) = (x-3) · (x-5) = x^2 - 8 x + 15 De acuerdo con el teorema de Cayley - Hamilton, toda matriz verifica su ecuación característica: x^2 - 8 x + 15 = 0 es decir A^2 - 8 A + 15 I = (0) A^2 - 8 A = -15 I I = (-1/15) · (A^2 - 8 A) Multiplicas por A^(-1) a ambos lados de la ecuación anterior A^(-1) = (-1/15) · (A - 8 · I) siendo I la matriz identidad. Nota A^(-1)·A = I A^(-1)·A^2 = A Pregunta 06. Resuelta el 22/12/2012 Problema 1. Dadas las matrices siguientes: Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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A= -2 2 0 0 2 -2 0 0 0011 0011 B= -2 2 0 0 2- 2 0 0 0 0 1 -1 0 0 1 -1 se pide: a) Determinar si los vectores (-1, -1, -1, -1), (2, 2, 0, 0) y (0, 0, -1, -1) son vectores propios de alguna de estas matrices y, en caso afirmativo, indicar cual es el valor propio asociado en cada caso. b) Determinar si son o no diagonalizables. En caso negativo indicar un motivo de por que no lo es y en caso afirmativo encontrar para dicha matriz M una matriz inversible P de cambio y una matriz diagonal D tal que P^-1 MP = D. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal PROBLEMA 1 Para que un vector, sea vector propio de una matriz, debe verificar que A · x = landa · x siendo x el vector como columna. Vete probando uno a uno con cada matriz. Es sencillo, en principio te sale un sistema de 4 ecuaciones con una incógnita landa (el valor propio). por ejemplo , el primer vector que das (-1,-1,-1,-1) NO es vector propio de la primera matriz A pero SÏ de la segunda matriz B. ¡compruébalo como te he dicho! La segunda matriz B es diagonalizable pues es SIMÉTRICA y toda matriz simétrica siempre es diagonalizable. Obtienes los valores y vectores propios. ¿Cómo? Valores propios: resolviendo el determinante det (A - landa I) = 0. Obtendrás cuatro valores propios (quizá repetidos, con una determinada multiplicidad). Vectores propios: para cada valor propio, debes resolver la ecuación (A - landa · I) · x = 0 siendo x y 0 vectores columna. Intenta hacerlo. La matriz diagonal D tiene los valores propios en la diagonal principal y la matriz de paso P tiene por columnas los vectores propios (en el mismo orden en que hemos colocalo los valores propios). Bien, para la matriz A, obtienes valores y vectores propios. Un endomorfismo de dimensión n (es decir que la matriz del mismo es n x n) es diagonalizable SI Y SOLO SI existen n vectores propios linealmente independientes. Mira a ver si te salen 4 vectores (por definición un vector propio es distinto de cero), si es así es diagonalizable, si no salen 4, no lo es. Lo dicho, inténtalo. Pregunta 07. Resuelta el 18/01/2013 a las 18:16 h (hora española). Respuesta número 1500 ¿Se pueden calcular los vectores propios de una matriz singular? Tengo que calcular los vectores propios de una matriz 3X3 en la que una de las filas es igual a la otra. La matriz es: 404 010 404 Cuando intento obtener los vectores propios a partir de los valores propios de la matriz, me da que todos los vectores propios son de la forma (0, 0, 0). ¿ Es correcto? Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal ¡¡ Felicidades, Irene, vas a ser mi respuesta número 1500 !! Por definición un vector propio no puede ser el vector cero. Luego no es correcto. Lo valores propios de la matriz anterior son: landa = 1, landa = 0 y landa = 8 Los vectores propios que se obtienen son para landa = 0 el vector es (1, 0, -1) para landa = 1 el vector es (0, 1, 0) para landa = 8 el vector es (1, 0, 1) Por cierto la matriz es diagonalizable (sin necesidad de obtener los valores propios, pues es simétrica) Pregunta 08. Resuelta el 21/01/2013 a las 10:07 h (hora española). Respuesta número 1549 Sea A la matriz 3x3 111 A= -1 -1 -1 111 a) Hallar un 3-vector xo tal que Axo = xo y xo tenga longitud 1 b) Calcular A^n xo, n = 1, 2,.... Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Lo que te están pidiendo es que calcules el vector propio (unitario) asociado al valor propio landa = 1. Antes de nada debemos comprobar si en efecto landa = 1 es un valor propio, para ello no tenemos mas que comprobar que det (A - landa · I) = 0 para landa = 1, como así sucede. Para tu información, los otros dos valores propios son landa = 0 (doble). Así pues, resolvemos la ecuación A xo = xo, o lo que es lo mismo (A - I) xo = 0 siendo xo = (x,y,z) y 0 (0,0,0) vectores columna (0....1....1)..(x)....(0) (-1..-2...-1)..(y).=.(0) (1....1....0)..(z)....(0) de donde z = -y, x=-y por lo que el vector propio es (x, y, z) = (-y, y, -y) = -y (1, -1, 1) su modulo es raíz 3, por lo que el vector xo pedido es (1 / raíz3 , -1 / raíz 3, 1 / raíz 3) b) para n = 1; A^1 · xo = xo = (1 / raíz3 , -1 / raíz 3, 1 / raíz 3) para n = 2; A^2 · xo = A · A xo = A xo = xo = (1 / raíz3 , -1 / raíz 3, 1 / raíz 3) pues A xo = xo Pregunta 09. Resuelta el 27/01/2013 a las 10:01 h (hora española). Respuesta número 1584 Hallar la descomposición espectral de la matriz. Estoy viendo álgebra lineal y ésta es la matriz 542 452 222 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal ¿Preguntas por la descomposición en valores singulares? Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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De momento puedes ir calculando valores y vectores propios. Para calcular los valores propios, resolvemos la ecuación: det (A - landa I) = 0 Para calcular los vectores propios asociados a un valor propio concreto, resolvemos el sistema (A - landa I) · x = 0 siendo x y 0 vectores columna. Pregunta 10. Resuelta el 05/02/2013 a las 20:00 (hora española). Respuesta número 1732 No lo puedo demostrar, no se si es verdadero o falso Si la transformación T posee autovalor 3, entonces ¿ToT (composición) posee autovalor 6? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Falso, el valor propio sería 9. En efecto: Vamos a llamar A a la matriz de la transformación. Por la definición de valor y vector propio: A · x = landa x Bien, A^2 · x = A · A · x = A · landa · x = landa · A · x = = landa · landa · x = landa^2 · x luego el valor propio de A^2 es landa^2, o sea 3^2 = 9 Información adicional. El problema con la explicación: A^2 · x = A · A · x = A · landa · x = landa · A · x = landa · landa · x = landa^2 · x luego el valor propio de A^2 es landa^2, o sea 3^2 = 9 es que a mi me están pidiendo composición, es decir T (T(v)), v es autovector, no T^2 . es lo mismo? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Edito a las 21:06. Ya te contesté por mensaje privado. La matriz de la composición de aplicaciones lineal es el "producto" de ellas. Si de piden ToT su matriz es la de T (que yo he llamado A) al cuadrado Pregunta 11. Resuelta el 24/01/2013. Facebook Alguien sabe como hacer este ejercicio de matrices? (pide calcular la potencia n-ésima de una matriz) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo Simplemente ve multiplicando matrices: A^2 = A·A ; A^3 = A^2 · A ; etc. Por inducción podrás calcular A^n (o simplemente fijándote cómo van quedando las potencias sucesivas). Para matrices "mas complicadas", la forma de calcular la matriz enésima es diagonalizar la misma (si es posible, claro). Como D = P^(-1)·A·P, tendremos que A = P·D·P^(-1) y A^n = P·D^n·P^(-1) pero la matriz diagonal elevado a la n es muy sencilla, simplemente es elevar los elementos de la diagonal principal a la n.

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Tema 11. Formas cuadráticas y producto escalar Formas cuadráticas Pregunta 01. Resuelta el 21/01/2013 a las 10:17 h (hora española). Respuesta número 1550 ¿Cómo se calcula la signatura de las matrices? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El concepto de SIGNATURA se aplica a una forma bilineal (la matriz que la caracteriza es una matriz simétrica) y es el par ordenado (p, q) siendo p el numero de valores propios positivos y q el numero de valores propios negativos. Algunos textos, señalan la signatura sólo con el numero de valores propios positivos. Podemos emplear la signatura (junto con el rango) para clasificar formar cuadráticas. por ejemplo la forma cuadrática caracterizada por la matriz 3x3 siguiente (1..3..3) (3..1..3) (3..3..1) tiene por valores propios 7 y -2 (doble), por cierto es indefinida. La signatura es (1, 2) pues hay 1 valor propio positivo y 2 valores propios negativos O si consideramos que otros textos mencionan la signatura sólo con el numero de valores propios positivos, ésta sería 1 Puntuación del usuario que pregunta: 5 de 5 Comentario de la persona que pregunta: Gracias Pregunta 02. Resuelta el 02/02/2013 a las 17:29 (hora española). Respuesta número 1656 ¿ejercicios resueltos de la signatura? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Ya te respondí lo que era la signatura. El concepto de SIGNATURA se aplica a una forma bilineal (la matriz que la caracteriza es una matriz simétrica) y es el par ordenado (p, q) siendo p el numero de valores propios positivos y q el numero de valores propios negativos. Algunos textos, señalan la signatura sólo con el numero de valores propios positivos. Podemos emplear la signatura (junto con el rango) para clasificar formar cuadráticas. por ejemplo la forma cuadrática caracterizada por la matriz 3x3 siguiente (1..3..3) (3..1..3) (3..3..1) tiene por valores propios 7 y -2 (doble), por cierto es indefinida. La signatura es (1, 2) pues hay 1 valor propio positivo y 2 valores propios negativos O si consideramos que otros textos mencionan la signatura sólo con el numero de valores propios positivos, ésta sería 1. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Veamos otro ejemplo: Consideremos la matriz cuadrada 3x3: (1..-4..2) (-4..1..-2) (2..-2..-2) cuyos valores propios son landa = 6 y landa = -3 (doble), la signatura es : (1, 2) pues hay 1 valor propio positivo y 2 valores propios negativos O si consideramos que otros textos mencionan la signatura sólo con el numero de valores propios positivos, ésta sería 1. Un tercer (y ultimo) ejemplo: (5..4..2) (4..5..2) (2..2..2) tiene por valores propios 1 (doble) y 10 luego la signatura es : (3, 0) pues hay 3 valores propios positivos y ninguno negativo O si consideramos que otros textos mencionan la signatura sólo con el numero de valores propios positivos, ésta sería 3. Recuerda que los valores propios se obtienen resolviendo la ecuación det (A - landa · I) = 0 siendo I la matriz identidad

Producto escalar Pregunta 03. 02/12/2012 Hola me dicen encontrar una combinación lineal de las funciones e^x y e^(-x) que sea ortogonal a e^x en C[0,1] Bueno lo que hice fue aplicar la definición de funciones ortogonales mediante un producto interno, es decir llame V= a e^x + b e^(-x), entonces aplico el producto punto de e^x por V entonces me queda la integral de cero a uno del producto de V con e^x, esto igual a cero, porque nos dicen qe son ortogonales pero tengo que hallar los valores de a y b, porque uno que queda dependiendo de la otra Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La cuestión es que te piden UNA combinación lineal. De la ecuación de que el producto escalar valga 0 para que sea ortogonales, obtienes una relación entre a y b. Luego das un valor a a o a b y obtienes b o a. integral de 0 a 1 de (a e^x + b e^(-x)) e^x dx = integral de 0 a 1 de (a e^(2x) + b) dx = = a e^(2x) / 2 + b x de 0 a 1 =a·e/2+b-a/2=0 de donde a e + 2 b - a = 0 a (e-1) + 2 b = 0 si b = 1/2, por ejemplo a = -1/(e-1) y una de las combinaciones lineales seria: [-1/(e-1)] · e^x + (1/2) · e^(-x)

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Pregunta 04. Resuelta el 31/01/2013 (Facebook) Alguien sabe encontrar una base ortogonal de la matriz: 422 213 235 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo Obtienes los valores y vectores propios. Los vectores propios que corresponden a valores propios distintos ya son ortogonales entre sí. La cuestión esta en que si los vectores propios asociados a un mismo valor propio son o no ortogonales entre sí. Si lo son, genial. Si no lo son debes emplear el método de ortogonalización de Gramm-Smith para obtener una base ortogonal a partir de una base cualquiera. una vez tengas la base ORTOGONAL, no tienes mas que dividir cada de los vectores entre su módulo para hacerla ORTONORMAL. Pregunta 05. Resuelta el 02/02/2013 a las 20:13 (hora española). Respuesta número 1667 Siendo L un plano generado por los vectores {(1, -1, 1, 0), (0, 1, 1, 1)} y V=(0, 1, 1, -2), que pertenece a L... Hallar, por el método de mínimos cuadrados el vector W que pertenece a L tal que ll W-V ll, sea mínimo Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Veamos, en primer lugar V NO PERTENECE a L, pues no puede escribirse como combinación lineal de los vectores de L. Es decir tenemos un vector V que no pertenece a L y nos piden la proyección ortogonal de V sobre el subespacio W. Sea y dicha proyección (vector) V = y + z donde z es un vector ortogonal al subespacio L y = a1 · omega1 + a2 · omega2 Deberemos calcular a1 y a2 Sea omega1 = (1,-1, 1, 0) y omega2 = (0,1,1,1) hacemos los productos escalares (V, omega1) = (y + z, omega1) = (a1 · omega1 + a2 · omega2 + z, omega1) = a1 (omega1, omega1) + a2 (omega2, omega1) (V, omega2) = (y + z, omega2) = (a1 · omega1 + a2 · omega2 + z, omega2) = a1 (omega1, omega2) + a2 (omega2, omega2) es decir: (V, omega1) = a1 (omega1, omega1) + a2 (omega2, omega1) (V, omega2) = a1 (omega1, omega2) + a2 (omega2, omega2) es decir: 0 = a1 · 3 + a2 · 0 0 = a1 · 0 + a2 · 3 de donde a1 = 0 y a2 = 0 ¿Qué ocurre?, Pues que V es ortogonal al subespacio L. Es decir que z es directamente V, e y = 0.

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Tema 12. Geometría en el plano y en el espacio

Geometría en el plano Pregunta 01. Resuelta el 28/10/2012 Encontrar el punto medio entre los puntos (53, 128) y (207, 406) sin ubicarlos en el plano cartesiano. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El punto medio del segmento de extremos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) es M = (P1 + P2) / 2 es decir que las coordenadas del punto medio son .........x1 + x2......y1 + y2 M = ( --------- , ---------- ) = ( (53+207) / 2 , (128 + 406) / 2 ) = (130, 267) ..............2...............2 Pregunta 02. Resuelta el 23/10/2012 1. Halle la ecuación de la recta con los siguientes datos: a) P (1, 1), Q (-2, 3) b) m = 3/4, P (2, 1) 2. Halle el vértice, eje de simetría, y corte en el eje y: a) F(x)= 3 x^ 2 - 2x + 1 3. Despeje: a) LT^ 2 - 5T + A = 0 Despeje T Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) a) P (1,1) ; PQ (-3, 2) en continuas la recta queda x-1...y-1 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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---- = ---- , si quieres multiplica en cruz y despeja la "y" -3......2 b) m = 3/4, P (2,1) y - 1 = (3/4) (x - 2) 2) vértice: y ' = 6 x - 2 = 0 ; x = 1/3, y = 3 (1/3)^2 - 2 (1/3) +1= 2/3 ; V (1/3, 2/3) eje de simetría x = 1/3 corte con eje y: si x = 0, y = 1, punto (0, 1) 3) ecuación de segundo grado ….....5 +- (5^2 - 4 L A)^(1/2).......5 +- (25 - 4 L A)^(1/2) T = -------------------------------- = ----------------------------.........................2 L.....................................2 L una solución es con el + (del +- del numerador) y la otra con el Pregunta 03. Resuelta el 23/10/2012 6) El extremo de un segmento es el punto A (2, -7) y su punto medio es (-2, -3) hallar las coordenadas del otro extremo. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El punto medio de un segmento es la mitad de la suma de sus extremos. Si el extremo pedido es (x, y) ( (2, -7) + (x, y) ) / 2 = (-2, -3) (2 + x , -7 + y) = (-4 , -6) 2 + x = - 4 ; x = -6 -7 + y = -6 ; y = 1 El otro extremos es el (-6, 1) Pregunta 04. Resuelta el 28/10/2012 Sean u = 3 i + 4 j y v = i + (alfa), encuentre alfa tal que el angulo entre u y v sea (pi /4) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal ¿Has estudiado el producto escalar de dos vectores? Pues es muy fácil sacar el angulo a partir del producto escalar: u · v = ¡u¡ · ¡v¡ · cos theta , donde u · v es el producto escalar de los vectores; ¡u¡ es el módulo de u y theta el ángulo que forman. producto escalar de u y v = 3·1 + 4·alfa = 3 + 4 alfa modulo de u = (3^2 + 4^2)^(1/2) = 5 modulo de v = (1^2 + alfa^2)^(1/2) 3 + 4 alfa = 5 (1 + alfa^2)^(1/2) ·cos 45 voy a llamar a alfa , x elevamos al cuadrado (3 + 4 x)^2 = 25 (1 + x^2) (1/2) 2 (9 + 24 x + 16 x^2) = 25 (1 + x^2) 7 x^2 + 48 x - 7 = 0 de donde x = alfa = 0,14 ó -7

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Pregunta 05. Resuelta el 01/11/2012 1) Encontrar una ecuación de la recta que pasa por (1, 3) y es perpendicular a la recta 2x+y-7=0 2) Encontrar la ecuación que pasa por los puntos (3, 1) y (-2, 2) y es perpendicular a la recta que pasa por (3, 4) y (4, 9) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal EJERCICIO 1 La recta que te dan 2x+y-7=0 tiene por pendiente -2 (y = -2x+7). La recta perpendicular tiene por pendiente la inversa cambia de signo, luego m = -1/(-2)=1/2 Ecuación de la recta que con pendiente m pasa por Po (xo, yo) y - yo = m (x - xo) y - 3 = (1/2) · (x - 1) EJERCICIO 2 No me cuadra: en principio una recta pasa por dos puntos (entonces no necesitas que sea perpendicular a otra). Voy a indicarte la recta que pasa por los puntos (3,1) y (-2,2) Tomas un punto fijo (3, 1) y la pendiente sera = incremento de y / incremento de x m = (2 - 1) / (-2 - 3) = -1/5 Aplicando la formula anterior de la recta a partir del punto y la pendiente: y - 1 = (-1/5) · (x - 3) Pregunta 06. Resuelta el 11/11/2012 Determinar para que valores de a y b la recta L: (a-1) x + (2b-3) y - 15 coincide con la recta que es paralela a la bisectriz del primer cuadrante y pasa por el punto P (3, 2) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La recta paralela a la bisectriz que pasa por el P(3,2) es y - 2 = 1 (x-3) ; x - y - 1 = 0 Para que la recta (a-1)x+(2b-3)y-15 = 0 (supongo que te falta poner = 0) los coeficientes deben ser proporcionales si escribimos la primera recta como 15 x - 15 y - 15 = 0 se tendrá que : a -1 = 15 y 2 b - 3 = -15 de donde a = 16 y b = -6 Pregunta 07. Resuelta el 11/11/2012 Explique que es una función lineal cuando la recta pasa por el origen y sus características Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La ecuación cartesiana de una recta en forma explícita es: y = m x + n Si pasa por el origen (0,0), significa que si x = 0, y = 0, por lo que 0 = m · 0 + n , de donde n = 0 Así que la recta queda: y = m ·x ésta es la ecuación de las rectas que con pendiente arbitraria "m" pasan por el origen. Si m > 0, es una recta de pendiente positiva (siempre crece, conforme aumenta x , aumenta y) Si m < 0, es una recta de pendiente negativa (siempre decrece, según aumenta x, y disminuye)

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Pregunta 08. Resuelta el 02/02/2013 a las 18:03 (hora española). Respuesta número 1659 Una recta pasa por el punto A(2, 4/3) y forma con los ejes de coordenadas un triangulo cuyo perímetro es 12. Información adicional: Hallar la ecuación de la recta Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La ecuación de la recta que pasa por el punto (xo, yo) y tiene pendiente m es y - yo = m (x -xo) en nuestro caso: y - 4/3 = m (x - 2) (*) corte con eje x: y = 0, de donde x = 2 - 4 / (3 m) corte con eje y: x = 0, de donde y = 4/3 - 2 m perímetro: 12 x + y + raíz (x^2 + y^2) = 12 2 - 4 / (3 m) + 4/3 - 2 m + raíz ( [2 - 4 / (3 m)]^2 + [4/3 - 2 m]^2 ) = 12 ¿es necesario que te resuelva la ecuación o puedes hacerlo por ti mismo? Sacas la pendiente m y al sustituir en (*) ya tienes la ecuación de la recta que buscas. Pregunta 09. Resuelta el 02/02/2013 a las 20:01 (hora española). Respuesta número 1666 El triángulo acotado por el eje X, el eje Y y la recta y = -2x + b, está localizada en el primer cuadrante y tiene un área de 36. Encuentra el valor de b. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La recta y = - 2 x + b corta al eje x en y = 0, de donde x = b/2 La recta corta al eje y en x = 0, de donde y = b El área del triangulo es base por altura partido de 2 36 = (b/2) · b / 2 de donde b^2 = 144, es decir b = 12 (pues está en el primer cuadrante) Pregunta 10. Resuelta el 07/02/2013 a las 00:58 (hora española). Respuesta número 1758 Siendo x = a (theta – sen (theta)), y = a (1 – cos (theta)), encontrar su ecuación rectangular Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal de la ecuación segunda y / a = 1 - cos theta de donde cos theta = 1 - (y/a) por lo que theta = arc cos [1 - (y/a)] como sen^2 theta + cos^2 theta = 1 sen^2 theta = 1 - [1 - (y/a)]^2 = 1 - 1 + 2y/a - y^2 / a^2 sen theta = raíz [2y/a - (y^2 / a^2)] por lo que: x = a · [ arc cos [1 - (y/a)] - raíz [2y/a - (y^2 / a^2)] ] Estoy seguro de que puede obtenerse una forma mejor de expresarla. Pero de momento es una manera valida de dar la ecuación cartesiana

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Pregunta 11. Resuelta el 11/11/2012 Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que contiene a P = (6, 3, -7) y es paralela a la recta x - 9 = y - 10 = -8 sobre 7 -8 3 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal ¿Ecuaciones simétricas? La primera vez que lo oigo. Pasa por P (6, 3, -7) y al ser paralela a la otra recta, tendrá el mismo vector director, es decir, el (7, -8,3) Las ecuaciones serán: x – 6........y – 3.......z + 7 ------- = --------- = ------..7.............-8 ............3 En paramétricas: x=6+7t y=3-8t z=-7+3t Como intersección de dos planos: -8 (x-6) = 7 (y-3) 3 (y-3) = -8 (z+7) es decir: - 8 x - 7 y + 69 = 0 3 y + 8 z + 47 = 0 Pregunta 09. Resuelta en octubre de 2012 Encuentre las ecuaciones de la recta que pasan por el punto (-2, 1, -1) y son paralelas a la recta que se forma de la intersección de los planos ( 2 x + y = 1 ) y ( x - y + z = 0 ) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Si es paralela a la recta intersección de los dos planos, tiene el mismo vector director, el cual es el producto vectorial de los vectores característicos de los planos: ..............!....i....j....k....! vec v =..!....2...1...0....!..= (1, -2, -3) ..............!...1...-1...1....! Por lo que la recta pedida es en continuas: x + 2.....y - 1 .....z + 1 ------ = ----- = ------...1.........-2...........-3 Pregunta 10. Resuelta el 22/12/2012 Encontrar una ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que contiene al punto A(-1, -2, 5) y es paralela al vector F = - 3 j + 7 k Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal ecuación vectorial (x, y, z) = (-1, -2, 5) + t (0, -3, 7) ecuaciones paramétricas Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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x = -1 + t · 0 y = -2 + t · (-3) z=5+t·7 ecuaciones continuas (simétricas) (x + 1) / 0 = (y + 2) / (-3) = (z - 5) / 7 Pregunta 11. Resuelta el 04/01/2013 Un plano determina sobre la parte positiva de los ejes de coordenadas tres segmentos de longitudes 2, 3 y 4 cm, respectivamente. Hallar la ecuación del plano. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La ecuación del plano que pasa por los puntos (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c), es decir justo por los puntos de corte con los ejes es: x/a+y/b+z/c=1 puedes comprobar que en efecto pasa por los tres puntos dados. Por ejemplo, para el primero: x = a, y = 0, z= 0, vemos que a/a + 0 + 0 = 1 (ok.) En nuestro caso, tendremos: x / 2 + y / 3 + z / 4 = 1 ¿Fácil, no? Pregunta 12. Resuelta el 25/10/2012 Encuentre los puntos de intersección de los planos: P1: 7x - 9y - z = 10 y P2: -2x - 5y - 7z = 9 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Los planos no son paralelos pues sus vectores característicos no son proporcionales. Así que ambos se cortan en UNA RECTA, que la podemos expresar como intersección de dos planos: 7x - 9y - z = 10 -2x - 5y - 7z = 9 o si prefieres en paramétricas. Pregunta 13. Resuelta el 07/11/2012 ¿vector unitario normal al plano de A (1, 0, 0), B (0, 4, 0) y C (0, 0, 3) y ecuación del plano? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Tal y como das los puntos (corte con ejes coordenados), la ecuación del plano se escribe muy fácil: x/1+y/4+z/3=1 ves que pasa por todos los puntos. o si quieres escribirlo como: 12 x + 3 y + 4 z = 12 El vector normal o característico del plano es: w = (12, 3, 4) su modulo: (12^2 + 3^2 + 4^2)^(1/2) = 13 luego el vector unitario normal al plano pedido es : (12/13, 3/13, 4/13) Pregunta 14. Resuelta el 08/12/2012 Dados los puntos: M (3, -2, 6), N (-5, 4, 3) y T (2, 4, -7)

