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• David Tovar

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CAPÍTULO 2

2.6

Derivación

Ejercicios

En los ejercicios 1 a 4, suponer que x y y son funciones derivables de t y encontrar los valores señalados de dyYdt y dxYdt.

1.

2.

3.

4.

Ecuación

Encontrar

y 
x

dy a) cuando x  4 dt

y  4Sx 2  5xD

xy  4

x 2  y 2  25

Dado

15. Área El ángulo entre los dos lados iguales, con longitud s, de un triángulo isósceles es U.

dx 3 dt

b)

dx cuando x  25 dt

dy 2 dt

a)

dy cuando x  3 dt

dx 2 dt

b)

dx cuando x  1 dt

dy 5 dt

a) Demostrar que el área del triángulo se obtiene mediante A  N, s2 sen U. b) Si U está creciendo a razón de N, radián por minuto, encontrar la razón de cambio del área cuando U  PY6 y U  PY3. c) Explicar por qué la razón de cambio del área del triángulo no es constante, a pesar de que dUYdt es constante.

dy a) cuando x  8 dt

dx  10 dt

dx b) cuando x  1 dt

dy  6 dt

a)

dy cuando x  3, y  4 dt

dx 8 dt

b)

dx cuando x  4, y  3 dt

dy  2 dt

En los ejercicios 5 a 8, un punto se está moviendo sobre la gráfica de la función, de modo que dxYdt es 2 cmYs. Calcular dyYdt para los valores de x que se indican. 5. y  2 x 2  1 6. y 

1 1  x2

a) x  1

b) x  0

c) x  1

a) x  2

b) x  0

c) x  2

7. y  tan x

a) x  

8. y  cos x

a) x 

P 3

P 6

b) x   b) x 

P 4

P 4

c) x  0 c) x 

P 3

Desarrollo de conceptos 9.

14. Área Sea A el área de un círculo con un radio r variable con el tiempo. Si drYdt es constante, ¿es constante dAYdt? Explicar la respuesta.

Considerando la función lineal y  ax  b, ¿si x cambia a razón constante, ¿y también lo hace a razón constante? De ser así, ¿lo hace con la misma razón que x? Explicar la respuesta.

10. Con las propias palabras, mencionar la estrategia para resolver problemas de razones de cambio relacionadas.

11. Encontrar la razón de cambio de la distancia entre el origen y un punto que se mueve por la gráfica de y  x2  1, si dxYdt  2 cmYs. 12.

Encontrar la razón de cambio de la distancia entre el origen y un punto que se mueve sobre la gráfica de y  sen x, si dxYdt  2 cmYs.

13.

Área El radio r de un círculo está creciendo a razón de 4 centímetros por minuto. Calcular la razón de cambio del área cuando a) r  8 cm y b) r  32 cm.

16. Volumen El radio r de una esfera está creciendo a razón de 3 pulgadas por minuto. a) Calcular la razón de cambio del volumen cuando r  9 y r  36 pulgadas. b) Explicar por qué la razón de cambio del volumen de la esfera no es constante, a pesar de que drYdt es constante. 17. Volumen Se infla un globo esférico con gas a razón de 800 centímetros cúbicos por minuto. ¿A qué razón está aumentando su radio en el momento en el que éste está a a) 30 centímetros y b) 60 centímetros? 18.

Volumen Todas las aristas de un cubo están creciendo a razón de 6 centímetros por segundo. ¿A qué ritmo está aumentando el volumen cuando cada arista mide a) 2 cm y b) 10 cm?

19.

Superficie Bajo las condiciones del problema anterior, determinar la razón a la que cambia el área de la superficie cuando cada arista mide a) 2 cm y b) 10 cm.

20. Volumen La fórmula para calcular el volumen de un cono es V