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FAC. DE INGENIERIA – UMSA

RESONANCIA

RESONANCIA 1. OBJETIVO GENERAL Verificar el comportamiento de la conexión RLC serie, en un régimen permanente de corriente alterna. Determinar la frecuencia de resonancia. Ubicar los puntos de media potencia. Determinar el factor de calidad. 2. OBJETIVOS ESPECIFICOS Presentar otra forma de diagnostico para el estudio de la respuesta de sistemas, haciendo que estos funcionen impulsadas por una tensión de variación sinusoidal. Estudiar el fenómeno de resonancia de un circuito RLC serie. Graficar la amplitud Vc y corrimiento de fase versus frecuencia. 3. FUNDAMENTO TEORICO Sea la conexión RLC serie de la figura 1 que está operando en régimen permanente de corriente alterna. Si el voltaje aplicado es:

v  Vm sent

(1)

La corriente estará dada por la solución particular de la ecuación de malla: Vm sent  R i  L

di 1  idt dt C 

(2)

Que puede escribirse:

 Vm cos t  L

d 2i di 1 R  i 2 dt C dt

(3)

La solución particular de esta ecuación debe tener la forma: i  I m sen (  t   ) FIS-200L

(4) - 1-

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

Y es: i



1   R 2    L   C  

2

1    C    R  



 L



Vm

 sen   t  tg 1       

(5)

Por tanto: i

1   Z  R    L   C   2



Vm  1   R 2    L   C  

(6 )

2



 L

2

  tg  1

(7.a ) 



R  

1   C 

(7.b)   

Para tomar en cuenta la resistencia óhmica del inductor, R L, debe considerarse que ésta queda en serie con la resistencia R; por tanto, las ecuaciones anteriores pueden usarse si se reemplaza R por R+RL. En la figura 2 se muestra el comportamiento de la amplitud de la corriente en función de ω. Se dice que un circuito RLC serie está en resonancia cuando la amplitud de la corriente adquiere su máximo valor, lo que ocurre a la frecuencia de resonancia, ω0. De la ecuación puede deducirse que: 0 

1 LC

(8)

Debe notarse que, a esta frecuencia, el voltaje y la corriente están en fase (Φ=0). Una alta agudeza de la curva de la amplitud de la corriente, es una ventaja para el circuito resonante RLC serie, por eso se define el factor de calidad Q, que refleja esa agudeza y está dado por:

FIS-200L

Q

0 L 1 1 L   R 0 RC R C

(9)

- 2-

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Y también puede expresarse como:

Q

0  2  1

(10)

Donde, como se muestra en la figura 2, ω1 y ω2 son las frecuencias angulares que corresponden a los puntos en que la amplitud de la corriente se reduce a 0.707 veces la amplitud máxima, estos puntos se conocen como puntos de media potencia. 4.

EQUIPOS Y MATERIALES  Un generador de funciones  Un osciloscopio  Un resistor  Un capacitor  Un inductor  Cables de conexión  Multímetro  Tablero de conexión.

5.

SISTEMA DEL EXPERIMENTO

“Circuito del Experimento en 2D” FIS-200L

- 3-

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PROCEDIMIENTO

6.

1. Montar el circuito de la Figura. El selector de rango del generador de funciones debe estar en 10K. El voltaje sobre la conexión RLC, v, debe ser senoidal, con Vpp=6.0 [V] y nivel DC nulo. 2. Variando la frecuencia del generador de funciones determinar la frecuencia (cíclica) de resonancia, f0, que se da cuando VRpp es máximo o cuando v y v R están en fase. Se debe verificar que Vpp sea de 6.0 [V], ya que por las características del generador de funciones, ese voltaje puede variar con la frecuencia; en tal caso, debe ajustarse la amplitud de la señal del generador. 3. Llenar la Tabla 1 de la hoja de datos, comenzando con los datos correspondientes a f0. Para cada frecuencia, de ser necesario, debe ajustarse la amplitud de la señal del generador de funciones a fin de mantener Vpp en 6.0 [V]. Los ángulos de fase pueden medirse como se indica en la página 43; en este caso, para frecuencias inferiores a la frecuencia de resonancia, en el osciloscopio debe usarse como señal de disparo la señal del canal 2 y, para frecuencias superiores a la frecuencia de resonancia, la señal del canal 1. 4. Encontrar las frecuencias (ciclicas), f1 y f2, correspondientes a los puntos de media potencia que, a su vez, corresponden a los puntos en que V Rpp se reduce a 0.707 veces su valor máximo (que ocurre en f0). Como antes, se debe verificar que V pp sea de 6.0 [V].