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Graficar los puntos (ya está resuelto) Gráfica y analíticamente construir los vectores: NM, MN, NT, TN, MT TM (ya está resuelto) Encuentre los ángulos que forman los vectores dados en los vértices M, N, T (ya está resuelto) Ahora mi problema es en: En cada punto, encuentre un vector perpendicular al plano que forman los vértices, que tengas una magnitud de 5 unidades. ¿Cómo puedo calcular los vectores perpendiculares y que tengan una magnitud de 5 unidades? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Lo primero, sacas la ecuación del plano o el vector característico del plano (que es un vector perpendicular al plano), que es el producto vectorial de dos vectores directores del mismo, por ejemplo el MN y el MT MN = N - M = (-5, 4, 3) - (3, -2, 6) = (-8, 6, -3) MT = T - M = (2, 4, -7) - (3, -2, 6) = (-1, 6, -13) El producto vectorial es el determinante: !...i....j....k...! !..-8...6..-3...! = (-60, -101, -42) !..-1...6..-13.! sacas su módulo, y obtienes el vector unitario dividiendo el vector entre su modulo. Si ahora quieres un vector de modulo 5, multiplicas este vector por el unitario. modulo = raíz ( (-60)^2 + (-101)^2 + (-42)^2 ) = raíz 15565 el vector unitario es: u = (-60/15565 , -101/15565, -42/15565) Valora, por favor mi respuesta y la que te puedan dar mis compañeros. Elije una mejor respuesta pero no dejes la pregunta en votación. Y el vector de modulo 5 (es el mismo para los tres puntos, pues es perpendicular al plano) será v = (-300/15565, -505/15565, -210/15565) o simplificando: (-60/3113 , -101/3113, -42/3113) otra solución es el opuesto al vector anterior: (60/3113 , 101/3113, 42/3113) Pregunta 15. Resuelta el 18/01/2013 a las 17:07 h (hora española). Respuesta número 1491 ¿Cómo pasar de una ecuación implícita a paramétrica? hola, quiero pasar la ecuación que aparece de forma implícita a forma paramétrica las rectas r: y=0, z=0 y la recta s: x=0, z=3. Espacio tridimensional Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Tienes las rectas como intersección de dos planos. En general, tomas un punto de ella , el (0, 0 ,0) en nuestro caso y el vector director de la misma es el producto vectorial de los vectores característicos de los planos. Recta r: ! i ... j ... k ! ! 0...1.....0 ! = (1, 0, 0) ! 0...0.....1 ! Punto (0,0,0) y vector (1,0,0) x=0+1·t y=0+0·t z=0+0·t es decir x = t, y = 0, z = 0 La recta r de la misma forma, punto (0,0,3) vector (0,1,0) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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x=0+0·t y=0+1·t z=3+0·t es decir x = 0, y = t, z = 3 Pregunta 16. Resuelta el 20/01/2013 a las 17:45 h (hora española). Respuesta número 1538 Necesito pasar la siguiente recta a paramétricas: (x+y-z+2=0;2x-2y+z+1=0) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Tienes la recta como intersección de dos planos. Necesitas un punto y un vector director. El punto lo obtienes dando un valor a una de las variables y obteniendo las otras dos. Por ejemplo, si y = 0, x = -1 y z = 1 El vector, lo obtienes como producto vectorial de los vectores característicos de los planos !...i...j..k..! !..1..1.-1..! = (-1,-3,-4) ó (1,3,4) !..2.-2..1..! Las ecuaciones paramétricas de la recta son : x = -1 + t · 1 y=0+t·3 z=1+t·4 Pregunta 17. Resuelta el 02/02/2013 a las 22:16 (hora española). Respuesta número 1673 Hallar la ecuación del plano que pasa por m (-1;4;-1) y n (-13;2;-10) y que corta con los ejes x y z segmento de igual longitud y diferentes de 0 ayuda: utilice la ecuación simétrica del plano Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La ecuación del plano es de la forma x / a + y / b + z / c = 1 punto de corte con el eje x: x = a punto de corte con el eje z: z = c de donde c = a Luego de momento queda: x / a + y / b + z / a = 1 Si pasa por el punto M, verifica la ecuación: -1 / a + 4 / b - 1 / a = 1 Si pasa por el punto N, también lo verifica -13 / a + 2 / b - 10 / a = 1 es decir: -2/a + 4/b = 1 -23/a + 2/b = 1 multiplicando la segunda ecuación por 2: -46/a + 4/b = 2 -2/a + 4/b = 1 restando ambas de donde a = - 44 y b = 88 / 21 La ecuación del plano queda: x / (-44) + y / (88 / 21) + z / (-44) = 1 - x / 44 + 21 y / 88 - z / 44 = 1 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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multiplicando por 88 - 2 x + 21 y - 2 z = 88, es la ecuación del plano pedido Pregunta 18. Resuelta el 03/11/2012 ¿Qué tipo de cónica es la intersección de la superficie x^2 - y^2 - z = 0 con el plano y = 1? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sustituye y por 1; x^2 - 1^2 = z de donde z = x^2 - 1 es una parábola (z = x^2 - 1) situada en el plano y = 1 Pregunta 19. Resuelta el 31/10/2012 Intersección entre el cilindro parabólico z = x^2 y la mitad superior del elipsoide x^2 + 4 y^2 +4 z^2 = 16. Información adicional: para hallar la función vectorial (paramétricas) de esa intersección? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal z = x^2 (cilindro) x^2 + 4 y^2 + 4 z^2 = 16 (elipsoide) sustituye la x^2 por z (del cilindro) en el elipsoide z + 4 y^2 + 4 z^2 = 16 Absorbemos en un cuadrado perfecto: 4 z^2 + z = 4 (z^2 + z/4) = 4 (z^2 + 2 z (1/8) + 1/64 - 1/64) = = 4 ( (z+1/8)^2 - 1/64) = 4 (z+1/8)^2 - 1/16 por lo que tenemos 4 y^2 + 4 (z+1/8)^2 - 1/16 = 16 4 y^2 + 4 (z+1/8)^2 = 257/16 ; dividimos entre 4 y^2 + (z+1/8)^2 = 257/64 Por lo que podemos parametrizar como: y = raíz (257/64) cos t ; z = -1/8 + raíz (257/64) sen t ; y x = raíz de z es decir: x = raíz [-1/8 + raíz (257/64) sen t ] y = raíz (257/64) cos t z = -1/8 + raíz (257/64) sen t Pregunta 20. Resuelta el 23/01/2013 a las 13:17 h (hora española). Respuesta número 1567 ¿Alguien sabe parametrizar esta curva dada en forma implícita por las ecuaciones: z^2 = x^2 + 2(y^2) ; z = y + 1? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Tenemos un cono cortado por un plano... Obtendremos una cónica. Veamos, sustituye la z en la ecuación de arriba (y + 1)^2 = x^2 + 2 y^2 y^2 + 2 y + 1 = x^2 + 2 y^2 x^2 + y^2 - 2 y = 1 x^2 + y^2 - 2 y + 1 = 1 + 1 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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x^2 + (y - 1)^2 = 2 circunferencia de centro (0, 1) y radio raíz 2 Parametrizamos así x = xo + R cos t ; y = yo + R sen t siendo (xo,yo) el centro y R el radio, es decir: x = (raíz 2) · cos t y = 1 + (raíz 2) · sen t z = y + 1 = 1 + (raíz 2) · sen t + 1 = 2 + (raíz 2) · sen t Puntuación del usuario que pregunta: 5 de 5 Comentario de la persona que pregunta: Yo llame t a la z y de ahí despeje la x e y en función de t pero me salia la x con raíz de -1. Gracias!

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Tema 13. Cónicas Pregunta 01. Resuelta el 22/12/2012 ¿Cómo sé cuándo una gráfica es hipérbola, parábola, circulo o elipse? Le dejo 3 ejemplos 1 : x^3-x 2: x-raíz cuadrada(x) 3: 3 raíz cuadrada (x) -x que es cada uno de ellos? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Veamos, una cónica es una ecuación de segundo grado en x e y. En general tiene la forma de A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F = 0 El término x y hace que la cónica está "girada". Me imagino que tu nivel de matemáticas no es muy alto (vamos, que no estás en la universidad), de modo que supondremos que las cónicas con las que tratas tienen ejes paralelos a los ejes coordenados. Es decir, no tienen término x y (E = 0). La presencia de los términos x e y (ambos o uno de ellos) hace que la cónica está descentrada (no tenga su centro en el origen). Empecemos la discusión: - si falta algún término de x^2 o de y^2, se trata de una PARÁBOLA ejemplo: y = x^2 (no hay término en y^2) - si los coeficientes de x^2 e y^2 son iguales y del mismo signo, se trata de una CIRCUNFERENCIA ejemplo: x^2 + y^2 = 16 - si los coeficientes de x^2 e y^2 son distintos, pero del mismo signo, se trata de una ELIPSE. ejemplo: 2 x^2 + 4 y^2 = 32 - si los coeficientes de x^2 e y^2 son de diferente signo, da igual que sean iguales o distintos, se trata de una HIPÉRBOLA ejemplo x^2 - y^2 = 1 En los ejemplos que pones, supongo que se trata de y= 1) y = x^3 - x : no es una cónica (salvo que hubieras querido decir y = x^2 - x, en este caso es una parábola) 2) y = x - raíz (x) es decir raíz x = (x-y) eleva al cuadrado x = x^2 - 2 x y + y^2 aquí tendríamos una cónica "girada" por la presencia del termino x y. Se trata de un cónica no degenerada, en este caso es una parábola (pero esto sería a nivel "universitario") 3) y = 3 raíz x - x y + x = 3 raíz x elevo al cuadrado y^2 + 2 x y + x^2 = 9 x, como el apartado anterior. Mira, te dejo un enlace a una clasificación de cónicas que yo mismo he hecho. espero te sirva: http://www.scribd.com/doc/117638315/Formulas-Conicas-by-Carrascal Pregunta 02. Resuelta el 04/01/2013 ¿Cuál es el centro de la cónica 3 x^2 + 12 x y – 2 y^2 – 3 x + y - 2 = 0? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Sea f (x, y) = 0 la ecuación de la cónica. El centro es la solución del sistema parcial de f respecto de x = 0 parcial de f respecto de y = 0 en tu caso: 6 x + 12 y - 3 = 0 12 x - 4 y + 1 = 0 es decir 12 x + 24 y = 6 12 x - 4 y = -1 restando: 28 y = 7 y = 7 / 28 = 1/4 x = (3 - 12 y) / 6 = (3 - 3) / 6 = 0 El centro es el (0, 1/4)

Circunferencia Pregunta 03. Resuelta el 10/11/2012 a) Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es AB siendo : A (-1, -2) y B (5, 4). b) Dadas: r: y = x + y – 3 = 0 y C: x^2 + y^2 – 12 x – 8 y + 43 = 0. ¿Cómo son la circunferencia y la recta dadas: independientes, secantes o tangentes? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal a) El centro es el punto medio C = (A + B) / 2 = (2, 1) El radio la distancia del centro a uno de los puntos AC = C - A = (3, 3), el módulo de este vector es el radio R^2 = 3^2 + 3^2 = 18 La ecuación es: (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 18 Si quieres puedes desarrollar los cuadrados y llevar todo a un miembro. b) La ecuación de la recta es ¿ x + y - 3 = 0 ? Es que hay un "y" de mas Supongo que sí: y = 3 - x Sustituyo en la ec. de la circunferencia y veo los puntos de corte: x^2 + (3 -x)^2 - 12 x - 8 (3 -x) + 43 = 0 x^2 + 9 - 6 x + x^2 - 12 x - 24 + 8 x + 43 = 0 2 x^2 - 10 x + 28 = 0 resolviendo salen raíces complejas, por lo que la recta no corta a la circunferencia. Supongo que es lo que tú llamas "independientes" (es la primera vez que veo que cuando dos curvas no se cortan son "independientes". Pregunta 04. Resuelta el 25/11/2012 Una circunferencia pasa por el origen y por el punto (2/3, -1/5). Determinar la ecuación de la circunferencia Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

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Por dos puntos pueden pasar infinitas circunferencias. en general, una circunferencia tiene por ecuación x^2 + y^2 + a x + b y + c = 0 (*) los coeficientes de x^2 y de y^2 debes ser iguales y del mismo signo (de ahí que les haya puesto un "1" o un número cualquiera y al dividir la ecuación entre ese numero cualquiera (distinto de 0, claro) vuelve a quedar un "1") si pasa por (0, 0), es decir, si x = 0, y = 0 de donde al sustituir en (*) queda: c = 0 luego, de momento: x^2 + y^2 + a x + b y = 0 si pasa por (2/3,-1/5), x = 2/3 y = -1/5 4/9 + 1/25 + 2 a / 3 - b/5 = 0 ves que tenemos una relación entre a y b y necesitaríamos otra ecuación (que pase por ejemplo por otro punto) Habría una condición adicional (para que el radio saliera "real", después de absorber en cuadrados perfectos y es que a^2 + b^2 - 4 c > 0. En nuestro caso se cumpliría pues c = 0 Si quieres la ecuación de UNA circunferencia, por ejemplo, si a = 0 b = 109/45 (si no me he colado) y la ecuación quedaría: x^2 + y^2 + (109/45) y = 0 Pregunta 05. Resuelta el 25/11/2012 Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0, -3) cuyo radio es raíz de 5 y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Si el centro está en la bisectriz del primer y tercer cuadrante C (a, a) Si el radio es raíz 5 y pasa por el punto (0, -3), la distancia del centro (a, a) al punto anterior será raíz 5. (a - 0)^2 + (a + 3)^2 = (raíz 5)^2 a^2 + a^2 + 6 a + 9 = 5 2 a^2 + 6 a + 4 = 0, a^2 + 3 a + 2 = 0 tenemos dos soluciones para el centro C1 (-1, -1) y C2 (-2, -2) por lo que tenemos dos soluciones: C1: (x+1)^2 + (y+1)^2 = 5 C2: (x+2)^2 + (y+2)^2 = 5 Pregunta 06. Resuelta el 06/12/2012 Determinar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los puntos P (1, 1) y Q (2, 3) centro en Y. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Si el centro está en el eje y, tendrá la forma C (0, a) El valor de "a" lo obtenemos igualando la distancia de este punto al P y al Q (será el radio dicha distancia). O su distancia al cuadrado: (1 - 0)^2 + (1 - a)^2 = (2 - 0)^2 + (3 - a)^2 desarrollando y operando deduces el valor de a 1 + 1 - 2 a + a^2 = 4 + 9 - 6 a + a^2 2 - 2 a = 13 - 6 a Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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4 a = 11 a = 11/4 = 2,75 El radio es R = raíz [(1 - 0)^2 + (1 - 2,75)^2 ] = raíz (1 + 1,75^2) = raíz (4,0625) La ecuación de la circunferencia será: x^2 + (y - 2,75)^2 = 4,0625 pues en general, una circunferencia de centro C (xo, yo) y radio R tiene por ecuación: (x-xo)^2 + (y-yo)^2 = R^2 Pregunta 07. Resuelta el 07/12/2012 Calcula las coordenadas del punto P que equidista de los puntos; A (4, 3), B (2, 7) y C (-3, -8) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El punto pedido que equidista de los tres dados es el centro de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados. O iguala distancias (mejor al cuadrado, para quitar la raíz). Sea P (x, y) el punto pedido: dAP^2 = dBP^2 dAP^2 = dCP^2 (x-4)^2 + (y-3)^2 = (x-2)^2 + (y-7)^2 (x-4)^2 + (y-3)^2 = (x+3)^2 + (y+8)^2 desarrolla los cuadrados y resuelve el sistema primera ecuación: x^2 - 8 x + 16 + y^2 - 6 y + 9 = x^2 - 4 x + 4 + y^2 - 14 y + 49 -4 x - 28 + 8 y = 0 es decir - x - 7 + 2 y = 0 segunda ecuación: x^2 - 8 x + 16 + y^2 - 6 y + 9 = x^2 + 6 x + 9 + y^2 + 16 y + 64 - 14 x - 48 - 22 y = 0 es decir: 7 x + 24 + 11 y = 0 Resolviendo el sistema: -x+2y=7 7 x + 11 y = - 24 resulta: x= -5 e y = 1. El punto pedido es el (-5, 1) Pregunta 08. Resuelta el 09/12/2012 (pregunta 1287) -Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es la intersección de las rectas 2 x + 7 y – 27 = 0, 5 x – 3 y + 24 = 0 y pasa por el punto (5,-3) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Para calcular el punto de intersección de ambas rectas, resuelves el sistema formado por ambas: 2x+7y-27=0, 5x-3y+24=0 ¿No hay problema en ello, verdad? Puedes hacerlo por sustitución, reducción, igualación, por Cramer, Gauss... sale x = -87/41 ; y = 183/41, ¡anda que podría haber dado un poco mejor! La ecuación de una circunferencia de centro C (xo, yo) y radio R es: (x - xo)^2 + (y - yo)^2 = R^2 El radio es la distancia entre los puntos (-87/41, 183/41) y (5,-3) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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R^2 = (5 + 87/41)^2 + (-3 - 183/41)^2 = (292/41)^2 + (306/41)^2 por lo que la ecuación es: (x + 87/41)^2 + (y - 183/41)^2 = (292/41)^2 + (306/41)^2 Repasa por si acaso mis operaciones. Al salir números tan horrendos... Pregunta 09. Resuelta el 20/01/2013 a las 14:49 h (hora española). Respuesta número 1535 Necesito una explicación de porque los coeficientes x² e y² deben tener el mismo valor siendo la ecuación de una circunferencia x² + y² + Ax + By + C =0 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal En general, una circunferencia de radio R y centro (xo, yo) tiene por ecuación: (x - xo)^2 + (y - yo)^2 = R^2 si desarrollas los cuadrados, podrás comprobar que los coeficientes de x^2 e y^2 son iguales (y del mismo signo). Te voy a explicar un poco mas acerca de las cónicas. Una cónica es una ecuación de segundo grado en x e y. En general tiene la forma de A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F = 0 El término x y hace que la cónica está "girada". Me imagino que tu nivel de matemáticas no es muy alto (vamos, que no estás en la universidad), de modo que supondremos que las cónicas con las que tratas tienen ejes paralelos a los ejes coordenados. Es decir, no tienen término x y (E = 0). Como has indicado en tu pregunta. La presencia de los términos x e y (ambos o uno de ellos) hace que la cónica está descentrada (no tenga su centro en el origen). Empecemos la discusión: - si falta algún término de x^2 o de y^2, se trata de una PARÁBOLA ejemplo: y = x^2 (no hay término en y^2) - si los coeficientes de x^2 e y^2 son iguales y del mismo signo, se trata de una CIRCUNFERENCIA ejemplo: x^2 + y^2 = 16 - si los coeficientes de x^2 e y^2 son distintos, pero del mismo signo, se trata de una ELIPSE. ejemplo: 2 x^2 + 4 y^2 = 32 - si los coeficientes de x^2 e y^2 son de diferente signo, da igual que sean iguales o distintos, se trata de una HIPÉRBOLA ejemplo x^2 - y^2 = 1 Se trata, absorbiendo cuadrados (si la cónica no esta "centrada") de llegar a la ecuación reducida de la misma. Pregunta 10. Resuelta el 03/02/2013 a las 21:11 (hora española). Respuesta número 1707 Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C (0,0) y es tangente a: x-2y-9:0 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La ecuación de una circunferencia de centro el punto (xo, yo) y radio R es: (x - xo)^2 + (y - yo)^2 = R^2 tenemos el centro, nos falta el radio, que será la distancia del centro a la recta, pues es tangente. Recuerda que la distancia del punto P (xo, yo) a la recta A x + B y + C = 0 es d = abs (A xo + B yo + C) / raíz (A^2 + B^2) con abs señalo el valor absoluto (por si saliera negativo) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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En nuestro caso: R = abs (0 - 2 · 0 - 9) / raíz (1^2 + 2^2) = 9 / raíz 5 luego R^2 = 81/5 y la ecuación quedará: x^2 + y^2 = 81/5

Elipse Pregunta 11. Resuelta el 23/10/2012 Determine la ecuación que satisfaga las condiciones indicadas para las siguiente Elipse con centro en el origen. ==>Pasa por (2, 2) y (1, 4) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La ecuación de una elipse de centro el origen es x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 Pasa por (2,2): 2^2 / a^2 + 2^2 / b^2 = 1 Pasa por (1,4): 1^2 / a^2 + 4^2 / b^2 = 1 Resuelve el sistema y sacas los semiejes a y b Creo que no tendrás dificultad en resolver el sistema. Se obtiene a^2 = 5 y b^2 = 20 La ecuación queda entonces: x^2 / 5 + y^2 / 20 = 1 Pregunta 12. Resuelta el 28/10/2012 Una puerta tiene la forma de media elipse. En la base mide 2 metros de ancho y la altura en el centro es de 4 metros. deseamos pasar a través de ella cajas de 2 metros de altura. ¿Cuál es el ancho máximo que pueden tener las cajas? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Veamos. Es sencillo. Vamos a llamar "x" al semiancho de la caja (distancia desde el centro de la puerta hasta una esquina), es decir 2 x es el ancho de la caja. El vértice superior de la caja debe pertenecer a la elipse (como mucho). La ecuación de una elipse es: x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 en nuestro caso a = 1 (semieje según el eje x) y b = 4, la ecuación sera: x^2 / 1^2 + y^2 / 4^2 = 1. Si y = 2 (altura de la caja), veamos cuánto vale x. Sustituyes en la ecuación de la elipse: x^2 + 2^2 / 16 = 1 ; de donde x^2 = 3/4; x = (raíz cuadrada de 3) / 2 Luego el ancho máximo de la caja sera 2 x = raíz cuadrada de 3 = 1,73 m Pregunta 13. Resuelta el 14/11/2012 Encontrar la ecuación de la elipse cuyos vértices son (-3, 0) y (3, 0) y la longitud del eje mayor es 2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El enunciado es incorrecto. Si las coordenadas de los vértices como dices son (-3,0) y (3,0), el eje de la elipse según el eje x es 6. Si el enunciado dice que el eje mayor es 2 , no cuadra (el otro ya vale 6) Repasa el enunciado y comprueba si lo que dan son los focos (y no los vértices) o la longitud del Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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eje menor ( y no mayor ). Voy a suponer que te dan la longitud del eje menor que es 2. Los semiejes son a = 3 (según el eje x) y b = 1 (según el eje y), con lo que la ecuación de la elipse es: x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 x^2 / 3^2 + y^2 / 1^2 = 1 x^2 / 9 + y^2 = 1 Pregunta 14. Resuelta el 10/11/2012 Para la elipse 4 x^2 + 9 y^2 - 36 = 0 hallar la ecuación de la recta tangente (con pendiente negativa) que pasa por el punto (-2, 2) NO quiere decir que el punto este en la elipse este es un punto externo pero se necesita la ecuación de la recta tangente a la elipse con pendiente negativa que pasa por aquel punto externo Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La pendiente de la tangente es la derivada en el punto. Derivamos de forma implícita: 8 x + 18 y y ' = 0 de donde y ' = - (4 x) / (9 y) El punto de tangencia lo llamamos (a, b), luego y ' = - (4 a) / (9 b) = m Recta que pasa por (-2, 2) y tiene pendiente m = - (4 a) / (9 b) y - 2 = - [ (4 a) / (9 b) ] (x + 2) Intersección entre la recta y la elipse. Debe darnos un único punto (pues es tangente). Resolvemos el sistema: b - 2 = - [ (4 a) / (9 b) ] (a + 2) 4 a^2 + 9 b^2 = 36 pues el punto (a, b) pertenece a la elipse y a la recta Operando ambas ecuaciones me sale que 9 b - 4 a = 18, despeja una variable y sustituye en una de las ecuaciones. Resuelve Se obtiene: a = 0, con lo que b = 2 a = -36/13, con lo que b = 10/13 En el primer caso, la pendiente es : m = - (4 a) / (9 b) = 0 (no es negativa) En el segundo, me sale una pendiente POSITIVA. Es decir no puedo obtener la recta que CON PENDIENTE NEGATIVA, cumpla lo que dices. Lo ves mas fácil si dibujas el punto y la elipse y trazas la tangente: una opción es pendiente cero -como hemos obtenido- y la otra tiene PENDIENTE POSITIVA (NO NEGATIVA) Pregunta 15. Resuelta el 24/11/2012 Determina la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos del plano (x, y), para los cuales la diferencia de sus distancias a los puntos fijos (-6, -4) y (2, -4) es 6 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Es una HIPÉRBOLA (por definición). raíz ((x+6)^2 + (y+4)^2) - raíz ((x-2)^2 + (y+4)^2) = 6 raíz (x^2 +12 x + 36 + y^2 + 8 y + 16) - raíz (x^2 - 4 x + 4 + y^2 + 8 y + 16) = 6 raíz (x^2 + y^2 + 12 x + 8 y + 52) - raíz (x^2 + y^2 - 4 x + 8 y + 20) = 6 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Elevando al cuadrado x^2 + y^2 + 12 x + 8 y + 52 + x^2 + y^2 - 4 x + 8 y + 20 - 2 raíz [ (x^2 + y^2 + 12 x + 8 y + 52) · (x^2 + y^2 - 4 x + 8 y + 20) ] = 36 2 x^2 + 2 y^2 + 8 x + 16 y + 72 - 36 = 2 raíz [ (x^2 + y^2 + 12 x + 8 y + 52) · (x^2 + y^2 - 4 x + 8 y + 20) ] divido entre 2 x^2 + y^2 + 4 x + 8 y + 18 = raíz [ (x^2 + y^2 + 12 x + 8 y + 52) · (x^2 + y^2 - 4 x + 8 y + 20) ] elevo de nuevo al cuadrado y simplifico, obteniendo la ecuación pedida: 28 x^2 + 112 x - 36 y^2 - 288 y - 716 = 0 Espero no haberme colado en las operaciones, lo hice en una hoja aparte. Pregunta 16. Resuelta el 05/01/2013 Ecuación reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal En general, la ecuación de una elipse de centro el punto (xo, yo) y de semiejes a y b (según el eje x e y) y de ejes paralelos a los ejes coordenados, es: (x - xo)^2 / a^2 + (y - yo)^2 / b^2 = 1 Si el centro es el origen (te piden la ec. reducida), queda de manera mas sencilla: x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 Un semieje es 2 (no especifican si es según x o según y), de forma que, en principio, tendremos dos posibilidades. Luego veremos que no es posible una de ellas. - Si es según el eje y, b = 2 (cuidado que debemos poner el SEMIeje -la mitad del eje.) x^2 / a^2 + y^2 / 2^2 = 1 Si ademas pasa por el punto (2,1) , éste verificará su ecuación, es decir que si x = 2, y = 1, por lo que 2^2 / a^2 + 1^2 / 2^2 = 1 4 / a^2 + 1 / 4 = 1 de donde a^2 = 16/3 , es decir: a = 4 / raíz (3) --> "raíz" significa raíz cuadrada por lo que una de las soluciones sería: x^2 / (16/3) + y^2 / 4 = 1 es decir: 3 x^2 / 16 + y^2 / 4 = 1 si quieres, puedes cargarte denominadores multiplicando por 16: 3 x^2 + 4 y^2 = 16 Veamos la otra posibilidad. - Que sea según el eje x el semieje menor: Es decir a = 2. En este caso x^2 / 2^2 + y^2 / b^2 = 1 como antes. Si pasa por el punto (2, 1) éste verifica la ecuación de la elipse 2^2 / 2^2 + 1^2 / b^2 = 1 1 + 1/b^2 = 1, lo cual hace que b sea ¡ infinito !. Es decir no se puede dar esta posibilidad. Si te fijas bien, no es necesario si quiera plantearla, pues no puede tener semieje según el eje x igual a 2 y pasar por el punto (2, 1). Un vértice sería el punto (2, 0) Así que sólo tenemos una solución: 3 x^2 + 4 y^2 = 16

