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DEFLEXIÓN EN VIGAS

Luis Sanchez Calderón Ing. Civil Master en Ingeniería Estructural y de la Construcción.

ANTECEDENTES

• En la ingeniería es necesario conocer la deflexión de una viga, así también como su rotación en cada punto. Esto se realiza con fines de “servicio”, dar cierto nivel de confort a los usuarios de las estructuras.

• En esta unidad se analizarán diferentes métodos para determinar la deflexión y pendiente en puntos específicos de vigas. • Los métodos utilizados serán: Método de integración (método un poco mecánico), método de área de momentos y el de superposición (menos mecánico, más pensado).

LA CURVA ELÁSTICA • Con frecuencia debe limitarse la deflexión de una viga con el fin de proporcionar integridad y estabilidad a una estructura o máquina, y así evitar el agrietamiento de cualquier material frágil unido a la viga como el concreto o el vidrio. • Además, los códigos exigen que estos elementos(los elementos estructurales como las vigas) no vibren. • Antes de determinar la deflexión y pendiente de una viga, es importante trazar la curva para poder “visualizar” la manera en la cual se va a deformar. Es importante recalcar, que para estos efectos. Para la elaboración de la curva de deflexión se está asumiendo un diagrama lineal de esfuerzo-deformación. • Para poder trazar la curva de una forma correcta, es importante conocer la pendiente o el desplazamiento que están restringidos en las condiciones de frontera o soportes.

LA CURVA ELÁSTICA • El supuesto inicial para poder aplicar los métodos de obtención de deflexión y pendiente son: que la viga esté inicialmente horizontal y se deforme en el rango elástico de manera que la pendiente y la deformación son pequeñas.

RELACIÓN MOMENTO-CURVATURA • Se desarrollará una relación importante entre el momento interno y el radio de curvatura “p” de la curva elástica en un punto. • El siguiente análisis requiere el uso de 3 coordenadas. El eje “x” positivo se extiende a la derecha, a lo largo del eje longitudinal inicialmente recto de la viga. Se usa para localizar un diferencial, que tiene una anchura no deformada de “dx”. El eje “v” se extiende positivo hacia arriba del eje “x”. Mide el desplazamiento de la curva elástica. La coordenada “y” se emplea para especificar la posición de una fibra en el elemento de la viga. • Para determinar la relación entre el momento y la curvatura, se asume el caso más común de una viga en principio recta, que se deforma por una carga perpendicular.

RELACIÓN MOMENTO-CURVATURA • A partir de esta asunción se llega a una importante relación, que se exploró antes para obtener la distribución de esfuerzos normales por flexión en una sección.

Se analiza la deformación unitaria que sufre una fibra situada a “y” del EN.

RELACIÓN MOMENTO-CURVATURA

• La expresión “EI” se conoce como “rigidez a la flexión” y siempre es una cantidad positiva.

MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN • La mayoría de libros de resistencia de materiales representan la relación 1/p como:

• La expresión de la derivada del desplazamiento con respecto a “x” representa la pendiente de la curva en el punto de estudio, y esta, al ser pequeña, y al estar elevada al cuadrado, se puede llegar a despreciar. Es decir:

• Que a su vez, recordando de unidades pasadas, se puede representar como:

MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN • Finalmente, se obtienen las siguientes ecuaciones:

• Para poder determinar las constantes de integración se tiene que considerar las condiciones de frontera y de continuidad.

MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN • 1) Dibuje una vista exagerada de la curva elástica de la viga. Recuerde el tipo de soportes y cuales “movimientos” permite. • 2) Establezca los ejes de coordenadas “x” y “v”. • 3) Si existen varias cargas discontinuas presentes, establezca coordenadas para cada región. • 4) Obtenga la función de momento. Si es necesario, de cada región. • 5) Integre y obtenga las constantes de integración necesarias. • 6) Evalúe la pendiente y deformación en un punto de interés.

