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• Rodrigo Valdez Ccahuana

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RAZ MATEMATICO – Con: Ing. Rodrigo

I. RAZONES 1. RAZÓN

A 2  B 7



Es la comparación de dos cantidades.

1.1. CLASES DE RAZÓN: a) RAZÓN ARIMÉTICA (R. A.) Es la que se obtiene mediante la sustracción y consiste en determinar en cuanto excede una de las cantidades a la otra. A - B = R.A

b) RAZÓN GEOMÉTRICA (R. G.) Es la que se obtiene mediante la división y consiste en determinar cuantas veces cada una de las cantidades contiene la unidad de referencia. A  R.G B

PROBLEMAS RESUELTOS 1).- Las edades de Juan y Rocío están en relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84.¿Qué edad tiene Juan? Resolución: Juan :5k Rocío :9k La suma de ellos es 84 5k + 9k=84  14k = k=6 por lo tanto Juan tiene 5(6) = 30 2).- La suma de dos números es 144 y su razón geométrica vale 2/7. ¿Cuáles son los dichos números?

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Resolución: Sean los números”A” y “B”, como son su razón geométrica vale 2/7 :

/academiamáximocusco

 A=2k

B=7k *Por dato: A+B=144 2k+7k=144 9k=144 k=16 *Luego A=2(16) = 32 B= 7(16) = 112 3).-La razón geométrica de dos números vale 4/7 y su razón aritmética es 45. Determina el menor de los números. Resolución: * La razón geométrica de dos números vale 4/7 A 4   A=4k B=7k B 7



Su razón aritmética es 45:

B-A = 45 ( pues B es mayor que A 7k-4k = 45  3k=45 k=15 * Por lo tanto Menor: 4(15) = 60 4).- Tres números son entre si como 4;7; y 11, y la suma del menor con el mayor de dichos números es 105. Determinar el menor de estos números. Resolución: * Sean los números : a, b, y c. a b c   k 4 7 11

*Además a = 4k +11k y c =k *Luego a+c = 105  4k + 11k =105  15k= 105  k=7

1

RAZ. MATEMÁTICO 

*Entonces el menor será :

Sea

a = 4k =4(7) = 28 5).- Si

a 7  ; además a.b = 308 b 11



Resolución: *Del primer dato, se deduce que : a = 7k y b = 11k *luego utilizamos: ab =308  (7k) (11k) =308 k2 

serie

de

razones

iguales

:

la proporcionalidad.

calcula b-a :



la

a b c    k donde k es la constante de 2 9 13

Como el dato del problema es la suma de los antecedentes, es decir. a + b + c = 480, aplicando la propiedad: abc 480 k  k ;de donde k=20 2  9  13 24



308  k2  4  k  2 77

La serie de razones iguales es : a b c    20 ; 2 9 13

a  20 , 2 b  20 entonces a = 40; también : 9

* se pide: b-a = 11k-7k = 4k = 4(2) = 8

en donde:

entonces: b = 180 6).- Si :

A 8 B 12  ;  ; además A-C = 50. B 3 C 7

Calcular.”B” Resolución : * Multiplicando miembro a miembro los dos primeros datos, así: A 8  B 3 B 12  C 7 A B 8 12 x  x B C 3 7 A 32 A = 32k    C 7

C = 7k *Ahora utilizando : A-C = 50 , tendremos 32k – 7k = 50  k = 2  c= 7(2) = 14



La suma de los antecedentes es :



a + b = 40 + 180 =

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº01 1).- La suma de dos números es 640 y su razón geométrica es 17/23.Calcular el mayor de ellos. a) 368 b) 182 d) 296 e) 386

esto :

Luego en : B  12  B  12 (14)  24 C 7 7 7).- Los consecuentes de una serie de razones iguales son respectivamente 2;9 y 13 . si la suma de los antecedentes es 480, ¿Cuál es la suma de los dos primeros antecedentes?

c) 243

2) - La relación entre los ángulos internos de un triángulo es de 2, 3 y 4. Hallar el mayor ángulo a) 40º b) 60 d) 100º e) 30º

c) 80º

3).- 3 números están en la misma relación que 5,9 y 13. si la suma de ellos es 216. indicar el mayor de ellos a) 102 d) 106

Resolución : 4).- Si:

2

220

b) 88 c) 104 e) 108

a 7  : además : ab= 308. b 11

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Algebra Calcular : b - a a) 2 b) 3c) 5 d) 7 e) 8 5).- Si: a  b  c y a + 2b = 80, hallar c 2

a) 40 d) 80

3

5

b) 50 e) 100

c) 60 13).- Si:

6).- La razón aritmética de dos números es 12. Si uno de ellos es el cuádruplo del otro, hallar la suma de dichos números. a) 18 b) 20 c) 24 d) 30 e) 32 7).- La razón de dos números es 11/7. Calcular el menor de ellos si la diferencia de sus cuadrados es 648. a) 21 d) 24

b) 18 e) 48

c) 33

a5 2  ; además: b5 3 a + b = 50. Calcule: 3a - b a) 8 b) 7c) 10 d) 9 e) 11

8).- Si:

9).- ¿Qué hora es? Sabiendo que el tiempo transcurrido durante el día es a lo que falta transcurrir como 37 es a 11. a) 4:30 pm. b) 6 pm. c) 6:30 pm. d) 5 pm. e) 6 am. 10).- Si dos números cumplen que: m2 – n2 + 5mn = 1557. ¿Cuál es suma de dichos números, si están en la relación de 7 a 4? a) 66 b) 44 c) 33 d) 55 e) 121 11).- Determinar a, b y c en: 4 8 16   Si : a + b + c = 35. a b c a) 10;15;20 b) 5;10;20 c) 5:;15;20 d) 4;8;1 e) N.A

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12).- En una granja, por 5 vacas hay 7 pollos y por cada 3 pollos hay 4 corderos, si se cuentan 320 cabezas.¿Cuántas vacas hay? a)200 b)105 c) 140 d)75 e) 115

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a b c d    7 13 15 28

Además: a + c + b = 525 Calcular el valor de “d” a) 420 d) 270

b) 172 e) 320

c) 285

14).- En la siguiente proporción: 2 3 4   x y z Si se sabe que: x +y +z =36. Entonces el valor de z-y + x, es: a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) N.A. 15).- Las edades de 3 hermanos están en la relación de 5;7 y 3, si la diferencia entre el mayor y el menor es 12. Determinar la edad del otro hermano. a) 18 b) 15 c) 27 d) 19 e) 20 16).- Los antecedentes de una serie de razones iguales son respectivamente 3; 7; 9 y 5. si el producto de los consecuentes es 15120 , calcular la suma de los 3 primeros consecuentes. a) 38 b) 43 c) 72 d) 80 e) 92 17).- Las edades de 3 hermanos están en la relación de los números 4; 9 y 7 , si dentro de 8 años las 3 edades suman 84. Determinar la edad del mayor. a) 17 d) 21

b) 19 e) 24

c) 27

18).- Miriam, Jesús y Patty tiene cantidades de dinero proporcionales a 18; 13 y 12. si Miriam le da a Patty 180 soles, entonces tendrían las 2 la

3

RAZ. MATEMÁTICO misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tienen entre las 3?

a) 32 d) 44

a) 2580 b) 1290 c) 1800 d) 1400 e) 1590 19).- Las edades de Ricardo y Doris son proporcionales a 3 y 4, dentro de 10 años sus edades serán entre sí como 5 es a 6. Hallar la suma de sus edades hace 5 años. a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 20).- La suma del antecedente y consecuente de una razón geométrica es 52 ¿cuál es su diferencia si la razón es 0,04? a) 45 d) 35

b) 48 e) 75

b) 28 e) 42

c) 30

22).- En una discoteca se observa que por cada 8 mujeres, había 5 varones; además el número de mujeres excede al número de varones en 21 ¿cuál será la nueva relación de varones a mujeres, si se retiran 14 parejas? a) 1/2 d) 5/7

b) 1/3 e) 7/5

c) 2

23).- A una fiesta asisten 400 personas entre hombres y mujeres. El número de hombres es al total de personas como 3 es a 5. Luego de 2 horas por cada 2 hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron? a) 40 d) 90

b) 180 e) 60

c) 80

24).- En una caja se observa que por cada 11 libros de aritmética habían 7 de álgebra.