Parábola

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Pregunta 17. Resuelta el 23/10/2012 El cable de suspensión de un puente colgante adopta la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 40 metros y están separados por una distancia de 400 metros quedando el punto mas bajo del cable a una altura de 10 metros sobre la calzada del puente. tomando como eje x la horizontal que define el puente, y como eje Y el de simetría de la parábola: 1. hallar la ecuación de la parábola 2. calcular la altura de un punto situado a 80 metros del centro del puente Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Vamos a colocar el origen del sistema de referencia en el centro del puente, es mas sencillo. La ecuación de una parábola es y = a x^2 + b x + c (es una ecuación de segundo grato) y debemos determinar a, b y c 1) Pasa por los puntos (-200, 40) y (200, 40). Por simetría el vértice de la parábola (mínimo en este caso de la función) esta en x = 0, con y = 10. Pasa por (0, 10) y'=2ax+b 0 = 2 a 0 + b , de donde b = 0 De momento: y = a x^2 + c Pasa por (0, 10): 10 = a·0^2+c, de donde c = 10 De momento: y = a x^2 + c Pasa por (200, 40) o (-200, 40) , da igual pues x esta al cuadrado 40 = a·200^2 , de donde a = 0,001. De modo que la ecuación de la parábola es : y = 0,001 x^2 + 10 2) Si x = 80 (da igual a que lado del centro por la simetría), ¿cuanto vale y? Sustituye: y = 0,001 · 80^2 + 10 = 16,4 m Pregunta 18. Resuelta el 11/11/2012 Determina la ecuación de la parábola que tiene vértice en el origen, el eje x es su eje de simetría y pasa por el punto (2,-4) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La ecuación es de la forma x = a · y^2 pasa por el origen, si x = 0, y = 0 es simétrica respecto del eje x (cambia la y por -y y la ecuación queda igual) Calculamos a para que pase por el punto (2, -4) 2 = a (-4)^2 2 = 16 a ; de donde a = 1/8 La ecuación de la parábola es: x = y^2 / 8 o si quieres 8 x = y^2 Pregunta 19. Resuelta el 11/11/2012 La parábola cuya ecuación es: ( x - 3 )^2 = 8 ( y - 2 ) tiene por vértice... Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El vértice de una parábola es su máximo o mínimo. Calculamos la derivada de y e igualamos a cero. y = 2 + (x-3)^2 / 8 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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y ' = 2 (x-3) / 8 = 0 de donde x=3 e y = 2 + (3-3)^2 / 8 = 2 El vértice es (3,2) >>>>> Solución O bien sabiendo que la parábola y = a x^2 + b x + c el vértice tiene como coordenada x = - b / (2a) En nuestra parábola y = 2 + (x-3)^2 / 8 a = 1/8 b = -3/4 (desarrolla el cuadrado si no lo ves) xv = - (-3/4) / (2/8) = 3, luego y = 2 Pregunta 20. Resuelta el 30/12/2012 Como puedo resolver esto por favor ayudas: f = { (x, y) e R^2 / y = a x^2 + b x + c }, pasa por los puntos A (1; 2); B (-1; 12) y C (0; 4). Calcular a+b+c. Pide calcular los coeficientes a+b+c de la ecuación no los puntos A, B y C. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Si pasa por el punto A (1,2), verificara su ecuación, es decir si x = 1, y = 2. Por tanto: 2=a+b+c Así que directamente lo que pides, a + b + c vale 2, pero supongo que en vez de "+" has querido poner " , ", es decir calcular a, b y c. Seguimos verificando los otros puntos en la ecuación: Si pasa por (-1, 12) 12 = a - b + c Si pasa por (0, 4) 4=c Resolvamos el sistema: c = 4, de momento a+b+c=2 a - b + c = 12 sumando 2 a + 2 c = 14 es decir, a + c = 7, luego a = 7 - c = 7 - 4 = 3 y b = 2 - a - c = 2 - 3 - 4 = -5 La ecuación sera entonces: y = 3 x^2 - 5 x + 4 Pregunta 21. Resuelta el 31/12/2012 Necesito saber como determinar una función según algunos puntos (x, y) que tengo. Necesito que tenga la forma de una parábola centrada en el origen y que pase por los puntos (0, 0), (1, 0), (8, 6) y (12, 24) siendo el punto (0, 0) el punto de cambio de monotonía. Información adicional: olviden el punto 1,0 fue un error tipográfico Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Los puntos son: (0,0), (8,6) y (12,24) La ecuación de una parábola es y = a · x^2 + b · x + c Debemos calcular a, b y c de forma que la parábola pase por los puntos dados: Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Si pasa po (0, 0) significa que si x = 0, y = 0, es decir: 0 = a · 0^2 + b · 0 + c, de donde c = 0 De momento tendremos, y = a x^2 + b x Si pasa por (8,6), significara que si x = 8, y = 6 6 = a · 8^2 + b · 8 Es decir (tras dividir por 2): 32 a + 4 b = 3 Si pasa por (12,24), lo mismo, x = 12 e y = 24 24 = a · 12^2 + b · 12 dividiendo entre 12: 12 a + b = 2 Resolvamos el sistema 12 a + b = 2 32 a + 4 b = 3 multiplicando por 4 la primera y restando la segunda 16 a = 5 a = 5/16 por lo que b = 2 - 12 a = 2 - 12·5/16 = -7/4 La ecuación de la parábola será entonces: y = (5/16) · x^2 - (7/4) · x Recuerda que por dos puntos pasa una recta (ecuación de primer grado); por tres puntos, una parábola (ecuación de segundo grado)... Inicialmente habías dado cuatro puntos: o astutamente "cuadraban" para que quede una ecuación de segundo grado o , en principio, tendríamos una de tercer grado. Pregunta 22. Resuelta el 17/11/2012 1- Un puente tiene una longitud de 160 mts . El cable que lo soporta tiene la forma de una parábola. Si el puntal en cada uno de los extremos tiene una altura de 25 mts ... Cual es la ecuación de la parábola? 2- En un puente colgante la distancia entre sus torres es de 300 mts y la altura de las torres es de 100 mts .... Describe la ecuación del cable que soporta al puente Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) Faltarían datos, salvo que suponga que la parábola que forma el cable pase (toque) el puente en su punto medio. Voy a suponer ésto. Coloco el origen de nuestro sistema de referencia en el centro del puente y, como el supuesto, el cable toca al puente en dicho punto: En general, la ecuación de la parábola (de eje y) es y = a x^2 + b x + c En nuestro caso, pasa por el origen, x = 0 , y = 0, por lo que c = 0 y queda de momento: y = a x^2 + bx . Además es simétrica respecto de nuestro eje y, por lo que b = 0 y la parábola queda entonces: y = a x^2 calculamos a sabiendo que pasa el el punto x = 80 (la distancia del centro del puente al extremo) y = 25 25 = a · 80^2 de donde a = 1/256 luego la ecuación queda: y = x^2 / 256 2) Es idéntico al anterior. En este caso pasa por x = 150 e y = 100 y =a · x^2 100 = a · 150^2 ; a = 1/225 luego y = x^2 / 225 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Espero haberte ayudado. Pregunta 23. Resuelta el 09/12/2012 (1285) ¿Como encontrar la función cuadrática a partir de 3 puntos? Me dan A(3,0) B(0,3) i C(1,4) y tengo que encontrar la función cuadrática, ¿cómo lo hago? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La ecuación que pides es de la forma y = a · x^2 + b · x + c debemos calcular a, b y c para que pase por los puntos dados: A (3,0) , si x = 3, y = 0 0=9a+3b+c B (0,3) , si x=0, y = 3 3 = a·0^2 + b·0 + c, de donde c = 3 C (1,4) , si x=1, y = 4 4 = a·1^2 + b·1 + c de donde 4 = a + b + 3, es decir a + b = 1 de la primera ecuación: 9 a + 3 b = -c = -3 de donde 3 a + b = -1 Resolvamos el sistema a+b=1 3 a + b = -1 restando ambas: -2a = 2, de donde a = -1 y b = 1 - a = 1 - (-1) =2 La ecuación cuadrática pedida es: y = -x^2 + 2 x + 3

Hipérbola Pregunta 24. Resuelta el 24/11/2012 Determina la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos del plano (x,y), para los cuales la diferencia de sus distancias a los puntos fijos (-6,-4) y (2,-4) es 6 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Es una HIPÉRBOLA (por definición). raíz ((x+6)^2 + (y+4)^2) - raíz ((x-2)^2 + (y+4)^2) = 6 raíz (x^2 +12 x + 36 + y^2 + 8 y + 16) - raíz (x^2 - 4 x + 4 + y^2 + 8 y + 16) = 6 raíz (x^2 + y^2 + 12 x + 8 y + 52) - raíz (x^2 + y^2 - 4 x + 8 y + 20) = 6 Elevando al cuadrado x^2 + y^2 + 12 x + 8 y + 52 + x^2 + y^2 - 4 x + 8 y + 20 - 2 raíz [ (x^2 + y^2 + 12 x + 8 y + 52) · (x^2 + y^2 - 4 x + 8 y + 20) ] = 36 2 x^2 + 2 y^2 + 8 x + 16 y + 72 - 36 = 2 raíz [ (x^2 + y^2 + 12 x + 8 y + 52) · (x^2 + y^2 - 4 x + 8 y + 20) ] divido entre 2 x^2 + y^2 + 4 x + 8 y + 18 = raíz [ (x^2 + y^2 + 12 x + 8 y + 52) · (x^2 + y^2 - 4 x + 8 y + 20) ] elevo de nuevo al cuadrado y simplifico, obteniendo la ecuación pedida: Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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28 x^2 + 112 x - 36 y^2 - 288 y - 716 = 0 Espero no haberme colado en las operaciones, lo hice en una hoja aparte.

En polares Pregunta 25. Resuelta el 23/01/2013 a las 00:36 h (hora española). Respuesta número 1553 Dada la curva en polares: r(0)=cos(0) 0 € [0, 2pi). Escribirla en cartesianas y dibujarla Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Coordenadas polares x = r cos theta y = r sen theta de donde si elevamos al cuadrado y sumamos (y luego sacamos la raíz cuadrada) r = raíz (x^2 + y^2) despejando cos theta = x / r = x / raíz (x^2 + y^2) luego la curva queda: raíz (x^2 + y^2) = x / raíz (x^2 + y^2) pasa a la izquierda la raíz x^2 + y^2 = x que es una circunferencia descentrada x^2 - 2 · x · 1/2 + y^2 = 0 x^2 - 2 · x · 1/2 + 1/4 + y^2 = 1/4 (x - 1/2)^2 + y^2 = 1/4 Circunferencia de centro (1/2, 0) y radio 1/2, que tú mismo puedes dibujar.

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Tema 14. Funciones de una variable Dominio y recorrido de una función Pregunta 01. Resuelta el 23/10/2012 ¿Cómo halla el dominio y el rango de una función? con ejemplos Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Dominio de la función y = f (x): son los valores de "x" para los cuales existe "y". ej. f (x) = x^2. El dominio es todo R pues para cualquier valor de x existe y ej. f (x) = 1/x. El dominio es todo R salvo x=0 que anula el denominador Recorrido de una función: son los valores de "y" que provienen de "x" ej. f (x) = x^2. El recorrido es de 0 (incluido) hasta infinito ej. f (x) = sen (x). El recorrido es de -1 a 1 ambos incluidos Pregunta 02. Resuelta el 18/01/2013 a las 21:37 h (hora española). Respuesta número 1507 Dominio y rango de una función: f (x) = raíz (-x^2 + 3 x - 2) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Para que esté definida, lo que esta dentro de la raíz debe ser mayor o igual que cero. es decir: -x^2 + 3 x - 2 >= 0 o lo que es lo mismo x^2 - 3x + 2 0 (x+1)(x-3) > 0 Te haces una tabla .....- inf, -1...-1,3....3, inf x+1.....-........+........+ x-3......-.........-.........+ ..........+........-.........+ por lo que , de momento x debe pertenecer a los intervalos: (-inf, -1) U (3, inf) Pero además x^2 - 2 x - 3 < 1 x^2 - 2 x - 4 < 0 Al igualar a cero se obtiene como soluciones 3,24 y -1,24 (ajustando a dos decimales) Vuelves a construir la tabla ...........-inf, -1,24..-1,24 , 3,24 ...3,24 , inf x - 3,24......-...............-.............… x + 1,24.....-..............+...............… ................+...............-.....… el intervalo que interesa es el (-1,24 , 3,24) Como deben verificarse ambos simultáneamente, la región común a ambos, solución de la inecuación es: (-1,24, -1) U (3, 3,24) Nota: x^2 - 2 x - 4 = 0 Soluciones: 1 + raíz 5 = 3,24 (aprox.) y 1 - raíz 5 (-1,24 aprox) Respuesta al ejercicio: (1 - raíz 5, -1) U (3, 1 + raíz 5) Composición de funciones Pregunta 04. Resuelta el 01/12/2012 ¿encuentre las funciones fog y gof y sus dominios f (x)= x+1sobre x y g (x) = x+1 sobre x+2? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal f (x) = (x+1) / x g (x) = (x+1) / (x+2) Prefiero usar f ( g(x) ) y g ( f (x) ) en vez de fog y gof. Es lo mismo f (g(x)) = [(x+1) / (x+2) + 1] / [x+1) / (x+2)] = (2 x + 3) / (x + 1) operando (sacando común denominador, simplificando...) el dominio es todo R salvo x = -1 g (f(x)) = [((x+1) / x) + 1] / ([(x+1) / x]+2) = (2 x + 1) / (3 x + 1) el dominio es todo R salvo x = -1/3 Evaluando funciones en puntos Pregunta 05. Resuelta el 23/10/2012 Supongamos que t = horas después de media noche, la temperatura de Guayaquil es C(t) = 10 + 3t - 1/6 · t^2 a) Cual es la temperatura a las 2h 00 b) cual es el incremento de la temperatura entre las 6 h 00 y las 9h 00

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Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal C(t) = 10 + 3t - 1/6 * t^2, se supone que t son horas a) En t = 2, sustituye: C (2) = 10 + 3·2 - 1/6·2^2 = 46/3 b) En t = 6, C(6) = 10 + 3·6 - 1/6 · 6^2 = 22 En t = 9, C (9) = 10 + 3·9 - 1/6 · 9^2 = 47/2 = 23,5 El incremento será: 23,5 - 22 = 1,5 Pregunta 06. Resuelta el 26/10/2012 Sea f una función cuadrática dada por f (x) = ax^2-4x-5. Si x = -1 es el eje de simetría de la gráfica de f entonces la imagen de -3 en f es? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La gráfica es una parábola, si hay un eje de simetría corresponderá al que pase por el máximo o el mínimo. luego y ' = 2 a x - 4 y ' (x=-1) = 0 = -2a -4 , de donde a =-2 la parábola queda f(x) = - 2 x^2 - 4 x - 5 luego f(-3) = -2·(-3)^2 - 4 · (-3) - 5 = -11 Expresión de una función Pregunta 07. Resuelta el 25/10/2012 ¿Como solucionarían esto? P (-2,4) Y= 1/2 f(x-3) + 3 Si el punto P esta en la gráfica de una función f, encuentra el punto correspondiente en la gráfica de la función dada Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Necesitaríamos la forma de la función f (x). Por ejemplo si f (x) = - 2 x (el punto (-2,4) verifica dicha ecuación), entonces y = 1/2 · (-2) (x-3) + 3 Pero si f (x) = x^2, que también verifica el punto (-2, 4), tendríamos y = 1/2 · (x-3)^2 + 3 Pregunta 08. Resuelta el 28/10/2012 sea f (x+3) = 2 x - 1. entonces f(x) respuesta: 2x+2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal f(x+3)=2x-1 Llamamos x + 3 = t ; de donde x = t - 3 luego f (t) = 2 (t - 3) - 1 = 2 t - 6 - 1 = 2 t - 7 "t" es una variable "muda", da igual llamarla "t" o "x" Así que si f (t) = 2 t - 7 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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podemos decir que f (x) = 2 x - 7 Pregunta 09. Resuelta el 28/10/2012 Si el punto P esta sobre la gráfica de una función f, encuentre el punto correspondiente sobre la gráfica de la función dada. El punto P es (0,5) y la función es y= f(x+2)-1 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea y = f (x+2) - 1 El punto P (0, 5) pertenece a la gráfica anterior, esto significa que si x = 0, y = 5, es decir: 5 = f (0+2) - 1 ; de donde deduzco que f (2) = 6 Un punto sobre la gráfica y = f(x) es el (2, 6) ; si x=2 , y = f(2)=6.

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Tema 15. Límites y continuidad de funciones de una variable

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1. Límites y continuidad 2. Cálculo diferencial 3. Problemas de máximos y de mínimos

Pregunta 01. Resuelta el 03/11/2012 ¿necesito saber estos límites teniendo en cuenta que x es una constante? lim 16, lim(t2-5) , lim (3x3-4x2+2x-3) ,lim t-2 , lim h ,lim x2 +2x ,lim x2-x-6, x-2 , t-5 , x-2 , t-3 t+5 ,h-0 h2-7h+7 , x-2 x+2 , x-3 x-3 , Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Vamos a ver. necesitamos saber a qué tiende la variable para poder calcular el límite. De momento te puedo decir que: lim 16 = 16 (da igual a lo que tienda) Pregunta 02. Resuelta el 25/10/2012 hola quisiera saber si me podrían ayudar con unos problemas de cálculo de límites son los siguientes * Lim (4*x-2) / (2- sqrt(x)) x-->4 * Lim (2+h)^3 -8 / h h-->0 * Lim u^4-1 / u^3-1 u-->1 * Lim (3+h)^-1 - 3^-3 / h h-->0 * Lim x - sqrt(3*x-2) / x^2-4 x-->2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Lim (4*x-2) / (2- sqrt(x)) = 16/0 = + ó - infinito (según te acerques al 4 por un lado u otro) x-->4 * Lim ( (2+h)^3 -8 ) / h = 0/0, desarrolla el cubo (2+h)^3 = 8 + 12 h + 6 h^2 + h^3 h-->0 * Lim ( 8 + 12 h + 6 h^2 + h^3 -8) / h = h-->0 Lim (12 h + 6 h^2 + h^3) / h = h-->0 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Lim (12 + 6 h + h^2) = 12 h-->0 * Lim u^4-1 / u^3-1 = 0/0 u-->1 descompones por Ruffini tanto el numerador como el denominador y simplificas el termino común u-1 u^4-1 = (u-1) (u^3 + u^2 + u +1) u^3-1 = (u-1) (u^2 + u +1) * Lim [ (u-1) (u^3 + u^2 + u +1) ] / [(u-1) (u^2 + u +1)] = u-->1 Lim [ (u^3 + u^2 + u +1) ] / [ (u^2 + u +1)] = 4/3 u-->1 Lim (3+h)^-1 - 3^-3 / h ; debes poner paréntesis, ¿la "h" sólo divide al segundo sumando o a todo) h-->0 da igual, queda + ó - infinito Lim (x - sqrt(3*x-2) ) / (x^2-4) = 0/0 (te he puesto yo los paréntesis) x-->2 multiplica numerador y denominador por el "conjugado" del numerador: x + sqrt(3*x-2); descompón x^2 - 4 como (x+2)(x-2); aplica suma por diferencia = a diferencia de cuadrados; simplifica el termino común (x-2) y sustituye x por 2, se va la indeterminación y da 1/16 Pregunta 03. Resuelta el 26/10/2012 ¿evaluar los límite trigonométricos? 1) Lim x->0 tg (a la 2) x --------------- = ..1-cosx respuestas: a) 1 b) 0 c) 2 d) 1/2 2) Lim X->infinito ../ X(a la 2) + 1.............X(a la 2) + 10\ .|...__________-(menos)-__________.| .\ .......X+2......................... X+1......./ respuestas: a) -1 b) 1 c) 0 d) infinito Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) Aplicando infinitésimos equivalentes: cuando x tiende a cero, tg x es equivalente a x (luego (tg x)^2 sera equivalente a x^2), y 1 - cos x es equivalente a x^2/2, luego el límite es equivalente a 2) ......x^2 lim-------- = 2. Respuesta correcta: C ......x^2/2 2) Saca común denominador y multiplica en cruz. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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......(x^2 + 1)·(x+1) - (x^2 + 10)·(x+2) lim ----------------------------------------… .....................(x+2) · (x+1) desarrollando el numerador y simplificando queda -x^2 - 9 x -1. Ahora bien, cuando x tiende a infinito, todo polinomio es equivalente a su termino de mayor grado: el numerador sera equivalente a -x^2 y el denominador a x·x = x^2. luego el límite quedara: lim (-x^2) / (x^2) = -1 . Respuesta correcta: A Pregunta 04. Resuelta el 28/10/2012 ¿Como sacar el límite de √x-2/ x³-64? El lim es x=4? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal lim (√x - 2 ) / (x³ - 64) Presenta al sustituir x por 4 una indeterminación 0/0, podemos aplicar L´Hôpital, pero quizá aún no lo has estudiado. Así que que lo que hacemos es multiplicar y dividir por el "conjugado" de la raíz que es √x + 2 y descompones x^3 - 64 por Ruffini como (x-4) (x^2 + 4 x + 16) Recuerda que suma * diferencia = diferencia de cuadrados: (?x - 2) (?x + 2) = (?x)^2 - 2^2 = x-4 Tendremos .................... (√x - 2) (√x + 2) lim-----------------------------------… .......(√x + 2) (x-4) (x^2 + 4 x + 16) ..........................(x-4) = lim ------------------------------------...........(√x + 2) (x-4) (x^2 + 4 x + 16) simplifica arriba y abajo el factor que causa la indeterminación x-4. Quedará: .......................1..............… lim ------------------------------ = ahora sustituye x por 4 ......(√x + 2)(x^2 + 4 x + 16) ..............1 --------------------------- = 1 / 192 (2+2)(4^2 + 4*4 + 16) Pregunta 05. Resuelta el 04/11/2012 ¿como resolver lim x->-1+ (por la derecha) 1 / (x+1)? es el límite cuando x tiende a -1 por la derecha de la función 1 / (x+1) muchas gracias Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El límite es infinito (positivo). para que lo veas mas claro, introduce en Google (sí, sí, en el buscador) y=1/(x+1) y te hace la gráfica. Veras que según te acercas por la derecha a -1, la función tiende a + infinito. Si te acercas por la izquierda, veras que tiende a - infinito. Pregunta 06. Resuelta el 11/11/2012 ¿Cómo se resuelve lim (1 + ln(n + 1) - ln n)^n? el límite tiende a infinito, es decir n---->? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Si lo escribes como lim (1 + ln ( (n + 1) / n) )^n, vemos que presenta indeterminación 1^infinito que se resuelve por el numero "e" si f(x)->1 y g(x)->infinito lim f(x) ^ g (x) = e^ [lim (f(x) -1) · g(x) ] En nuestro caso: e^lim [1 + ln ( (n + 1) / n) -1]·n = e^lim [ln ( (n + 1) / n) ]·n = = e^lim [n · ln ( (n + 1) / n) ]= = e^lim [ln ( (n + 1) / n) ^ n] = e^e por la definición de numero e = lim (1 + 1/n)^n (cuando n tiende a infinito) Pregunta 07. Resuelta el 11/11/2012 ¿Como resolver Lim (n --> infinito) 2^n+1 + 3^n+1 : 2^n + 3^n? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 3. En efecto. Cuando n tiene a infinito 2^n + 3^n es equivalente a 3^n (pues 3^n tiende a infinito mas rápidamente que 2^n) Del mismo modo, 2^(n+1) + 3^(n+1) es equivalente a 3^(n+1) con lo que tenemos lim 3^(n+1) / 3^n = lim 3^n·3 / 3^n = 3 Pregunta 08. Resuelta el 17/11/2012 ¿Cual es el valor de este límite? lim(x->2) √(x-2)/(√(x+7)-3 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Creo que has querido decir: lim (x->2) √(x-2) /( √(x+7) - 3) Al sustituir x por 2 presenta una indeterminación 0 / 0, que la resolvemos multiplicando numerador y denominador por el "conjugado", es decir, por raíz (x+7) + 3 .........raíz (x-2).....................raíz (x-2) · (raíz (x+7) + 3) lim -------------------- = lim --------------------------------------… …....raíz (x+7) – 3..............(raíz (x+7) - 3).(raíz (x+7) + 3) Teniendo en cuenta que suma x diferencia = diferencia de cuadrados ........raíz (x-2) · (raíz (x+7) + 3) lim ---------------------------------....................x + 7 - 9 ........raíz (x-2) · (raíz (x+7) + 3) lim ---------------------------------...................x - 2 multiplicando por raíz(x-2) numerador y denominador y simplificando ….. (raíz (x+7) + 3) lim -------------------- = 6 / 0 = + ó - infinito …......raíz (x - 2) Pregunta 09. Resuelta el 25/11/2012 1. Calcular el siguiente límite:

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2. Determinar los valores de A y B de manera tal que la función:

Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) El limite presenta indeterminación 0/0. Multiplica y divide por el congujado del numerador y del denominador. es decir, multiplica numerador y denominador por raíz (x^2 + x + 7) + raíz (2 x^2 + 10 x - 3) y por raíz (x^2 + 1) + raíz (3 x^2 -1) Ten en cuenta ahora que suma · diferencia = diferencia de cuadrados quedando ......(x^2 + x + 7 - 2 x^2 - 10 x +3) · [raíz (x^2 + 1) + raíz (3 x^2 -1)] lim.------------------------------------------------------------------------------… ......(x^2 + 1 - 3 x^2 + 1) · [raíz (x^2 + x + 7) + raíz (2 x^2 + 10 x - 3)] ......(-x^2 - 9 x + 10) · [raíz (x^2 + 1) + raíz (3 x^2 -1)] lim.-------------------------------------------------------------… ......(- 2 x^2 + 2) · [raíz (x^2 + x + 7) + raíz (2 x^2 + 10 x - 3)] descompón los polinomios del numerador y denominador en producto de factores ......(x-1) (-x^2-10) · [raíz (x^2 + 1) + raíz (3 x^2 -1)] lim.------------------------------------------------------------… ......-2(x+1)(x-1) · [raíz (x^2 + x + 7) + raíz (2 x^2 + 10 x - 3)] simplifica x-1 arriba y abajo que es lo que causa indeterminación ….......(-x^2-10) · [raíz (x^2 + 1) + raíz (3 x^2 -1)] lim.----------------------------------------------------------------… ......-2(x+1) · [raíz (x^2 + x + 7) + raíz (2 x^2 + 10 x - 3)] y ya está, sustituye x por 1, quedando el limite: 11 · raíz(2) / 12 repasa por si acaso me he colado. PROBLEMA 2 No está completo el enunciado. Supongo que pides calcular a y b para que sea continua. Además hay una errata, en la tercera línea, donde dice -1 < x, seguro que lo que quiere decir es 1 < x . De hecho ésto es lo que yo considero: si x > 1, f (x) = 2 x - 4 Hacemos el limite cuando x tiende a -1 por la izquierda y por la derecha y el limite cuando x tiende a 1. x = -1 : 3 = -a + b (a la izquierda está el límite por la izquierda y a la derecha el limite por la derecha) x = 1 : a + b = -2 (a la izquierda está el límite por la izquierda y a la derecha el limite por la derecha) Resuelve el sistema (ya sabrás, sustitución, reducción, igualación...) y se obtiene a = -5/2 y b = 1/2 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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por ejemplo si sumas las ecuaciones se obtiene b directamente y luego sustituyes para sacar a. Pregunta 10. Resuelta el 25/11/2012 ¿lim x → infinito de x^2 – x senx - cosx? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El limite es infinito. En efecto: El limite anterior es equivalente a x^2 (que es lo mas rápidamente tiene a infinito, mas que x · sen x y mas que cos x) por lo que queda lim x^2 = infinito Nota lim cos x = es algo que está acotado entre -1 y 1 (no sé su valor pero sé que está entre -1 y 1) y lo mismo con lim sen x Pregunta 11. Resuelta el 26/11/2012 ¿Límite de una función y raíces numerador y denominador? He hecho el siguiente límite de función, ¿me lo pueden corregir? Creo que no está bien a la hora de obtener las raíces.

Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Lo tienes mal . El resultado es: 1/2 Las raíces del numerador son -4, 2 y -1 y descompuesto en factores: (x+4)(x-2)(x+1) Las del denominador son: 0, 5 y -4 y en factores: x (x-5) (x+4) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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por lo que queda .....(x+4)(x-2)(x+1) lim ---------------------......x (x-5) (x+4) simplifica el factor que causa indeterminación x+4 ...........(x-2)(x+1) ..lim ..----------------- = (-6) · (-3) / [-4 · (-9)] = 1/2 x->-4....x (x-5) tú mismo puedes descubrir los fallos que has cometido (por ejemplo, olvidarte de la "x" multiplicando en el denominador)... Pregunta 12. Resuelta el 01/12/2012 ¿limite cuando x tiende a infinito de (1+(1/2x))^4x+3? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal lim ( 1 + 1/(2x) )^( 4x+3 ) = L Presenta un a indeterminación 1 elevado a la infinito, que se resuelve por el número e. Te voy a dar una formula que te servirá para resolver todos estos límites por el numero e lim f(x) ^ g (x) = exp [ lim ( f(x) -1 )·g(x) ] da igual x a qué tienda, siempre y cuando f (x) tienda a 1 y g (x) tienda a infinito (para poder tener el 1 a la infinito) exp lim ... es "e" elevado a lim ... En tu caso L = exp [ lim ( 1 + 1/(2x) -1 )·(4x+3) ] = exp [ lim ( 1/(2x) )·(4x+3) ] = exp [ lim (4x+3) / (2x)] aplica equivalencias, cuando x tiene a infinito 4x + 3 es equivalente a 4x por lo que L = exp [ lim (4x) / (2x)] = exp [ lim 4 / 2] = e^2 >> Solución Otra forma de hacerlo es llamar L al límite y tomar neperianos. Pregunta 13. Resuelta el 06/12/2012 ¿calcular los limites de la siguiente función: lim x -> -4 ( raíz de x al cuadrado +9 ) -5 sobre / x+4? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Presenta una indeterminación 0 / 0 que puedes resolver multiplicando y dividiendo por el "conjugado" .....raíz (x^2 + 9) - 5 lim -----------------------........... x + 4 .....raíz (x^2 + 9) - 5....raíz (x^2 + 9) + 5 lim ------------------------ . -------------------------........... x + 4.............raíz (x^2 + 9) + 5 teniendo en cuenta que suma · diferencia = diferencia de cuadrados: ............(x^2 + 9) - 25 lim -------------------------------------..... (x + 4)· [raíz (x^2 + 9) + 5] ............x^2 - 16 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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lim -------------------------------------..... (x + 4)· [raíz (x^2 + 9) + 5] factorizando x^2 - 16 = (x+4)(x-4) ............(x+4)·(x-4) lim -------------------------------------..... (x + 4)· [raíz (x^2 + 9) + 5] simplificando el termino que causa indeterminación ............(x-4) lim ---------------------------..... [raíz (x^2 + 9) + 5] sustituye ahora x por -4 que ya no hay indeterminación = (-4-4) / [raíz ((-4)^2 + 9) + 5] = - 8 / 10 = - 4/5 Pregunta 14. Resuelta el 23/12/2012 Calcular limite cuando x tiende a 0 de ln x / (1-x). No se puede aplicar L''Höpital Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Como no se puede aplicar la regla de L' Hôpital, aplicaremos infinitésimos equivalentes Cuando x tiene a 0, ln (x + 1) es equivalente (es decir, tiene el mismo límite) a x Hacemos el cambio x + 1 = t de modo que si x tiene a cero , t tiende a 1 y como x = t -1 ln t es equivalente a t -1 cuando t tiende a 1, o lo que es lo mismo ln x es equivalente a x -1 cuando x tiende a 1 asi pues, el limite queda equivalente a lim (x-1) / (1-x) = - lim (x-1) / (x - 1) = -1 Pregunta 15. Resuelta el 31/12/2012 ¿Estimados necesito calcular el límite de raíz(1+3*x+3*x^2)/(x+1) cuando x tiende a infinito? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La respuesta que te ha dado mi compañero es muy correcta. Yo te voy a indicar otra que permite resolver estos límites cuando x tiende a infinito de una manera mucho más rápida. Es tener en cuenta que CUANDO X TIENDE A INFINITO (fíjate que te lo pongo en mayúsculas, cuando tiende a infinito) TODO POLINOMIO ES EQUIVALENTE (es decir, tiene el mismo límite) A SU TERMINO DE MAYOR GRADO. Es decir, si x tiende a infinito y tenemos x^2 + 3x + 1 , ésto es equivalente a x^2. ¿Por qué? Sencillo, porque x^2 tiende a infinito más rápidamente que 3 x o que 1 (que encima es una constante). Mira, en tu limite - el denominador x + 1 es equivalente a x - la raíz del numerador 1+3*x+3*x^2 será equivalente a 3 x^2 - por lo que el numerado será equivalente a raíz (3 x^2) = x raíz (3) y el limite es equivalente a lim x raíz (3) / x = raíz 3, una vez hayas simplificado las "x". ¿A que es mucho más rápido? Pregunta 16. Resuelta el 29/01/2013 a las 18:02 (hora española). Respuesta número 1597 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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encontrar el limite de 1^2 +2^2+...n^2/ n^3 me dijeron que la respuesta es: 1/3 porfavor expliquenme como se resuelve Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Puedes aplicar el criterio de Stolz, según el cual: lim a sub n / b sub n = lim [ a sub (n-1) ] / [ b sun (n-1) ] al ser bn monótona creciente. En nuestro caso: a sub n = 1^2 +2^2+...n^2 a sub (n-1) = 1^2 +2^2+...(n-1)^2 de modo que a sub n - a sub (n-1) = n^2 del mismo modo b sub n = n^3 b sub (n-1) = (n-1)^3 b sub n - b sub (n-1) = n^3 - (n-1)^3 = 3 n^2 - 3 n + 1 por lo que el limite es: lim n^2 / ( 3 n^2 - 3 n + 1) vamos a tener en cuenta ahora que cuando n tiende a infinito, todo polinomio es equivalente a su termino de mayor grado, por lo que el denominador es equivalente a 3 n^2 así pues queda lim n^2 / ( 3 n^2) = 1/3 Puntuación del usuario que pregunta: 5 de 5 Comentario de la persona que pregunta: gracias aunque copie en la u .............XD Pregunta 17. Resuelta el 02/02/2013 a las 23:56 (hora española). Respuesta número 1678 Determine si la sucesión es convergente o divergente si converge halle el limite a) an=raíz de n ( 2^(1+2n)) b) an=(ln n)^2/n c) an=raíz de n (3^n+5^n) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Supongo que quieres decir raíz de indice n de ... a) an = raíz (de indice n) de 2^(1 + 2n) 2n+1 es equivalente a 2n luego lim [2^(2n)] ^(1/n) = lim 2^(2n/n) = lim 2^2 = 4 b) an = (ln n)^(2/n) lim (ln n)^(2/n) = 1 c) lim raíz (de indice n) de (3^n + 5^n) 3^n + 5^n es equivalente a 5^n (cuando n tiende a infinito, claro) luego queda lim (5^n)^(1/n) = 5 Regla de H'ôpital (véase el siguiente tema para el cálculo de derivadas) Pregunta 18. Resuelta en octubre de 2012 ¿Cómo resolver este ejercicio con la regla de l'hopital? lim (x-->0) = x^senx Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

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La respuesta es 1. En efecto. Llama L al límite. Toma logaritmos neperianos: ln L = lim ln x^sen x = lim sen x ln x = lim (ln x) / (1 / sen x) Es en este paso donde aplicas la regla de L' Hopital, quedando lim (1/x) / (-1 (sen x)^(-2) cos x) = lim (sen x)^2 / (-x cos x) = 0 pues el seno de x es equivalente a x cuando x tiende a cero 0 = ln L luego L = 1 Pregunta 19. Resuelta en octubre de 2012 lim { tan(1+cosx) } / { cos(tanx) - 1 } x-->π Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Al sustituir x por pi queda indeterminación de 0/0. Puedes aplicar infinitésimos equivalentes: tan (1 + cos x) es equivalente a 1 + cos x cos (tan x) - 1 es equivalente a - (tan x)^2 / 2 lim (1 + cos x) / ( - (tan x)^2 /2 ) = -2 lim (1 + cos x) / (tan x)^2 aplicas L'Hopital = - 2 lim (- sen x) / (2 (tan x) / (cos x)^2) = + lim (sen x) (cos x)^2 / ((sen x) / (cos x)) = lim (cos x)^3 = -1 Pregunta 20. Resuelta en octubre de 2012 Límite cuando x tiende a cero de ( sen 2x + tan x )/x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Presenta una indeterminación 0/0, de modo que puedes aplicar L' Hôpital: lim (2 sen x cos x + 1/(cos x)^2 ) / 1 = 1 Pregunta 21. Resuelta el 27/10/2012 Dadas las funciones f (x) = cos(x) - 1 y g (x) = sen (x) + (x) cos (x) aplicar la regla de L'HOPITAL ¿el valor del límite es?: 1) 2 2) -1 3) 0 4) 1 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal suponemos que es el lim f (x) / g (x) y que el límite tiende a CERO. al sustituir por 0 queda indeterminación 0/0 y aplicas L'Hôpital f ' (x) = - sen x g ' (x) = cos x + cos x - x sen x = 2 cos x - x sen x luego queda ...........- sen x lim ---------------------- = 0 (pues el numerador es nulo, pero el denominador no) .......2 cos x - x sen x Solución correcta: 3

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Pregunta 22. Resuelta el 04/11/2012 ¿Podrían resolverme estos 3 límites por l´hopital con todos sus pasos por favor? 1ª: lim cuando x tiende a 0 de (x - sen x) / (tgx - senx) 2ª: lim cuando x tiende a 0 de (cos(2x) elevado a 3/x ) 3ª: lim cuando x tiende a 0 de (-x - cosx + e^x) / (sen x)^2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal PRIMERO L' Hopital lim (x - senx ) / (tgx - senx) = lim (1 - cos x) / ( 1/(cosx)^2 - cos x) antes de seguir: 1 - cos x es equivalente a x^2 / 2, con lo que el límite es equivalente a : (1/2) lim (x^2) / ( (cos x)^(-2) - cos x) L' Hopital = (1/2) lim (2 x) / [ - 2 (cos x)^(-1) (-sen x) + sen x] = lim x / [ (sen x) · [ 2 (cos x)^(-1) + 1]] sen x es equivalente a x (y lo simplificamos con el numerador) quedando = lim 1 / [ 2 (cos x)^(-1) + 1]] = 1/3 >>>> SEGUNGO. Indeterminación 1 a la infinito . Numero e lim f(x) ^ g (x) = e ^ [lim ( f(x) - 1) · g (x)] si f tiende a 1 y g a infinito en nuestro caso: e^ [ lim [(cos 2x) - 1] · 3 / x] cos 2x - 1 es equivalente a - (2x)^2 / 2, luego en la expresión dentro del límite queda x (por un numero) que tendera a cero; luego e^0 = 1 >>>> TERCERO (sen x)^2 es equivalente a x^2 lim ( -x-cosx+e^x) / x^2 L' Hopital lim (-1 + senx + e^x) / ( 2x) L' Hopital lim (cos x + e^x) / 2 = 1 >>>>>> Por desarrollos en serie Pregunta 23. Resuelta el 16/12/2012 Hola, tengo un problema en levantar la indeterminación del siguiente limite : Lim x-->0 : ((4/x^2) - (2 / 1 - cos x)).. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Al sustituir x por cero queda una indeterminación infinito - infinito. De momento saca común denominador y operas: lim ( 4/x^2 - 2 / (1-cos x) ) lim [4 (1 - cos x) - 2 x^2] / (x^2 (1-cos x)) cuando x tiende a cero podemos tener en cuenta que 1 - cos x es equivalente a x^2 / 2 pero sólo en el DENOMINADOR. En el numerador vamos a necesitar otro término del desarrollo en serie de McLaurin de la función coseno Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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cos x = 1 - x^2/2 + x^4 / 4! + ... en el numerador es decir sustituimos en el numerador: 1 - cos x = x^2/2 - x^4 / 4! en el denominador: 1 - cos x = x^2 / 2 quedara: lim [4 (x^2/2 - x^4 / 24) - 2 x^2] / [x^4/2] = lim [2 x^2 - x^4 / 6 - 2 x^2] / [x^4/2] = lim [- x^4 / 6] / [x^4/2] = - 2 / 6 = -1/3 Pregunta 24. Resuelta el 23/01/2013 a las 20:30 h (hora española). Respuesta número 1581 ¿indeterminación inf-inf?: lim cuando x---->0 de (1/sen^2(x))-(1/x^3) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Saca común denominador lim (x^3 - sen^2 x) / (x^3 · sen^2 x) presenta indeterminación 0/0, puedes aplicar la regla de L' Hopital o desarrollos en serie e infinitésimos equivalentes. cuando x tiende a 0, sen x es equivalente a x , por lo que sen^2 x sera equivalente a x^2 y el denominador quedará (mas fácil) x^5 el numerador: al tener una resta no podemos sustituir por su infinitésimo equivalente, debemos sustituir por su desarrollo en serie sen x = x - x^3/ 6 + ... sen^2 x = (x - x^3/ 6 + ...)^2 = x^2 - x^4 / 3 + ... (no es necesario poner mas términos del desarrollo) así pues quedara el numerador: x^3 - x^2 + x^4 / 3 + .... y el limite lim (x^3 - x^2 + x^4 / 3 + ....) / x^5 = (+ o -) infinito pues puedes sacar en el numerado x^2 factor común que se ira con otro x^2 del denominador quedando aun un x^3 en el denominador que tiende a cero, mientras que el numerador tiene a -1) Pregunta 25. Resuelta el 06/02/2013 a las 19:37 (hora española). Respuesta número 1751 ¿Como se resuelve lim(x -> 0) (tg(x)-sin(x)) / x^3? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Presenta una indeterminación 0 / 0 - una manera de resolverlo (no recomendable) es aplicar la regla de L'Hôpital (en principio tres veces pues en el denominador tenemos x^3) - la manera mas elegante de resolver la indeterminación es sustituir las funciones por sus correspondientes desarrollos en serie de potencias (basta poner hasta grado 3, pues en el denominador tenemos x^3) sen x = x - x^3 / 6 + .... tg x = x el numerador quedará: tg x - sen x = (x + x^3 / 3) - (x - x^3 / 6 + ....) = x^3 / 2 luego el limite quedara: lim (x^3 / 2) / (x^3) = 1/2 Continuidad de funciones de una variable Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Pregunta 26. Resuelta en octubre de 2012 f(x) = x-1/xa la 3-1 x es diferente de 1 y f (1) = a 1/3 hallar en donde es discontinua si en estos números es continua por izquierda o derecha o no se presenta Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La función es discontinua en x=1, aunque la función este definida en dicho punto, no existe el límite (por la izquierda da infinito y por la derecha el límite es menos infinito).

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Tema 16. Cálculo diferencial de funciones de una variable

Cálculo de derivadas Pregunta 01. Resuelta en octubre de 2012 Ayuda con esta derivación x favor por los 4 pasos y = 2 x? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La derivada de y = 2 x , respecto de x es 2. No sé muy bien que es eso de los 4 pasos. Pero te lo voy a demostrar por la definición de derivada (como limite) Sea f (x) = 2 x ........f(x+h)-f(x) .............. 2 (x + h) - 2 x lim ----------------- = lim ------------------- = lim (2 h) / h = 2 h->0.......h.................h->0........h.....… Pregunta 02. Resuelta el 27/10/2012 Hola! tengo que derivar una función y el resultado que me da es siempre incorrecto... .........3 ____ f(x)= \/(x-1) .......----------....... exp (x) la raíz del numerador es en realidad raíz cubica (3) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal O sea que lo que tienes es f (x) = (x-1)^(1/3) · e^(-x) he subido la exponencial al numerador. pues fácil, es la derivada de un producto. Debes recordar la formula para derivar un producto, una potencia y una exponencial. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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f ' (x) = (1/3) · (x-1)^(-2/3) · e^(-x) + (x-1)^(1/3) · (-e^(-x) ) f ' (x) = (1/3) · (x-1)^(-2/3) · e^(-x) - (x-1)^(1/3) · e^(-x) si quieres puedes ponerlo mas elegante sacando e^(-x) factor común y pasando (x-1)^(-2/3) al denominador como (x-1)^(2/3) Pregunta 03. Resuelta el 27/10/2012 La derivada de y = (x+1) (arc tan (x)) es Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Recuerda la derivada de un producto y la de una arco tangente. y ' = 1 · arc tan x + (x + 1) · [1 / (1+x^2)] un poco mas compacto: y ' = arc tan x + (x + 1) / (1+x^2) Pregunta 04. Resuelta el 27/10/2012 ¿Cuál es la derivada de la función f (x) = e^{e^x} Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Fácil. Recuerda que si y = e^u, su derivada es y ' = u ' · e^u ("ello" mismo por la derivada del exponente) En nuestro caso: y = e^(e^x) luego y ' = e^(e^x) · e^x Pregunta 05. Resuelta el 28/10/2012 ¿Derivada de e^sqrt(Sen(Cos(x))? Verán, este punto me toco ayer en un parcial y quisiera saber como puedo hallar la derivada de esta función, pero partiendo de la definición general de derivada, es decir el lim f (x+h) – f (x) h->0 ------------------- , h simplemente me enredaba y no sabia que debía de hacer, gracias por el q me quiera ayudar Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Veamos, yo también me enredaría aplicando la definición de derivada a esa función. Y esto que llevo 44 años enseñando matemáticas a nivel superior. La definición de derivada la aplicas cuando empiezas a estudiar el tema y practicas con funciones sencillas x^2 ; ln (x) ; sen x ... pero no la mandanga que te ha puesto el profesor. De hecho no puedes resolver el límite planteado con tus conocimientos (tendrías que aplicar la regla de L' Hôpital, por ejemplo y para ello necesitas derivar -pero sin aplicar la definición-). Te voy a hacer la derivada de la función anterior (pero sin definiciones ni gaitas) y = e^sqrt(Sen(Cos(x)) y ' = e^sqrt(Sen(Cos(x)) · [sen (cos x)] ' y ' = e^sqrt(Sen(Cos(x)) · [cos (cos x)] · [cos x] ' y ' = e^sqrt(Sen(Cos(x)) · [cos (cos x)] · [-sen x] y ' = - [e^sqrt(Sen(Cos(x))] · [cos (cos x)] · [sen x]

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Pregunta 06. Resuelta el 28/10/2012 ¿Como hago esta operación: x^e*x? primera y segunda derivada, demostrarla? Sé que es imposible de derivar, pero me falta el conocimiento para comprobarlo, se que da un resultado a través de las derivadas, pero igual :S Información adicional: Y la segunda derivada ? alguien sabe como hacerla ? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Pon paréntesis, por favor. Yo voy a interpretar que has querido decir: y = (x^e) * x y ' = e * (x^(e-1)) * 1 * x + (x^e) * 1 voy a usar · en vez de * para señalar el producto y ' = e · x^e + x^e = (e + 1) · x^e Segunda derivada: y '' = (e+1) · e · x^(e-1) = (e^2 + e) · x^(e-1) Recuerda dos formulas de derivación: Si y = u · v ; y ' = u ' · v + u · v ' Si y = u^n ; y ' = n · u^(n-1) · u ' Pregunta 07. Resuelta el 01/11/2012 ¿Derivada de -2x / (x^2 – 1)^2? ¿Alguien me puede dar la solución de esa derivada? Que seria la derivada segunda de x^2/(x^2 - 1) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal .........x^2 y = ----------......x^2 - 1 …........2 x (x^2 - 1) - x^2 · 2 x..........- 2 x........................x y ' = -------------------------------- = -------------- = - 2 ------------.....................(x^2 – 1)^2.................(x^2 – 1)^2........(x^2 - 1)^2 .............(x^2 - 1)^2 - x · 2 (x^2 - 1) · 2x y ' ' = -2 ----------------------------------------… ..........................(x^2 - 1)^4 .............(x^2 - 1) - 4 x^2.....2 + 6 x^2 y ' ' = -2 ----------------------- = --------------.................(x^2 - 1)^3........(x^2 - 1)^3 Pregunta 08. Resuelta el 10/11/2012 Calcular la tercera derivada de y = log (1 / cos x) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Antes de nada con log te refieres a logaritmo decimal, ¿verdad?. Lo digo porque en algunos lugares denotan la logaritmo neperiano por log (yo siempre log es el decimal y ln el neperiano) Universidad de Valladolid. Departamento de Análisis Matemático. y = log (1 / cos x) = log 1- log cos x = - log (cos x) Recuerda que si y = ln u ; y ' = u ' / u Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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y = log u ; y ' = (1 / ln 10) · (u ' / u) y = cos u ; y ' = - u ' sen u y = tan u ; y ' = u ' / cos^2 u y = u^n ; y ' = n · u^(n-1) · u ' (donde u es una función de x) y ' = (1 / ln 10) · sen x / cos x = (1 / ln 10) · tan x y '' = (1 / ln 10) · 1 / (cos x)^2 = (1 / ln 10) · (cos x)^(-2) y ''' = (1 / ln 10) · (-2) · (cos x)^(-3) · (-sen x) = (1 / ln 10) · 2 (sen x) (cos x)^(-3) Solución: y ''' = 2 · (1 / ln 10) · (sen x) · (cos x)^(-3) Pregunta 09. Resuelta el 11/11/2012 ¿derivada de (e^3)^x-1? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Usa paréntesis para que no haya duda alguna * Si lo que tienes es y = (e^3)^x - 1 fijate que he separado el "1! bastante Antes de nada (e^3)^x = e^(3x) y ' = 3 · e^(3x) pues recuerda que si y = e^u ; y ' = u' · e^u (donde u es una función de x) * Si pretendías poner y = (e^3)^(x-1) = e^(3x - 3) y ' = 3 · e^(3 x -3) Pero te recomiendo que uses lo paréntesis. No cuesta ponerlos y aclara mejor la función. Pregunta 10. Resuelta el 25/11/2012 ¿Alguien me puede decir si la siguiente derivada es correcta? F (x) = x^3*lnx / x^2-1 ->(Mi resultado) f '(x)= x^4*(3x^2-1) / (x^2-1)^2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal No. ¿No te parece raro que no te aparezca el ln x en la solución? Pon paréntesis ............ x^3 · ln x f (x) = --------------…...........x^2 - 1 ........(3 x^2 ln x + x^3 · (1/x) (x^2 - 1) - 2 x · x^3 ln x y ' = ----------------------------------------------------------… ................................(x^2 - 1)^2 ........x^4 ln x - 3 x^2 ln x + x^4 - x^2 y ' = ----------------------------------------… .....................(x^2 - 1)^2 Pregunta 11. Resuelta el 28/11/2012 Comprobar que es constante la derivada de la función arctg sqrt ( (1-cosx /1+cosx )) entre 0 y p? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal entre 0 y p... sobra ten en cuenta las siguientes derivadas: Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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y = arc tg u ; y ' = u ' / (1+u^2) y = raíz u ; y ' = u ' / (2 raíz u) y = u / v ; y ' = ( u ' · v - u · v ' ) / v^2 y = cos u ; y ' = - u ' sen u y tira millas... y ' = [sqrt( (1-cosx) /(1+cosx ))] ' / [1 + sqrt( (1-cosx /1+cosx )) ^2] y ' = [sqrt( (1-cosx) /(1+cosx ))] ' / [1 + (1-cosx) / (1+cosx) ] (ec. 1) [sqrt( (1-cosx) /(1+cosx ))] ' = [ (1-cosx) / (1+cosx) ] ' / [ 2 sqrt( (1-cosx) /(1+cosx )) ] (ec. 2) por ultimo: [ (1-cosx) / (1+cosx) ] ' = [sen x (1+cos x) - (1-cos x) (-sen x) ] / (1+cos x)^2 = = 2 sen x / (1+cos x)^2 por lo que (ec. 2) queda: [sqrt( (1-cosx) /(1+cosx ))] ' = [2 sen x / (1+cos x)^2] / [ 2 sqrt( (1-cosx) /(1+cosx )) ] y sustituyendo en la (ec. 1) .........(2 sen x)/(1 + cos x)^2................1 ........------------------------------… ............2 (sen x / cos x)................1 + cos x y ' = ------------------------------------- = ------------------------------ = 1/2 .......1 + (1-cos x) / /1 + cos x)....1 + cos x + 1 - cos x ......................................… ......................................… + cos x Si no me he colado (es un peñazo escribirlo en este editor de textos), la derivada es en efecto constante y vale 1/2 Nota: raíz [(1-cos x)/(1+cos x)] = raíz [(1-cosx)(1+cosx) / (1+cosx)^2] = raíz [sen^2 x / cos^2 x] = (sen x) / (cos x) Pregunta 12. Resuelta el 02/12/2012 Hallar la primera y segunda derivada de: x = 4a cos^3t y = 4a sen^3t Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal d x / d t = - 4 · a · 3 · cos^2 t · sen t = - 12 · a · (cos t)^2 · sen t d y / d t = 4 · a · 3 · sen^2 t · cos t = 12 · a · (sen t)^2 · cos t d^2 x / d t^2 = - 12 a [-2 (cos t) (sen t)^2 + (cos t)^3] d^2 y / d t^2 = 12 a [2 sen t (cos t)^2 - (sen t)^3] Pregunta 13. Resuelta el 08/12/2012 Teniendo el polinomio: p(x) = 3 * [(x-b)^2] * (x-3) Sabiendo que el coeficiente del término de grado 1 de la derivada de este polinomio es -54 ¿cuál sería el valor de b? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

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Si quieres, opera primero el polinomio haciendo el cuadrado y el producto. Luego derivas p (x) = 3 (x^2 - 2 b x + b^2)(x-3) p (x) = 3 (x^3 - 2 b x^2 + b^2 x - 3 x^2 + 6 b x - 3 b^2) si quieres ordenarlo... p (x) = 3 (x^3 - 2 b x^2 - 3 x^2 + b^2 x + 6 b x - 3 b^2) derivamos: p ' (x) = 3 ( 3 x^2 - 4 b x - 6 x + b^2 + 6 b) El coeficiente que dices es -54 -54 = - 4 b - 6 de donde b = 12. Pregunta 14. Resuelta el 30/12/2012 ¿alguien puede resolver esta derivada? y = cos^2x – sin^2x (los ^2 significan "al cuadrado") Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Muy sencillo si tienes en cuenta la identidad trigonométrica: cos^2 x - sen^2 x = cos 2x Luego si y = cos (2x) y ' = - 2 sen (2 x) Ten en cuenta que si y = cos u siendo u una función de x, y ' = - u ' sen u Si no recuerdas la identidad trigonométrica anterior, lo podemos hacer también asi: y = (cos x)^2 - (sen x)^2 y ' = 2 (cos x) (-sen x) - 2 (sen x) (cos x) y ' = - 2 sen x cos x - 2 sen x cos x = - 4 sen x cos x = - 2 sen (2 x) pues sen 2 x = 2 sen x cos x Donde hemos tenido en cuenta que si y = u^n siendo n una constante, y ' = n · u^(n-1) · u' y que si y = sen u, y ' = u ' · cos u