7.

DATOS

R=2,18 [kΩ] FIS-200L

L=69,4 [mH]

C=8,11 [nF] - 4-

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Vpp = 6.0 [V]

RL=30,5 [Ω]

f1 = 4,476 [kHz]

f2 = 10,268 [kHz]

f 0,3 f0 0,4 f0 0,5 f0 0,6 f0 0,7 f0 0,8 f0 0,9 f0 f0 1,1 f0 1,2 f0 1,3 f0 1,4 f0 1,6 f0 1,8 f0 2,0 f0 2,3 f0 2,6 f0 3,0 f0 3,4 f0

f [kHZ] 2,027 2,703 3,379 4,055 4,730 5,406 6,082 6,758 7,434 8,109 8,785 9,461 10,813 12,164 13,516 15,543 17,571 20,274 22,977

VRpp [V] 1,5 2,1 2,6 3,4 4,2 4,9 5,4 5,6 5,5 5,1 4,7 4,3 3,6 3 2,7 2,2 1,9 1,5 1,4

Φ[º] 86,4 68,4 61,2 54 43,2 28,8 18 0 18 25,2 36 43,2 54 61,2 64,8 72 75,6 76 81

CALCULOS

8.

a) En base a la tabla 1 de la hoja de datos, elaborar una tabla ω, I m-exp, Im-teo calculando Imexp

en base a VRpp e Im-teo con la ecuación (6) (tomando en cuenta la resistencia óhmica

del inductor RL). Dibujar la curva Im-teo vs. ω y, en el mismo gráfico, ubicar los puntos correspondientes a Im-exp. * * * Para el calculo de I mexp : I mexp 

Vm Z

(5)

Vm 

Donde :

VRpp 2



1   Z  ( R  R L ) 2   L   C  

2

  2  f * * * Para el calculo de I mteo : I mteo 

Vm 1   ( R  R L ) 2   L    C 

2

Reemplazando valores obtenemos la Tabla: FIS-200L

- 5-

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f [kHZ] 2,027 2,703 3,379 4,055 4,730 5,406 6,082 6,758 7,434 8,109 8,785 9,461 10,813 12,164 13,516 15,543 17,571 20,274 22,977

RESONANCIA

VRpp [V] 1,5 2,1 2,6 3,4 4,2 4,9 5,4 5,6 5,5 5,1 4,7 4,3 3,6 3 2,7 2,2 1,9 1,5 1,4

ω [kHz] 12,74 16,98 21,23 25,48 29,72 33,97 38,21 42,46 46,71 50,95 55,19 59,44 67,94 76,43 84,92 97,66 110,40 127,38 144,37

Im-exp [E-6] 82,68 162,26 267,19 449,24 690,87 960,49 1182,16 1266,44 1200,38 1029,81 861,77 712,96 493,62 348,66 272,10 185,14 137,52 91,72 74,25

Im-teo [E-6] 330,72 463,61 616,59 792,78 986,96 1176,12 1313,51 1356,90 1309,50 1211,54 1100,13 994,82 822,70 697,33 604,67 504,92 434,26 366,88 318,20

b) Elaborar una tabla ω, Zexp, Zteo calculando Zexp en base a Vpp y VRpp, y Zteo con la ecuación (7.a) (tomando en cuenta la resistencia óhmica del inductor R L). Dibujar la curva Zteo vs. ω y, en el mismo gráfico, ubicar los puntos correspondientes a Zexp. Reemplazando los datos, en las ecuaciones mencionadas, tenemos la siguiente tabla: f [kHZ] 2,027 FIS-200L

VRpp [V] 1,5

ω [kHz] 12,74

Zexp [kΩ] 9,07111

Zteo [kΩ] 9,07112 - 6-

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2,703 3,379 4,055 4,730 5,406 6,082 6,758 7,434 8,109 8,785 9,461 10,813 12,164 13,516 15,543 17,571 20,274 22,977

FIS-200L

RESONANCIA

2,1 2,6 3,4 4,2 4,9 5,4 5,6 5,5 5,1 4,7 4,3 3,6 3 2,7 2,2 1,9 1,5 1,4

16,98 21,23 25,48 29,72 33,97 38,21 42,46 46,71 50,95 55,19 59,44 67,94 76,43 84,92 97,66 110,40 127,38 144,37

6,47109 4,86545 3,78417 3,03964 2,55078 2,28395 2,21092 2,29094 2,47618 2,72694 3,01559 3,64653 4,30218 4,96141 5,94145 6,90809 8,17706 9,42761

6,47096 4,86547 3,78415 3,03964 2,55076 2,28396 2,21092 2,29095 2,47619 2,72695 3,01562 3,64653 4,30212 4,96138 5,94154 6,90830 8,17706 9,42803

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c) Elaborar una tabla ω, Φexp, Φteo calculando Φteo con la ecuación (7.b) (tomando en cuenta RL). Dibujar la curva Φteo vs. ω y, en el mismo grafico, ubicar los puntos correspondientes a Φexp.

