• Author / Uploaded
• Unrack

Citation preview

RELATIVIDAD En lo que sigue consideraremos dos sistemas de referencia inerciales, uno que llamaremos fijo, Oxyz, y otro que llamaremos m´ovil, O0 x0 y 0 z 0 , que se mueve respecto del fijo en la direcci´on x con − una velocidad u, es decir: → v O0 O = (u, 0, 0). Denominaremos suceso a la cuaterna (t, x, y, z), que corresponde a un acontecimiento que ocurre en el instante t en el punto (x, y, z) del sistema fijo. El mismo suceso referido al sistema m´ ovil, se expresar´a mediante la cuaterna (t0 , x0 , y 0 , z 0 ). Transformaciones de Galileo De O a O0 t0 x0 y0 z0

= = = =

De O0 a O t x y z

t x − ut y z

= = = =

t0 x0 + ut0 y0 z0

Transformaciones de Lorentz De O a O0

De O0 a O

u x) c2 = γ(x − ut) = y = z

u 0 x) c2 x = γ(x0 + ut0 ) y = y0 z = z0

t0 = γ(t − x0 y0 z0

t = γ(t0 +

El factor γ, que aparece en estas ecuaciones de transformaci´on es: 1 γ=q 1−

, u2 c2

donde c es la velocidad de la luz. Como, con la condici´on de que el sistema m´ovil se mueva en una direcci´on paralela a Ox, no se alteran las coordenadas transversas, y y z, s´olo consideraremos las transformaciones de tiempo t y posici´on x. Cuando manejamos parejas de sucesos S1 y S2 es inmediato reescribir las ecuaciones de transformaci´on (Lorentz) para los correspondientes intervalos de posici´on y de tiempo en los distintos sistemas: De O a O0

De O0 a O u ∆x0 ) c2 ∆x = γ(∆x0 + u∆t0 )

u ∆x) c2 = γ(∆x − u∆t)

∆t0 = γ(∆t − ∆x0

∆t = γ(∆t0 +

1

Transformaciones de velocidad En este apartado veremos como se transforma la velocidad de una part´ıcula en distintos sistemas de referencia. Conviene dejar claro que en este tipo de supuestos participan tres cuerpos, A, B y C, (tres part´ıculas, por ejemplo). Uno de los cuerpos, A por ejemplo, juega el papel de sistema fijo, otro, B, el de sistema m´ovil y el tercero, C, ser´a el cuerpo objeto de estudio. Dicho esto, usaremos la notaci´on siguiente: u ser´a la velocidad del sistema m´ovil relativa al fijo → − − (en la direcci´on x), → v ser´a la velocidad del cuerpo C (part´ıcula) referida al sistema fijo y v 0 ser´a la velocidad del cuerpo C (part´ıcula) referida al sistema m´ovil. Con estas consideraciones, a partir de las transformaciones de Lorentz se obtienen sin dificulta0d las expresiones para la transformaci´on de velocidades. Estas son: De O a O0 vx0 = vy0 vz0

=

=

De O0 a O

vx − u 1 − vcx2u q vy 1 −

vx =

u2 c2 vx u c2

1− q vz 1 −

vy =

1−

vz =

u2 c2 vx u c2

vx0 + u 0

1 + vcx2u q 0 vy 1 −

u2 c2

0

1 + vcx2u q 2 vz0 1 − uc2 1+

vx0 u c2

.

Efecto Doppler relativista En este caso consideraremos una fuente de ondas electromagn´eticas, F , de frecuencia νo , (longitud de onda λo ), que se mueve con respecto a un observador O con velocidad u, de forma que la direcci´on de dicha velocidad coincida con la direcci´on F uente − Observador. Es bien sabido que cuando la fuente se aleja del observador, la frecuencia, ν, percibida por ´este es menor que la frecuencia propia νo y mayor en caso contrario. Las expresiones que nos dan la frecuencia (longitud de onda) percibida por dicho observador cuando la fuente se aleja o se acerca al mismo son: La fuente se acerca r c+u ν = νo c−u r c−u λ = λo , c+u

La fuente se aleja r c−u ν = νo c+u r c+u λ = λo c−u donde en esas expresiones u representa el m´odulo de la velocidad.

2

Masa, momento y energ´ıa Consideremos una part´ıcula que se mueve en el laboratorio con cierta velocidad u. Tenemos dos sistemas de referencia, el sistema laboratorio, (Oxyz), y el sistema part´ıcula, (O0 x0 y 0 z 0 ); convenimos en que este u ´ltimo se mueve con respecto al primero con una velocidad u en la direcci´on Ox ≡ Ox0 .

Masa La masa de la part´ıcula en su sistema es la masa en reposo o masa propia; la denominaremos, al menos por ahora, mo , sin embargo en el sistema laboratorio, la masa relativista es: mo m(u) = q 1−

u2 c2

= γmo .

