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C.P. Berta T. Rott de Svartman

Universidad Nacional del Nordeste Facultad de Ciencias Económicas

MATEMÁTICA FINANCIERA

RENTAS VITALICIAS

Notas de Cátedra (Unidad 11, Programa Estudio) confeccionadas por C.P. Berta T. Rott de Svartman

Resistencia, noviembre de 2011

1

C.P. Berta T. Rott de Svartman RENTAS VITALICIAS Una renta es vitalicia cuando las cuotas pactadas continúan por toda o parte de la vida del beneficiario, según se haya acordado. Llamamos prima única pura o valor actual de una renta vitalicia constante, a la suma que debe abonar una persona de x años de edad (a la fecha del contrato), para tener derecho a percibir una cuota constante mientras esté con vida en el lapso considerado en el contrato. Si la cuota es cobrada al inicio de cada período, la renta es adelantada, de lo contrario, es vencida. Las rentas vitalicias pueden ser: a) Inmediatas: su duración se extiende desde la edad x hasta el final de la existencia del beneficiario. b) Diferidas: su duración se extiende desde una edad posterior a la de la fecha del contrato (x+n) hasta el final de la existencia del beneficiario. c) Temporaria: su duración se extiende desde la edad x y hasta antes del final de la existencia del beneficiario (x+n). d) Interceptadas: su duración se extiende desde una edad posterior a la de la fecha del contrato (x+n) y hasta antes del final de la existencia del beneficiario (x+n+m)

RENTAS VITALICIAS INMEDIATAS VENCIDAS χ

ω-1

ω

├──┼──┼──┼───//────────┼──┤ 1

1

1

1

Recordando que el valor actual de una renta cierta constante vencida es igual a:

Vn = c.v + c.v2 + c.v3 + c.v4 +………+ c.vn 2

C.P. Berta T. Rott de Svartman

Y que la probabilidad (npx) que tiene una persona que recién ha cumplido x años de vivir n años más es igual a:

p = lx+n / lx donde lx+n es la cantidad de personas que llega con vida a

n x

la edad x+n y lx es la cantidad de personas que ha llegado a la edad x Trabajando con cuotas de 1 unidad monetaria, e incorporando la probabilidad de llegar con vida que tiene el beneficiario a cada uno de los momentos en que debe percibir la cuota, y designando con Ax a la prima única pura (valor actual de la renta), resulta:

Ax = v.px + v2. 2px + v3. 3px +…..+ vω-x-1. pω-1 Reemplazamos

p por su fórmula:

n x

Ax = v. lx+1 / lx + v2. lx+2 / lx + v3. lx+3 / lx +…..+ vω-x-1. lω-1 / lx Efectuamos la suma :

Ax = v. lx+1 + v2. lx+2 + v3. lx+3 +…..+ vω-x-1. lω-1 lx Multiplicamos numerador y denominador por vx :

Ax = vx+1. lx+1 + vx+2. lx+2 + vx+3. lx+3 +…..+ vω-1. lω-1 vx lx Hacemos : vx lx = Dx

y

Nx = Dx + Dx+1 + Dx+2 +……..+ Dω-1

Y arribamos a : 3

C.P. Berta T. Rott de Svartman

Ax = Nx+1 Dx

(I)

RENTAS VITALICIAS INMEDIATAS ADELANTADAS Si la renta es adelantada en lugar de vencida, al valor actual de la vencida debemos adicionarle una cuota más (en el desarrollo sería 1 unidad monetaria) correspondiente a la edad x, resultando su valor actual (ax ) igual a:

ax = Nx+1 + 1 Dx ax =

=

Nx+1 + Dx Dx

Nx ( II ) Dx

RENTAS VITALICIAS DIFERIDAS VENCIDAS χ

x+n

ω-1

ω

├──┼─//────┼──┼──┼─//─── ─┼──┼──┤ n

/Ax

Ax+n 1

1

1

1

El valor actual de una renta vitalicia vencida diferida en n años ( n/Ax), resulta de actualizar el valor de una renta vitalicia inmediata vencida por la probabilidad de llegar con vida a la edad x+n: /Ax = Ax+n . vn . npx

n

4

C.P. Berta T. Rott de Svartman /Ax = Nx+n+1 . vn . lx+n . vx = Nx+n+1 . lx+n . vx+n

n

lx

Dx+n

vx

Dx+n

lx

vx

/Ax = Nx+n+1 . Dx+n

n

Dx+n n

Dx

/Ax = Nx+n+1 (III)