EJERCICIO #1 La viga en voladizo se somete a una carga vertical “P” en su extremo. Determine la ecuación de la curva elástica. EI es constante durante toda su longitud. Paso 1: Encontramos las reacciones en el apoyo fijo B

𝑀𝐵

𝑅𝐵

෍ 𝐹𝑦 = 0

෍ 𝑀𝑏 = 0

𝑅𝐵 − 𝑃 = 0

𝑀𝐵 − 𝑃 𝐿 = 0

𝑅𝐵 = 𝑃

𝑀𝐵 = 𝑃𝐿

EJERCICIO #1 La viga en voladizo se somete a una carga vertical “P” en su extremo. Determine la ecuación de la curva elástica. EI es constante durante toda su longitud. Paso 2: Encontramos la ecuación del momento

𝑀 𝑥

𝑉

෍ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 𝑀𝐵 = 𝑃𝐿 𝑅𝐵 = 𝑃

M+𝑃 𝑥 = 0 M = −𝑃𝑥

EJERCICIO #1 La viga en voladizo se somete a una carga vertical “P” en su extremo. Determine la ecuación de la curva elástica. EI es constante durante toda su longitud. Paso 3: Encontramos la ecuación de la elástica

Integrar

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

Paso 4: Establecemos las condiciones de frontera 𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜 𝑥 = 𝐿, 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑖 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

𝑑𝑣 𝐸𝑛 𝑥 = 𝐿; = 0 ;𝑣 = 0 𝑑𝑥

𝑥 𝑥=0

𝑥=𝐿

EJERCICIO #1 La viga en voladizo se somete a una carga vertical “P” en su extremo. Determine la ecuación de la curva elástica. EI es constante durante toda su longitud. Paso 5: Encontramos los coeficientes C1 y C2 𝑥 = 𝐿;

𝑑𝑣 =0 𝑑𝑥

𝑥 = 𝐿; 𝑣 = 0

Paso 6: Reemplazamos C1 Y C2 en la ecuación de la elástica

𝐶1 =

𝑃𝐿2 2

−𝑃𝐿3 𝐶2 = 3

Entonces si nos piden la deflexión a una distancia de L/3 𝐿

𝑣 𝑥=3 = 𝑃 𝐿 𝑣= − 6𝐸𝐼 3 𝑣=

3

+ 3𝐿2

𝐿 − 2𝐿3 3

EJERCICIO #2 La viga simplemente apoyada soporta una carga triangular distribuida. Determine la deflexión máxima. EI constante. Wo=2t/m, L=5m. 1 𝑊𝑜𝐿 4

1 𝑊𝑜𝐿 4

Paso 1: Encontramos las reacciones en los apoyos

෍ 𝑀𝑏 = 0 𝐵

𝐴

1 𝐿 1 𝐿 𝐿 1 2 −𝑅𝐴 𝐿 + 𝑊𝑜𝐿 ∗ /2 + ∗ + + 𝑊𝑜𝐿 ∗ 4 2 3 2 2 4 3 𝑊𝑜𝐿 𝑅𝐴 = 4

𝑅𝐴

𝑅𝐵 𝐿 1 𝐿 + ∗ 2 3 2

2 𝐿 ∗ 3 2

෍ 𝐹𝑦 = 0 1 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 − 𝑊𝑜𝐿 = 0 2 𝑊𝑜𝐿 𝑅𝐵 = 4

EJERCICIO #2 La viga simplemente apoyada soporta una carga triangular distribuida. Determine la deflexión máxima. EI constante. Wo=2t/m, L=5m. Paso 2: Encontramos la ecuación del momento

𝐵

𝐴

𝑊𝑜𝐿 𝑅𝐴 = 4

𝑅𝐵 =

𝑥

𝑊𝑜𝐿 4

EJERCICIO #2 La viga simplemente apoyada soporta una carga triangular distribuida. Determine la deflexión máxima. EI constante. Wo=2t/m, L=5m. Paso 3: Encontramos la ecuación de la elástica

