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OBJETIVOS

 Definir renta.  Clasificar las rentas.  Identificar los distintos momentos de una renta.  Demostrar fórmulas principales y derivadas.  Resolver situaciones problemáticas. CONTENIDOS  





Las rentas. Definición. Cuota. Momento de iniciación. Momento de finalización. Valuación de una renta. Momento de valuación. Clasificación de las rentas. Rentas ciertas a interés compuesto anticipadas con cuotas constantes. Diferencia de tiempo. La época de valuación coincide con la finalización de la renta (t=n). La imposición vencida. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. La imposición adelantada. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Rentas ciertas temporarias anticipadas con valuación antes de la finalización de pagos (tn). Renta temporaria anticipada vencida con valuación después de la finalización de pagos. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Renta temporaria anticipada adelantada con valuación después de la finalización de pagos. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Rentas ciertas perpetuas anticipadas. Diferencia de tiempo. La renta cierta perpetua anticipada vencida. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. La renta cierta perpetua anticipada adelantada. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. La renta cierta inmediata o amortización. La renta temporaria inmediata o amortización vencida. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. La renta temporaria inmediata o amortización adelantada. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. La renta cierta perpetua inmediata. La renta perpetua inmediata vencida. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. La renta perpetua inmediata adelantada. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Las rentas ciertas temporarias Diferidas. La renta cierta temporaria diferida vencida. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. La renta cierta temporaria diferida adelantada. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Las rentas ciertas perpetuas diferidas. La renta cierta perpetua diferida vencida. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. La renta cierta perpetua diferida adelantada. Fórmula principal. Fórmulas derivadas.

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LAS RENTAS RENTA (Definición) Se llama renta a toda sucesión de capitales financieros que tienen la finalidad de formar un capital futuro, cancelar una deuda, etc. Así por ejemplo son rentas las siguientes sucesiones de capitales financieros:    

Una serie de capitales financieros depositados con el objeto de formar un capital futuro (cuenta de ahorro). Una serie de sumas de pagos con la finalidad de cancelar una deuda (préstamo). Una serie de pagos en forma periódica para abonar un bien por haberlo comprado en forma financiada. Las sucesiones de pagos de un seguro de vida.

CUOTA (Definición) Cada uno de los términos que integran la sucesión capitales financieros se llama cuota. Esto significa que si formamos un capital en una caja de ahorro, cada uno de los depósitos se llama cuota y si compramos un bien a crédito u obtenemos un préstamo, cada uno de los pagos periódicos se llama cuota.Teniendo en cuenta las características de las cuotas, estas se pueden clasificar en: a) Según su valuación: Las cuotas se pueden valuar siguiendo una ley simple o siguiendo una ley compuesta. b) Según su valor: constantes si todas son del mismo valor, caso contrario se dice que son variables. c) Según su época de pago: vencidas, si se pagan al final de cada período; y adelantadas, si se pagan al inicio de los mismos. MOMENTO DE INICIACIÓN (Concepto) El momento de iniciación de una renta, es el momento en el tiempo en el que se da inicio a la sucesión de capitales financieros, o sea la época en la que se paga o se deposita la primera cuota. MOMENTO DE FINALIZACIÓN (Concepto) El momento de finalización de una renta, es el momento en el tiempo que se da por finalizado la sucesión de capitales financieros, o sea la época en la que se paga o se deposita la última cuota. VALUACIÓN DE UNA RENTA (Concepto) Todas las cuotas que forman la sucesión de capitales financieros, deben tomar un valor general en algún momento en el tiempo. Este valor se llama “valuación de la renta” y dicha valuación depende del objetivo que tenga la renta. Por ejemplo si las cuotas que se pagan son para cancelar una deuda, la valuación de la renta es al inicio de la misma, ya que de antemano sabemos el total que debemos. Si por el contrario, las cuotas que se depositan son para formar un capital, por supuesto que el valor de la renta será al final de la operación, o sea cuando deposite la última cuota y se conozcan los intereses ganados.

