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• Lorena Dueñas Soto

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2014

ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADA A LA INGENIERI CIVIL

FENOMENO DE RESONANCIA EN PUENTES COLGANTES

En la siguiente presentación, veremos ejemplos reales y objetivos de cómo es tan útil las ecuaciones deferenciales para la formulación de ciertos modelos físicos matemáticos .cabe resaltar que dicho análisis se hará en torno al tema de la resonancia y sus incidencias en las estructuras sujetas a vibraciones como los puentes colgantes.

ING. DOMINGUEZ MAGINO ANTONIO MATEMATICAS IV – FENOMENO DE RESONANCIA FICA-UNHEVAL

UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN - E.A.P INGENIERIA CIVIL ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADA A LA INGENIERIA CIVIL

INTRODUCCION

Por donde quiera que el hombre camine y observe siempre encontrará a su paso una infinidad de obstáculos los cuales impedirían el normal traslado de un lugar a otro ya sea a personas, animales o cosas. Dichos obstáculos podrán ser salvados por todo tipo puentes muchos de los cuales a veces cruzamos sin darnos cuenta incluso de su presencia o existencia.

Hay muchos puentes que son dignos de ver, incluso los menos favorecidos, si nosotros sabemos observarlos y cómo observarlos. El objetivo de este texto es ayudar a conocer y aprender los aspectos mas importantes relacionados con los puentes, explicando en lenguaje simple, las ecuaciones diferenciales a sus diferente formas de modelado en fenómenos físicos .

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DEFINICIONES A TOMAR EN CUENTA

 PUENTES: Estructura construida con el fin de permitir a una vía de comunicación cruzar un cauce (río, barranco, etcétera) o bien atravesar otra vía de comunicación, sin que existan problemas de mezcla de los tráficos de ambas. En su construcción, se deben cuidar muchos e importantes aspectos, tales como: estabilidad,

resistencia

al

desplazamiento

y

a

la

rotura,

etcétera.

Generalidades En realidad, la definición anterior no es del todo completa, pues sólo se considerará como puente si la separación entre apoyos supera los 10 m; si ésta estuviera comprendida entre los 3 y 10 m, se trataría de un “pontón”, y de una “tajea” si fuera menor de 3 m. El nombre de viaducto suele asignarse a un puente cuando sus dimensiones son desproporcionadas con respecto al cauce que salva; éstas vienen dadas por la necesidad de evitar pendientes grandes en la vía de comunicación; así, si el obstáculo es un río, el viaducto atraviesa el valle por cuyo fondo discurre aquél. Un puente siempre recibe el nombre de la vía de comunicación que pasa sobre el mismo; por ejemplo, un puente por el que una carretera cruza sobre un ferrocarril, se denominará “puente de carretera”; cuando sobre el puente pasa un canal, recibe el nombre de acueducto.

 ECUACIONES DIFERENCIALES: Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

Podemos

clasificarlo

según

su

tipo

como

ecuaciones

diferenciales ordinarias(cuando depende una sola variable independiente) y parciales (cuando depende de dos o más variables independientes)

 FENOMENO DE RESONANCIA : cuando una fuerza se aplica repetidamente a un sistema con la frecuencia natural del mismo , es decir dentro de un plano físico

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correspondería a un sistema vibratorio forzado sin amortiguamiento , lo que lo pondría en un plano ideal , ya que cuando se ejerce una fuerza periódica y no existe fuerza de amortiguamiento, no hay parte transitoria en la solución de un problema, viéndose también que si se ejerce una fuerza periódica cuya frecuencia es igual o casi igual a la de las vibraciones no amortiguadas libres, se puede originar un grave problema en un sistema mecánico oscilatorio.

 RELACION

ENTRE

EL

FENOMENO

DE

RESONANCIA

Y

PUENTES

COLGANTES: En el verano de 1940, el puente colgante Tacoma Narrows, estado de Washington, EUA, se terminó y abrió al „tráfico. Casi de inmediato se observó que cuando el viento soplaba en dirección transversal a la de la carretera, originaba grandes oscilaciones verticales en la plataforma o “tablero.” La obra se transformó en atracción turística porque las personas llegaban a observar -y quizá cruzar - el puente ondulante. Por fin, el 7 de noviembre de ese año durante una racha intensa, las oscilaciones aumentaron hasta niveles nunca vistos y el puente fue evacuado. Pronto las oscilaciones se tornaron giratorias, vistas desde el extremo del tablero. Finalmente, las grandes oscilaciones desarmaron el tablero y el puente se derrumbó.

ESTUDIOS BASICOS PARA LA CONSTRUCCION DE PUENTES Antes de proceder con el diseño del proyecto de un puente, es indispensable realizar los estudios básicos que permitan tomar conocimiento pleno de la zona, que redunde en la generación de información básica necesaria y suficiente que concluya en el planteamiento de soluciones satisfactorias plasmadas primero en anteproyectos y luego en proyectos definitivos reales, y ejecutables.