Integrar

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

Paso 4: Establecemos las condiciones de frontera 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑜𝑑𝑖𝑙𝑙𝑜 𝑛𝑖 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜

𝑥 𝐸𝑛 𝑥 = 0 𝑦 𝑒𝑛 𝑥 = 𝐿; 𝑣 = 0

𝑥=0

𝑥=𝐿

EJERCICIO #2 La viga simplemente apoyada soporta una carga triangular distribuida. Determine la deflexión máxima. EI constante. Wo=2t/m, L=5m. Paso 5: Encontramos los coeficientes C1 y C2 𝑥 = 0; 𝑣 = 0 𝑥 = 𝐿; 𝑣 = 0

Paso 6: Reemplazamos C1 Y C2 en la ecuación de la pendiente y de la elástica

𝐶2 = 0

EJERCICIO #2 La viga simplemente apoyada soporta una carga triangular distribuida. Determine la deflexión máxima. EI constante. Wo=2t/m, L=5m. Paso 7: La deflexión máxima se produce en el centro de la viga cuando x= L/2 𝐿 𝑥 = ; 𝑌𝑚á𝑥 =? 2

Paso 8: Reemplazamos los valores numéricos en la ecuación para determinar la deflexión máxima

𝑣𝑚á𝑥

2 5 4 125 =− =− 120𝐸𝐼 12𝐸𝐼

EJERCICIOS #3 La viga simplemente apoyada está sometida a una fuerza concentrada “20kN” y momentos en los extremos. Determine la deflexión máxima de la viga, además, determine la pendiente en la sección “A”. E=200Gpa, I=39.9 (10-6) m4. Paso 1: Encontramos las reacciones en los apoyos

෍ 𝑀𝑏 = 0 −𝑅𝐴 6 + 10 − 10 + 20 3 = 0 𝑅𝐴 = 10𝑘𝑁 𝑅𝐴

𝑅𝐵

෍ 𝐹𝑦 = 0 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 − 20 = 0 𝑅𝐵 = 10𝑘𝑁

EJERCICIOS #3 La viga simplemente apoyada está sometida a una fuerza concentrada “P” y momentos en los extremos. Determine la deflexión máxima de la viga, además, determine la pendiente en la sección “A”. E=200Gpa, I=39.9 (10-6) m4. Paso 2: Encontramos la ecuación del momento

𝑀 𝑥

𝑉

𝑅𝐴 = 10𝑘𝑁

෍ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 𝑅𝐴 = 10𝑘𝑁

𝑅𝐵 = 10𝑘𝑁

M − 10 − 𝑅𝑎(𝑥) + 20(𝑥 − 3) = 0 M = 10𝑥 + 10 − 20(𝑥 − 3)

EJERCICIO #3 La viga simplemente apoyada está sometida a una fuerza concentrada “P” y momentos en los extremos. Determine la deflexión máxima de la viga, además, determine la pendiente en la sección “A”. E=200Gpa, I=39.9 (10-6) m4.

Integrar

Paso 3: Encontramos la ecuación de la elástica = M = 10𝑥 + 10 − 20(𝑥 − 3)

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

= 5𝑥 2 + 10𝑥 − 10(𝑥 − 3)2+C1

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

5 3

= 𝑥 3 + 5𝑥 2 −

10 (𝑥 − 3

3)3+C1x+C2

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

Paso 4: Establecemos las condiciones de frontera 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑜𝑑𝑖𝑙𝑙𝑜 𝑛𝑖 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜

𝐸𝑛 𝑥 = 0 𝑦 𝑒𝑛 𝑥 = 6; 𝑣 = 0

𝑥 𝑥=0

𝑥=6

EJERCICIO #3 La viga simplemente apoyada está sometida a una fuerza concentrada “P” y momentos en los extremos. Determine la deflexión máxima de la viga, además, determine la pendiente en la sección “A”. E=200Gpa, I=39.9 (10-6) m4. Paso 5: Encontramos los coeficientes C1 y C2 𝑥 = 0; 𝑣 = 0