4

b) 45 e) 37

c) 56

25).- La razón geométrica de dos números es como 7 a 4. Hallar su razón aritmética; si la razón aritmética de sus cuadrados es 4752. a) 44 b) 40 c) 36

d) 32

e) 28

26).- Hallar “b” Si: a  b  c 7

5

8

Además: a + 2b + 3c = 205 a) 45 d) 35

b) 40 e) 25

c) 52

c) 52

21).- En una serie de razones iguales las consecuentes son 3, 6, 15 y 21 si el producto de los antecedentes es 1120 la suma de los antecedentes es : a) 22 d) 361

¿Cuál es la diferencia de dichas cantidades. Si en total existen 252 libros?.

27).- Las edades de dos personas son como 4 es a 7. Dentro de 12 años estarán en la relación de 8 a 11. ¿Cuál es la edad actual del mayor? a) 21 d) 32

b) 18 e)24

c) 36

28).- Dos números A y B son entre si como 9 es a 7 ;y además: A2 –B2 + AB = 1520 Hallar la suma de los números a) 32 b) 48 c)60 d) 64 e) 80 29).- La suma de dos números es 270 y cuando se le agrega 65 a cada uno de ellos, su razón es como 3: 5. Hallar el mayor de los números. a) 115 b) 185 c) 165 d) 195 e) 175 30).- Hallar dos enteros a y b, tal que su razón sea 2/3 y cumplan que: a2 + b2 – ab = 2268. Dar como respuesta la suma de las cifras del mayor de los números. a) 10 b)12 c) 7 d) 9 e) 5 31).- En una serie de 4 razones iguales al dividir el producto de los antecedentes entre el producto de los consecuentes se obtuvo 16/81. Si la suma de los consecuentes es 99. ¿Cuánto vale la suma de los antecedentes?

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Algebra a) 77 d) 55

b) 66 e) 44

c) 88

32).- La suma de 3 números es 500, la razón del 1° con el 2° es 5/8 y la diferencia de los mismos es 111. Calcular el tercer número. a) 296 d) 185

b) 481 e) 19

c) 111

33).- Se sabe que la suma de los cuadrados de tres números es 7444; y además el primero es al segundo como 2 a 5 y el segundo es al tercero como 3 es 8. Calcular el mayor a) 70 d) 240

b) 80 c) 960 e)160

34).- Las edades de dos hermanos están en la relación de 4 a 7. Dentro de 20 años la relación será de 3 a 4. Hallar la edad del mayor dentro de 10 años. a) 28 d) 38

b) 24 e) 42

a) 2/3 b) 4/5 c) 1/3 d) 3/4 e) 5/3 36).- Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números enteros positivos es 5/3. ¿Cuál es el mayor de los números?. Si su producto es 64. d) 32

e) 64

37).- La razón de dos números es 3/8 y la suma es 2497. Encontrar el menor. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 15 b) 10

a) 300 d) 250

b) 200 e) 450

c) 50

39).- Se sabe que las edades de 2 hermanos están en la relación de 2 a 3. Si dentro de 8 años dicha razón será 3/4. ¿Cuál será la razón dentro de 12 años? a) 7/9 b) 5/7 d) 9/11 e) 8/13

c) 15/16

40).- A una reunión asistieron hombres, mujeres y niños en la relación de 11; 7 y 2 respectivamente. Si asistieron 36 hombres más que mujeres. ¿Cuántos niños asistieron? a) 14 b) 18 c) 16 d) 20 e) 22

c) 32

35).- A una fiesta asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiraran 20 parejas, ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta?

a) 4 b) 8c) 16

sería el ganador. Al comienzo las apuestas favorecen a “AL” en razón de 3/2; quedando al final favorable a la “U” en la proporción de 9 a 1. Diga cuántos hinchas del “AL” se pasaron a la “U”.

c) 12

d) 17

CLAVES DE RESPUESTAS 1) a 4) e 7) a 10) c 13) a 16) a 19) b 22) a 25) c 28) d 31) b 34) d 37) a 40) b

2) c 5) b 8) c 11) b 14) c 17) c 20) b 23) c 26) e 29) b 32) e 35) a 38) d

3) c 6) b 9) c 12) d 15) b 18) a 21) c 24) c 27) a 30) d 33) b 36) c 39) a

e) 20

38).- En una partido “U” versus “Alianza Lima” 500 personas hacen apuestas sobre cual