El proyectista deberá informarse adecuadamente de las dificultades y bondades que le caracterizan a la zona antes de definir el emplazamiento del puente. Emplazamiento que deberá ser fruto de un estudio comparativo de varias alternativas, y que sea la mejor

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respuesta dentro las limitaciones (generación de información) y variaciones de comportamiento de los cambios naturales y provocados de la naturaleza.

Debe igualmente especificar el nivel de los estudios básicos y los datos específicos que deben ser obtenidos. Si bien es cierto que los datos naturales no se obtienen nunca de un modo perfecto, estos deben ser claros y útiles para la elaboración del proyecto. Las especificaciones y metodología a seguir para la realización de los estudios básicos no son tratados en esta obra. Los estudios básicos deben ser realizados de acuerdo a los requerimientos del proyectista, por personal especializado, con experiencia, y según los procedimientos que se establecen en los manuales especializados de ingeniería de puentes, que en general son más exigentes que lo requerido para las edificaciones.

Como parte de los estudios básicos, es igualmente recomendable realizar un estudio y la inventariación de la disponibilidad de materiales, infraestructura instalada, mano de obra especializada, equipos, y otros que el proyectista considere de utilidad.

Datos de las condiciones naturales del lugar donde se requiere construir el puente.

1.1. Topografía. 1.2. Hidrológica. 1.3. Geología. 1.4. Riesgo sísmico

LA PRUEBA PARA QUE UN PUENTE COLGANTE MUESTRE SU CAPACIDAD FRENTE A UN FENOMENO DE RESONANCIA SE ENCARGA LA TERMODINAMICA

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ANALISIS DE LA RESONANCIA EN PUENTES COLGANTES TOMANDO COMO EJEMPLO PRACTICO EL PUENTE TACOMA NARROWS

PUENTE COLGANTE VIBRANDO EN SU FRECUENCIA NATURAL

ANTES DE LA CATASTROFE FUE ASOTADO POR VIENTOS DE 310 KM/H MUCHO MENOR AL LIMITE QUE DISEÑADO

EL VIENTO al soplar perpendicularmente a la carretera, se separaba formando vórtices alternos arriba y abajo del tablero y con ello establecía una fuerza vertical que actuaba sobre el puente y causó las oscilaciones

Supusieron que la frecuencia de esa función forzada periódica coincidía exactamente con la frecuencia natural del puente, llegando a la resonancia, a las grandes oscilaciones y a la destrucción. ANTES SE CITO DICHA DEFINICION , PERO PARA ESTE CASO LA FUNCION PERIODICA NO PERMITIO DICHAS CONDICIONES PARA QUE LA RESONANCIA SE PRODUJERA

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SI EN CASO EL FENOMENO SERIA RESONANCIA TENDRIA EL MODELO SIGUIENTE

RESONANCIA

es muy improbable que la resonancia con vórtices alternos desempeñe una función importante en las oscilaciones de los puente colgante takoma rarrows

la resonancia es un fenómeno lineal además, para que se presente debe haber una coincidencia exacta entre la frecuencia de la función forzada y la frecuencia natural del puente. Además, no debe haber amortiguamiento alguno en el sistema; por lo tanto, no nos debe sorprender que la resonancia no sea la culpable del derrumbe.

PERO COMO TAMBIEN ACLARAMOS QUE ES UN FENOMENO IDEAL , TOMA EL MODELO SIGUIENTE

Como la resonancia es un modelo ideal lineal , para tratar en un plano real tendríamos que tratar con un modelo no lineal , lo que involucraría ecuaciones diferenciales parciales , que pueden simplificarse a ser ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales.

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TENIENDO LA SIGUIENTE FORMA

Donde f(y) es la función no lineal expresada por

Aquí k es la constante de la ley de Hooke y g(t) es una función forzada (pequeña) periódica . si usamos el modelado más general de ecuaciones parciales llegamos a :

Donde f1 está definida por

Donde a y b son constantes que relacionan ciertas propiedades de los puentes

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Sujeto a condiciones de frontera

Se comprueban que existen soluciones múltiples cuando k es suficientemente grande. También parecen indicar la siguiente interpretación de la solución: una fuerza grande, c, que actúa junto con una función periódica pequeña, g(t), produce un desplazamiento c/b más una oscilación pequeña respecto a un equilibrio nuevo. Además, si k es grande, existen otras soluciones oscilatorias. Asimismo, las soluciones de gran amplitud pueden persistir, aun en presencia de amortiguamiento. Es posible inferir más conclusiones interesantes a partir de las ecuaciones diferenciales parciales implícitas.

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