𝐶2 = 0

𝑥 = 6; 𝑣 = 0

𝐶1 = −75

Paso 6: Reemplazamos C1 Y C2 en la ecuación de la pendiente y de la elástica

𝐸𝐼

𝑑𝑣 = 5𝑥 2 + 10𝑥 − 10 𝑥 − 3 𝑑𝑥

𝐸𝐼𝑣 =

5 3 10 𝑥 + 5𝑥 2 − 𝑥−3 3 3

3

2

− 75

− 75𝑥

EJERCICIO #3 La viga simplemente apoyada está sometida a una fuerza concentrada “P” y momentos en los extremos. Determine la deflexión máxima de la viga, además, determine la pendiente en la sección “A”. E=200Gpa, I=39.9 (10-6) m4. Paso 7: La máxima deflexión ocurre bajo la carga puntual. (x=3m) 𝑥 = 3; 𝑌𝑚á𝑥 =?

𝐸𝐼𝑌𝑚á𝑥 =

5 3 10 𝑥 + 5𝑥 2 − 𝑥 −3 3 3

3

− 75𝑥

𝑌𝑚á𝑥 = −0,0169 𝑚𝑚

Paso 8: La pendiente en la sección A, podemos reemplazar cuando x=0

𝑥 = 0;

𝑑𝑣 =? 𝑑𝑥

𝐸𝐼

𝑑𝑣 = 5𝑥 2 + 10𝑥 − 10 𝑥 − 3 𝑑𝑥

2

− 75

𝑑𝑣 = −0,009𝑥10−3 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑥

EJERCICIO #4 Determine la curva elástica de la siguiente viga con voladizo. EI es constante. Paso 1: Determine las reacciones de la viga mostrada

෍ 𝑀𝑏 = 0 𝐿 𝐿 −𝑅𝐴 𝐿 − 𝑤 ∗ = 0 2 4 𝑅𝐴

𝑅𝐵

𝑤𝐿 𝑅𝐴 = 8

෍ 𝐹𝑦 = 0 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 = 𝑤 𝑅𝐵 =

3 𝑤𝐿 8

𝐿 2

EJERCICIO #4 Determine la curva elástica de la siguiente viga con voladizo. EI es constante. Paso 2: Determinar la ecuación del momento

𝑀

𝑀 𝑥

𝑉

𝑉 𝑅𝐴

𝑅𝐵

𝑤𝐿 𝑅𝐴 = 8

෍ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 −𝑅𝐴 𝑥 + 𝑀 = 0 𝑀 = 𝑅𝐴 𝑥

𝑥 𝑅𝐴 =

𝑤𝐿 8

𝑅𝐵 =

3 𝑤𝐿 8

෍ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 −𝑅𝐴 𝑥 − 𝑅𝐵 𝑥 − 𝐿 +

𝑤 𝑥−𝐿 2

𝑀 = 𝑅𝐴 𝑥 + 𝑅𝐵 𝑥 − 𝐿 −

2

+𝑀=0

𝑤 𝑥−𝐿 2

2

EJERCICIO #4 Determine la curva elástica de la siguiente viga con voladizo. EI es constante. Paso 3: Encontramos la ecuación de la elástica

Integrar

= 𝑀 = 𝑅𝐴 𝑥 + 𝑅𝐵 𝑥 − 𝐿 −

𝑤 𝑥−𝐿 2

=

𝑅𝐴 2 𝑅𝐵 𝑥 + 𝑥−𝐿 2 2

2

−

𝑤 𝑥−𝐿 6

=

𝑅𝐴 3 𝑅𝐵 𝑥 + 𝑥−𝐿 6 6

3

−

𝑤 𝑥−𝐿 24

3

2

+ 𝐶1

4

+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

Paso 4: Establecemos las condiciones de frontera 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑜𝑑𝑖𝑙𝑙𝑜 𝑛𝑖 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜

𝑥

𝐸𝑛 𝑥 = 0 𝑦 𝑒𝑛 𝑥 = 𝐿; 𝑣 = 0 𝑥=0

𝑥=𝐿

EJERCICIO #4 Determine la curva elástica de la siguiente viga con voladizo. EI es constante. Paso 5: Encontramos los coeficientes C1 y C2 𝑥 = 0; 𝑣 = 0

𝐶2 = 0

𝑥 = 𝐿; 𝑣 = 0

𝐶1 = −

𝑅𝐴 2 𝐿 6

Paso 6: Reemplazamos C1 Y C2 en la ecuación de la elástica 𝐸𝐼𝑣 =

𝑅𝐴 3 𝑅𝐵 𝑥 + 𝑥−𝐿 6 6

3

−

𝑤 𝑥−𝐿 24

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒍á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂

4 + 𝐶1𝑥

+ 𝐶2

𝐸𝐼𝑣 =

𝐸𝐼𝑣 =

𝑅𝐴 3 𝑅𝐵 𝑥 + 𝑥−𝐿 6 6

𝑤𝐿 3 3 𝑤𝐿 𝑥 + 𝑥−𝐿 48 48

3

−

3

𝑤 𝑥−𝐿 24

−

4

𝑤 𝑥−𝐿 24

−

𝑤𝐿 2 𝐿 𝑥 48

4

−

𝑅𝐴 2 𝐿 𝑥 6

EJERCICIOS PARA DEBER Resistencia de materiales, Hibbeler, 8va Edición. 12-4,12-11,12-12,12-24,12-28.

MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS • El método del área de momentos representa una técnica semigráfica para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de una viga. La aplicación del método requiere el cálculo de áreas asociadas con el diagrama de momentos de la viga; entonces, si este diagrama se compone de formas simples, este método resulta ser muy conveniente, por lo contrario, si las fuerzas sobre la viga implican áreas de momentos complicadas, este método es más complicado. • Cabe recalcar que con este método no se obtendrá una ecuación de la deflexión, más bien, se obtiene el desplazamiento o la pendiente para un punto específico de la viga. • Para utilizar este método se asumen los mismos supuestos que el método anterior: La viga está inicialmente horizontal y las cargas aplicadas son muy pequeñas, de tal manera que el material no supera el rango elástico.

MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS • El método del área de momentos se basa en 2 teoremas, uno se usa para obtener la pendiente de un punto deformado de la viga, mientras que otro se lo usa para determinar la deflexión del punto.

MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS

𝜃𝐴−𝐵 = 𝜃𝐴 − 𝜃𝐵

• Es fácil deducir que el ángulo está medido en radianes. • Cómo son ángulos pequeños, se puede aproximar la distancia

MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS

𝑡𝐴−𝐵 = 𝜃𝐴 − 𝜃𝐵

MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS • Determinar el diagrama de momento, luego, dividir dicho diagrama para la rigidez flexionante sólo si la sección es constante en toda su longitud. • Dibujar la curva elástica. Para ello, tomar en cuenta la concavidad, el sentido de la flexión (positivo o negativo), el máximo momento (pendiente =0). El desplazamiento conocido y la pendiente que va a determinarse deben indicarse en la curva. • Aplicar los teoremas conocidos (pendiente o desplazamiento). En algunos casos es necesario aplicar los 2 casos para resolver el ejercicio. • De manera general se usa como uno de los puntos (A o B) un lugar donde conocemos la pendiente o desplazamiento.