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5

RAZ. MATEMÁTICO

PROBLEMAS RESUELTOS

II. PROPORCIÓN Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase.

1. CLASES DE PROPORCIÓN 1.1. PROPORCION ARITMÉTICA Es aquella que se forma al igualar a los valores numéricos de dos razones aritméticas. DISCRETA Cuando los valores de los términos medios son diferentes. a–b=c–d a ; d = Extremos b ; c = Medios d : Cuarta diferencial de a , b y c CONTINUA: Cuando los valores de los términos medios son iguales a–b=b–c a ; c = Extremos b ; b = Medios b: Media diferencial de a y c c: Tercera diferenciadle a y b

1.2. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Es aquella que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones geométricas. DISCRETA Cuando Los términos son diferentes a  c  a.d  bc b d d : Cuarta proporcional de a , b y c CONTINUA a  b  a.c  b 2 b c b: Media proporcional de a y c. C: Tercera proporcional de a y b

6

1).- En una proporción geométrica se sabe que el producto de extremos es 600. Si los términos medios son consecutivos.¿cuál es la suma de los términos medios? Resolución : * Sea la proporción, lo siguiente : a c   ad  bc b d

600 *Pero :600 = 24 x 25  b = 24 y c = 25  se pide : 24 +25 = 49 2).- En una proporción continua la diferencia de los extremos es 20 y el valor de la constante es 2/3. Determinar la media proporcional. Resolución: *

E = 2k

2 E M  =  M E  20 3

M = 3k Proporcionalidad continúa 3k 2   9k  4k  40  k  8 2k  20 3

* Se pide: M = 3(8)= 24 3).- La media diferencial de una proporción es 24. Determinar la razón de la proporción, si el primer extremo es el doble del segundo. Resolución : * Sea la proporción aritmética : a – 24 = 24- b * Se cumple que : a + b =48..................(I) * Además del otro dato se tiene que : a = 2b * Que al reemplazar en (I), resulta: 2b + b = 48  b = 16  a = 32 * Luego la razón la razón aritmética, será : 32 – 24 = 8

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Algebra 4).- La media geométrica de una proporción es 15. hallar la suma de los extremos, si la razón de la proporción es 1/3. Resolución : x 15 1   * Sea la proporción geométrica : 15 y 3

x 1 15  x 5 15 3 3 15 1   45  y y 3

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº02 1).- Hallar la cuarta proporcional de 12, 15 y 84 c) 105 d) 102 e) 120

2).- Si “P” es la tercera proporcional de: 2 y 6. Hallar el valor de “P” a) 12

b) 18

c) 27

d) 25

e) 36

3).- Si “H” es la media proporcional de 8 y 18. Hallar el valor de “H” a) 12

b) 16

c) 18

d) 10

e) 14

4).- Hallar la cuarta diferencial de: 18; 15 y 31. a) 27

b) 30 c) 28

d) 22 e) 29

5).- Hallar la tercera diferencial de: 25 y 17. a) 8 b) 10 c) 12

d) 9

e) 11

6).- Hallar la media diferencial de: 47 y 13 a) 24

b) 30 c) 28 d) 25

e) 27

7).- Calcular la cuarta diferencial de los precios de tres artículos que son 50 soles, 34 soles y 29 soles.

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c) 13

8).- En una proporción geométrica continua, la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia 16. ¿Cuál es la media proporcional?

9).- Hallar la suma de la media diferencial y la media proporcional de: 25 y 49. a) 72 b) 27 c) 15 d) 25 e) 37

* Se pide x + y = 45 + 5 = 50

b) 108

b) 21 e) 17

a) 3 b) 4c) 8 d) 6e) 10

* Se obtienen dos igualdades :

a) 90

a) 12 d) 18

/academiamáximocusco

10).- Quince es la media proporcional de a y 25, 2a es la tercera proporcional de 8 y b ¿cuál es la cuarta proporcional de a,by15? a) 9 b) 20 c) 12 d) 15 e) 30 11).- La suma de los extremos de una proporción geométrica continua es 15 y su diferencia es 9. Hallar la media proporcional. a) 2

b) 4

c) 5 d) 8e) 6

12).- Si “a” es la media proporcional de 5 y 45; y además “b” es la tercera proporcional de 12 y 30. Hallar la tercera proporcional de “ä” y “b”. a) 375 b) 275 c)150 d) 225 e) 450 13).-.El producto de los términos de una proporción geométrica discreta es 441. Determinar la suma. a) 32 b) 28 c) 35 d) 36 e) 40 14).- En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 51 y la diferencia de los mismos es 45. Hallar la media proporcional. a) 18