3 MOMENTO DE VALUACIÓN (Concepto) El momento de valuación es el momento en el tiempo en que se valúa una renta.

CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS Para poder estudiar las rentas o sucesiones de capitales financieros, y debido a su diversidad de funciones, se las puede clasificar en: En función de la duración a. Temporarias: Una renta se dice que es temporaria si su duración es limitada, o sea que se considera que el número de períodos es fijo. b. Perpetuas: Una renta se dice que es perpetua si su duración es ilimitada, o sea que se considera que el número de períodos tiende al infinito. En función de su condicionamiento a. Cierta: Una renta se dice que es cierta si su duración no está subordinada a algún acontecimiento. Estas rentas son las más comunes, como por ejemplo los préstamos, las compras financiadas, los ahorros en cuotas, etc. b. Incierta: Una renta se dice que es incierta cuando su duración depende de algún acontecimiento, como por ejemplo un seguro de vida, un sistema de ahorro y préstamos, etc. En función de las cuotas a. Constantes: Si las cuotas no varían. b. Variables: Si las cuotas varían. c. Vencidas: Si las cuotas se pagan o se depositan al final de cada período. d. Adelantadas: Si las cuotas se pagan o se depositan al inicio de cada período. En función de su capitalización a. A Interés simple: valuadas con un régimen de ley simple. b. A Interés compuesto: valuada con un régimen de ley compuesta. En función de su valuación a. Anticipadas: Una renta se dice que es anticipada cuando el momento de iniciación es anterior a la valuación de la misma. b. Inmediatas: Una renta se dice que es inmediata cuando la valuación de la misma coincide con el momento de iniciación. c. Diferidas: Una renta se dice que es diferida cuando el momento de iniciación es posterior a la valuación de la renta.

NOTA Las rentas que se estudiarán en este libro son las RENTAS CIERTAS A INTERÉS COMPUESTO, TEMPORARIAS O PERPÉTUAS, dentro de ellas LAS INMEDIATAS, DIFERIDAS Y ANTICIPADAS.

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LAS RENTAS TEMPORARIAS CIERTAS A INTERÉS COMPUESTO ANTICIPADAS CON CUOTAS CONSTANTES Como por definición, son aquellas en donde la iniciación de la misma es anterior a la época de valuación. Ahora, ésta renta se la debe estudiar con respecto a la diferencia de tiempo entre la valuación y la finalización de la misma. DIFERENCIA DE TIEMPO (Definición) En la renta anticipada, se llama diferencia de tiempo a los períodos existentes entre la época de valuación y la finalización de la renta y se la representa con la “t”.

LA ÉPOCA DE VALUACIÓN COINCIDE CON LA FINALIZACIÓN DE LA RENTA (t = n) En este caso, justo en la finalización de la renta se valúan la sucesión de capitales financieros, estos explica con el siguiente gráfico: Momento de Iniciación

Momento de Finalización n períodos Se efectúan los depósitos Momento de valuación

Toda renta donde la sucesión de capitales financieros donde la valuación coincide con el momento de finalización, se llama IMPOSICIÓN o valor final de la renta. En esta renta, la sucesión de capitales financieros se capitalizan, o sea que en cada período se genera un monto cuyo capital inicial es la cuota (C), o sea:

Cn'  C.(1  i) n IMPOSICIÓN VENCIDA Como se sabe, toda renta donde las cuotas se abonan o se depositan al final de cada período, se dice que es vencida. Ahora, cada capital financiero es un monto donde por cada período se capitaliza la cuota. Para explicar correctamente y deducir la fórmula de la imposición vencida, hacemos el siguiente gráfico: MI 1º

2º

3º

Períodos …………………

n-1

MF=MV N

C. C.(1  i ) C.(1  i ) 2 ............. C.(1  i ) n 3 C.(1  i ) n  2 C.(1  i ) n 1

5 Observamos que para el primer período, la cuota que se paga al final del mismo y se capitaliza por los n-1 períodos restantes hasta la valuación, o sea:

C1 '  C.(1  i ) n 1 Para el final del segundo período, la cuota se capitaliza por n-2 períodos, entonces el monto es:

C2 '  C.(1  i ) n  2 Para el final del tercer período, la cuota se capitaliza para n-3 períodos, entonces el monto es:

C3 '  C.(1  i ) n 3 Cuando llegamos al final del período n-2, observamos que la cuota se capitaliza por dos períodos más, o sea que el monto es:

C n 2 '  C.(1  i ) 2 Por supuesto, para el final del período n-1, la cuota se capitaliza por un solo período, entonces el monto es:

C n 1 '  C.(1  i ) Y cuando llegamos al final del último período, la cuota no tiene tiempo para capitalizarse, o sea que el monto es:

Cn'  C.(1  i) 0  C.1  C

Ahora, la suma de todos estos capitales financieros constituyen la renta o la Imposición que la denotamos con S(C,n.i) (imposición vencida de cuota C, períodos n y tasa i), o sea:

S (C , n, i)  C1 'C 2 'C3  ...  C n 2 'C n 1 'Cn' Que es lo mismo, aplicando la propiedad conmutativa de la adición:

S (C , n, i)  Cn'C n 1 'C n 2 '...  C3 'C 2 'C1 ' Reemplazando por las expresiones anteriormente determinadas, queda:

S (C , n, i )  C  C.(1  i )  C.(1  i )2  ...  C.(1  i )n 2  C.(1  i )n 1 Sacando factor común la cuota, se tiene:

S (C , n, i )  C 1  (1  i )  (1  i ) 2  ...  (1  i ) n  2  (1  i ) n  1  (1  i ) n    Pero como 1+i>0 entonces la progresión formada con los términos de la serie que está en el corchete es creciente y como cada uno de los términos difiere del anterior en una cantidad igual a 1+i (razón de la serie o de la progresión), entonces ésta es una progresión geométrica creciente.

6 Ahora, en toda progresión geométrica creciente de “n” elementos, donde “a1” es el primer término y “q” es la razón, su suma está dada por:

S  a1 .

qn 1 q 1

Entonces para nuestra serie, el primer término es 1 y reemplazando queda:

(1  i ) n  1 S (C , n , i )  C · 1 i 1

Y cancelando se llega a la fórmula para calcular la imposición vencida de cuota constante:

(1  i ) n  1 S (C , n, i )  C · i Por ejemplo: Una persona deposita al finalizar cada bimestre $386,20 durante 3 años ¿Cuál el total de dinero obtenido si se le aplicó el 25% anual de interés? Datos Capitalización: bimestral y compuesta C=$386,20 bimestral y vencida R=25% anual  R=25%:6 bimestral  R=4,16% bimestral  i=0,0416 T=3 años  n=3x6 bimestres  n=18 Incógnita S(C,n,i)=? Calculamos la imposición vencida usando la fórmula últimamente demostrada:

(1  i ) n  1 (1  0,0416)18  1 S (C , n, i )  C ·  S (C , n, i )  $386,20· i 0,0416 S (C , n, i )  $10.057,17 FÓRMULAS DERIVADAS DE LA IMPOSICIÓN VENCIDA Para obtener las fórmulas derivadas de la imposición vencida, basta con despejarlas de la fórmula principal para su cálculo. LA CUOTA VENCIDA EN LA IMPOSICIÓN Partiendo de la fórmula principal, o sea:

(1  i ) n  1 S (C , n , i )  C · i

7 Despejando la cuota, queda:

C

S (C , n, i )  i (1  i ) n  1

Por ejemplo: Una persona quiere formar un capital de $7.530 y para ello elige una entidad financiera que otorga el 30% anual de interés y de acuerdo a sus cálculos, dichos depósitos los debe hacer por un año y medio ¿Cuál es el valor de la cuota vencida que debe depositar esta persona? Datos Capitalización: mensual y compuesta S(C,n,i)=$7.530 R=30% anual  R=30%:12 mensual  R=2,5% mensual  i=0,025 T=1,5 años  n=1,5x12  n=18 Incógnita C=? vencida Para calcular la cuota vencida de la imposición, usamos la fórmula que se demostró últimamente:

C

S (C , n , i )  i $7.530  0,025 C   C  $336,37 n (1  i )  1 (1  0,025)18  1

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN LA IMPOSICIÓN VENCIDA Si partimos de la fórmula principal:

(1  i ) n  1 S (C , n , i )  C · i Pasamos la cuota y la tasa del denominador al primer miembro:

S (C , n, i )  i  (1  i ) n  1 C Pasamos el -1 al primer miembro y sacamos común denominador y queda:

(1  i ) n 

S (C , n, i )  i  C C

Tomamos logaritmo en ambos miembros y se tiene:

log(1  i ) n  log

S (C , n, i )  i  C C

Aplicando las propiedades de los logaritmos, tenemos:

n  log(1  i )  log( S (C , n, i )  i  C )  log C

8 Ahora despejamos el número de períodos y se llega a la fórmula deseada:

n

log( S (C , n, i )  i  C )  log C log(1  i )

Por ejemplo: ¿Cuántos meses se debe depositar al final de los mismos $250,60 para reunir un capital de $10.289,44 sabiendo que la entidad financiera otorga el 25% anual de interés? Datos Capitalización: mensual y compuesta C=$250,60 vencida S(C,n,i)=$10.289,44 R=25% anual  R=25%:12 mensual  R=2,08% mensual  i=0,0208 Incógnita n=? Para calcular los períodos hacemos:

n

log(S (C , n, i)  i  C )  log C log($10.289,44  0,0208  $250,60)  log $250,60 n log(1  i) log(1  0,0208)

Calculando, queda:

n  29,98 meses Lo que significa que 29 cuotas serán de $250,60; y una más que se la calcula haciendo el siguiente razonamiento:

1 mes  $250,60 0,98 meses  x

Donde:

x  $250,60  0,98  $245,58 IMPOSICIÓN ADELANTADA Para la imposición vencida nosotros hemos visto que las cuotas se depositan al final de cada período. Ahora en la imposición adelantada estudiaremos el caso en el que las cuotas se depositan al inicio de cada período.

9 Como se sabe, cada capital financiero es un monto cuyo capital inicial es la cuota que se capitaliza por los períodos según sea el período de la cuota. Para ello haremos el siguiente gráfico: MI 1º

2º

3º

Períodos ………………..

n-1

MF=MV n

C.(1  i) C.(1  i) 2 ............ C.(1  i) n3 C.(1  i) n2 C.(1  i) n1 C.(1  i) n

Al inicio del primer período, la cuota se capitaliza por “n” períodos, por lo tanto el monto es:

C1 '  C.(1  i) n Al inicio del segundo período, la cuota se capitaliza por “n-1” períodos, por lo tanto el monto es:

C 2 '  C.(1  i ) n 1 Al inicio del tercer período, la cuota se capitaliza por “n-2” períodos, por lo tanto el monto es:

C 3 '  C.(1  i ) n  2 Al inicio del cuarto período, la cuota se capitaliza por “n-3” períodos, por lo tanto el monto es:

C 4 '  C.(1  i) n3 Y así llegamos al inicio del penúltimo período, donde la cuota se capitaliza por dos períodos y el monto es:

C n 1 '  C.(1  i ) 2 es:

Hasta llegar al último período, donde la cuota todavía se capitaliza por un solo período y el monto

Cn'  C.(1  i ) Ahora, la suma de todos estos capitales financieros constituyen la renta o la Imposición que la denotamos con S’(C,n.i) (imposición adelantada de cuota C, períodos n y tasa i), o sea:

S ' (C , n, i)  C1 'C 2 'C3  ...  C n 2 'C n 1 'Cn'

10 Que es lo mismo aplicando la propiedad conmutativa de la adición:

S ' (C , n, i )  Cn'C n 1 'C n 2 '...  C3 'C 2 'C1 ' Reemplazando por las expresiones anteriormente determinadas, queda:

S ' (C , n, i)  C.(1  i)  C.(1  i) 2  ...  C.(1  i) n 2  C.(1  i) n 1  C.(1  i) n Y sacando factor común la cuota, queda:



S ' (C , n, i)  C. (1  i)  (1  i) 2  ...  (1  i) n 2  (1  i) n 1  (1  i) n



Pero como 1+i>0 entonces la progresión formada con los términos de la serie que está en el corchete es creciente y como cada uno de los términos difiere del anterior en una cantidad igual a 1+i (razón de la serie o de la progresión), entonces ésta es una progresión geométrica creciente. Ahora, en toda progresión geométrica creciente de “n” elementos, donde “a1” es el primer término y “q” es la razón, su suma está dada por:

S  a1 .

qn 1 q 1

Entonces para nuestra serie, el primer término es (1+i) y reemplazando queda:

(1  i ) n  1 S ' (C , n, i )  C.(1  i )· 1 i 1 Y cancelando se llega a la fórmula para calcular la imposición vencida de cuota constante:

(1  i ) n  1 S ' (C , n, i )  C .(1  i )· i Si comparamos las fórmulas de la imposición vencida y adelantada, observamos que la segunda tiene una capitalización más y esto es debido a que se adelanta el pago de la cuota un período.Por ejemplo: Una persona deposita al inicio de cada bimestre $386,20 durante 3 años ¿Cuál el total de dinero obtenido si se le aplicó el 25% anual de interés? Datos Capitalización: bimestral y compuesta C=$386,20 bimestral y adelantada R=25% anual  R=25%:6 bimestral  R=4,16% bimestral  i=0,0416 T=3 años  n=3x6 bimestres  n=18 Incógnita S’(C,n,i)=? Calculamos la imposición vencida usando la fórmula últimamente demostrada:

(1  i) n  1 (1  0,0416)18  1 S ' (C, n, i)  C.(1  i)·  S ' (C, n, i)  $386,20.(1  0,0416)· i 0,0416

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O sea:

S ' (C , n, i )  $10.476,22 FÓRMULAS DERIVADAS DE LA IMPOSICIÓN ADELANTADA

Para obtener las fórmulas derivadas de la imposición adelantada, basta con despejarlas de la fórmula principal para su cálculo. LA CUOTA ADELANTADA EN LA IMPOSICIÓN Partiendo de la fórmula principal, o sea:

(1  i ) n  1 S ' (C , n, i )  C.(1  i )· i Despejando la cuota, queda:

C

S ' (C , n, i )  i (1  i ).(1  i ) n  1  

Por ejemplo: Una persona quiere formar un capital de $7.530 y para ello elige una entidad financiera que otorga el 30% anual de interés y de acuerdo a sus cálculos, dichos depósitos los debe hacer por un año y medio ¿Cuál es el valor de la cuota adelantada que debe depositar esta persona? Datos Capitalización: mensual y compuesta S’(C,n,i)=$7.530 R=30% anual  R=30%:12 mensual  R=2,5% mensual  i=0,025 T=1,5 años  n=1,5x12  n=18 Incógnita C=? adelantada Para calcular la cuota adelantada de la imposición, usamos la fórmula que se demostró últimamente:

C

S ' (C , n, i )  i $7.530  0,025 C   C  $328,16 n 18     (1  i ). (1  i )  1 (1  0,025). (1  0,025)  1    

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN LA IMPOSICIÓN ADELANTADA Si partimos de la fórmula principal:

(1  i ) n  1 S ' (C , n, i )  C.(1  i )· i Pasamos la cuota, 1+i y la tasa del denominador al primer miembro:

S ' (C , n, i )  i  (1  i ) n  1 C.(1  i )

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Pasamos el -1 al primer miembro y sacamos común denominador, queda:

(1  i ) n 

S ' (C , n, i )  i  C.(1  i ) C.(1  i )

Tomamos logaritmo en ambos miembros, se tiene:

log(1  i ) n  log

S ' (C , n, i )  i  C .(1  i ) C .(1  i )

Aplicando las propiedades de los logaritmos, tenemos:

n  log(1  i)  logS ' (C, n, i)  i  C.(1  i)  log C.(1  i) Ahora despejamos el número de períodos y se llega a la fórmula deseada:

n

log  S '(C , n, i )  i  C.(1  i )   log C.(1  i ) log(1  i )