EJERCICIO #5 Determine la pendiente de la viga en el punto B. EI es constante. Paso 1: Determine las reacciones de la viga mostrada

෍ 𝑀𝑎 = 0 𝑀𝐴

𝑀𝐴 − 𝑃𝐿 = 0 𝑉𝐴

𝑀𝐴 = 𝑃𝐿

෍ 𝐹𝑦 = 0 𝑉𝐴 = 𝑃

EJERCICIO #5 Determine la pendiente de la viga en el punto B. EI es constante. Paso 2: Dibujar los diagramas de momentos por partes. Escogemos un punto para hacer momento “A”

𝑀𝐴

𝑀 = 𝑀 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑉𝐴

PUNTO DE ANÁLISIS

EJERCICIO #5 Determine la pendiente de la viga en el punto B. EI es constante. Paso 3: Determinar la pendiente en el punto B

𝑀𝐴 𝐸𝐼𝜃𝐵 = (𝐴𝑅𝐸𝐴)𝐵/𝐴 𝑉𝐴 𝐸𝐼𝜃𝐵 =

−𝑃𝐿 ∗ 𝐿 2 𝑃𝐿2 𝜃𝐵 = − 2𝐸𝐼

EJERCICIOS #6 Determine la pendiente de la viga en el punto C. EI es constante. Paso 1: Determine las reacciones de la viga mostrada

෍ 𝑀𝑎 = 0 𝑅𝐵 𝐿 − 𝑃𝐿/2 = 0 𝑅𝐵 = 𝑃𝐿/2 𝑅𝐴

𝑅𝐵

෍ 𝐹𝑦 = 0 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 = 𝑃 𝑅𝐴 = 𝑃𝐿/2

EJERCICIO #6 Determine la pendiente de la viga en el punto C. EI es constante. Paso 2: Dibujar los diagramas de momento y de la elástica de la viga

Paso 3: Determinar la pendiente respecto a las áreas de momento

𝐸𝐼𝜃𝐶 = (𝐴𝑅𝐸𝐴)𝐶/𝐷

EJERCICIOS #7 Determine el desplazamiento de la viga en el punto C. EI es constante. Paso 1: Dibujar los diagramas de momento y de la elástica de la viga

Diagrama de Momentos

𝑀𝑜 𝑅𝐴 = 𝐿

𝑅𝐵 =

𝑀𝑜 𝐿 Diagrama de elástica

EJERCICIOS #7 Determine el desplazamiento de la viga en el punto C. EI es constante. Paso 2: Analizamos el desplazamiento C en la viga, tenemos las desviaciones tangenciales de B con respecto A y B con respecto C

Paso 3: Aplicamos el teorema de la desviación tangencial

𝐸𝐼𝑡𝐴/𝐵 = 𝐴𝑅𝐸𝐴

𝐴𝐵

∗ 𝑥𝐴

𝑡𝐶|𝐵 Paso 4: Aplicamos el teorema de la desviación tangencial

𝑡𝐴|𝐵

𝐸𝐼𝑡𝐶/𝐵 = 𝐴𝑅𝐸𝐴

𝐴𝐵

∗ 𝑥𝐶

EJERCICIOS #7 Determine el desplazamiento de la viga en el punto C. EI es constante. Paso 5: Reemplazamos los datos en la relación de triángulos de la deformación en C

EJERCICIOS #8 Determine la pendiente en el punto B y el desplazamiento en C. El elemento es una T de acero estructural A36, el cual I=76.8 pulg4. Paso 1: Encontramos las reacciones

෍ 𝑀𝑎 = 0 𝑅𝐵 6 − 5 3 − (1,5 ∗ 6)(3) = 0 𝑅𝐵 = 7 𝑘𝑖𝑝𝑠 𝑅𝐴

𝑅𝐵

෍ 𝐹𝑦 = 0 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 5 + (1,5 ∗ 6) 𝑅𝐴 = 7 𝑘𝑖𝑝𝑠

EJERCICIOS #8 Determine la pendiente en el punto B y el desplazamiento en C. El elemento es una T de acero estructural A36, el cual I=76.8 pulg4. 𝑥

Paso 1: Encontramos las reacciones

−7𝑥 + 0.75𝑥 2 + 𝑀 = 0 𝑀 = 7𝑥 − 0.75𝑥 2

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