Dx

RENTAS VITALICIAS DIFERIDAS ADELANTADAS El valor actual de una renta vitalicia adelantada diferida en n años ( n/ax), resulta de actualizar el valor de una renta vitalicia inmediata adelantada por la probabilidad de llegar con vida a la edad x+n:

/ax = ax+n . vn . npx

n

/ax = Nx+n . vn . lx+n . vx = Nx+n . lx+n . vx+n Dx+n lx vx Dx+n lx vx

n

/ax = Nx+n . Dx+n Dx+n Dx

n

n

/ax = Nx+n (IV) Dx

RENTAS VITALICIAS TEMPORARIAS 5

C.P. Berta T. Rott de Svartman

χ

x+n

ω

├──┼──┼─//─┼───//────────┤ 1

1

1

Considerando que las rentas vitalicias temporarias se extienden desde la edad x hasta antes del final de la vida, llamaremos n al plazo de duración de la renta temporaria. El valor actual de esta renta es igual a la diferencia entre el valor actual de una renta vitalicia inmediata y el de una diferida en n años. Si la renta es vencida, su valor se obtiene de la siguiente manera : /n Ax = Ax – n/ Ax /n Ax = Nx+1

__

Dx

Nx+n+1 Dx

/n Ax = Nx+1

Nx+n+1 ( V ) Dx

---

Y si es adelantada :

/nax = ax ─ n/ax /nax = Nx __ Nx+n Dx Dx /nax = Nx --- Nx+n ( VI ) Dx

RENTAS VITALICIAS INTERCEPTADAS χ

x+n

x+n+m

ω 6

C.P. Berta T. Rott de Svartman ├──────────┼───┼──┼─//─┼───//────────┤ El valor actual de una renta vitalicia interceptada cuya duración va desde la edad x+n hasta la edad x+n+m, resulta de la diferencia entre dos rentas diferidas, una diferida en n años y la otra diferida en n+m años. Si la renta es vencida: / Ax =

/Ax ─

n m

n

/Ax

n+m

/ Ax = Nx+n+1 ─ Nx+n+m+1

n m

Dx

Dx

/ Ax = Nx+n+1 ─ Nx+n+m+1

n m

(VII)

Dx Si la renta es adelantada: / ax=

n m

n

/ax ─

/ax

n+m

/ a x = Nx+n ─ Nx+n+m

n m

Dx

Dx

/ a x = Nx+n ─ Nx+n+m

n m

(VIII)

Dx

EJERCICIOS

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C.P. Berta T. Rott de Svartman 1. Una señora de 55 años de edad contrata una renta vitalicia de $ 25.000 anuales vencidos. Calcule la prima única pura : a) si la renta es inmediata ; b) si el contrato estipula el pago cierto durante 15 años y posteriormente mientras esté viva. 2. Un hombre de 65 años de edad tiene 2 opciones : a) recibir $ 50.000 de una compañía de seguros, invertirlos al 3% anual y recibir cantidades iguales al principio de cada año durante 20 años, al término de los cuales el fondo estará agotado, o b) dejar el dinero en la compañía y recibir cantidades iguales al principio de cada año, durante 20 años, mientras esté vivo. Calcule el importe anual que recibirá en cada caso. Si el hombre fallece antes de alcanzar los 80 años, ¿Cuánto recibirán sus herederos en cada caso? 3. Una persona de sexo masculino, de 35 años de edad, contrata una póliza que estipula el cobro de una renta vitalicia de $ 20.000.- anuales durante 15 años, recibiendo el primero a los 60 años, para lo cual se obliga a efectuar 30 pagos anuales iguales, a partir del día de hoy y siempre que esté vivo. Calcule: a) La prima única pura, b) El valor de cada uno de los 30 pagos.

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