Aplicaciones de la derivada Pregunta 15. Resuelta el 28/10/2012 Un fabricante vende en un día x artículos a un precio de 500+x^2/10 $ (se da en pesos), con una inversión diaria c(x)= 7/5x + 2500 $, en la producción de la misma. ¿cuantos artículos debe producir diariamente para obtener un máximo de ganancia? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Veamos, la ganancia será la resta de ambas cantidades (venta - inversión). Pon paréntesis para que queda claro. Yo voy a interpretar lo que has puesto como - vende : 500 + (x^2 / 10) - inversión: (7 / 5) · x + 2500 G (x) = 500 + (x^2 / 10) - [ (7 / 5) · x + 2500 ] G (x) = 500 - x^2/10 - (7/5) x - 2500 Máximo de ganancia : hacemos la primera derivada e igualamos a cero G ' (x) = - 2 x / 10 - 7/5 = 0, pero me sale un valor negativo de x. Luego voy a interpretar lo que has puesto como 7/5x es en realidad 7 / (5 x) G (x) = 500 + (x^2 / 10) - [ 7 / (5 x) + 2500 ] G (x) = 500 + (x^2 / 10) - 7 / (5 x) - 2500 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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G ' (x) = - 2 x / 10 - 7/5 (-1/x^2) = -x/5 + 7 / (5x^2) = 0 de donde x = raíz cúbica de 7 = 1,91, aprox. 2 artículos. podemos comprobar que G '' (1,91) < 0 y se trata de un máximo. Sigue el procedimiento que he hecho por si querías indicar otras funciones diferentes de las que yo he interpretado (al no haber puesto paréntesis) Pregunta 16. Resuelta el 09/12/2012 (pregunta 1283) La velocidad de un automóvil que arranca del reposo viene dada por: v= (100t)/(2t+15) con v medida en metros por segundos. Hallar la aceleración tras a) 5 segundos b) 10 segundos c) 20 segundos Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo: a = d v / dt a = 100 [1 · ( 2 t + 25) - 2 t] / (2t+15)^2 a = 2500 / (2t+15)^2 a (t = 5) = 2500 / (2·5+15)^2 = 4 m/s^2 a (t = 10) = 2500 / (2·10+15)^2 = 2,04 m/s^2 a (t = 20) = 2500 / (2·20+15)^2 = 0,83 m/s^2 Espero te sirva mi respuesta. Nota: Recuerda las derivadas de las siguientes funciones Si y = u^n, y ' = n · u^(n-1) · u ' siendo u = f (x) y n una constante Si y = u / v ; y ' = ( u ' · v - u · v ' ) / v^2 donde v es otra función de x Pregunta 17. Resuelta el 10/11/2012 ¿Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva: y = x^2 – 2x - 3 para x = 1? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto xo es: y - f (xo) = f ' (xo) (x - xo) pues la derivada en el punto es la pendiente de la recta tangente. f (x) = x^2 - 2 x - 3 f (1) = 1 - 2 - 3 = -4 f ' (x) = 2 x - 2 f ' (1) = 2 · 1 - 2 = 0 La recta tangente sera: y - (-4) = 0 · (x - 1) es decir, y = -4 Pregunta 18. Resuelta el 28/10/2012 ¿Cual es la ecuación de la recta tangente que pasa por el siguiente punto? y = 2 x^3 + 4 x^2 - 5 x - 3, pasa por el punto (0, 5). Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Antes de nada: la respuesta de Luis es incorrecta, pues el punto no pertenece a la curva. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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La ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto a es: y - f (a) = f ' (a) (x - a) Si f (x) = 2x^3+4x^2-5x-3 ; f (a) = 2 a^3 + 4 a^2 - 5 a - 3 f ' (x) = 6 x^2 + 8 x - 5 ; f ' (a) = 6 a^2 + 8 a - 5 La ecuación de la tangente a la curva en el punto x=a (desconocido) es: y - (2 a^3 + 4 a^2 - 5 a - 3) = (6 a^2 + 8 a - 5) (x - a). (*) Esta recta debe pasar por el punto (0, 5), es decir, si x=0, y=5, condición que permite calcular a y la recta pedida. 5 - 2 a^3 - 4 a^2 + 5 a + 3 = - a(6 a^2 + 8 a - 5) 5 - 2 a^3 - 4 a^2 + 5 a + 3 = - 6 a^3 - 8 a^2 + 5 a 4 a^3 + 4 a^2 + 8 = 0 a^3 + a^2 + 2 = 0 Resuelves la ecuación (represéntala en Google: introduce en el buscador y=x^3 +x^2 + 2 , Google te hace la gráfica). La solución (real) aproximada es: a= -1,7 Lleva este resultado de "a" a la ecuación (*) anterior y ya tienes la recta pedida. Comprueba las operaciones que he hecho por si me he colado (no es lo mismo escribir en un papel que con el teclado del ordenador) Pregunta 19. Resuelta el 08/12/2012 Si tenemos la función: f (x) = -x^3 + k x + 1. ¿Cuál ha de ser el valor de k para que la recta tangente a f (x) en el punto de abscisa 0 sea paralela a la recta y= -2x ? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La pendiente de la recta tangente a la curva en un punto de la misma es el valor de la derivada en dicho punto. Si es paralela a la recta y = -2x, debe tener la misma pendiente que ésta, es decir: -2 y = -x^3 + k x + 1 y ' = - 3 x^2 + k En x = 0 -3 · 0^2 + k = -2 de donde k = -2. Pregunta 20. Resuelta el 08/12/2012 ¿Cómo se calcula la recta tangente de esta función f(x) = - x^2 - 4x - 3 en x = 3? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto xo de la misma es: y - f (xo) = f ' (xo) (x - xo) Si xo = 3 f (xo) = f (3) = - 3^2 - 4 · 3 - 3 = -24 f ' (x) = - 2 x - 4, como bien has puesto f ' (xo) = f ' (3) = -2 · 3 - 4 = -10 con lo que la ecuación de la recta tangente es: y - (-24) = -10 · (x-3) es decir: y = - 10 x + 6

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Pregunta 21. Resuelta el 13/01/2013. Mi respuesta número 1478 Obtener los puntos de la curva y = x^3 – 3 x^2 + 15 donde la recta tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (0, -12) , (1, 12) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Es un problema de aplicación de la interpretación geométrica de la derivada: la derivada en un punto nos da la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto: y ' = 3 x^2 - 6 x La pendiente de la recta que une los dos puntos es: m = delta y / delta x = (12-(-12)) / (1-0) = 24 asi pues, igualando 3 x^2 - 6 x = 24 x^2 - 2 x - 8 = 0, de donde x = 4 y x = -2. Tenemos dos soluciones. Si x = 4, y = 4^3 - 3 · 4^2 + 15 = 31 , punto (4, 31) Si x = -2, y = -8 - 12 + 15 = -5, punto (-2, -5) Pregunta 22. Resuelta el 19/01/2013 a las 11:57 h (hora española). Respuesta número 1519 Una escalera de 13 esta apoyada en una pared, si su base desliza a 0,1 m/s con que velocidad cambia el ángulo que forma con el suelo cuando el extremo superior esta a 12 m? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Bien, vamos a colocar la pared a la izquierda y la escalera apoyada en la misma. El extremo que toca el suelo se va desplazando hacia la derecha a 0,1 m/s. !\ !..\ !....\ !......\ angulo theta (la hipotenusa con la base) !--------- cos theta = x / 13 , pues 13 es la longitud de la escalera, constante de donde x = 13 · cos theta derivamos respecto a t d x / d t = 13 d (cos theta) / d t aplicaremos la regla de la cadena d (cos theta) / dt = [ d (cos theta) / d theta ] · [d theta / d t] d x / d t = - 13 · sen theta · d theta / d t precisamente piden d theta / d t 0,1 = - 13 · (12/13) · d theta / d t de donde d theta / d t = - 0,1 / 12 = -0,0083 m/s que sale negativo pues el ángulo va disminuyendo.

Derivabilidad de funciones Pregunta 23. Resuelta el 26/10/2012 ¿Es f (x) = x^1/3 derivable en x = 0? ¿Por qué sí/no? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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No. Aunque sí es continua (si no fuera continua no seria derivable directamente). La derivada (en x distinto de 0) es y ' = 1/3 x^(-2/3). Pero en el origen vale infinito (o menos infinito) según te acerques por un lado u otro. Lo ves muy fácil si representas las gráfica. En Google introduce y=x^(1/3) y te hace la gráfica (es la leche)

Teoremas Pregunta 24. Resuelta el 10/11/2012 Para el intervalo (-pi/2 , pi/2) comprobar si se cumple el teorema de Rolle en la función f (x) = |senx| Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Para que una función verifique el teorema de Rolle en un intervalo se exige: 1. que sea continua en dicho intervalo [a, b] : nuestra función sí lo es 2. que sea derivable en el intervalo (a, b). En nuestro caso NO ES DERIVABLE x = 0 (la derivada en un punto en la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto y vemos que por la derecha de 0 y por la izquierda no coinciden dichas derivadas. Míralo introduciendo en Google (sí, sí, en el buscador): y = abs (sin x) va el Google y te hace la gráfica y ves que no es derivable 3. f (a) = f (b) Como no se cumple el punto 2, no cumple el teorema de Rolle. Pregunta 25. Resuelta el 30/12/2012 ¿Demuestra que x^4+4e^x(x-1) = 0 tiene únicamente dos soluciones.? ¿Podrías decir entre qué dos números enteros consecutivos está cada una de las soluciones? A ver he encontrado intervalos ([0,1];[-1,-2] por ejemplo), que cumplen el teorema de Bolzano, pero eso no me garantiza que sean únicamente dos soluciones, ¿no? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Vale, has aplicado el teorema de Bolzano y ves que AL MENOS hay una solución en cada uno de los intervalos que hay indicado. ¿Cómo ver que es única en cada intervalo? Fácil, con la derivada: si pruebas que siempre es creciente (o decreciente) en dicho intervalo, habrá un único punto de corte con el eje (es decir, una única solución). En efecto: si f (x) = x^4+4e^x(x-1) f ' (x) = 4 x^3 + 4 e^x (x-1) + 4 e^x = 4 x^3 + 4 x e^x = 4 x (x^2 + e^x) veras que el el intervalo positivo que has indicado, la derivada siempre es positiva, luego hay una única solución. Y lo mismo sucede con el intervalo negativo que señalaste, la derivada siempre es negativa (pues x^2 + e^x siempre es positivo), luego de nuevo tendremos una única solución. Pregunta 26. Resuelta el 19/01/2013 a las 12:29 h (hora española). Respuesta número 1521 Me gustaría saber como puedo demostrar esta ecuación: x – sin (x) - 5 = 0 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Digamos que lo que quieres es probar que al menos existe una solución a las ecuaciones dadas. para calcularlas deberás emplear métodos numéricos. Se basa en el teorema de Bolzano: si tienes una función continua que cambia de signo en un intervalo (pasa de ser positiva a negativa o al revés), la función tiene al menos una solución. Sea f (x) = x - sen x - 5 si x = 0, f (0) = - 5, negativa si x = 6, f (0) = 6 - sen 6 - 5, positiva (pues el seno vale 1 como mucho y el seno de 6 no es 1) como la función pasa de ser negativa a positiva, AL MENOS hay una solución en dicho intervalo, digo al menos, porque puede que hubiera mas de una. Para ver si tenemos una sola, por ejemplo, podemos recurrir a derivar la función y estudiar su crecimiento. Si siempre crece (o siempre decrece), existiría un único punto de corte. f ' (x) = 1 - cos x, como el coseno siempre es menor que 1 (1 a lo sumo), vemos que siempre es creciente y la solución a la ecuación original es UNICA, y por cierto está en el intervalo 0 a 6. Puedes determinarla, representando dicha función y viendo donde corta al eje x. Este punto es la solución a la ecuación. Para ello introduce en Google. Sí, en Google: y = x - sin(x) - 5 Va el Google y te hace la gráfica. Verás que la solución anda por el 4 y poco. 4,16 o así. Pregunta 27. Resuelta el 20/01/2013 a las 14:31 h (hora española). Respuesta número 1534 ¿ayuda teorema de rolle? y= x^4 + 4 x^2 + 1 (-3, 3). Cuando las dos no me salen iguales, ¿qué significa? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal No entiendo qué quieres decir eso de "cuando las dos no me salen iguales" El intervalo es (a,b) = (-3,3) f (x) = x^4 + 4 x^2 + 1 1. La función es continua en todo R (se trata de un polinomio) y en particular (que es lo que nos interesa) en el intervalo cerrado [-3, 3] 2. La función es derivable en todo R (se trata de un polinomio) y en particular (que es lo que nos interesa) en el intervalo abierto (-3, 3) 3. f (-3) = f (3), pues la función es par y f (-x) = f (x), pero si quieres lo calcular f (-3) = f (3) = 81 + 4·9+1 = 118 Según el teorema de Rolle, existe un punto c perteneciente al abierto (a,b), tal que f ' (c) = 0 f ' (x) = 4 x^3 + 8 x = 4 x (x^2 + 8) = 0 f ' (c) = 4 c (c^2 + 8) = 0 de donde c = 0, punto del teorema de Rolle de tangente horizontal. Como puedes ver dicho punto pertenece al intervalo abierto (-3, 3). ¿Cuál es el problema?

Estudio y gráficas de funciones Pregunta 28. Resuelta el 14/11/2012 ¿ayuda función x^2/x^2-1? a) puntos críticos b) intervalos de crecimiento o decrecimiento c) intercepción con los ejes coordenados d) asíntotas verticales y horizontales e) puntos máximos y mínimos y de inflexión Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

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Pon paréntesis. Supongo que quieres decir: y = x^2 / (x^2-1) a) Yo entiendo los puntos críticos, los máximos y los mínimos (apartado "e" también). Calculamos y ' = (2 x (x^2-1) - x^2 · 2 x) / (x^2-1)^2 = - 2 x / (x^2-1)^2 y ' = 0 = - 2 x / (x^2-1)^2 , de donde x = 0 Segunda derivada: y '' = -2 [ (x^2-1)^2 - x · 2 · (x^2-1) · 2x] / (x^2-1)^3 = 2 (1 + 3 x^2) / (x^2-1)^3 y '' (x=0) = -2 < 0 luego x=0 , y = 0 es un MÁXIMO relativo b) para estudiar el crecimiento y decrecimiento, estudiamos el signo de la primera derivada: y ' = - 2 x / (x^2-1)^2 vemos que si x > 0, y ' < 0, DECRECE Si x < 0, y ' > 0, CRECE x=0 pasa de ser creciente a ser decreciente, corrobora el máximo que hemos señalado antes c) si x = 0, y = 0^2 / (0^2-1)=0 (sustituye en la función del enunciado), punto (0, 0) del mismo modo, si y =0 = x^2 / (x^2-1) ==> x = 0, mismo punto (0, 0) d) asíntotas verticales, son los ceros del denominador (lo valores que anulan el denominador), en este caso x^2-1=0, x = 1 y x = -1 e) Ya hemos calculado los máximos y mínimos en el apartado "a". x=0 era un máximo relativo. Los puntos de inflexión son los que anulan la segunda derivada (pero no la tercera). En nuestro caso y '' = 2 (1 + 3 x^2) / (x^2-1)^3 = 0 No hay puntos de inflexión (pues al despejar la "x" queda raíz de un numero negativo) Espero haberte ayudado ;-) Pregunta 29. Resuelta el 14/11/2012 He resuelto este ejercicio de función derivada, pero no estoy seguro de que esté bien. Necesito que lo resolváis y pongáis aquí únicamente los resultados, ya que el procedimiento sé hacerlo.

Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal a) Crece desde - infinito a 1 y desde 3 a + infinito Decrece: de 1 a 3 Extremos relativos: Máximo en x = 1 ( y por lo que parece y =2), punto (1, 2) Mínimo en x=3 (e y =0), punto (3, 0) b) Lo de la concavidad depende del criterio del profesor - yo diría concavidad en forma de "intersección" de - infinito hasta un punto intermedio entre 1 y 3 (no se puede ver "exactamente", mas o menos 2 . A esto algunos llaman cóncava - concavidad en forma de "U" de dicho punto (aproximadamente 2) a + infinito. A esta algunos Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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llaman convexo pues "con un beso" (con vexo) de pones contento U -El punto de inflexión sería donde cambia la concavidad, ese punto entre 1 y 3 y que aproximadamente cae por el 2 Espero haberte servido de ayuda Pregunta 30. Resuelta el 03/02/2013 a las 18:39 (hora española). Respuesta número 1702 ¿Asíntotas horizontales y oblicuas? Es que me queda hacer estas dos del ejercicio que no se hacer como encontrarlas: y = 2x-4/x^2-4 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Coloca paréntesis, supongo que quieres decir f (x) = (2 x - 4) / (x^2 - 4) Empiezo por las verticales, que son los ceros del denominador, es decir, los valores que anulan el denominador: x = 2 y x = -2 Asíntotas horizontales, se calculan haciendo el limite (cuando x tiende a infinito) de f (x) lim (2 x - 4) / (x^2 - 4) = lim 2 x / x^2 = lim 2 / x = 0 La asíntota horizontal es y = 0 Para resolver el limite, he tenido en cuenta que cuando x tiende a infinito, todo polinomio es equivalente a su termino de mayor grado, es decir que tiene el mismo límite. 2 x - 4 es equivalente a 2 x x^2 - 4 es equivalente a x^2 Como hay asintotas horizontales, no hay oblicuas. Pregunta 31. Resuelta el 07/12/2012 Si me piden hallar los máximos y mínimos, extremos relativos, etc en una función a trozos, y al comprobar la derivabilidad en los puntos conflictivos veo que no es derivable en esos puntos, ¿entonces la función no tiene máximo, mínimos, etc, o los tiene pero al no ser derivable en esos puntos, esos puntos no pueden serlo? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Si justamente los máximos, mínimos, etc. (puntos que anulan la primera derivada, etc.) caen en los puntos conflictivos donde no es derivable, pues no tiene máximos ni mínimos relativos. -Por ejemplo. Sea f (x) = x^2 si x < 0 x si x>=0 Vemos que en x=0 no es derivable, ¿ok?. Si haces la primera derivada de la función a la izquierda x^2 y la igualamos a cero obtendríamos un extremo en x = 0 , pero al no ser derivable, no existiría tal extremo. -Por ejemplo. Sea f (x) = x^2 si x < 1 x si x>=1 Vemos que en x=1 no es derivable, ¿ok?. Si haces la primera derivada de la función a la izquierda x^2 y la igualamos a cero obtendríamos un extremo en x = 0. en este punto sí es derivable y el extremo (en este caso mínimo) sería el punto x = 0 (el problema lo teníamos en x = 1, no en x = 0) Pregunta 32. Resuelta el 15/12/2012 (Facebook) Si tengo la función f(x) = x + 1/x Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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a) Hallar los puntos de la gráfica de f (x) más cercanos al origen del sistema de coordenadas. b) Me dice con argumentos teóricos justificar la existencia de una distancia máxima y mínima entre la gráfica de f (x) y el origen del sistema de coordenadas si se restringe la función al intervalo [1;5]. Encontrar dichos valores. a) Lo encontré minimizando la función, encontré el 0 de la derivada y me dió los puntos más cercanos, que son (0,84 ; 2,03) y (-0,84 ; -2,03). b) Acá está mi duda, hice esto: y = x + 1/x ; y' = 1 - 1/x^2 Como y' es > 0 para todo x > 1 entonces la función es creciente en [1;5] por lo tanto el mínimo va a estar en 1 y el máximo en el 5. Averiguo los valores y me dan: Mínima: [1 ; 2] - Máxima: [5 ; 26/5 ] ¿Está bien justificado? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo Sí. Puedes comprobar que la segunda derivada en x = 1 es mayor que cero (por lo que se trata de un mínimo relativo). Al darte un intervalo [1, 5] de lo que se trata de obtener son los extremos absolutos en dicho intervalo. Al evaluar la función en x = 1, vale 2 y en x = 5, vale 26/5 por lo que el mínimo absoluto (el valor mas pequeño que toma la función en el intervalo dado, teniendo en cuenta extremos relativos) será x=1 y el máximo absoluto (el valor mas grande) x = 5.

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Tema 17. Problemas de máximos y mínimos