Momento El momento lineal relativista es: p = m(u) u = γmo u . Energ´ıa Usando la segunda ley de Newton F = dp y, teniendo en cuenta que el trabajo que realiza esta dt fuerza al desplazarse es la variaci´on de energ´ıa cin´etica, obtenemos la siguientes expresi´on para la energ´ıa cin´etica relativista, que denotaremos Ec ≡ T (compru´ebese): T = m(u) c2 − mo c2 = mo c2 (γ − 1) . El segundo de los t´erminos de la primera igualdad, se denomina energ´ıa en reposo, Eo , de la part´ıcula y el primero energ´ıa total, E. Relaci´ on fundamental entre masa, momento y energ´ıa Manipulando adecuadamente las expresiones anteriores, (h´agase como ejercicio), obtenemos: E 2 = m2o c4 + p2 c2 . Resumen: Relaciones entre masa, momento, energ´ıa, energ´ıa cin´ etica y velocidad A menudo es bastante u ´til usar un sistema de unidades donde la velocidad de la luz c sea igual a 1, dichas unidades se llaman naturales. A continuaci´on se condensan las expresiones anteriores y otras que derivan de ellas. Compru´ebense. c ≡ 1 (u. naturales)

c≡c m(u) Eo E T

= = = =

γmo mo c2 p γmo c2 = m2o c4 + p2 c2 E − Eo = (γ − 1)Eo r T2 p = m(u) u = γmo u = + 2mo T c2 p c2 u = E

3

m(u) Eo E T

= = = =

γmo mo p γmo = m2o + p2 E − Eo = (γ − 1)Eo p p = m(u) u = γmo u = T 2 + 2mo T p u = E

El fot´ on y part´ıculas con masa nula El fot´on tiene masa nula en reposo, por lo tanto, en unidades naturales su momento y energ´ıa son id´enticos. Si llamamos q al momento de un fot´on gen´erico, c≡c

c ≡ 1 (u. naturales)

Ef ot´on = qc

Ef ot´on = q

Transformaciones de Lorentz para la energ´ıa y el momento A continuaci´on se detallan las transformaciones para energ´ıa y momento entre dos sistemas de referencia como los indicados al principio. c≡c

c ≡ 1 (u. naturales)

O → O0 E 0 = γ(E − px u) u p0x = γ(px − 2 E) c p0y = py p0x = pz O0 → O E = γ(E 0 + p0x u) u px = γ(p0x + 2 E 0 ) c py = p0y px = p0z

O → O0 E0 p0x p0y p0x O0 → O E px py px

= = = =

γ(E − px u) γ(px − uE) py pz

= = = =

γ(E 0 + p0x u) γ(p0x + uE 0 ) p0y p0z

Sistemas de part´ıculas. Colisiones, desintegraciones, etc. A partir de ahora, si no se indica lo contrario, a la masa en reposo de una part´ıcula gen´erica i le llamaremos mi , sin el sub´ındice cero. Tambi´en usaremos unidades naturales c ≡ 1. Momento y energ´ıa total de un sistema de part´ıculas → − p =

n X

→ − pi ,

E=

i=1

n X

Ei

i=1

Sistema Laboratorio (L) y sistema Centro de Masas (CM) El sistema en el que el momento total es nulo se denomina sistema CM . En ocasiones el sistema L coincide con el sistema CM . En un suceso, tal como una colisi´on o desintegraci´on, tanto el momento lineal como la energ´ıa se conservan en cada uno de los sistemas. Si dicho suceso ocurre en t = 0, entonces: Sistema Laboratorio

Sistema Centro de Masas → − − → −−→ p− CM ( t . 0) = pCM ( t & 0) = 0 ECM (t . 0) = ECM (t & 0)

− − → p→ L( t . 0) = pL( t & 0) EL (t . 0) = EL (t & 0)

4

Dos importantes invariantes Lorentz Sean los dos sistemas de referencia O y O0 descritos al principio de estas notas. Si consideramos un determinado suceso S de coordenadas (t, x, y, z) en O y coordenadas (t0 , x0 , y 0 , z 0 ) en O0 , es inmediato comprobar con las transformaciones de Lorentz la siguiente igualdad: c2 t2 − x2 − y 2 − z 2 = c2 t02 − x02 − y 02 − z 02 , es decir, esa cantidad tiene el mismo valor en los dos sistemas de referencia, por ello decimos que es invariante ante una transformaci´on de Lorentz, simplemente un invariante Lorentz.

Intervalo Sean dos sucesos, S1 y S2 . La cantidad s2 = c2 ∆t2 − ∆x2 − ∆y 2 − ∆z 2 = c2 ∆t02 − ∆x02 − ∆y 02 − ∆z 02 , es un invariante Lorentz. A la cantidad s se le denomina intervalo. Tal y como se ha definido, si el intervalo es real, decimos que los dos sucesos est´an separados temporalmente y si el intervalo es imaginario, decimos que los dos sucesos est´an separados espacialmente. En el primer caso los dos sucesos est´an conectados causalmente y en el segundo no. En el primer caso podemos encontrar un sistema de referencia donde los dos sucesos ocurran en el mismo punto y al intervalo de tiempo transcurrido en ese sistema de referencia es el tiempo propio. De forma an´aloga, en el segundo caso podemos encontrar un sistema de referencia donde los sucesos sean simult´aneos. El invariante momento–energ´ıa − Sea un sistema de part´ıculas de energ´ıa total E y momento total → p . Denominamos cuadri2 momento, (4p), a la cuaterna (E/c, px , py , pz ). La cantidad M definida como sigue: − M 2 = E 2 − c2 → p2, es un invariante Lorentz, es decir: c≡c

c ≡ 1 (u. naturales)

− − − − p 2 = E 02 − c2 → p 02 , E2 − → p 2 = E 02 − → p 02 . E 2 − c2 → − − En ambas expresiones, → p es el trimomento, (3p), y → p 2 = p2x + p2y + p2z .

5