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Instrucciones: lee detenidamente los ejercicios dando respuesta a las preguntas solicitadas, la solución debe incluir la explicación del proceso paso por paso hasta llegar al resultado:

1. En una librería en la Ciudad de México, cuando el precio de venta es de $110.00 se venden 20 libros, pero al disminuir el precio a $100 se incrementa la venta a 50 libros, ¿cuál es la razón de cambio promedio de las ventas mensuales con respecto al precio?

Datos: x= precio de venta f(x)= libros vendidos por mes Formula general de la derivada:

𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥

Donde: Se obtiene el valor de ∆x que corresponde a la diferencia entre precios X=100 𝑥 + ∆𝑥 = 110 100 + ∆𝑥 = 110 ∆𝑥 = 110 − 100 ∆𝑥 = 10

Se hace lo mismo para obtener la diferencia entre libros vendidos x=50 f(x+∆x)=20

Sustituyendo los datos en la fórmula general:

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 (20) − 50 𝑓(𝑥) = (110 − 100)

𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥) =

−30 10

𝑓(𝑥) = −3

La razón de cambio entre libros vendidos es de 3, lo que quiere decir que por cada peso que se incremente el precio de venta se venderán tres libros menos.

2. Si se lanza una pelota en forma vertical hacia arriba con una velocidad de 20 m/s, entonces su altura con respecto al suelo después de t segundos es ℎ(𝑡) = 20𝑡 − 4.9𝑡 2 metros.

Obtención de la derivada con la fórmula general:

𝑓(𝑥) = ℎ(𝑡) = ℎ(𝑡) =

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥

20(𝑡 + ∆𝑡) − 4.9(𝑡 + ∆𝑡)2 − (20𝑡 − 4.9𝑡 2 ) ∆𝑡

(20𝑡 + 20∆𝑡) − 4.9(𝑡 2 + 2𝑡∆𝑡 + ∆𝑡 2 ) − (20𝑡 − 4.9𝑡 2 ) ∆𝑡

ℎ(𝑡) =

20𝑡 + 20∆𝑡 − 4.9𝑡 2 − 9.8𝑡∆𝑡 − 4.9∆𝑡 2 − 20𝑡 + 4.9𝑡 2 ∆𝑡 ℎ(𝑡) =

20∆𝑡 − 9.8𝑡∆𝑡 − 4.9∆𝑡 2 ∆𝑡

−4.9∆𝑡 2 − 9.8𝑡∆𝑡 + 20∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡(−4.9∆𝑡 − 9.8𝑡 + 20) ℎ(𝑡) = ∆𝑡

ℎ(𝑡) =

ℎ(𝑡) = −4.9∆𝑡 − 9.8𝑡 + 20 ℎ(𝑡) = 20 − 9.8𝑡 

¿Cuál es su velocidad después de 1 segundo? ℎ(𝑡) = 20 − 9.8𝑡 ℎ(𝑡) = 20 − 9.8(1) ℎ(𝑡) = 20 − 9.8 ℎ(𝑡) = 10.2 𝑚/𝑠



¿Cuándo alcanza la pelota una velocidad de 5 m/s?

ℎ(𝑡) = 20 − 9.8𝑡 5𝑚/𝑠 = 20 − 9.8𝑡 9.8𝑡 + 5 = 20 − 9.8𝑡 9.8𝑡 = 20 − 5 9.8𝑡 = 20 − 5 𝑡=

15 9.8

𝑡 = 1.53 𝑠



¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?

ℎ(𝑡) = 20 − 9.8𝑡 0 = 20 − 9.8𝑡 0 + 9.8𝑡 = 20 9.8𝑡 = 20 𝑡=

20 9.8

𝑡 = 2.04𝑠 ℎ(𝑡) = 20(2.04) − 4.9(2.04)2 ℎ(𝑡) = 20(2.04) − 4.9(4.1616) ℎ(𝑡) = 40.8 − 20.39184 ℎ(𝑡) = 20.408𝑚

Justificación: ℎ(𝑡) = 20𝑡 − 4.9𝑡 2 ℎ(𝑡)′ = − 4.9𝑡 2 + 20𝑡 ℎ(𝑡)′ = − 9.8𝑡 + 20 0 = − 9.8𝑡 + 20

Se busca un valor que satisfaga la ecuación: 0 = − 9.8𝑡 + 20 9.8𝑡 − 20 = 0 9.8𝑡 = 20 𝑡=

20 9.8

𝑡 = 2.04081633 9.8𝑡 − 20 = 0 9.8(2.04081633) − 20 = 0 20 − 20 = 0 El 2.04081633 represente el valor crítico; es decir, que existe un máximo o mínimo. Se asigna un valor inferior y otro superior en la derivada para: 9.8𝑡 − 20 = 0 9.8(2) − 20 = 0 19.6 − 20 = 0 19.6 − 20 = −0.4 9.8𝑡 − 20 = 0 9.8(3) − 20 = 0 29.4 − 20 = 0 29.4 − 20 = 9.4

Como el valor cambió de negativo a positivo, significa que 2.04081633 es el valor máximo de la ecuación TIEMPO 0 1 2 2.04081633 3 4 5

DISTANCIA 0 15.1 20.4 20.4081633 15.9 1.6 -22.5

DISTANCIA 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20

-25

0

1

2

3

4

5

6



¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando está 12 metros arriba del suelo? ℎ(𝑡) = 20𝑡 − 4.9𝑡 2 12 = 20𝑡 − 4.9𝑡 2 0 = 20𝑡 − 4.9𝑡 2 − 12 4.9𝑡 2 − 20𝑡 + 12 = 0

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

𝑥1,2 =

𝑥1,2 =

−(−20) ± √(20)2 − 4(4.9 ∗ 12) 2(4.9)

𝑥1,2 =

20 ± √400 − 4(58.8) 9.8

𝑥1,2 =

20 ± √400 − 235.2 9.8 20 ± √164.8 9.8 20 ± 12.83 = 9.8

𝑥1,2 = 𝑥1,2

20 + 12.83 9.8 32.83 𝑥1 = 9.8

𝑥1 =

𝑥1 = 3.35

20 − 12.83 9.8 7.17 𝑥2 = 9.8

𝑥2 =

𝑥2 = 0.73 Velocidad de subida ℎ(𝑡) = 20 − 9.8(0.73) ℎ(𝑡) = 20 − 7.154 ℎ(𝑡) = 12.84

Velocidad de bajada ℎ(𝑡) = 20 − 9.8(3.35) ℎ(𝑡) = 20 − 32.83 ℎ(𝑡) = −12.83