Por ejemplo: ¿Cuántos meses se debe depositar al inicio de los mismos $250,60 para reunir un capital de $10.289,44 sabiendo que la entidad financiera otorga el 25% anual de interés? Datos Capitalización: mensual y compuesta C=$250,60 adelantada S’(C,n,i)=$10.289,44 R=25% anual  R=25%:12 mensual  R=2,08% mensual  i=0,0208 Incógnita n=? Para calcular los períodos hacemos:

n

logS ' (C , n, i )  i  C.(1  i )  log C.(1  i ) log(1  i )

Reemplazando por sus valores, se tiene:

n

log$10.289,44  0,0208  $250,60.(1  0,0208)  log $250,60.(1  0,0208) log(1  0,0208)

Lo que significa que:

n  29 meses

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8.

9.

10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

Una persona quiere formar un capital de $7.500 en 9 meses, otorgando la entidad financiera el 3% bimestral de interés. ¿Cuál es la cuota adelantada que debe depositar ésta persona? Una persona desea vende una propiedad y recibe como anticipo $10.000 y tiene dos ofertas por el resto: la primera consiste en 60 pagos al final de cada mes de $500; y la segunda en 50 pagos al inicio de cada mes de $550 ¿qué oferta le conviene más si el interés aplicado es del 1,5% mensual? Un inversionista ahorra $200 cada inicio de mes y quiere llegar formar un capital de $10.600 ¿qué tiempo necesita realizar los ahorros si la entidad financiera otorga el 24% anual de interés? Resolver el problema anterior con cuotas vencidas. Un inversionista ahorra al inicio de cada mes $150 durante 2 años, ganando un interés mensual del 1,03%. A los 18 meses retira $2.500 ¿Cuál es el saldo que le quedó? Un inversionista deposita al final de cada bimestre una cuota la que al cabo de 2 años generará una imposición de $3.852 ¿Si el interés es del 25% anual, cuál es el valor de la cuota depositada? Se debe reunir $30.000 en 10 meses. Para ello se puede depositar al final de cada mes la suma de $1.500 con el 5% mensual de interés. Además estaré en condiciones de realizar dos depósitos extras uno a los 4 meses de $5.000 y otro a los 7 meses. ¿Cuál será el valor de este último depósito? Una persona necesita formar un capital de $25.000, contando para ello con $230 por mes. Si la entidad financiera otorga el 20% anual de interés, se pide calcular: a. El tiempo que se necesita si el depósito es al inicio de cada período. b. El tiempo que se necesita si el depósito es al final de cada período. Un inversionista deposita al inicio de cada mes $150 durante 5 meses con el 5% bimestral de interés, luego decide depositar $120 al final de cada mes y durante 8 meses con el 5,5% bimestral de interés. Se pide: a. El total obtenido. b. Si en el segundo caso, la cuota sería de $140, ¿qué tiempo necesitaría para obtener la misma imposición? c. Si depositaría $140 vencido ¿Qué tiempo necesitaría para obtener el total del punto a)? Se depositan $365,50 al inicio de cada mes durante un año y medio con 30% anual de interés. Luego lo coloca al mismo capital en un plazo fijo de 7 meses con el 12% semestral de interés ¿Cuál es el monto se obtiene? Resolver el problema del punto anterior si los depósitos de realizan al final de cada mes. Una persona obtuvo al final de las operaciones financieras $32.589,45. Se sabe que inicialmente hizo depósitos bimestrales vencidos durante 2 años con el 1,2% mensual de interés. Al finalizar este plazo, colocó toda la imposición obtenida a plazo fijo durante 3 meses con capitalización compuesta, mensual y con 2% mensual de interés ¿Cuál es el valor de las cuotas depositadas? Resolver el problema anterior si las cuotas fueran adelantadas. Se depositan mensualmente y en forma adelantada $132,44 y se quiere formar un capital de $7.895,40 ¿Qué tiempo se deben realizar los depósitos para obtener dicho capital si se le aplica el 3% bimestral de interés? Una persona obtiene después de un año de depósitos mensuales y adelantados la suma de $9.730. ¿Si la entidad financiera otorga el 15% anual de interés, cuál es el valor de la cuota? Resolver el problema anterior con una cuota vencida.