b) 15

c)12

d) 9 e) 6

7

RAZ. MATEMÁTICO 15).- En una proporción geométrica los extremos suman 75 y su diferencia es 15. Hallar el producto de los medios. a) 1300 b) 1200 c) 1350 d) 1420 e) 1500 16).- El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 1296. Hallar la media proporcional. a) 12

b) 18 c) 6

d) 8 e) 9

17).-Si:D= Es la tercera proporcional de 1y 8. M= Es la cuarta diferencial de 57; 44 y 30. P= Es la media proporcional de 100 y 49. Calcular: ( D + M + P ) a) 101 b) 112 c) 108 d) 94 e) 151 18).- El producto de los 4 términos de una proporción continua es 1296. Si uno de los extremos es 4. Hallar el otro extremo. a) 3 b) 6

c) 9 d) 12

e) 15

siendo su suma 39. Hallar proporcional. a) 12 b) 15 c)1 8 d) 24 e) 27

la

media

23).- Si 3 es la cuarta proporcional de a, b y c; 9 es la tercera proporcional de a y b. Hallar a + b +c si: b – c = 4 a) 4 b) 8c) 12 d) 13 e) 9 24).- Si a los números: 12; 20; 2 y 5 se les añade una misma cantidad se forma entre ellos una proporción geométrica. Hallar dicha cantidad. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 25).- Se tiene una proporción geométrica de razón 7/4. Si la suma de los antecedentes es 56, entonces la suma de los consecuentes es: a) 32 b) 16 c) 48 d) 56 e) 30 26).- En una proporción geométrica continua el 1er término es 1/9 del cuarto término. Si la suma de los medios es 72, hallar la diferencia de los extremos. a) 60 b) 72 c) 84 d) 90 e) 96

19).- La suma y la diferencia de los extremos de una proporción geométrica continua es: 68 y 60 respectivamente. Calcular el triple de la media proporcional. a) 18 b) 12 c) 48 d) 24 e) 36

27).- En una proporción geométrica discreta, la suma de los términos extremos es 40 y su diferencia es 16. ¿Cuál será el producto de sus términos medios? a) 320 b) 336 c) 240 d) 576 e) 480

20).- Sabiendo que A es la tercera proporcional de 36 y 6. B es la cuarta proporcional de 56; 7 y 64. C es la media proporcional de 256 y 4. Calcular la cuarta proporcional de B, C y A. a) 4 b) 2c) 5 d) 6e) 10

28).- Si se cumple que: 30 + A = B + C -“B” es la media proporcional de 6 y 24. -“C” es la tercera proporcional de 12 y 18. Calcular la cuarta proporcional de A; B y C. a) 20 b) 32 c) 24 d) 36 e) 40

21).- El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 14641. Hallar la media proporcional. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

29).- En una proporción geométrica continua el primer término es 1/9 del cuarto término, si la suma de los cuatro términos de la proporción es 240. Hallar el término medio de la proporción.

22).- En una proporción geométrica continua los términos extremos están en la relación de 4 a 9,

8

a) 144

b) 16 c) 48 d) 135 e) 45

30).- El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 256. Hallar la media proporcional.

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Algebra a) 9

b) 4

c) 7

d) 6

e) 8

31).- ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción continua si la suma de los 4 términos es 36 y la razón entre la suma y la diferencia de los dos primeros es 3? a) 9 b) 10

c) 12

d) 14

e) 16

32).- En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 73 y la suma de los cuadrados de los extremos es 4177. Determinar la media proporcional. a) 18

b) 24 c) 28 d) 22

e) 32

33).- El producto de los extremos de una proporción geométrica es 216 y si uno de los medios es los 2/3 del otro. Entonces la semi suma de los medios es: a) 12

b) 13 c) 14

d) 15

e) 16

34).- En una proporción aritmética continua la suma de los 4 términos es 320. Si los extremos son entre si como 5 es a 3, entonces hallar la diferencia de los mismos. a) 50 b) 40 c)36 d) 48 e) 17 35).- Si en una proporción geométrica la media proporcional es 8 y la diferencia de los términos extremos es 12. Hallar la suma de todos los términos de esta proporción. a) 20