Pregunta 01. Resuelta el 27/10/2012 Los números críticos de la función f (x) = x^3 + 3x^2 son... Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Veamos, yo entiendo por PUNTOS críticos lo valores que anulan la primera derivada (NO los que anulan la función como he visto en alguna respuesta). Si y = x^3 + 3 x^2 y ' = 3 x^2 + 6 x = 0 0 = 3 x (x + 2), de donde x = 0 y x = -2 son los dos puntos críticos. Te ampliaré la respuesta y '' = 6 x + 6 y '' (0) = 6 > 0 es un mínimo y si x = 0, y = 0. El punto (0,0 ) es un punto crítico. En concreto un mínimo. y '' (-2) = -6 < 0 es un máximo y si x=-2, y = -8 + 12 = 4. El punto (-2,4) es un punto crítico. En concreto un máximo. Pregunta 02. Resuelta el 19/01/2013 a las 21:54 h (hora española). Respuesta número 1531 Me ayudan a encontrar los máximos y mínimos de esta función f (x) = x^3 - x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Para encontrar los máximo y los mínimos de una función en primer lugar la derivas y la igualas a cero y obtienes los posibles extremos. Si la derivada segunda en el punto en mayor que cero es un mínimo y si es menor que cero, un máximo. f (x) = x^3 - x f ' (x) = 3 x^2 - 1 = 0 de donde x = 1 / raíz 3 y x = -1 / raíz3 f '' (x) = 6 x f '' (1 / raíz 3) = 6 / raíz 3 > 0 --> es un mínimo relativo y si quieres calcula el valor de la funcion sustituyendo en y = x^3 - x f '' (-1 / raíz 3) = 6 / raíz 3 < 0 --> es un máximo relativo y si quieres calcula el valor de la funcion sustituyendo en y = x^3 – x Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Pregunta 03. Resuelta el 23/10/2012 1) Divídase 40 en dos números de modo que la suma de sus cuadrado sea igual al mínimo 2) Un campesino quiere sembrar una superficie de forma rectangular y dispone de 160 m determine el área en función de los lados que dimensión debe tener para ser una área máxima y cual es su área máxima. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) x + y = 40 f (x, y) = x^2 + y^2 sea mínimo y = 40 -x f = x^2 + (40 - x)^2 = x*2 + 1600 - 80 x + x^2 = 2 x*2 - 80 x + 1600 si es mínimo su derivada es nula: f ' = 0 = 4 x - 80, de donde x = 20 , el segundo número es 40-20 = 20 también es mínimo pues la segunda derivada es f ' ' = 4 > 0 2) sea x el largo e y el alto 2 x + 2 y = 160, es decir, x + y = 80, de donde y = 80 - x f (x,y) = x·y sea máxima f = x (80 - x) = 80 x - x^2 f ' = 0 = 80 - 2x , de donde x = 40, e y = 80-40 = 40 también el área mínima sera 40·40= 1600 m^2 Pregunta 04. Resuelta el 20/01/2013 a las 20:17 h (hora española). Respuesta número 1541 Necesito saber el área lateral máxima de un cilindro inscrito en una esfera. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El área lateral es Al = 2 pi r h siendo r el radio del cilindro y h su altura Esta inscrito en una esfera de radio R. Cumplirá: h^2 + (2r)^2 = (2R)^2 de donde h = raíz (4 R^2 - 4 r^2) = 2 raíz (R^2 - r^2) por lo que Al = 2 pi r · 2 raíz (R^2 - r^2) Al = 4 pi raíz (R^2 r^2 - r^4) d Al / dr = 0 por lo que 0 = R^2 2 r - 4 r^3 de donde r = R / raíz (2) La altura sera h = 2 R / raíz 2 y el Al = 2 pi [R / raíz (2)] 2 [R / raíz (2)] = 2 pi R^2 Pregunta 05. Resuelta el 23/01/2013 a las 11:42 h (hora española). Respuesta número 1561 Determine 2 números cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno por el cuadrado del otro sea máximo Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sean x e y los números: x + y = 24 Debemos maximizar la función x · y^2 = f (una función de dos variables) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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de la primera ecuación (la condición) despejamos x = 24 - y y sustituimos en la función a optimizar (y así quedará una función de una sola variable) f = (24 - y) · y^2 = 24 y^2 - y^3 la condición de máximo (o mínimo) es que la primera derivada sea nula: d f / d y = 0 = 48 y - 3 y^2 = 3 y (16 - y) de donde y = 16 (la otra solución y = 0 no tiene sentido , ¿sabrías por qué?) y por tanto x = 24 - y = 24 - 16 = 8 La función "máxima" valdría: f = 8 · 16^2 = 2048 Comprobemos que es un máximo: f '' = 48 - 6 y que para y = 16, sale negativa, por lo que es un máximo. Pregunta 06. Resuelta el 03/02/2013 a las 21:30 (hora española). Respuesta número 1709 Un avión vuela siguiendo la trayectoria hiperbólica que se muestra en la figura: Si la ecuación de la trayectoria es 2 y^2 – x^2 = 8, determinar a qué distancia del punto mínimo llega el avión de una casa ubicada en (3, 0). Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El enunciado no es muy correcto que se diga... Supongo que quieres decir cuál es la distancia mínima del avión (que describa la trayectoria hiperbólica del enunciado) a la casa ubicada en el punto (3, 0) El un problema de máximos y mínimos (optimización de funciones) Queremos minimizar la distancia de la casa (3, 0) al avion (x, y) con la condición de que el punto (x, y) pertenezca a la hipérbola 2 y^2 - x^2 = 8 la distancia entre los dos puntos es D (x, y) = raíz [ (x - 3)^2 + y^2 ] con la condición 2 y^2 - x^2 = 8 De la condición despejamos una variable, y^2 = 4 + x^2 / 2 por lo que la distancia es D(x) = raíz [(x - 3)^2 + 4 + x^2 / 2] Esta es la función que derivamos e igualamos a cero (condición de máximo o mínimo) dD/dx=0 2 (x - 3) + x = 0 ; 3 x - 6 = 0 ; de donde x = 2 Podrías comprobar que en efecto se trata de un mínimo sin mas que hacer la segunda derivada y observar que el mayor que cero en el punto x = 2 La distancia mínima sera entonces: D = raíz [1 + 4 + 2] = raíz 7 Pregunta 07. Resuelta el 04/02/2013 a las 00:19 (hora española). Respuesta número 1713 ¿De todos los triángulos isósceles de perímetro 12. Hallar las dimensiones del que tenga área máxima.? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Tenemos un problema de optimización. Vamos a llamar 2 x al lado desigual e y a cada uno de los lados iguales. El perímetro es 2 x + 2 y = 12, de donde x + y = 6 (condición) El área es base · altura / 2 la altura, aplicando el teorema de Pitágoras es h = raíz (y^2 - x^2) A = 2 x · raíz (y^2 - x^2) / 2 A = x · raíz (y^2 - x^2) de la condición despejamos una variable, la y = 6 - x Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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luego A = x · raíz [ (6 - x)^2 - x^2 ] = x · raíz [36 - 12 x + x^2 - x^2] A = x · raíz [36 - 12 x] A = raíz [36 x^2 - 12 x^3] La condición de máximo o de mínimo es que d A / d x = 0, luego 0 = 72 x - 36 x^2 de donde x = 2, por lo que y = 6 - 2 = 4 La base es 4 y los otros dos lados también valen 4. Es decir, es un triangulo EQUILATERO. Puedes comprobar que es un máximo haciendo la segunda derivada y comprobando que es menor que cero. Pregunta 08. Resuelta el 23/10/2012 1) ¿Como cambia el área de un cuadrado, correspondiente a la longitud de su diagonal? 2) Debe hacerse una caja con una hoja cuadrada de metal de 30 cm de lado, cortando en los vértices "pequeños" cuadrados congruentes y doblando luego los bordes. Calcular las dimensiones de la caja de volumen máximo que puede construirse de esta forma. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) Sea x el lado del cuadrado A = x^2 es el área y D = x raíz(2) es la diagonal variación del área d A = 2 x d x variación de la diagonal d D = raíz(2) · d x x = D / raíz (2) ; dx = d D / raíz (2) luego d A = 2 [ D / raíz (2) ] [ d D / raíz (2) ] = D d D luego lo que te piden es dA / dD = D 2) sea "x" la longitud del lado del cuadradito, la base de la caja formada será 30 - 2 x y la altura x Volumen (30-2x)^2 x = (900 - 120 x + 4 x^2)x = 900 x - 120 x^2 + 4 x^3 para que sea máximo, su derivada debe ser cero dV / dx = 0 = 900 - 240 x + 12 x^2 resuelves la ecuación de segundo grado y sale x = 15 y 5 segunda derivada V '' = - 240 + 24 x V '' (5) = - 250 + 24 · 5 < 0 MAXIMO La solución x=15 no tiene sentido (¿sabrías decirme por qué?) Dimensiones de la caja: lado de la base 20, altura 5, volumen 2000 Pregunta 09. Resuelta el 26/10/2012 1) Encuentre dos números cuya suma sea 20 y tales que el producto de dos veces uno de los números por el cuadrado del otro sea un máximo. 2) El costo por hora en dolares de operar un automóvil esta determinado por la ecuación C= 0,12 s - 0,0012 s^2 + 0,08. Donde s es la velocidad en millas/hora. ¿A qué velocidad es el costo por hora mínimo? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) x + y = 20 ; de donde x = 20-y Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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f (x, y ) = 2 x y^2 máximo f = 2 (20-y) y^2 = 2 (20 y^2 - y^3) d f / d y = 0 = 2 (40 y - 3 y^2), de donde y = 0 (que corresponde a un mínimo -compruebalo en la segunda derivada-) y = 40/3, luego x = 20-40/3=20/3 f '' = 2 (40 - 6 y), en y = 40/3, f'' < 0 (máximo) 2) C= 0,12s - 0,0012 s^2 + 0,08 d C / d s = 0 = 0,12 - 0,0024 s, de donde s = 50 C '' = -0,0024 < 0 máximo (y no mínimo). Es un problema de extremos "absolutos". Para s=0 (coche parado) el coste es C=0,08 . Veamos cuando el coste es nulo: 0,12s - 0,0012 s^2 + 0,08 = 0, se obtiene para s=100,66 millas/hora (el valor negativo no tiene sentido). Así que el coste por hora es mínimo (de hecho es nulo) a 100,66 millas/hora. Pero claro, a esa velocidad nos cuesta mas el combustible. Pregunta 10. Resuelta el 27/10/2012 Hallar las dimensiones de una caja de base cuadrada sin tapa, cuya superficie sea de 300 cm^2 y que tenga la mayor capacidad posible. 1) Las dimensiones buscadas y el volumen son: x=12 cm, h=6 cm, V=864 cm^3 2) Las dimensiones buscadas y el volumen son: x=4 cm, h=15 cm, V=240 cm^3 3) Las dimensiones buscadas y el volumen son: x=8 cm, h=7 cm, V=448 cm^3 4) Las dimensiones buscadas y el volumen son: x=10 cm, h=5 cm,V=500 cm^3 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Veamos. Sea "x" la longitud de uno de los lados de la base y "h" la altura de la caja. Volumen: V (x, h) = x^2 · h Condición, que la superficie sea 300, esto es: 300 = x^2 + 4 x h (al parecer es una caja sin tapa) de la condición despejas una variable, la "h" es mas sencilla h = ( 300 - x^2 ) / (4 x) y sustituyes en el volumen: V = x^2 ( 300 - x^2 ) / (4 x) = (300 x - x^3) / 4 condición de máximo (o mínimo) : d V / d x = 0 esto es: 0 = (300 - 3 x^2) / 4, de donde x = 10 cm (-10 no tiene sentido, claro) En efecto es máximo, pues V '' = - 6 x / 4 que para x=10, V'' < 0 (máximo) Como x=10, h= (300 - 10^2) / (4·10) = 5 cm El volumen máximo sera: V = 10^2 · 5 = 500 cm^3 Solución correcta: D Pregunta 11. Resuelta el 01/11/2012 Ismael desea construir una jaula para su mono, usando 80 metros de alambre. el utiliza una pared de su jardín, por lo cual tiene que cercar solo tres lados de la jaula. Determina el área de la jaula mas grande que se puede construir. también indica las dimensiones de la jaula. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea x la dimensión del lado paralelo a la pared e y el otro lado. Función a maximizar: área : A (x, y) = x · y Condición x + 2 y = 80 , de donde x = 80 - 2 y luego A = (80 - 2 y) ·y = 80 y - 2 y^2 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Condición de máximo o mínimo: d A / d y = 0 = 80 - 4 y ; de donde y = 20 m luego x = 80 - 2 · 20 = 40 El área máxima será: A = 40·20 = 800 m^2 Comprobemos que es un máximo: A ' ' = - 4 < 0 ==> máximo Pregunta 12. Resuelta el 08/11/2012 Un fabricante de cajas de cartón desea hace cajas abiertas con piezas de cartón de 24 cm^2, cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando los lados. Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea máximo. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Suponemos que la base que tenemos es un cuadrado. Como el área es 24, el lado es raíz(24) Cortamos las esquinas, como dices. Vamos a llamar "x" a cada lado del cuadradito que recortamos. Al doblar hacia arriba, tendremos una caja de lado de la base: raíz(24) - 2 x y altura x De modo que el volumen de la caja es V = ( raíz(24) - 2 x )^2 · x = (24 + 4 x^2 - 4 ·raíz(24) · x) · x V = 24 x + 4 x^3 - 4 raíz (24) x^2 La condición de máximo (o mínimo) es que d V / d x = 0 = 24 + 12 x^2 - 8 raíz (24) x de donde resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene: x = 2,45 cm y 0,82 cm Calculamos la segunda derivada: V '' (x) = 24 x - 8 raíz (24) V '' (2,45) > 0 es un mínimo V '' (0,82) < 0 es un máximo. El lado del cuadrado que debe recortarse será 0,82 cm Pregunta 13. Resuelta el 14/11/2012 1. Si f (x) = -9x^3 + 9x^2+8x -4 es cóncava hacia abajo en la región (a, b) entonces cual es el valor más grande posible de b. 2. Si f (x) = (x^3)/3 + ??2.5x^2 + 6x + 30 es decreciente en el intervalo (a, b) entonces cual es el valor más pequeño posible de a. 3. Una lata cilíndrica se puede fabricar para sostener 3L de aceite. Encuentre las dimensiones que minimicen el costo de fabricación de la lata. Cual es el valor de ? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1) Si con cóncava hacia abajo te refieres a que tiene forma de "U" f ' (x) = - 27 x^2 + 18 x + 8 f '' (x) = - 54 x + 18 = 0, de donde x = 1/3 será el valor mas grande de b. Es el punto de inflexión. A partir de ahí la función pasa a ser cóncava hacia arriba (en forma de "intersección") 2. y ' = x^2 + 5 x + 6 = 0 de donde x = -3 y x =-2 El valor mas pequeño es -3 (que corresponde al máximo de la función anterior) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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3. Queremos que la superficie de la lata sea mínima con un volumen dado Función a minimizar : A = 2 · pi · R^2 + 2 · pi · R · h la lata tiene dos tapas y el lateral Condición V = pi · R^2 · h = 3 de donde h = 3 / (pi · R^2) luego: A = 2 · pi · R^2 + 2 · pi · R · 3 / (pi · R^2) (*) A = 2 · pi · R^2 + 6 / R La condición de máximo o mínimo es que d A / d R = 0 0 = 4 · pi · R - 6 / R^2 de donde R = ( 3 / (2·pi) )^(1/3) y h = 3 / (pi · R^2) = 3 / ( pi · ( 3 / (2·pi) )^(2/3) ) = (3/pi) · (2·pi/3)^(2/3) El área la puedes obtener sustituyendo estos valores en (*) Puedes comprobar que es un mínimo, yendo a la segunda derivada y comprobando que es > 0 Pregunta 14. Resuelta el 17/11/2012 Cuál es la base y altura de un triángulo de menor área posible, en el primer cuadrante, acotado por los ejes y una recta que pasa por los puntos (5, 12) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Recta que pasa por (5, 12) y de pendiente m arbitraria y - 12 = m (x - 5) Corta en el eje x, cuando y = 0; x = -12/m + 5 Corta en el eje y, cuando x = 0; y = 12 - 5m El triángulo formado tendrá por base -12/m + 5 y por altura 12 - 5m El área será: A (m) = (-12/m + 5) · (12 - 5m) / 2 A (m) = (120 - 25 m - 144/m ) / 2 Para que el área sea máxima (o mínima) d A / d m = 0 = (- 25 + 144/m^2)/2 de donde 144/m^2 = 25, luego m = raíz(144/25) = -12/5 Tomamos la pendiente negativa para que pueda encerrar un área en el PRIMER cuadrante con los ejes coordenados. La base será: -12/m + 5 = 10 y la altura: 12 - 5m = 24 El área es: 120 u^2 Pregunta 15. Resuelta el 25/11/2012 Hallar el área del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 si dos de los lados del rectángulo están sobre los catetos. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea x la base del rectángulo e y su altura, el punto P (x, y) debe pertenecer a la hipotenusa del triángulo. Dicha hipotenusa pasa por los puntos (4,0) y (0,3) y tiene por ecuación: 3x + 4 y = 12 (supongo que sabrás sacar la ecuación de una recta a partir de dos puntos de la misma) El área del rectángulo es A (x, y) = x · y de la condición 3x + 4 y = 12 despejo una variable, por ejemplo y = (12 - 3x) / 4 = 3 - (3x)/4 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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luego A = x · (3 - (3x)/4) = 3 x - (3 x^2)/4 la condición de máximo (o mínimo) es de d A / dx = 0 A ' = 3 - (6 x)/4 = 0 = 3 - (3 x) / 2,, de donde x = 2, y por tanto y = 3 - 6/4 = 3/2. El área será: A = 2 · 3/2 = 3 u^2 podemos comprobar que es máximo haciendo la segunda derivada A '' = -3/2 < 0 MAXIMO. Pregunta 16. Resuelta el 28/11/2012 A partir de una hoja rectangular de 12 pulgadas de ancho se desea construir un canalón para desaguar la lluvia y se doblan hacia arriba los lados de manera que queden perpendiculares a la hoja. ¿Cuántas pulgadas se deben doblar para que el canalón tenga capacidad máxima? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Es un problema de optimización (cálculo de máximos y mínimos). Sea L la longitud del canalón (nos da igual su valor) y 12 pulgadas su ancho, al doblar x a ambos lados hacia arriba, el volumen será: V = L · (12 - 2 x) · x = L (12 x - 2 x^2) La condición de máximo y de mínimo es que d V / d x = 0 d V / d x = 0 = L (12 - 4 x) = 0, de donde x = 3 pulgadas podemos comprobar que es un máximo haciendo la segunda derivada: V '' = - 4 L < 0 , luego máximo Debemos dobles entonces 3 pulgadas hacia arriba a ambos lados. Pregunta 17. Resuelta el 02/12/2012 Dado un cono circular recto de radio R y altura H, hallar el radio y la altura del cilindro circular recto de mayor área lateral que puede inscribirse en el cono Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sean r el radio y h la altura del cilindro inscrito en el cono. El área lateral del cilindro es: A = 2 · pi · r · h necesitamos una relación entre r y h. A través del cono, si theta es el ángulo que la generatriz forma con la altura tg theta = R / H = (R - r) / h por lo que h = (H/R) · (R - r) luego A = 2 pi r (H/R) · (R - r) = 2 · pi · (H/R) · (R · r - r^2) Es un problema de optimización. Para que el área sea máxima (o mínima), la derivada debe ser nula: d A / d r = 0 = 2 · pi · (H/R) · (R - 2 r) de donde r = R /2 podemos comprobar que es máximo haciendo la segunda derivada y comprobando que es menor que cero. En efecto: A '' = 2 · pi · (H/R) ·(-2) < 0 MAXIMO. Si r = R/2, h = (H/R) · (R - R/2) = H/2 luego r = R/2 y h = H/2 son el radio y la altura del cilindro pedido. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Pretendo dibujar la sección transversal del cono y el cilindro (solo la parte derecha) ....!.\ ....!..\ H.!--.\ ...!..!h.\ ...!.r!....\ ...--------......R Pregunta 18. Resuelta el 10/12/2012 (pregunta 1308) Se desea abrir una ventana rectangular en una pared de una casa. Queremos que nos salga lo más económica posible sin perder luz, para ello pretendemos que el área sea de 16/15 m2. Sabemos que el coste en vertical es de 50 euros/m y en horizontal 30 euros/m. ¿Cómo debe ser la ventana? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea x la anchura de la ventana, e y su altura El área (dato del problema) es A = x · y = 16/15 El coste (que es la función a optimizar y queremos que sea mínimo) es C (x, y) = 30 x + 50 y de la condición, despeja una variable, por ejemplo y = (16/15) / x luego C = 30 x + 50 · (16/15) / x C = 30 x + 160 / (3 x) La condición de máximo (o mínimo) es que la derivada sea cero d C / d x = 0 = 30 - 160 / (3 x^2) de donde x = 4/3 e y = (16/15) / x = 4 / 5 Dimensiones: base: 4/3 y altura 4/5 si hacemos la segunda derivada C '' comprobamos que es mayor que cero, es decir mínimo. Pregunta 19. Resuelta el 06/01/2013. Respuesta número 1445 Se quiere construir una ventana rectangular de 1m^2 de superficie. El coste por metro del marco horizontal se estima en 1,60 €, mientras que el del marco vertical vale 2,50 €. Diseñar el marco más económico. Solo necesito el planteamiento. Yo después ya derivo y optimizo. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea "x" el numero de metros del marco horizontal e "y" el numero de metros del marco vertical Condición: área = 1 m^2, es decir x · y = 1 Coste mínimo (función a minimizar): C (x, y) = 1,60 · x + 2,50 · y y ya sabes (como dices) resolverlo, despeja de la condición una variable, por ejemplo la "y" y = 1/x y sustituyes en la función a optimizar: C (x) = 1,60 · x + 2,50 / x derivas... y tira millas. Pregunta 20. Resuelta el 07/01/2013. Respuesta número 1446 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Una pequeña huerta de 200 m^2 ha de ser cercada para protegerla de los conejos. Hallar las dimensiones que requerirán la menor cantidad de cerca si un lado de la huerta ya esta protegida por una construcción. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea x la base del rectángulo e y la altura del mismo. Vamos a suponer que la construcción está situada en el lado opuesto a la base x. Condición: área = 200 m^2, es decir x · y = 200 Función a optimizar (minimizar en este caso): perímetro de la cerca: P (x, y) = x + 2 · y recuerda que en un lado de la cerca está la construcción (de ahí que no ponemos 2 x) de la condición despejas una variable, por ejemplo x = 200 / y luego P (y) = 200 / y + 2 y La condición de máximo o mínimo es que la derivada sea nula: d P / d y = 0 = - 200 / y^2 + 2 de donde 200 / y^2 = 2, es decir y = 10 m por lo que x = 200 / 10 = 20 m Podemos comprobar que es un mínimo calculando la derivada segunda: P '' = 400 / y^3 > 0 luego es mínimo La menor cantidad de cerca empleada será: P = 20 + 2 · 10 = 40 m Pregunta 21. Resuelta el 12/01/2013. Mi respuesta número 1465 Entre todos los cilindros circulares rectos de área lateral dada, demostrar que la menor esfera circunscrita tiene el radio igual al radio del cilindro multiplicado por raíz (2). Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea R el radio de la esfera circunscrita y r el radio del cilindro inscrito en la esfera y h su altura Estas tres variables están relacionadas a través de: (2 R)^2 = (2 r)^2 + h^2 4 R^2 = 4 r^2 + h^2 de donde R^2 = r^2 + (h^2)/4 Área lateral del cilindro: A = 2 · pi · r · h de donde h = A / (2 pi r) por lo que R^2 = r^2 + [A / (2 pi r)]^2 / 4 R^2 = r^2 + A^2 / ( 16 pi^2 r^2) El volumen de la esfera mínimo corresponderá a un radio R de la esfera mínimo. O a un R^2 mínimo, por lo que lo derivamos respecto de r, quedando 0 = 2 r + A^2 / (16 pi^2) · (-2/r^3) de donde el radio del cilindro es r^2 = A / (4 pi) y el radio de la esfera se obtiene de R^2 = r^2 + A^2 / (16 pi^2 r^2) con r^2 = A / (4 pi) R^2 = A / (2 pi) por lo que si r = raíz (A / (4 pi)) y R = raíz (A / (2 pi)) vemos claramente que R = (raíz 2) · r, como queríamos probar

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Tema 18. Funciones de varias variables

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1. Funciones de varias variables 2. Extremos de funciones de varias variables

Pregunta 01. Resuelta el 19/01/2013 a las 11:47 h (hora española). Respuesta número 1518 ¿Encontrar curvas de nivel, funciones de dos variables? Si tengo una ecuaciones de dos variables tales que: x^2 + y^2 = z, donde z = -2, -1, 0, 1, 2 Qué pasos debo seguir para solucionar este tipo de ecuaciones? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La superficie z = x^2 + y^2 es un paraboloide, es decir un "cuenco" en forma de U hacia arriba del eje x cuyo vértice esta en el origen (0,0,0). Para calcular las curvas de nivel de la superficie z = f (x, y) en un punto (xo, yo), calculas el valor de la función en dicho punto: zo = f (xo, yo) e igualas dicho valor al valor de la función en un punto genérico, es decir: f (xo, yo) = f (x, y), ¿fácil no?. O si ya te dan el valor de z (llamemosle zo) igualas directamente zo = f (x, y) - Por ejemplo, la curva de nivel que pasa por z = 2 es 2 = x^2 + y^2 que es una circunferencia de centro el origen, radio raíz 2 y situada en el plano z = 2 - La que pasa por z = 1, es idénticamente una circunferencia de radio 1 - La que para por z = 0, es ¡un punto!, el origen - No hay curvas de nivel que pasan por z=-2 y z=-1 pues x^2 + y^2 no puede ser negativo. Pregunta 02. Resuelta el 20/01/2013 a las 19:39 h (hora española). Respuesta número 1540 ¿como puedo hallar el dominio y rango de esta función de dos variables Z=1+ ?(?-(x-y)?^2 )? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El dominio son los valores de x, y para los cuales existe x. Como lo que aparece en la raíz cuadrada aparece luego al cuadrado, el dominio sería todo R2. El recorrido, sería los valores de z, que sería z >= 1

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Pregunta 03. Resuelta el 15/12/2012 (Facebook) ¿Cómo haría este ejercicio? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo La función no es continua en el origen, pues no existe el límite en el origen. En efecto: Si calculas los limites sucesivos o reiterados a través de las rectas x = 0 e y = 0 dan resultados distintos: si lo haces a través de la recta x = 0, el limite es -1/5 si es a través de y = 0, el limite es 1/3, diferente al anterior. por lo que no existe el limite en el origen y la función no es continua. Pregunta 04. Resuelta el 19/01/2013 a las 19:30 h (hora española). Respuesta número 1529 Necesito saber como se deriva sobre "y" la siguiente función: F (x, y) = (4 - 2y)*e^(-x²+4y-y²) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal parcial de F respecto de y (la otra variable, x, permanece constante) F ' y = (-2) · e^(-x^2 + 4 y - y^2) + (4 - 2 y) · (4 - 2 y) · e^(-x^2 + 4 y - y^2) F ' y = [- 2 + 16 - 16 y + 4 y^2] · e^(-x^2 + 4 y - y^2) F ' y = (4 y^2 - 16 y + 12) · e^(-x^2 + 4 y - y^2) Recuerda que si u y v son funciones de x y = u · v ; y ' = u' · v + u · v' y = e^u ; y ' = u' · e^u Pregunta 05. Resuelta el 23/10/2012 ¿Se z = x y + y Ln (x y), verifique que se cumple la igualdad , xD2Z/Dx2 + yD2z/DxDy = y2 D2Z/Dy2? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal z = x y + y Ln(x y) = x y + y Ln x + y ln y parcial de z respecto de x: y + y/x parcial de z respecto de y: x + ln x + ln y + y·(1/y) = x + ln x + ln y + 1 parcial segunda de z respecto de x dos veces: -y/x^2 parcial segunda de z respecto de y dos veces: 1/y parcial segunda de z respecto de x respecto de y: 1 + 1/x sustituye en la ecuación diferencial: x (-y/x^2) + y (1 + 1/x) ¿ = ? y^2 (1/y) -y/x + y + y/x ¿=? y 0 = 0. Ok. se verifica. Yupi Pregunta 06. Resuelta el 26/10/2012 ¿derivadas parciales de segundo orden arco tangente (x + y) / (1 – x y)?

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con respecto a x, xy, y, yy, yx Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal f (x, y) = arco tangente (x +y) / (1 - xy) parcial de f respecto de x = (1 + y^2) / (1 -xy)^2 la "x" y la "y" digamos que juegan el mismo papel (si las intercambias te queda igual), es decir que la derivada respecto de y es igual que la anterior cambiando x por y e y por x, ¿ok? parcial segunda de f respecto de x dos veces: (2 y (1+y^2)) / (1 - xy)^3 parcial segunda cruzada: 2 (x+y) / (1 - xy)^3 Pregunta 07. Resuelta el 06/11/2012 ¿como puedo derivar x^z si quiero derivar la x y tambien la z? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea F = x^z Derivada parcial de F respecto de x = z · x^(z-1) al derivar respecto de "x", la otra variable, "z" permanece constante Derivada parcial de F respecto de z = (x^z) · ln x al derivar respecto de "z", la otra variable, "x" permanece constante Pregunta 08. Resuelta el 06/02/2013 a las 00:11 (hora española). Respuesta número 1738 Cuál es la derivada parcial de e^x · Ln (x · y) con respecto a x y con respecto a y. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal f (x, y) = e^x · ln (x · y) = e^x · (ln x + ln y) parcial de f respecto de x = e^x · ln (x · y) + e^x · (1/x) al derivar respecto de x, la otra variable, la y, permanece constante parcil de f respecto de y = e^x · (1/y) pues al derivar respecto de y, la x es constante Recuerda fórmulas para la derivación: si y = u · v ; y ' = u ' · v + u · v ' si y = e^u ; y ' = u ' · e^u si y = ln u ; y ' = u ' / u siendo u y v funciones de x Pregunta 09. Resuelta el 31/01/2013 a las 16:12 h (hora española). Respuesta número 1615 ¿Cuales son los usos del Gradiente? Por favor me podrían explicar el uso del gradiente en física? se su expresión pero no tengo ni idea para que se usa ni sus usos, podrían ayudarme tengo un examen de física mañana, gracias. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Si un campo de fuerzas es conservativo, es decir si su rotacional es nulo, entonces existe asociado a él una función escalar, ENERGIA POTENCIAL, tal que vector F = - gradiente de Ep Ahí tienes la aplicación que buscas. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Y puedes determinar el trabajo a partir de esta energía potencial, de manera muy fácil pues W (A --> B) = Ep (A) - Ep (B) Por ejemplo, en el caso del campo gravitatorio, vec g = - grad Ep (gravitatoria); en el caso del campo eléctrico, vec E = - grad Ep (electrostática), etc. El gradiente es perpendicular a la recta tangente a la curva de nivel que pasa por el punto. Ademas el gradiente nos da la DERIVADA DIRECCIONAL MÁXIMA (es decir en qué dirección la función crece mas rápidamente así como su valor). Pregunta 10. Resuelta el 10/11/2012 Suponga que la temperatura en grado de un punto (x, y, z) ? R3, (x, y, z están medidas en nanómetros). Suponga que tenemos una partícula en el punto P=(-1,1,-1) a) Como varia la temperatura en la dirección v=(1, 1, 1) desde el punto P? b) En que dirección (unitaria) debería moverse la partícula para disminuir su temperatura lo mas rápidamente posible? c) Si la partícula avanza a una velocidad de e^6 nm/seg en la dirección determinada en la parte (a), con que rapidez decrecerá la temperatura? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Repase el enunciado de tu ejercicio. Falta señalar cuál es la temperatura en el punto (x, y, z) genérico: T (x, y, z) = ??? Si la tuviera, te diría como se hace. Pero está relacionado con el GRADIENTE. el gradiente en un punto nos da la derivada direccional máxima. Si queremos calcular la derivada direccional según una determinada dirección debemos hacer el producto escalar del gradiente en dicho punto por el vector unitario a la dirección que te dan. En dirección(es) perpendiculares al gradiente la derivada direccional es nula. En la dirección opuesta al gradiente, la derivada direccional es mínima. Pregunta 11. Resuelta el 16/12/2012 Calcule la derivada direccional del campo escalar f (x, y) = 3 x^2 + x y en el punto P(2, 1) en la dirección del vector v = (-3, 4) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La derivada direccional es el producto escalar del vector gradiente en el punto por el vector unitario de la dirección que te dan f = 3 x^2 + x y parcial de f respecto de x = 6 x + y parcial de f respecto de y = x En el punto (2, 1) sera: parcial de f respecto de x = 6 · 2 + 1 = 13 parcial de f respecto de y = 2 El gradiente es: grad = (13, 2) El vector de la dirección es (-3,4) su modulo es raíz ((-3)^2 + 4^2) = 5 El vector unitario es u = (-3/5 , 4/5) la derivada direccional será: grad · u = (13, 2) · (-3/5 , 4/5) = -39/5 + 8/5 = -31/5 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Pregunta 12. Resuelta el 16/12/2012 Calcular el gradiente de la función f (x, y, z) = ln raíz (x^2+y^2+z^2 ) en el punto P(3, 4, 0) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal f(x,y,z)=ln (x^2+y^2+z^2 )^(1/2) f (x,y,z) = (1/2) · ln (x^2+y^2+z^2) f ' x = (1/2) · 2 x / (x^2+y^2+z^2) = x / (x^2+y^2+z^2) f ' y = (1/2) · 2 y / (x^2+y^2+z^2) = y / (x^2+y^2+z^2) f ' z = (1/2) · 2 z / (x^2+y^2+z^2) = z / (x^2+y^2+z^2) en P (3, 4, 0) quedará: f ' x = 3 / (3^2 + 4^2) = 3/25 f ' y = 4 / (3^2 + 4^2) = 4/25 f ' z = 0 / (3^2 + 4^2) = 0 El gradiente será: (3/25 , 4/25, 0) Pregunta 13. Resuelta el 18/01/2013 a las 21:51 h (hora española). Respuesta número 1508 a) Encuentra el vector unitario en la dirección en la que f (x, y) = (4 x + 3 y)/xy crece más deprisa en el punto P (2, 4) b) Halla la linealización de la función f (x, y) = sen (2x) · cos (5y) cerca del punto (1, 3) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal a) Es el gradiente parcial de f respecto de x = - 3 / x^2 (¿no tendrás problemas es hacer derivadas parciales, verdad? en el punto (2, 4) vale -3/4 parcial de f respecto de y = -4/y^2 que en el punto es -4/16 = -1/4 el gradiente es: (-3/4, -1/4) su modulo es : (raíz 10) / 4 divides el vector entre su modulo y ya lo tienes unitario: (-3 / raíz 10, -4 / raíz 10) b) es un desarrollo en serie de Taylor de una función de dos variables, donde te quedas hasta los términos lineales (primeras derivadas) f (1, 3) = sen 2 · cos 15 ¡anda que te podían haber dado otro punto! parcial de f respecto de x = 2 cos (2x) · cos (5y) en el punto = 2 cos 2 · cos 15 parcial de f respecto de y = -5 sen (2x) · sen (5y) en el punto = -5 · sen 2 · sen 15 luego la "linealización" de la función sera: f (x, y) = sen 2 · cos 15 + 2 cos 2 · cos 15 · (x - 1) - 5 · sen 2 · sen 15 · (y - 3) Pregunta 14. Resuelta el 15/12/2012 (Facebook) Cómo me explicarían la interpretación geométrica del gradiente de una función de dos variables? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Iñaki Carrascal Mozo El gradiente en un punto nos da la derivada direccional máxima (su módulo), así como la dirección para la cual dicha derivada direccional es máxima (a través de la dirección del vector gradiente). El gradiente en un punto es perpendicular a la recta tangente a la curva de nivel que pasa por dicho punto. Es decir si la función es x = f (x, y) y el punto es el (xo, yo), la curva de nivel que pasa por el punto es: f (xo, yo) = f (x, y). pues bien, si trazas la recta tangente a la curva en dicho punto y el vector gradiente a la función z = f (x, y) en el mismo punto, ambos son perpendiculares. Pregunta 15. Resuelta el 02/02/2013 a las 17:49 (hora española). Respuesta número 1658 Sea f (x,y) = 1 / (x^2 + y^2) hallar: - la derivada según la dirección unitaria de la recta 3 x – 2 y = 0 en el sentido de las x crecientes, en el punto P(2,3) - la derivada direccional máxima de f en (2, 3) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Vamos, yo creo que estas estudiando Grado en Química en la UVA. Otro problema del examen de julio de 2012 de Matemáticas I. Aunque ya te respondo después de que hayas tenido el examen esta mañana, ¿no? Te empiezo con el apartado b, que es el gradiente b) parcial de f respecto de x = -2x / (x^2 + y^2)^2 = -4/169 en el punto parcial de f respecto de x = -2y / (x^2 + y^2)^2 = -6/169 en el punto es decir: (-4/169, -6/169). Si quieres calculas el modulo a) es el producto escalar del gradiente por el vector unitario de la recta. Para obtener un vector de la recta, da dos puntos, por ejemplo, si x=0, y=0: si x=2, y=3. Anda que curioso, sale (2,3), su modulo: raíz (13). El vector unitario: (2 / raíz13 , 3 / raíz 13) la derivada direccional será, pues, (-4/169, -6/169) · (2 / raíz13 , 3 / raíz 13) = -26 / (169 · raíz 13) Pregunta 16. Resuelta el 23/10/2012 ¿determine la ecuación del plano tangente en el punto (1, 1, f (1,1)) si f (xy) = X2Y3/X2Y6? si (x,y) distinto de (0.0) y si (x,y) igual (0,0) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Pon paréntesis. No cuesta nada. Si lo interpretamos como z = f ( x,y) = (x^2 · y^3) / (x^2 · y^6) =1 / y^3 parcial de f respecto de x es cero parcial de f respecto de y es -3 y^(-4), en y = 1, vale -3 la ecuación del plano tangente cuando z = z (x, y) es z - zo = (parcial de f respecto de x en el punto) (x - xo) + (parcial de f respecto de y en el punto) (y - yo) En nuestro caso : z - 1 = - 3 (y -1) Pregunta 17. Resuelta en octubre de 2012 ¿encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie sen (xy) + sen (yz) + sen (xz) = 1 punto (1, pi/2, 0)? sen (XY) + sen (yz) + sen (xz) = 1 en el punto (1, pi/2, 0) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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sen (xy) + sen (yz) + sen (xz) -1 = 0 Sea F (x, y, z) = sen (xy) + sen (yz) + sen (xz) - 1 F'x = y cos (xy) + z cos (xz), en el punto vale : 0 + 0 = 0 F'y = x cos (xy) + z cos (yz), en el punto vale: 0 + 0 = 0 F'z = y cos (yz) + x cos (xz), en el punto vale: 0 + cos 0 = 1 la ecuación es F'x (x - xo) + F'y (y - yo) + F'z (z - zo) = 0 queda: 1 (z - 0) = 0, de donde z = 0 es el plano tangente Pregunta 18. Resuelta el 28/10/2012 ¿Como se hacen estos ejercicios con diferenciación implícita? y = (x - y)^2 El otro es: x + y = cos (x y) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal y= (x-y)^2 (1) Supongo que quieres calcular la y ' (y que la ecuación anterior define a y como función implícita de x). Derivamos la ecuación (1) respecto de x teniendo en cuenta que y = y (x) y ' = 2 (x - y) (1 - y') si quieres despejamos y' y ' = 2 x - 2 x y' - 2 y + 2 y y' y ' (1 + 2 x - 2 y) = 2 (x - y) y ' = 2 (x - y) / (1 + 2 x - 2 y) x+y= cos(xy) (2) Derivo (2) respecto de x 1 + y ' = - [sen (x y)] (y + x y') 1 + y ' = - y sen (xy) - x y' sen (xy) y ' (1 + x sen (xy) ) = - y sen (xy) de donde ....... - y sen (xy) y' = ----------------......1 + x sen (xy) Pregunta 19. Resuelta el 09/11/2012 ¿Ayuda con la derivada implícita y = cos (x - y)? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal y = cos (x -y) Derivo respecto de "x" teniendo en cuenta que "y" en función de "x" y ' = - (1 - y ' ) sen (x - y) Si quieres puedes despejar y ' y ' = - sen (x - y) + y ' sen (x - y) y ' - y ' sen (x - y) = - sen (x - y) y ' (1 - sen (x - y)) = - sen (x - y) de donde y ' = [ sen (x - y) ] / [sen (x - y) - 1]

