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• May Cardozo

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REGLA DE SARRUS Y DE CRAMER Ejercicio

4 x−2 y+3 z=14 2 x+ y −5 z=12 −1 x−3 y+ 2 z=−10

REGLA DE SARRUS Procedimiento 1. Identificar la matriz A que contiene los coeficientes de cada variable en cada una de las ecuaciones:

X 4 A= 2 -1

Y -2 1 -3

Z 3 -5 2

2. Adicionar las dos primeras columnas de la matriz A al final de dicha matriz:

4 2 -1

-2 1 -3

3 -5 2

4 2 -1

3. Realizar las multiplicaciones que se presentan a continuación:

Lineas azules: (4)*(1)*(2)=8 (-2)*(-5)*(-1)=-10 (3)*(2)*(-3)=-18

-2 1 -3

Líneas Verdes: (-1)*(1)*(3)=-3 (-3)*(-5)*(4)=60 (2)*(2)*(-2)=-8 4. Sumar los elementos obtenidos con las líneas azules y restarle cada elemento de los obtenidos con las líneas verdes, el valor obtenido es el determinante de la matriz A

8+ (−10 )+ (−18 )−(−3 )−60−(−8 )=−69 det A=−69 5. Para encontrar los valores de X, Y y Z, se deben seguir los pasos 2, 3 y 4, anteriormente descritos, encontrando el valor del determinante de cada matriz según corresponda; seguidamente cada valor será dividido entre el determinante de A a) Para el cálculo de X, se toma la matriz A y se reemplaza la columna correspondiente a la variable X con el vector columna del resultado de la siguiente manera:

14 12 -10

-2 1 -3

3 -5 2

Se realizan nuevamente los pasos 2 (adición de las dos primeras columnas), 3 (productos en diagonales) y 4(sumas y restas):

14 12 -10

-2 1 -3

3 -5 2

14 12 -10

-2 1 -3

det X=¿ (28)+(-100)+(-108)-(-30)-(210)-(-48)=-312 Para encontrar el valor de X, se divide el detX entre det A

x=

−312 104 = −69 23

b) Para el cálculo de Y, se toma la matriz A y se reemplaza la columna correspondiente a la variable Y con el vector columna del resultado de la siguiente manera:

4 2 -1

14 12 -10

3 -5 2

Se realizan nuevamente los pasos 2 (adición de las dos primeras columnas), 3 (productos en diagonales) y 4(sumas y restas):

4 2 -1

14 12 -10

3 -5 2

4 2 -1

14 12 -10

det Y =¿ (96)+(70)+(-60)-(-36)-(200)-(56)=-114 Para encontrar el valor de Y, se divide el detY entre det A

y=

−114 38 = −69 23 c) Para el cálculo de Z, se toma la matriz A y se reemplaza la columna correspondiente a la variable Z con el vector columna del resulta do de la siguiente manera:

4 2 -1

-2 1 -3

14 12 -10

Se realizan nuevamente los pasos 2 (adición de las dos primeras columnas), 3 (productos en diagonales) y 4(sumas y restas):

4 2 -1

-2 1 -3

14 12 -10

4 2 -1

-2 1 -3

det z=¿ (-40)+(24)+(-84)-(-14)-(-144)-(40)=18 Para encontrar el valor de z, se divide el detz entre det A

z=

18 −6 = −69 23

REGLA DE CRAMER Procedimiento 1. Identificar la matriz A que contiene los coeficientes de cada variable en cada una de las ecuaciones:

X 4 A= 2 -1

Y -2 1 -3

Z 3 -5 2

2. Adicionar las dos primeras FILAS de la matriz A en la parte inferior de dicha matriz:

4 2 -1 4 2

-2 1 -3 -2 1

3 -5 2 3 -5

3. Realizar las multiplicaciones que se presentan a continuación: 4.

Lineas azules: (4)*(1)*(2)=8 (-2)*(-3)*(3)=-18 (-1)*(-2)*(-5)=-10 Líneas Verdes: (-1)*(1)*(3)=-3 (4)*(-3)*(5)=60 (2)*(-2)*(2)=-8 5. Sumar los elementos obtenidos con las líneas azules y restarle cada elemento de los obtenidos con las líneas verdes, el valor obtenido es el determinante de la matriz A