14 RENTAS CIERTAS TEMPORARIAS ANTICIPADAS CON VALUACIÓN ANTES DE LA ÉPOCA DE FINALIZACIÓN DE LOS PAGOS (tn Partiendo de la fórmula principal, o sea:

(1  i ) n  1 S ' (C , n, i, t )  C .(1  i )· ·(1  i ) t i

Pasamos la cuota, el binomio 1+i, la tasa y la potencia “t” del binomio 1+i y aplicamos potencia de otra potencia, se tiene:

S ' (C , n, i, t )  i  (1  i ) n  1 t 1 C.(1  i ) Pasamos ahora el -1 y sacamos común denominador, se llega a:

(1  i ) n 

S ' (C , n, i, t ).i  C.(1  i ) t 1 C.(1  i ) t 1

Y tomando logaritmo en ambos miembros, queda:

log(1  i ) n  log

S ' (C , n, i, t ).i  C.(1  i ) t 1 C.(1  i ) t 1

32 Y aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

n. log(1  i )  log  S ' (C , n, i, t ).i  C.(1  i )t  1   log C  (t  1). log(1  i )   Ahora despejamos el número de períodos:

log  S ' (C , n, i, t ).i  C.(1  i )t  1   log C  (t  1). log(1  i )   n log(1  i ) Por ejemplo: Una persona deposita al inicio de cada mes $420. Una vez terminado los depósitos, retira un total de $3.256,44 después de 4 meses ¿Cuál es el valor de cada depósito si la institución financiera otorga el 25% anual de interés? Datos Capitalización: mensual y compuesta C=$420 adelantada S’(C,n,i,t)=$3.256,44 t=4 R=25% anual  R=25%:12 mensual  R=2,08% mensual  i=0,0208 Incógnita n=? Para calcular el número de períodos, hacemos:

log  S ' (C , n, i, t ).i  C.(1  i )t  1   log C  (t  1). log(1  i )   n log(1  i ) Reemplazando por los valores, tenemos:

log $3.256,44  0,0208  $420.(1  0,0208) 4  1   log $420  (4  1). log(1  0,0208)   n log(1  0,0208) Y resolviendo:

n  6,60 meses Esto significa que 6 cuotas serán de $420, una más de:

C  $420  0,60  $252

33 LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CON t>n Nuevamente, partimos de la fórmula principal, o sea:

(1  i ) n  1 S ' (C , n, i, t )  C .(1  i )· ·(1  i ) t i Hacemos un pasaje de factores y divisores despejando la potencia “t” de 1+i, se tiene:

(1  i ) t 

S ' (C , n, i, t )  i C .(1  i ).(1  i ) t  1  

Tomamos logaritmo en ambos miembros, o sea:

log(1  i ) t  log

S ' (C , n, i, t )  i C.(1  i ).(1  i ) n  1  

Y aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

t. log(1  i )  log S ' (C , n, i, t )  log i  log C  log(1  i )  log (1  i ) n  1  

Y despejando la diferencia de tiempo, llegamos a la fórmula deseada:

log S ' (C , n, i, t )  log i  log C  log(1  i )  log (1  i ) n  1   t log(1  i ) Por ejemplo: Durante 2 años una persona deposito al inicio de cada mes $120 ¿Después de qué tiempo de haber hecho el último depósito, debe retirar el dinero si quiere tener $6.322,15, sabiendo que la entidad financiera otorga el 26% anual de interés? Datos Capitalización: mensual y compuesta T=2 años  n=2x24 meses  n=48 C=$120 adelantada S’(C,n,i,t)=$6.322,15 R=26% anual  R=26%:12 mensual  R=2,16% mensual  i=0,0216 Incógnita t=? Calculamos la diferencia de tiempo, o sea:

log S ' (C , n, i, t )  log i  log C  log(1  i )  log (1  i ) n  1   t log(1  i )