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Pregunta 20. Resuelta el 09/12/2012 (pregunta 1305) La ecuación de la recta tangente a la curva x^2 (x^2 + y^2) = y^2, en el punto (√2/2 , √2/2) es a) 4x-(3√2/2) b) y= 3x-√2 c) y= 3x+√2 d) no hay solución Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La pendiente de la recta tangente es la derivada de la función en el punto. Pero la función esta definida implícitamente así que calculamos la derivada y ' como una función implícita: tenemos x^4 + x^2 · y^2 = y^2 x^4 + y^2 · (x^2 - 1) = 0 derivando respecto de x: 4 x^3 + 2 · y · y ' (x^2 - 1) + y^2 · 2x = 0 sustituimos x = y = √2/2 operando resulta y ' = 3 por lo que la ecuación de la recta tangente a la curva y - yo = f ' (xo) (x - xo) quedará: y - √2/2 = 3 (x - √2/2) y= 3x-?2 Solución correcta: B Pregunta 21. Resuelta el 06/02/2013 a las 00:45 (hora española). Respuesta número 1741 Usando diferenciales, calcule un valor aproximado de raíz [(3.02)^2+(1,99)^2 +(5,97)^2] Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Mas que diferenciales, lo que yo haría seria un desarrollo en serie de Taylor de un función concreta en un punto concreto. Y si quieres nos quedamos sólo hasta términos de primer orden. La función seria : f (x , y, z) = raíz (x^2 + y^2 + z^2) y el punto el (3, 2, 6), ¿comprendes hasta ahora? La expresión de la formula de Taylor (hasta primer orden) en torno al punto (xo, yo, zo) es: f (x, y, z) = f (xo, yo, zo) + [f ' x (xo, yo, zo)] · (x - xo) + [f ' y (xo, yo, zo)] · (y - yo) + [f ' z (xo, yo, zo)] · (z - zo) f (x, y, z) = raíz (x^2 + y^2 + z^2) f (3, 2, 6) = raíz (3^2 + 2^2 + 6^2) = 7 f ' x = x / raíz (x^2 + y^2 + z^2) f ' x (3, 2, 6) = 3 / 7 f ' y = y / raíz (x^2 + y^2 + z^2) f ' y (3, 2, 6) = 2 / 7 f ' z = z / raíz (x^2 + y^2 + z^2) f ' z (3, 2, 6) = 6 / 7 luego f (x, y, z) = 7 + (3 / 7) · (x - 3) + (2 / 7) · (y - 2) + (6 / 7) · (z - 6) y ahora sustituimos en el punto 3,02 , 1,99 , 5,97 f (3,02, 1,99, 5,97) = 7 + (3 / 7) · (3,02 - 3) + (2 / 7) · (1,99 - 2) + (6 / 7) · (5,97 - 6) f (3,02, 1,99, 5,97) = 7 + (3 / 7) · (0,02) + (2 / 7) · (-0,01) + (6 / 7) · (-0,03) la operación final te la dejo a ti ;-)

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Tema 19. Extremos de funciones de varias variables Pregunta 01. Resuelta el 31/12/2012 ¿Cómo determinar los extremos de funciones reales en varias variables? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Sea z = f (x,y), una función de dos variables (la generalización sera inmediata) 1. Condición necesaria Resuelve el sistema formado por las ecuaciones: parcial de z respecto de x = 0 parcial de z respecto de y = 0 obtienes una serie de puntos 2. Condición suficiente Miras el signo de d^2 z = (parcial segunda de z respecto de x dos veces) (d x)^2 + 2 (parcial segunda de z respecto de x respecto de y) (dx) (dy) + (parcial segunda de z respecto de y dos veces) (d y)^2 Que es mas sencillo estudiarlo a partir del hessiano que es la matriz que tiene como elementos - en la primera fila : parcial segunda de z respecto de x dos veces ; parcial segunda de z respecto de x respecto de y - en la segunda fila : parcial segunda de z respecto de x respecto de y ; parcial segunda de z respecto de y dos veces Mas o menos lo que trato de escribirte a continuación ( z '' x^2 .... z '' xy ) ( z '' xy ......z '' y^2) que es una matriz simétrica. Para clasificar la forma cuadrática que es d^2 z, podemos calcular los valores propios del hessiano - si son positivos: es un mínimo relativo - si son negativos : es un máximo relativo - si son positivos y negativos, un punto silla - si son positivos y nulos : es un "casi" mínimo - si son negativos y nulos : es un "casi" máximo Hay otra forma de clasificarlo a partir de "discriminantes". Bien, un ejemplo para que lo tengas claro: Obtener los extremos de la función: f (x,y) = x^3 y + 12 x^2 - 8 y Condición necesaria parcial de f respecto de x = 0 = 3 x^2 y + 24 x parcial de f respecto de y = 0 = x^3 - 8 Resolvemos el sistema x^3 = 8, de donde x = 2 sustituyo en la primera ecuación 0 = 12 y + 48 ; y = -4 El punto es el (2, -4) Condición suficiente: Construiremos el hessiano con las segundas derivadas: Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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parcial segunda de f respecto de x dos veces = 6 x y + 24 = -24 (en el punto) parcial segunda de f respecto de x respecto de y = 3 x^2 = 12 (en el punto) parcial segunda de f respecto de y dos veces = 0 = 0 (en el punto) El hessiano es .......(-24...12) H =. (12.....0) que tiene valores propios positivos y negativos: es un PUNTO SILLA Pregunta 02. Resuelta el 09/11/2012 Encuentre y clasifique los puntos críticos de las siguientes funciones a) f (x, y) = x^3y*12x^2-8y Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Son cinco ejercicios bastante pesados para responderlos en una sola pregunta. Te voy a resolver uno y si quieres plantea el resto como preguntas independientes y te las resuelvo poco a poco. Te resuelvo el a) y ademas que te te has equivocado y lo que pretendías escribir es: (+ en vez de *) a) f (x,y) = x^3 y + 12 x^2 - 8 y Condición necesaria parcial de f respecto de x = 0 = 3 x^2 y + 24 x parcial de f respecto de y = 0 = x^3 - 8 Resolvemos el sistema x^3 = 8, de donde x = 2 sustituyo en la primera ecuación 0 = 12 y + 48 ; y = -4 El punto es el (2, -4) Condición suficiente: Construiremos el hessiano con las segundas derivadas: parcial segunda de f respecto de x dos veces = 6 x y + 24 = -24 (en el punto) parcial segunda de f respecto de x respecto de y = 3 x^2 = 12 (en el punto) parcial segunda de f respecto de y dos veces = 0 = 0 (en el punto) El hessiano es .......(-24...12) H =. (12.....0) que tiene valores propios positivos y negativos: es un PUNTO SILLA Pregunta 03. Resuelta el 09/11/2012 Encuentre y clasifique los puntos críticos de la siguiente función f (x, y) = x^2 + y^2 + 1/x^2y^2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Condición necesaria: parcial de f respecto de x = 0 = 2 x - 2 / (x^3 · y^2) parcial de f respecto de y = 0 = 2 y - 2 / (x^2 · y^3) Resuelves el sistema NO LINEAL (despejas de una y sustituyes en la otra) Se obtienen los puntos A (1, 1), B(-1,1), C(1, -1) y D (-1, -1) Condición suficiente. Construye el Hessiano con las segundas derivadas. Te lo termino mañana por la mañana que son las 2:30 de la madrugada ;-) y no me tengo. Vale, continúo: Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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f '' x^2 = 2 + 6 / (x^4 y^2) f '' xy = 4 / (x^3 y^3) f '' y^2 = 2 + 6 / (x^2 y^4) Te lo hago solo en el punto A (en el resto es igual) Sustituyes x=y=1. El hessiano quedará .......(8...4) H = (4...8) si obtienes los valores propios (¿sabes hacerlo?) se obtienen dos valores positivos , luego es un MINIMO RELATIVO. También tenemos un mínimo relativo en D (-1, -1), ¿sabrías decirme por qué? En el punto B y C x=1 y=-1 (o x=-1 y=1) .......(8...-4) H = (-4...8) se obtienen los mismos valores propios, también serán mínimos relativos. Pregunta 04. Resuelta el 10/11/2012 Encuentre los máximos y mínimos de f (x, y) = 48 x y - 32 x^3 - 24 y^2 en el rectángulo 0 si x = 0, 4 = -4 B + 4 C con C = 4 ; 4 = -4B + 16, de donde B = 3 >>> si x = 1, 5 = -3 (A + B) + 5 C 5 = - 3 A - 9 + 20, de donde A = 2 >>> Sí está bien si la descomposición en fracciones fuera: (6x^2-5x+4) / ((x^2+4)(x-4)) = (B x + C) / (x^2 + 4) + A / (x-4) Espero te sirva mi respuesta y la valores, no dejándola que quede en votación. Pregunta 20. Resuelta el 02/02/2013 a las 18:36 (hora española). Respuesta número 1660 integral [x^4+x^3+6x^2+2x+16]/[(x^2-4)^2(x^2-2x+2… Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Esta incompleto el denominador. no sé si hay (aun) mas términos. Supongamos que ya no hay mas. Como el grado del numerador es menor que el del denominador, sacamos las raíces del denominador y descomponemos en fracciones simples. Las raíces son x = 2 (doble) , x = -2 (doble) y las otras dos complejas conjugadas. Descompones de la forma: [x^4+x^3+6x^2+2x+16] / [(x^2-4)^2(x^2-2x+2)] = A / (x-2)^2 + B / (x-2) + C (x+2)^2 + D / (x+2) + (E x + F) / (x^2-2x+2) el ultimo sumando es por el factor cuadrático irreducible (vamos, las raíces complejas) una vez sacado común denominador, obtienes los coeficientes desarrollando los polinomios e igualando coeficientes a ambos lados o dando valores "astutos" (y otros cualesquiera). La integrales que resultan son inmediatas. Por ejemplo: integral [A / (x-2)^2] dx = - A / (x-2) integral [B / (x-2)] dx = B ln (x-2) las otras dos siguientes son iguales a estas que acabo de poner y la ultima: primero buscas en el numerador la derivada del denominador para tener un neperiano y con lo que te quede, buscas una arcotangente.

Integrales trigonométricas Pregunta 21. Resuelta el 23/10/2012 ¿Que identidad es equivalente a cos^2(2x)? Necesito la identidad para usarla en calculo integral. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

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-Si tienes que hacer la integral de Cos^2(2x), deberás sustituirla por ( 1 + cos (4x) ) / 2 integral de Cos^2(2x) dx = integral de ( 1 + cos (4x) ) / 2 dx = (1/2) [x + ( sen (4x) ) /4] + C -Si tienes que hacer la integral de Cos^3(2x), lo descompones como producto de Cos^2(2x) · Cos(2x) y entonces el Cos^2(2x) lo sustituyes por 1 - sen^2(2x) integral de Cos^3(2x) dx = integral de Cos^2(2x) · Cos(2x) dx = integral de (1 - sen^2(2x) ) cos (2x) dx = integral de cos 2x - sen^2(2x) cos (2x) dx = (sen 2x)/2 - (1/6) sen^3 (2x) + C Pregunta 22. Resuelta el 10/11/2012 Ayuda con esta integral: ( dx \ ---------------------------------… _) [4-cos^2(x)] [2-csc^2(x)] Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Vaya, interesante forma de representar la integral. Te ayudo. Como el integrando es "par" en seno y coseno de x , hacemos el cambio: tan x = t con este cambio, sen x = t / raíz (1 + t^2) cos x = 1/ raíz (1 + t^2) d x = dt / (1 + t^2) Sustituyes en la integral y simplificas. Te queda una integral racional (cociente de dos polinomios), mas sencilla. A mi me queda (si no me he colado) integral de { t^2 / [ (3 + 4 t^2) (t+1) (t-1)] } d t la descompones en fracciones simples (de la forma (A t + B) / (3 + 4 t^2) + C / (t+1) + D / (t-1) integras y deshaces el cambio. Creo que no tendrás problemas en terminar tú solo el ejercicio. Si lo necesitas, me dices. Pregunta 23. Resuelta el 15/11/2012 ∫ 1 / (sen^2 x · cos^2 x) d x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Al ser el integrando par en seno y coseno, hacemos el cambio: tan x = t con este cambio, sen x = t / raíz (1 + t^2) cos x = 1 / raíz (1 + t^2) d x = dt / (1 + t^2) sustituye y queda, después de simplificar: integral de ( (1 + t^2) / t^2 ) dt = integral de (t^(-2) + 1) dt = -t^(-1) + t = t - 1/t deshaciendo el cambio: I = tg x - ctg x + C espero haberte ayudado. Pregunta 24. Resuelta el 06/11/2012 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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¿Cuál es la integral de d x / ( 1 + tan x) ? por el método de sustitución de medio angulo? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Haces el cambio tan x = t, con este cambio dx = dx = dt / (1 + t^2) Sustituye y queda: integral de 1 / [(1 + t) · (1 + t^2)] dt Esta es un cociente de dos polinomios y debes descomponerla en fracciones simples. 1 / [(1 + t) · (1 + t^2)] = A / (1 + t) + (B t + C) / (1 + t^2) Sacando común denominador y resolviendo , se obtiene: A = 1/2 , B = -1/2 , C = 1/2 por lo que queda: integral de (1/2) / (1 + t) - (1/2) t / (1 + t^2) + (1/2) (1 + t^2) = (1/2) ln (1 + t) - (1/4) ln (1 + t^2) + (1/2) arc tg t + C y deshaz el cambio tan x = t I = (1/2) ln (1 + tan x) - (1/4) ln (1 + (tan x)^2) + (1/2) arc tg tan x + C I = (1/2) ln (1 + tan x) - (1/4) ln (1 + (tan x)^2) + (1/2) x + C Pregunta 25. Resuelta el 09/11/2012 ¿Ayuda a resolver una integral? ∫ (1/ (cos x – sen x)) dx Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Cambio: tg (x/2) = t . Con este cambio, sen x = 2 t / (1 + t^2) cos x = (1 - t^2) / (1 + t^2) dx = 2 dt / (1 + t^2) sustituye en la integral y simplifica. me queda: integral (2 · dt / 1 - t^2 - 2) que es una integral racional sencilla, sacas las raíces del denominador y descompones en fracciones simples. Luego deshaz el cambio. Si tienes pegas, dime y te la resuelvo. Pregunta 26. Resuelta el 06/02/2013 a las 15:53 (hora española). Respuesta número 1745 Integral de sen^4 x dx Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal (sen x)^4 = [(sen x)^2]^2 sustituyes (sen x)^2 por [1 - cos (2x)] / 2 por lo que [(sen x)^2]^2 = ([1 - cos (2x)] / 2)^2 = (1/4) · (1 - 2 cos (2 x) + cos^2 (2x)) ahora sustituyes (cos (2x))^2 por [1 + cos (4 x)] / 2 por lo que (sen x)^4 = (1/4) · [1 - 2 cos (2 x) + [1 + cos (4 x)] / 2 ] (sen x)^4 = (1/4) · [1 - 2 cos (2 x) + (1/2) + (1/2) · cos (4 x)] (sen x)^4 = (1/4) · [(3/2) - 2 cos (2 x) + (1/2) · cos (4 x)] y por fin integras integral sen^4 x dx = (1/4) · [ 3 x / 2 - sen (2x) + (1/8) sen (4x)] + C Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Integrales de funciones irracionales Pregunta 27. Resuelta en octubre 2012 ¿Integral de raíz (9 - x^2)? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal ¿Nadie ve que dice raíz? Veamos haz el cambio x = 3 sen t d x = 3 cos t d t raíz (9 - x^2) = raíz (9 - (3 sen t)^2 ) = 3 cos t luego queda integral de ( 3 cos t · 3 cos t dt) = 9 integral de (cos t)^2 dt sustituyen (cos t)^2 por (1 + cos 2 t) / 2 queda I = (9/2) integral (1 + cos 2 t) dt = (9/2) · (t + (1/2) sen (2t) ) + C deshaz el cambio x = 3 sen t, esto es t = arc sen (x/3) y ya está Pregunta 28. Resuelta el 11/11/2012 ¿Como resuelvo integral (16)/(x^3*raíz de (x^2+4)? por el método de sustitución Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Pon paréntesis. Me imagino que quieres decir: ∫ (16) / [ (x^3) *raíz de (x^2+4) ] Es una integral irracional BINÓMICA. Hacemos el cambio x^2 + 4 = t^2 diferenciando 2 x dx = 2 t dt ; x dx = t d t Multiplica por x el numerador y el denominador del integrando ∫(16 x dx) / [ (x^4) *raíz de (x^2+4) ] x^4 = (t^2 - 4)^2 Sustituye en la integral y queda una racional (cociente de polinomios) mucho mas sencilla. ∫(16 t d t) / [ (t^2 - 4)^2 * t] = = 16 ∫ (d t) / [ (t+2)^2 · (t-2)^2] Esta integral es fácil, descompones en fracciones simples e integral. Luego deshaz el cambio Pregunta 29. Resuelta en octubre de 2012 ∫ raíz (x^2 +x +1) dx noten que toda la expresión esta dentro de la raíz, Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Antes de nada, la otra respuesta dada no es correcta. Yo te sugiero que resuelvas la integral por el "método alemán". Si multiplicas por la raíz numerador y denominador tienes: ∫ (x^2 + x + 1/ / √(x^2 +x +1) dx integral de polinomio / raíz cuadrada, es un caso típico de este método. Dime si te suena el método (quizá no lo hayas estudiado) y si quieres te lo explico. Otra forma: haz el cambio: √ (x^2 +x +1) = x + t Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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eleva al cuadrado, x^2 +x +1 = x^2 + 2 x t + t^2 y despejas x (para luego calcular dx), me queda x = (t^2 -1) / (1 - 2 t) calcula dx (diferenciando el cociente), sustituye en la integral y ya te queda una mas sencilla (cociente de polinomios).

Integrales no resolubles Pregunta 30. Resuelta el 11/11/2012 ¿necesito que me ayuden a desarrollar esta integral? F(x) = (31.25%)( 2^(48/x)) + 5.625 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal ¿Qué es el % que tienes en medio? ¿Integral o quizás derivada?, porque si es integral, no es en absoluto sencilla. Por no decir que no sabrías hacerla (sale una exponencial integral). Pero si quieres introduce tu función en "Mathematica" on-line: http://integrals.wolfram.com/index.jsp y tendrás el resultado. Pero ya me dirás lo del "%" Pregunta 31. Resuelta el 01/12/2012 La integral es dt/(1+t^3) [0,g(x)] donde g(x) es integral de 1+sen(t^2) desde [0, cos(x)] el resultado se supone que sea -1 pero no le hayo forma de siquiera sacar la g(x) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Me parece muy complicada. La segunda integral, la de 1 + sen (x^2) es la integral de Fresnel que aparece en óptica (en la teoría de difracción). http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de… Comprueba si has copiado bien ambas integrales. ¿En qué nivel estás? Supongo que si te piden la integral anterior ya estás en la universidad. Ya me dirás. Estoy intrigado.

Integrales varias Pregunta 32. Resuelta el 11/11/2012 ¿Solución de integrales? 1- ∫ 3 x raíz cuadrada (1-2 x^2) dx 2- ∫ sen^3 dx 3- ∫ arctgx dx 4- ∫ (x^4-x^3-x-1)/(x^2-x) dx Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal 1. es inmediata: (-3/4) · ( (1 - 2x^2)^(3/2) ) / (3/2) + C = -1/2 · (1 - 2x^2)^(3/2) + C 2. descompón el (sen x)^3 = (sen x)^2 · (sen x) = (1 - (cos x)^2) sen x = sen x - (sen x)·(cos x)^2 e integras, son inmediatas: Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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I = - cos x - ( (cos x)^3 ) / 3 + C 3. Resuelves por partes eligiendo u = arctg x; du = dx / (1 + x^2) dv = dv ; v = x I = x · arc tg x - integral de x dx / (1 + x^2) I = x · arc tg x - (1/2) ln (1 + x^2) 4. Como el grado del numerador es mayor que el del denominador haces el cociente y aplicas la regla D / d = C + R / d D / d = x^2 + (-x-1) / (x^2-x) primera integral (la de x^2): (x^3) /3 segunda integral, la de - (x+1) / (x·(x-1)) la descompones en fracciones simples como - (x+1) / (x·(x-1)) = A / x + B / (x-1) sacar A y B (dando a x los valores 0 y 1), sale A = 1, B =-2 por lo que la segunda integral que la integral de 1/x - 2/(x-1); esto es ln x - 2 ln (x-1) En total I = (x^3) /3 + ln x - 2 ln (x-1) + C los neperianos los pones en valor absoluto o no (según lo que haga tu profesor)

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Tema 21. Integrales definidas b

Regla de Barrow:

∫ f ( x) d x=[ F (x )]ba= F (b)−F (a) a

b

b

Cálculo de áreas. A=∫ f ( x) dx . Si hay dos curvas: A=∫ ( f ( x )−g (x)) dx siendo f (x) la curva a

a

que está por encima y g (x) la que está por debajo. b 2 Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución. V =∫ π y d x a b

2 Cálculo de superficies de cuerpos de revolución. S=∫ 2 π y √ 1+( y ' ) d x a

Pregunta 01. Resuelta el 08/11/2012 Halle F (4) si la integral entre 0 y x de F (t) d t = x cos (pi x) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal F (x) es la derivada de x cos (pi x) F (x) = ( x cos (pi x) ) ' = cos (pi x) - pi x sen (pi x) F (4) = cos (4 pi) - pi · 4 · sen (pi 4) = 1 Pregunta 02. Resuelta el 06/12/2012 Integral entre x = 0 a x = 4 de ((xz/(raíz(16-x^2)))+x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Tienes una "z" en la integral. la entiendo como una constante. Necesitas saber que integral de u ' · u^(n) d x = u^(n+1) / (n+1) + C siendo C una constante integral (xz/(raíz(16-x^2))) dx + integral x d x = z · integral (x · (16 - x^2)^(-1/2) dx ) + x^2 / 2 = -z/2 · integral (-2 x · (16 - x^2)^(-1/2) dx ) + x^2 / 2 = -z/2 · (16 - x^2)^(1/2) / (1/2) + x^2 / 2 = -z · raíz (16 - x^2) + x^2 / 2 entre 0 y 4 . sustituyes el valor que toma la función en el límite superior menos el valor en el limite inferior (regla de Barrow) I = [- z · raíz (16 - 4^2) + 4^2 / 2 ] - [-z · raíz (16 - 0^2) + 0^2 / 2] I=8+z·4=8+4·z Teorema fundamental del cálculo integral Pregunta 03. Resuelta el 12/01/2013 a las 19:53 h (hora española). Mi respuesta número 1468 int (0, x) t f (t) d t = x + x^2 + 1 Encontrar f (x). int(0, x) es la integral definida desde 0 a x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

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Utiliza el teorema fundamental del calculo integral. Vamos, que derivas a ambos lados de la ecuación. La derivada del lado izquierdo, de la integral es: x · f (x) La derivada del lado derecho, bien fácil: 1 + 2 x así pues: x f (x) = 1 + 2 x de donde f (x) = 1/x + 2 Información adicional. Entiendo lo del teorema fundamental y derivar a ambos lados, pero el problema es que si t*f(t)=1+2t, al integrarlo entre 0 y x, me da x+x^2, y me falta el uno!!, porque siendo una integral definida no hay constante, por lo que debería darme el uno al integrar... lo cual estoy encontrando imposible... por favor decirme si creen que la pregunta está mala!!! porque eso creo yo!! Edito mi respuesta a las 09:54 del 14/01/2013 para contestar a la Información adicional. Si tienes x f (x) = 1 + 2 x para despejar f (x) no hace falta integrar, simplemente despeja f (x). Pasas la x dividiendo y ya está. f (x) (1+2x)/x = 1 / x + 2 Cálculo de áreas Pregunta 04. Resuelta en octubre de 2012 Calcular el área de la región acotada por el eje y, y la curva x = y^2 (1 - y) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal O lo que es lo mismo: Calcular el área de la región acotada por el eje x, y la curva y=x^2 (1-x)? y = x^2 - x^3, que corta al eje x en x = 0 y x =1 , que sera los limites de integración Área = integral entre 0 y 1 de (x^2 - x^3) dx = (x^3)/3 - (x^4)/4 entre 0 y 1 = 1/3 - 1/4 = 1/12 u^2 Pregunta 05. Resuelta el 27/10/2012 Cuál es el valor del área bajo la curva de la función f (x) = x^2 + 3 x + 1 comprendida en el intervalo (-1, 2) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Representa la función para ver donde corta al eje x (es importante). Usa Google, introduce en el buscador y=x^2+3*x+1 y Google te hace la gráfica. La gráfica corta al eje x (resuelve la ecuación) en los puntos -2,62 y -0,38 Vas a tener que descomponer la integral definida en suma de dos: la primera de -1 a -0,38 y la segunda de -0,38 a 2 Área = integral de -1 a -0,38 de (0 - (x^2+3*x+1)) dx + integral de -0,38 a 2 de (x^2+3*x+1) dx En la primera integral, la curva que esta por encima es la y=0 y la que esta por debajo la parábola; en la segunda la parábola esta por encima. Área = - x^3 / 3 - 3 x^2 / 2 - x (entre -1 y -0,38) + x^3 / 3 + 3 x^2 / 2 + x (entre -0,38 y 2) Operas (sustituyendo la función primitiva primero en el limite superior y luego en el inferior) y obtienes el resultado.