8+ (−18 )+ (−10 )−(−3 )−60−(−8 )=−69 det A=−69 6. Para encontrar los valores de X, Y y Z, se deben seguir los pasos 2, 3 y 4, anteriormente descritos, encontrando el valor del determinante de cada matriz según corresponda; seguidamente cada valor será dividido entre el determinante de A d) Para el cálculo de X, se toma la matriz A y se reemplaza la columna correspondiente a la variable X con el vector columna del resultado de la siguiente manera:

14 12 -10

-2 1 -3

3 -5 2

Se realizan nuevamente los pasos 2 (adición de las dos primeras columnas), 3 (productos en diagonales) y 4(sumas y restas):

14 12 -10 14 12

-2 1 -3 -2 1

3 -5 2 3 -5

det X=¿ (28)+(-108)+(-100)-(-30)-(210)-(-48)=-312 Para encontrar el valor de X, se divide el detX entre det A

x=

−312 104 = −69 23 e) Para el cálculo de Y, se toma la matriz A y se reemplaza la columna correspondiente a la variable Y con el vector columna del resultado de la siguiente manera:

4 2 -1

14 12 -10

3 -5 2

Se realizan nuevamente los pasos 2 (adición de las dos primeras columnas), 3 (productos en diagonales) y 4(sumas y restas):

4 2 -1 4 2

14 12 -10 14 12

3 -5 2 3 -5

det Y =¿ (96)+(-60)+(70)-(-36)-(200)-(56)=-114 Para encontrar el valor de Y, se divide el detY entre det A

y=

−114 38 = −69 23 f)

Para el cálculo de Z, se toma la matriz A y se reemplaza la columna correspondiente a la variable Z con el vector columna del resulta do de la siguiente manera:

4 2 -1

-2 1 -3

14 12 -10

Se realizan nuevamente los pasos 2 (adición de las dos primeras columnas), 3 (productos en diagonales) y 4(sumas y restas):

4 2 -1 4 2

-2 1 -3 -2 1

14 12 -10 14 12

det z=¿ (-40)+(-84)+(24)-(-14)-(-144)-(40)=18 Para encontrar el valor de z, se divide el detz entre det A

z=

18 −6 = −69 23

ELIMINACIÓN GAUSS JORDAN Ejercicio

4 x−2 y+3 z=14 2 x+ y −5 z=12 −1 x−3 y+ 2 z=−10

1. Construir la matriz con los coeficientes de las ecuaciones

4 2 -1

-2 1 -3

3 -5 2

14 12 -10

2. Nombrar cada una de las filas

f1 f2 f3

4 2 -1

-2 1 -3

3 -5 2

14 12 -10

3. Obtener 1 en el elemento a 11, para esto se divide toda la fila 1 entre 4:

f1=f1/4 f1 f2 f3

1 2 -1

-0,5 1 -3

0,75 -5 2

3,5 12 -10

4. Los elementos a 21 y a 31 se vuelven cero realizando operaciones con la fila 1:

F2=f2-2*f1 F3=f3+f1 f1 f2 f3

1 0 0

-0,5 2 -3,5

0,75 -6,5 2,75

3,5 5 -6,5

-0,5 1 -3,5

0,75 -3,25 2,75

3,5 2,5 -6,5

5. Obtener 1 en el elemento a 22:

F2=f2/2 f1 f2 f3

1 0 0

6. Convertir elementos a12 y a32 en cero, para ello efectuar las siguientes operaciones con fila 2:

f1=f1+0,5*f2 f3=f3+3,5*f2 f1 f2 f3

1 0 0

0 1 0

-0,875 -3,25 -8,625

4,75 2,5 2,25

0 1 0

-0,875 -3,25 1

4,75 2,5 -0,26086957

7. Obtener 1 en el elemento a 33:

f3=f3/-8,625 f1 f2 f3

1 0 0

8. Convertir elementos a 13 y a 23 en cero con operaciones entre la fila 3:

f1=f1+0,875*f3 f2=f2+3,25*f3 f1 f2 f3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Los valores de las variables X , Y y Z son:

X Y Z

4,52 1,65 -0,26

4,52173913 1,65217391 -0,26086957