34 Reemplazamos y se tiene:

log $6.322,15  log 0,0216  log $120  log(1  0,0216)  log (1  0,0216) 24  1   t log(1  0,0216) O sea que:

t  23,67 meses

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

¿Durante qué tiempo se deben hacer un depósito mensual vencido de $130 para obtener una renta de $2.340, sabiendo que se valúan 7 meses después del último depósito, otorgando la entidad financiera el 30% anual de interés? 2. Resolver el problema anterior con cuota adelantada. 3. ¿Cuál será el total que retira una persona después de 8 meses del último depósito mensual adelantado de $230, sabiendo que lo hizo durante un año y medio, pagando la institución financiera el 7% trimestral de interés? 4. Resolver el problema anterior con depósitos vencidos. 5. ¿Qué cuota se tendrá que depositar trimestralmente y vencida durante 2 años si se quiere obtener $3.560 después de 9 trimestres de haberse depositado la última, sabiendo que la entidad financiera otorga el 8% cuatrimestral de interés? 6. Resolver el problema anterior con cuota adelantada. 7. ¿Después de qué tiempo de haberse depositado la última cuota vencida de $150 mensual, se puede obtener $4.218, si se sabe que la entidad financiera otorga el 8% semestral de interés y si los depósitos se hicieron durante un año y medio? 8. Resolver el problema anterior con cuota adelantada. 9. El Señor Julio Castro deposita en forma mensual y vencida $162 durante 10 meses. Luego de la última cuota, deja su capital en el banco por 6 meses más otorgando dicha institución financiera el 25% anual de interés. Se pide: a. El total de dinero retirado al final de los tiempos antes mencionados. b. Si éste luego lo presta para ser devueltos en 10 meses más ¿Cuál será la ganancia obtenida si cobra el 30% anual de interés y con capitalización mensual y compuesta? c. Ese total obtenido lo vuelve a prestar por 5 meses y lo documenta con el 10% de interés compuesto y trimestral y capitalización mensual. ¿Cuánto le devolverán al final del plazo estipulado? d. Si el deudor paga el documento 2 meses antes de su vencimiento sufre un descuento comercial compuesto del 1,5% mensual con actualización mensual y compuesta. ¿Cuál será el descuento realizado y el valor devuelto? 10. Una persona deposita en forma mensual y adelantada $204 durante un año y medio otorgando la institución financiera el 4% trimestral de interés. Después de 7 meses del último depósito lo retira. Se pide: a. El total de dinero retirado al final de los tiempos estipulados. b. El total de dinero que le devolvieron después de 5 meses de haber prestado dicha suma con el 3% mensual de interés y con capitalización simple y mensual. c. Después de esta última operación financiera, toma la mitad y lo coloca en un plazo fijo de 60 días con el 30% anual de interés y capitalización mensual y compuesta ¿Cuál es la ganancia obtenida y el total de dinero devuelto? d. La otra mitad lo presta con el 5% bimestral de interés para ser devuelto en 10 meses, documentándolo con una cláusula del 1,5% mensual de descuento comercial compuesto. ¿Cuál es el valor nominal del documento?

35 e.

El deudor abona la deuda 3 meses antes de su vencimiento ¿Cuál es el valor que devuelve y el descuento realizado? 11. Después de 5 meses del último depósito mensual vencido, una inversionista retira de un banco $4.532,66. Si se sabe que la entidad financiera otorga el 3% bimestral de interés. Se pide: a. El valor de las 23 cuotas depositadas. b. El dinero obtenido en la cuota 20. c. El dinero que retiraría si lo dejara 2 meses más.

RENTAS CIERTAS PERPETUAS ANTICIPADAS Por definición, las rentas anticipadas, son aquellas en donde la iniciación de las mismas es anterior a la época de valuación. Para las rentas ciertas anticipadas, existen tres casos diferentes:  La valuación coincida con la terminación de la renta: este caso no es compatible con las rentas perpetuas, ya que éstas últimas no tienen finalización.  La valuación es posterior a la finalización de la renta: este caso tampoco es posible por la misma razón anterior.  La valuación es anterior a la finalización de la renta: este caso es posible en las rentas anticipadas ya que n, o sea que t