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Pregunta 06. Resuelta el 09/11/2012 Hallar el área entre las funciones y^2 = 4x e y = x^2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Puntos de intersección entre las curvas: (x^2)^2 = 4 x de donde x^4 = 4 x x = 0 y x = raíz cubica de 4 (vaya numerito...) Área = integral entre 0 y raíz cubica de 4 de (raíz (4x) - x^2) dx pues la curva que está por encima es y = raíz (4x) y la que esta por debajo y = x^2 = integral entre 0 y raíz cubica de 4 de (2 · x^(1/2) - x^2) dx = = 2 [x^(3/2)] / (3/2) - x^3 / 3 entre 0 y raíz cubica de 4 = 4 / 3 u^2 Pregunta 07. Resuelta el 16/12/2012 Calcular el área de la región limitada por la curva y = x^2 + 2 x + 3, el eje x y las rectas x = -1 y x = 1. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal área = integral de -1 a 1 de (x^2 + 2 x + 3) x es una función impar por lo que la integral entre -1 y 1 de 2 x dx es 0 x^2 + 3 es una función par por lo que integral entre -1 y 1 de x^2 + 3 dx es 2 · integral de 0 a 1 de x^2 + 3 x dx Área = 2 · integral de 0 a 1 (x^2 + 3) dx = x^3 / 3 + 3 x de 0 a 1 = 2 · (1^3 / 3 + 3 · 1) = 20 / 3 Pregunta 07. Resuelta el 30/12/2012 ¿cómo se calcula el área cerrada por las dos funciones siguientes: f (x) = (7/8) x + 7/2 y g (x) = x^2 + (7/8) x - 25/2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El área limitada por dos funciones entre a y b es la integral de la curva que esta por encima - la curva que esta por debajo. La primera es una recta de pendiente positiva La segunda es una parábola en forma de "U" Es claro que la recta está por encima de la parábola. Calcula los puntos de intersección resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones: (7/8)x + 7/2 = x^2 + (7/8)x - 25/2 de donde x^2 = 16, de donde x = - 4 y x = 4. Estos serán los limites de integración Área = integral de - 4 a 4 de ( (7/8)x + 7/2) - (x^2 + (7/8)x - 25/2)) Área = integral de - 4 a 4 de (16 - x^2) para simplificar la integral, al ser el integrando par, es dos veces la integral de 0 a 4 (o sino haz la integral con los limites iniciales -4 y 4) Área = 2 integral de 0 a 4 de (16 -x^2) Área = 2 (16 x - x^3 / 3) de 0 a 4 Área = 2 (16 · 4 - 4^3 / 3) = 256/3 u^2 Nota: si una función es par, es decir si f (-x) =f (x), la integral de - "a" a "a" de f (x) dx = 2 integral de 0 a "a" de f (x) dx

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Pregunta 08. Resuelta el 30/12/2012 Si tenemos la función f(x) = -x^2 -x+2 y el eje de abscisas en el intervalo [-1,2], ¿qué área daría? (3/2)*u^2 -(3/2)*u^2 o (31/6)*u^2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Ten cuidado. Representa la función. Puedes usar Google. Para ello introduce en el buscador y = -x^2 -x+2 y Google te hace la gráfica. Podrás observar que la curva corta al eje x en dos puntos (los ceros de la función), el x = -2 y x = 1. ¿Qué significa ésto? Que si planteas el área "sin pensar" como la integral definida entre -1 y 2 de la función -x^2 -x+2 estaría mal. Recuerda que el área limitada por dos funciones entre a y b es la integral de la curva que esta por encima - la curva que esta por debajo. Hay un primer tramo donde la curva que está por encima es la parábola y la que esta por debajo la recta y = 0 (des x = -1 a x = 1). Luego hay otro tramo donde la que esta por encima es la recta y = 0 y la que esta por debajo , la parábola. Por lo que debes plantear: Área = integral de -1 a 1 de (-x^2 -x+2 - 0) + integral de 1 a 2 de (0 - (-x^2 -x+2)) Es decir A = integral de -1 a 1 de (-x^2 -x+2) + integral de 1 a 2 de x^2 + x - 2 A = 2 (- x^3 / 3 + 2 x) de 0 a 1 + x^3 / 3 + x^2 / 2 - 2 x de 1 a 2 A = 2 (2 - 1/3) + 8/3 + 2 - 4 - (1/3 + 1/2 - 2) = 31 / 6 u^2 Recuerda lo que te respondí en otra pregunta tuya acerca de la integral de una función par entre algo y algo: si una función es par, es decir si f (-x) =f (x), la integral de - "a" a "a" de f (x) dx = 2 integral de 0 a "a" de f (x) dx Feliz Año Nuevo desde Palencia (España) El área como integral doble es muy sencilla: simplemente: A = integral doble de dx d y. Ahora bien para resolver fácilmente dicha integral, pasamos a polares "generalizadas", es decir hacemos el cambio "astuto" para el caso de la elipse x = a · r · cos theta y = b · r · sen theta El jacobiano de la transformación es J = a · b · r y los limites de integración, r de 0 a 1 y theta de 0 a 2 pi A = integral doble de a b r dr d theta = a · b · integral de 0 a 2 pi d theta · integral de 0 a 1 de r d r A = a · b · 2 · pi · 1^2 / 2 = pi · a · b Pregunta 09. Resuelta el 12/01/2013 a las 21:25 h (hora española). Mi respuesta número 1469 ¿Calcular el área de esta función? f(x) = (9/4)x + (9/2) g(x) = x^2 + (9/4)x + (1/2) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Calculas el punto de intersección de ambas curvas, resolviendo el sistema: (9/4)x + (9/2) = x^2 + (9/4)x + (1/2) x^2 = 4 x = -2 y x = 2 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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área = integral entre -2 y 2 de la curva que esta por encima (la recta) - la que esta por debajo (la parábola) A = integral de -2 a 2 de [(9/4)x + (9/2) - x^2 + (9/4)x + (1/2)] dx A = integral de -2 a 2 de [4 - x^2] d x al ser el integrando par, A = 2 integral de 0 a 2 de [4 - x^2] d x A = 2 · (4 x - x^3/3) de 0 a 2 A = 2 (8 - 8/3) = 32 / 2 u^2 Pregunta 10. Resuelta el 02/02/2013 a las 23:29 (hora española). Respuesta número 1676 Dado f(x) = a X (1-x^2) y g(x)= (x^2 -1)/a siendo a>0. 1) Determinar la expresión que nos da el área del recinto limitado por las dos funciones en función de a. 2) Calcular el valor del parámetro a de modo que la superficie sea mínima. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Voy a entender que "X" significa multiplicado por, es decir que f (x) = a (1 - x^2) que al ser a>0 es una parábola "boca abajo" g (x) = (x^2 - 1) / a que es una parábola "boca arriba", en forma de un a) Puntos de corte de ambas curvas a (1 - x^2) = (x^2 - 1) / a de donde x = -1 y x = 1 Área = integral de -1 a 1 de [a (1-x^2) - (x^2 - 1) / a] dx pues la curva que esta por encima es a (1-x^2) y la que esta por debajo es (x^2 - 1) / a Como la función integrando es par, podemos escribir el área como Área = 2 · integral de 0 a 1 de [a (1-x^2) - (x^2 - 1) / a] dx Área = 2 · [a x - a x^3 / 3 - x^3 / (3a) + x/a] entre 0 y 1 Área = 2 · [a - a/3 - 1/(3a) + 1/a] = (4/3) · (a + 1/a) b) Para que sea mínima d A / d a = 0 es decir: (4/3) · (1 - 1/a^2) = 0 de donde a = -1 y a = 1 , pero como decían que a era positivo, entonces, a = 1 podemos comprobar que es mínimo haciendo la segunda derivada, viendo que es mayor que cero, por lo tanto, mínima. El valor del área es A = (4/3) · (1+1/2) = 2 Longitudes de arcos Pregunta 11. Resuelta en octubre 2012 Hallar la longitud del arco de la circunferencia de ecuación y = 2/3 raíz cuadrada ((x-1)^3) y comprendido entre los puntos de abscisa x=1 y x=2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La longitud del arco de la curva y = f (x) entre a y b es la integral entre a y b de la raíz cuadrada de ( 1 + ( y' )^2 ) diferencial de x donde y es la función: y = 2/3 raíz cuadrada((x-1)^3) y ' será (x-1)^(1/2) de modo que 1 + (y')^2 es 1 + x - 1 = x Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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hay que hacer la integral entre 1 y 2 de raíz cuadrada de x: x^(1/2) dicha integral es ( x^(3/2) ) / (3/2) = (2/3) · x^(3/2) Aplicas la regla de Barrow entre 1 y 2 sale (2/3) (2^(3/2) - 1) Pregunta 12. Resuelta el 30/12/2012 No logro entender la solución a este ejercicio.

Concretamente lo que no entiendo es como pasa de raíz [ 1 + [f ' (x)]²] a raíz [ (x' )² + (y' )² ] y de donde salen el seno y el coseno de (x' )² e (y' )² Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Vas a expresar la fórmula de la longitud del arco en paramétricas. Vas a escribir x e y en función de t x = x (t) y = y (t) de modo que el integrando es raíz [1 + (y' )^2] dx donde y ' = dy / d x es decir raíz [1 + (dy / dx)^2 ] dx = raíz [(dx)^2 + (dy)^2]/ (dx) · (dx) raíz [ (dx)^2 + (dy)^2] Bien, si x = x (t), d x = x ' (t) d t del mismo modo, si y = y (t), dy = y ' (t) dt por lo que el integrando quedará: raíz [ (x ' dt)^2 + (y ' dt)^2] = raíz [( x' )^2 + (y ')^2] dt ¿Ves?La longitud del arco quedará: L = integral de raíz [(x ' )^2 + (y ' )^2] dt Para tu segunda, duda, para resolver la integral resultante vas a hacer el cambio x = a · sen t y = b · cos t de modo que x ' = a cos t y ' = b sen t Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Hola Mozo (fisicas), Has recibido un mensaje de otro usuario De: Manuel Asunto: Hola! Mensaje: Buenas noches Mozo, acabo de ver la respuesta a mi pregunta pero no me ha quedado claro porque se hacen esos cambios que me has comentado. ¿Me lo podrías detallar un poco mas? Muchísimas gracias de verdad. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Edito la respuesta para contestar a tu mensaje privado: Puedes resolver una integral como la anterior en cartesianas, exprensándolo todo en función de x; o en paramétricas, expresando x e y en función de un parámetro t. Si la curva es una circunferencia, el cambio a paramétricas que se hace es: x = R cos t y = R sen t donde t es el parámetro, el ángulo, en este caso que variará (para recorrer toda la circunferencia) de 0 a 2 pi. La ecuación de la circunferencia en cartesianas es : x^2 + y^2 = R^2 y si sustituyen la x e y por lo que te he dicho, ves que verifica la ecuación. Es un cambio típico, que es así y "te lo tienes que aprender". Si la curva es una elipse de semiejes a y b y ecuación cartesiana x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1, el cambio es muy similar: x = a cos t y = b sen t y puedes de nuevo comprobar que verifica la ecuación de la elipse. Y t, de nuevo, variará de 0 a 2 pi (para recorrer toda la elipse) con el cambio : x ' = - a sen t y ' = b cos t por lo que ( x ' )^2 + ( y ' )^2 =a^2 sen^2 t + b^2 cos^2 t La solución que te da según va desarrollando la integral no está bien, pues no ha calculado las derivadas x ' e y ', simplemente ha puesto la x e y (al cuadrado). Pregunta 13. Resuelta el 07/01/2013. Respuesta número 1451 Halle la longitud de arco de la hélice circular con ecuación vectorial r (t) = cos t i + sin t j + t k dado el punto (1, 0, 0) y (1, 0, 2pi) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La longitud del arco (entre a y b) en paramétricas viene dada por la expresión: L = integral de a a b de raíz [ (x ' )^2 + (y ' )^2 + (z ' )^2] d t siendo x ' , y ' y z ' las derivadas de x, y y z respecto a t. En nuestro caso: x = cos t y = sen t z=t x ' = - sen t Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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y ' = cos t z'=1 (x ' )^2 + (y ' )^2 + (z ' )^2 = (-sen t)^2 + (cos t)^2 + 1 = 2 de modo que la longitud es: L = integral de 0 a 2 pi de raíz 2 d t = raíz (2) · 2 · pi L = 2 · raíz (2) · pi Pregunta 14. Resuelta el 23/01/2013 a las 17:38 h (hora española). Respuesta número 1578 ¿Cómo se halla la longitud de una hélice cilíndrica?. Conociendo el radio de la hélice, el número de pasos y el ángulo de avance, ¿cuál es la expresión matemática de la longitud de una hélice? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal La longitud de una curva en paramétricas es L = integral de to a t1 de raíz [ (x ' )^2 + (y ' )^2 + (z' )^2] d t donde x', y' y z' son las derivadas de x, y, z respecto a t. Una hélice circular se parametriza se manera muy sencilla de la forma x = R cos (w t) y = R sen (w t) z=ht siendo t el parámetro que variara de 0 a 2 pi (si no incluyéramos la w) , R el radio del cilindro al que está "arrollada" , w el angulo girado por unidad de tiempo y h el avance a lo largo del eje z (por unidad de tiempo). Deriva: x ' = - R w sen w t y ' = R w cos w t z'=h (x ' )^2 + (y ' )^2 + (z' )^2 = = R^2 · w^2 sen^2 w t + R^2 · w^2 cos^2 w t + h^2 = R^2 · w^2 + h^2 Longitud = integral de raíz (R^2 · w^2 + h^2) dt L = raíz (R^2 · w^2 + h^2) · t donde t = theta / w siendo theta el "angulo de avance". L = integral de 0 a 2pi Cálculo de volúmenes Pregunta 15. Resuelta el 11/11/2012 Hallar el volumen de la circunferencia con ecuación x^2 + y^2 = 4 que gira alrededor del x = 3, yo se que de este giro se produce un toro, mi duda es porqué el radio es igual a (3 - x). ¿Alguien me podría explicar? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Porque si "x" es la coordenada x de un punto del círculo y la hacemos girar en torno a la recta x = 3, la distancia del punto "x" a la recta x = 3, es 3 - x. Haz el dibujo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen y de la recta x = 3 situada a su derecha. Verás que la distancia de un punto x de la circunferencia a la recta anterior es 3 - x Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Pregunta 16. Resuelta el 11/11/2012 El volumen del solido generado al girar alrededor del eje X, la superficie limitada por las gráficas x = y^2 y y = x^2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El volumen de un cuerpo de revolución es V = integral entre 0 y a de (pi · y^2 ) dx En nuestro caso tenemos dos curvas, por encima está la y^2=x y por debajo la y=x^2 Se cortan en los puntos x=0 y x=1 Volumen = pi integral de 0 a 1 de (x - x^4) dx = x^2 / 2- x^5 / 5 entre 0 y 1 = 1/2 - 1/5 = 3/10 u^3 Pregunta 17. Resuelta el 17/11/2012 ¿Una circunferencia de radio r gira en alrededor de una de sus tangentes. Hallar el volumen del sólido generado? Ayuda! por favor según yo es 2 Pi r^3 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Es como si tenemos la circunferencia de centro el punto (0, R), de ecuación x^2 + (y - R)^2 = R^2 y la hacemos girar en torno al eje x. Nos piden el volumen del cuerpo de revolución generado. El volumen es: integral (de -R a R de pi · y^2) dx Despejamos "y" de la ecuación de la circunferencia descentrada: (y-R)^2 = R^2 - x^2 y = R +- raíz (R^2 - x^2) Tomamos el de delante de la raíz (curva encima del eje x) e integramos de 0 a R (calculamos así el volumen de "media" esfera, por lo que multiplicamos por 2) ** Volumen del cuerpo de revolución generado por la mitad superior de la esfera, es decir, la curva: y = R + raíz (R^2 - x^2) y^2 = [ R + raíz (R^2 - x^2) ]^2 y^2 = R^2 + R^2 - x^2 + 2 R raíz (R^2 - x^2) y^2 = 2 R^2 - x^2 + 2 R raíz (R^2 - x^2) luego V = 2 integral de 0 a R de [pi · [ 2 R^2 - x^2 + 2 R raíz (R^2 - x^2) ] ] V = 2 pi integral de 0 a R de [ 2 R^2 - x^2 + 2 R raíz (R^2 - x^2) ] V = 2 pi [2 R^2 · R - R^3 / 3 + pi R^3 / 2] Ya he hecho las integrales por separado, las dos primeras son inmediatas y para la ultima (la de la raíz), haz el cambio x = R sen t Me sale, sino me he colado en operaciones, V1 = pi R^3 (10 + 3 pi) / 3 ** Volumen del cuerpo de revolución generado por la mitad inferior de la esfera, es decir, la curva: y = R - raíz (R^2 - x^2) y^2 = [ R - raíz (R^2 - x^2) ]^2 y^2 = R^2 + R^2 - x^2 - 2 R raíz (R^2 - x^2) y^2 = 2 R^2 - x^2 - 2 R raíz (R^2 - x^2) luego V = 2 integral de 0 a R de [pi · [ 2 R^2 - x^2 - 2 R raíz (R^2 - x^2) ] ] V = 2 pi integral de 0 a R de [ 2 R^2 - x^2 - 2 R raíz (R^2 - x^2) ] V2 = 2 pi [2 R^2 · R - R^3 / 3 - pi R^3 / 2] Ya he hecho las integrales por separado, las dos primeras son inmediatas y para la ultima (la de la Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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raíz), haz el cambio x = R sen t Me sale, sino me he colado en operaciones, V1 = pi R^3 (10 - 3 pi) / 3 ** Restamos ambos volúmenes: V = V1 - V2 = [ V1 = pi R^3 (10 + 3 pi) / 3 ] - [ V1 = pi R^3 (10 - 3 pi) / 3 ] Me sale, sino me he colado en operaciones, V = 2 pi^2 R^3 Pregunta 18. Resuelta el 17/11/2012 ¿ayuda con esta integral por favor (2πx(2-?x),x,0,4)? Tengo una duda si yo la resuelvo me da 8.8? pero al resolverla por http://www.wolframalpha.com/ el resultado es 16π/3 y la resuelvo con el programa Maple 15 y el resultado es 32π/5 No en tiendo por que pasa esto. Esta integral sale de hallar el volumen de un solido en revolución, acotada por la región comprendida por y=√x, y=2, x=0 gira al rededor de el eje Y ¿si estará bien formulada la integral?. Lo estoy calculando por casquetes o anillos gracias y si me pueden ayudar con el método de discos les agradezco.... Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal El resultado correcto de la integral es 32 · pi / 5 I = integral de 0 a 4 de (2 pi x (2 - raíz(x)) dx I = 2 pi integral de 0 a 4 de (2 x - x^(3/2)) dx I = 2 pi · (x^2 - (2/5) · x^(5/2)) de 0 a 4 I = 2 pi (4^2 - (2/5) · 2^5) = 32 pi / 5 Veamos cómo calculamos el volumen que pides. Si te fijas el girar la curva y = raíz(x) en torno al eje y limitada por x=0 e y=2. Si te fijas (y esto que vamos a hacer es mucho mas fácil), es el mismo volumen que genera la curva y = x^2 al girar en torno al eje x entre x = 0 y x = 2. En este caso la integral a plantear es: V = integral de 0 a 2 de pi y^2 dx V = integral de 0 a 2 de pi x^4 dx V = pi x^5 / 5 entre 0 y 2 V = 32 pi / 5 Pregunta 19. Resuelta el 28/12/2012 ¿volumen de rotación en el eje Y? tengo que encontrar el volumen, los limites inferior y superior y la funcion a integrar. y=(5*x+4)/(x+2) y=2*x^2-6*x+7 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Calculas los puntos de intersección, resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones: (5*x+4)/(x+2) = 2*x^2-6*x+7 5 x + 4 = (2 x^2 - 6 x + 7) ( x + 2) operando se obtiene : x^3 - x^2 - 5 x + 5 = 0 cuyas soluciones son x = 1, x = raíz 5 y x = - raíz 5 Los límites de integración son de 1 a raíz 5. Lo ves fácilmente si representas la curva: http://www.quickmath.com/webMathematica3… Para calcular el volumen del cuerpo de revolución al girar respecto del eje X, la función a integrar es: pi · [(5*x+4)/(x+2)]^2 - pi · [2 x^2 - 6 x + 7]^2 es decir: Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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V = pi · integral (de 1 a raíz de 5) de [(5*x+4)/(x+2)]^2 - [2 x^2 - 6 x + 7]^2 dx Para calcular el volumen respecto del eje "y", podemos intercambiar x e y despejando la nueva "y" y así usar la misma formula V = pi integral de a a b de y^2 · d x Pregunta 20. Resuelta el 31/01/2013 a las 15:59 h (hora española). Respuesta número 1612 ¿Como calcular el volumen de revolución de y = x^2, y = 4 x = 0 x = 2 rota alrededor de y? Por favor, necesito ayuda, no me doy cuenta de que función colocar primero. La formula que uso es V = pi INT (F(x))^2 – (G(x))^2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Dicho volumen es el mismo que si hacemos girar la curva x = y^2 respecto del eje x, por lo que el volumen es: V = integral de 0 a 4 de pi · y^2 · d x V = integral de 0 a 3 de pi · x dx = pi · x^2 / 2 entre 0 y 4 V = 8 · pi u^3 Cálculo de superficies Pregunta 21. Resuelta el 28/10/2012 Se engendra un sólido haciendo girar la región comprendida por las curvas y = x^2 - x, y, y = x , con respecto al eje x. encuentre el volumen del solido y su área superficial. Pude hacer el volumen pero no se como hacer el área superficial. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Veamos, te resolveré entonces la superficie. El valor de la superficie de revolución generada al girar la curva y = f(x) alrededor del eje x entre a y bes: S = integral entre a y b de (2 pi y ( 1 + (y ')^2 ) ^(1/2) dx) Me imagino que la formula la tienes, es un poco peñazo escribirla aquí. Calcula los puntos de intersección entre las curvas: x^2 - x = x, de donde x = 0 y 2 (que serán los limites de integración) Calculas el área de la primera y de la segunda y luego los SUMAS (no restas, es como si quieres pintar la superficie que por el exterior es un cono y por el interior la superficie que se obtiene al girar la parábola en torno al eje x). PRIMERA SUPERFICIE y=x , y ' = 1 ; raíz (1 + (y') ^2 ) = raíz (2) luego S1 = 2 pi integral entre 0 y 2 de x raíz (2) dx = 4 pi raíz (2) SEGUNDA y = x^2 - x , y ' = 2 x -1 y' ^2 = 4 x^2 - 4x +1 1 + (y')^2 = 4 x^2 - 4 x + 2 raíz (1 + (y')^2 ) = raíz (4 x^2 - 4 x + 2) luego S2 = 2 pi integral entre 0 y 2 de x raíz (4 x^2 - 4 x + 2) dx esta segunda integral es un peñazo de hacer, es una integral irracional (binómica, yo lo resolvería por el "método alemán", pero no sé el nivel que tienes; también puedes emplear métodos numéricos). El resultado es 25,76. La superficie total sera la suma de ambas S1 + S2 = 17,77 + 25,76 = 43,53 u^2 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 07/02/2013 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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(comprueba si me he colado en algo, porque es un peñazo resolverlo con el teclado, en vez de en una hoja) Pregunta 22. Resuelta el 18/01/2013 a las 20:51 h (hora española). Respuesta número 1504 ¿como se hace el siguiente problema de áreas y volúmenes? Dada la curva de ecuación y^2 = x^2 ? x^4, se pide: a) Calcular el área que determina. b) Volumen del cuerpo que se genera al girar alrededor del eje de abscisas. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal a) Considero la parte superior (la que esta encima del eje x). Y lo multiplico por 2 y = raíz (x^2 - x^4) y = x raíz (1 - x^2) corta al eje x en x = 0 y x = 1, que serán los limites de integración A = 2 integral de 0 a 1 de x raíz (1 - x^2) dx la integral es inmediata A = - [(1 - x^2)^(3/2)] / [3/2] de 0 a 1 A = (2/3) u^2 b) V = pi integral de y^2 · dx V = pi · integral de 0 a 1 de (x^2 ? x^4) dx V = pi · [x^3 / 3 - x^5 / 5] entre 0 y 1 V = pi (1/3 - 1/5) = 2 pi / 15 u^3 Pregunta 23. Resuelta el 26/01/2013 a las 15:35 h (hora española). Respuesta número 1589 ¿Cómo se resuelve esta integral? Integral del sin^2 (wt +30) d (wt) entre (90º+?) y (30º+?) No se lo que estoy haciendo mal y me gustaría saber los pasos para comparar con lo que yo hago, y encontrar el error. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal wt=x Sustituyes sen^2 x por (1 - cos 2x) / 2 es decir sin^2 (x + 30) = [1 - cos 2 (x + 30) ] / 2 Los ángulos los debes expresar en RADIANES, no en grados integral sin^2 (x +30) d x = integral [1 - cos 2 (x + 30) ] / 2 d x I = 1/2 · [integral d x - integral cos 2 (x + 30) d x] I = 1/2 · [ x - ( sen 2 (x + pi/6) ) / (2)] desde pi/2 + alfa hasta pi/6 + alfa I = 1/2 · [ pi/6 + alfa - (pi/2 + alfa) - (1/2) · [sen 2 (pi/6 + alfa + pi/6) - sen 2 (pi/2 + alfa + pi/6)]] I = 1/2 · [(-pi/3) - (1/2) · [sen (2 pi / 3 + 2 alfa) - sen (4 pi / 3 + 2 alfa)] que tú mismo puedes simplificarlo mas sin mas que tener en cuenta que sen (a + b) = sen a · cos b + sen b ·cos a

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Tema 22. Integrales impropias ∞

- De primera especie: Cuando el intervalo de integración es infinito. Ejemplo:

∫ x 21+1 d x 1

- De segunda especie: Cuando el integrando se hace infinito en algún punto del intervalo de 1 1 integración. Ejemplo: ∫ d x 0 x Una integral impropia es convergente si da un valor finito y es divergente si da infinito. Un criterio de convergencia para integrales de primera especie. Cuando o no conocemos la primitiva F (x) o cuando sólo nos interesa estudiar la convergencia de la integral. ∞

Sea I 1=∫ f ( x) d x con f (x) acotada y no negativa en [b, ∞). Criterio del límite: b

lim

Si

x →∞

f (x ) k finito( puede ser 0)con a>1 , la integral es convergente 1 = k≠0 (puede ser ∞)con a⩽1 la integral es divergente xa

{

Un criterio de convergencia para integrales de segunda especie. b

Sea I 2=∫ f ( x ) d x con f (x) no acotada en el intervalo finito [a, b]. Denotamos por L a cualquier a

f (x ) f (x) lim 1 1 de los límites: * x → b cuando f (b) = ∞ * x →a cuando f (a) = ∞ m m (b−x) ( x −a) Si L= k finito(puede ser 0)con m 1 y diverge si es