FIS-200L

ω [kHz]

Φexp [ º ]

Φteo [ º ]

12,74 16,98 21,23 25,48 29,72 33,97 38,21 42,46 46,71 50,95 55,19 59,44 67,94 76,43 84,92 97,66 110,40 127,38 144,37

86,4 68,4 61,2 54 43,2 28,8 18 0 18 25,2 36 43,2 54 61,2 64,8 72 75,6 76 81

75,89 70,03 62,98 54,25 43,34 29,92 14,59 1.11 15,23 26,78 35,83 42,85 52,69 59,08 63,54 68,16 71,34 74,32 76,44

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d) Con f0, calcular el valor experimental de ω0 y compararlo con el valor teórico dado por la ecuación (8).

* * * Para calcular 0 tenemos :  Experimental :

f 0  6758 [ Hz ]

0  2  f 0  2  6758

0 

1 1  3 LC 69,4  10  8,11  10 9

 rad  s 

0  42151,19  

;

% dif 

* * * Hacemos una diferencia porcentual : % dif 

(exp erimental )

1 LC

0 

 Teorico :

 rad  s 

0  42461,77  



42461,77  42151,19 42461,77

100%

;

0 exp  0teorico 0 exp

(teorico)

100%

% dif  0.73 %

e) Con f0, f1 y f2 calcular el valor experimental de Q con la ecuación (10) y

compararlo con el valor teórico dado por la última expresión de la ecuación (9). * * * Para calcular Qtenemos :  Experimental :

Q

Con : f 0  6,758 [kHz ]

;

 0  42,46 ; Re emplazando : 0 42,46 Q   2  1 64,52  28,12  Teorico :

Q

0 ;  2  1 f1  4,476 [ kHz] 1  28,12 

  2  f ;

f 2  10,268 [kHz ]

;

 2  64,52

Q  1,17 (ex perimental )

1 L R C

Re emplazando : Q FIS-200L

1 L 1 69,4  10 3  R C 2,18  10 3 8,11  10 9



Q  1, 34 (teorico) - 9-

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%dif 

* * * Hacemos la diferencia porcentual : % dif 

9.

1,17  1,34 1,17

 100%



Qteo  Qexp Qteo

 100%

%dif  12,68%

RESULTADOS

Los resultados obtenidos fueron los siguientes: * * * La frecuancia de Re sonancia :

 0  42,46

( Experimental )

 Con una diferencia porcentual :

;

 0  42,15



%dif  0.73%

;

Q  1,34



%dif  12.68%

(teorico)

* * * El factor de calidad Q : Q  1,17

( Experimental )

 Con una diferencia porcentual :

10.

(teorico)

OBSERVACIONES

Dentro de las observaciones realizadas en esta práctica de laboratorio, tenemos que: Se deben tomar datos puntuales de las distintas variables a emplearse, debemos realizar las lecturas en la pantalla del osciloscopio lo mas exacto posible, de esta manera obtener datos lo bastante confiables.

11.

CONCLUSIONES

Verificamos el comportamiento de la conexión RLC serie, en régimen permanente de corriente alterna. También pudimos determinar la frecuencia de la resonancia. FIS-200L

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Calculamos el factor de calidad y realizamos la comparación entre los valores teórico y práctico, esto debido al valor aproximado que se tomo con el osciloscopio. Adquirimos experiencia en la práctica de laboratorio. 12.

CUESTIONARIO

1. Al variar la resistencia de un circuito RLC serie ¿Qué ocurre con el semiancho de banda? El semiancho de banda no varia, al variar la resistencia porque no depende de ella. La única manera de variar el semiancho de banda es variando la frecuencia de oscilación. 2. ¿Cómo se define el factor de calidad? El factor de calidad en general se define por la energía máxima almacenada entre la energía disipada por periodo. En un circuito serie RLC en resonancia la energía almacenada es constante. Teniendo en cuenta que cuando la tensión en el condensador es máxima la intensidad de corriente por la bobina es nula.

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