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REGLA DE CRAMER Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x 1, x2, x3,…, xn, puede escribirse matricialmente de la forma:

 a11   a 21 a  31   a  m1

a12

a13

...

a 22

a 23

...

a32

a33

...







am 2

am 3

...

a1n   a2n  a 3n     a mn 

 x1   b1       x2   b2  x   b   3  3        x  b   n  m

O de forma abreviada: AX = B

Donde: 

A es la matriz de coeficientes.



X es un vector columna de incógnitas.



B es un vector columna de términos independientes.

 a11   a 21 A   a31    a  m1

a12

a13

...

a 22

a 23

...

a32

a33

...







am 2

am3

...

a1n   a2n  a 3n     a mn 

 x1     x2  X   x3      x   n

 b1     b2  B   b3       b   m

La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones: 1.

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, es decir, m = n. En ese caso la matriz de coeficientes A es una matriz cuadrada.

2. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, es decir, |A| ≠ 0.

Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer.

a11x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1  a 21x1  a 22 x2  a 23 x3  ...  a 2 n xn  b2   a31x1  a32 x2  a33 x3  ...  a3n xn  b3  ..........................................................   a n1 x1  a n 2 x2  a n 3 x3  ...  a nn xn  bn 

Encarnación Marín Caballero

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Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

a11

a12

a13 ... a1n

a 21 a 22

a 23 ... a 2 n

  a31

a32

a33 ... a3n

...

...

...

a n1

an 2

a n 3 ... a nn

...

...

Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible

determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:

x1 

1 

2 

x2 

x3 

3 

xn 

…

n 

Δ1, Δ2, Δ3,..., Δn son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

x1 

x3 

b1

a12

a13 ... a1n

a11

b1

a13 ... a1n

b2

a 22

a 23 ... a 2 n

a 21 b2

a 23 ... a 2 n

b3

a32

a33 ... a3n

a31 b3

a33 ... a3n

...

...

...

...

...

bn

an 2

a n 3 ... a nn 

...

... x2 

...

a n1 bn

...

...

a n 3 ... a nn 

a11

a12

b1

... a1n

a11

b1

a13 ... b1

a 21

a 22

b2

... a 2 n

a 21 b2

a 23 ... b2

a31

a32

b3

... a3n

a31 b3

a33 ... b3

...

...

... ...

...

...

a n1

an 2

bn 

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...

... a nn

…

xn 

...

a n1 bn

... ...

a n 3 ... bn 

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CÁLCULO DE DETERMINANTES 1) Determinante de orden uno: a11  a11 Ejemplos: a)

5 5

b)

 2  2

2) Determinante de orden dos:

Ejemplos: a)

b)

2

5

3 4 2

3

1 2

 2   4  5  3  8  15  23  2  2   1  3  4  3  7

3) Determinante de orden tres:

Se aplica la regla de Sarrus:

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Ejemplos:

1 a)

4

3

1  1   2   5  3   1   3  4  4  1   3   2   4  1   1  1  3  4  5 

3 2 4

1

5

 10  9  16  24  1  60  15  83  68

b)

1 2

3

2 0

5

1 1  1  1  1  5  2   1  2  3  1  0  3  1  2  1  0   1  1  2  5   5  4  0  6  0  10  5  20  15

En la siguiente tabla vemos un resumen de resolución de determinantes por aplicación de la regla de Cramer.

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EJEMPLOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1) Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:  2 x1  x2  2   5 x1  2 x2  1 La expresión matricial es:

 2 1     5  2

 x1   2        x2    1

Pasos para resolver el sistema de ecuaciones: 1) Comprobamos que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas: Como tenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas (x1, x2), la matriz de coeficientes A es una matriz

cuadrada de 2x2.

Por tanto, el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

2) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y comprobamos que es distinto de cero.



2

1

5

2

  2   2  1  5  4  5  1

El determinante de la matriz de coeficientes toma el valor -1, por lo que |A| ≠ 0. Por tanto, el sistema es compatible determinado y tiene solución.

3) Calculamos la solución del sistema a partir de las expresiones Δ1, Δ2:

1 

2

1

1  2

 2   2  1   1  4  1  3

x1  2 

2

2

5

1

1  3  3  1

  2   1  2  5  2  10  8

x2 

2  8  8  1

Solución: x1 = 3, x2 = 8.

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2) Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: 2 x1  3x2  x3  5  x1  x2  x3  5  x2  x3  2  La expresión matricial es:

 2 3 1  x1   3         1  1 1  x2    5   0 1 1  x    2     3   Pasos para resolver el sistema de ecuaciones: 1) Comprobamos que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas: Como tenemos 3 ecuaciones y 3 incógnitas (x 1, x2, x3), la matriz de coeficientes A es una matriz

cuadrada de 3x3.

Por tanto, el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

2) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y comprobamos que es distinto de cero.

2

3

1

0

1

1

  1  1 1  2   1  1  3  1  0  1  1  1  1   1  0  3  1  1  2  1  1   2  0  1  0  3  2  7  1  6 El determinante de la matriz de coeficientes toma el valor -6, por lo que |A| ≠ 0. Por tanto, el sistema es compatible determinado y tiene solución.

3) Calculamos la solución del sistema a partir de las expresiones Δ1, Δ2, Δ3:

3

3

1

1

1

 1 1  3   1  1  3  1   2   5  1  1  1   1   2   3  5  1  3  1  1 

1  5 2

 3  6  5  2  15  3  5  29  24 x1 

2

3

2  1

5

1  24  4  6

1

1  2  5  1  3  1  0  1   2   1  1  5  0  3  1  1  2   2   1 

0 2 1  10  0  2  0  3  4  14  5  9

x2 

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2 9 3    1,5  6 2 Página 6 de 7

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3

3  1  1 0

1

3

5  2   1   2   3  5  0  1  1  3  3   1  0  3  1   2   2  1  5  2

 4  0  3  0  6  10  13  10  3

x3 

3 3 1    0,5  6 2

Solución: x1 = 4, x2 = -1,5, x3 = -0,5.

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