b) 32 c) 36

d) 25

e) 30

36) .- Siendo “a” el término central de una proporción geométrica continua, además se sabe que el producto de términos es 4096. Hallar “a” a) 2 b) 8c) 16

d 32

38).- Se tiene una proporción geométrica continua donde los extremos son entre si como 1 es a 25. Hallar el término medio de dicha proporción, sabiendo que la suma de los 3 términos diferentes es 217. a) 25 b) 35 c) 30 d) 20 e) 15 39).- La suma de todos los términos de una proporción geométrica es 420; si se sabe que la razón de esta proporción es 1/3. Determinar la suma de los consecuentes de dicha proporción. a) 105 b) 210 c) 315 d) 150 e) 120 40).- Hallar la suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua, si se sabe que la suma de sus términos extremos es a su diferencia como 17 es a 15 y la diferencia entre el cuarto término y la razón es 3. a) 112 d) 150

b) 140 e) 140

c) 175

CLAVES DE RESPUESTAS 1) c 4) c 7) c 10)b 13)a 16)c 19)c 22)c 25)a 28)d 31)c 34)b 37)d 40)c

2) b 5) d 8) d 11)e 14)c 17)e 20)a 23)c 26)e 29)e 32)b 35)c 38)b

3) a 6) b 9) a 12)a 15)c 18)c 21)a 24)c 27)b 30)b 33)d 36)b 39)c

e) 4

37).- En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 75 y la diferencia de los mismos es 21. Calcular la media proporcional. a) 20 b) 39 c) 24

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d) 36 e) 40

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9

RAZ. MATEMÁTICO

III. PROMEDIOS 1. DEFINICIÓN Se denomina promedio o cantidad media, a una cantidad representativa promedio es mayor que la menor cantidad y menor que la cantidad mayor. Donde :

a1 : Menor cantidad. an : Mayor cantidad P : Promedio 

Observación: Al promedio armónico de dos cantidades (A y B) se le denomina media armónica. ( m.h )

- Para 3 números A, B y C

a1  P  an

2. TIPOS 2.1.PROMEDIO ARITMÉTICO ( P.A ) Dado : a1 ; a2 ; a2 ; . . an

2.4.PROMEDIO PONDERADO (Promedio de promedios) Ejemplo (I) Aula A Aula B

“n” cantidades a  a2  a2  ....  an P.A = 1 n

40

30

15

18

Observación : Al promedio aritmético de dos números (A y B) se denomina media aritmética ( m.a ).

Aula única

# de alumnos

40+30 E

2.2. PROMEDIO GEOMÉTRICO (P.G) Dado : a1; a2; a3 ; . . ; an

40 x 15  30 x 18 40  30 Edad E = 16,28 Observa que : promedi 15 < E < 18 o

E=

Observación : Al promedio geométrico de 2 números (A y B) se le denomina media geométrica ( m.g )

2.3.PROMEDIO ARMÓNICO ( P.H ) Dado : a1, a2, a3, . . . ,an “n” cantidades

2.5. PROPIEDADES

I) Dadas : a1; a2; . . . , an ; se cumple :

II) Si todas las cantidades son iguales : a1 = a 2 = a 3 = . . . = a n

Para 2 números (A y B) A > B

10

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Algebra Se cumple :

A + B + C. Solución :

1.

mh  mg  ma

2.

mg  ma.mh

3.

A x B = ma x mh

4.

ma  mg 

5.

ab ma  2

6.

mg  ab

7.

mh 

( A  B)2 4(ma  mg)

2ab ab

 A + B + C = 20 + 8 + 5 = 33

PROBLEMAS RESUELTOS 1).-El doble de ma de 2 números es igual al cuadrado de su mg más uno. Si uno de los números es 18. ¿Cuál es el otro? Solución : Para los números : 18 y x 2 x ma = mg 2+ 1



 18  x  2. (    18 x  2  18 + x = 18x + 1 17 = 17x

4).-Halla 2 números sabiendo que su media aritmética es 5 y su media armónica es 24/5. Solución : Sean los números A y B

ma =5 mh 

24 5

A B =5  A + B = 10 ... (1) 2 2AB 24 *  AB = 20 ...(2)  A B 5

*

 +1 2

De (1) y (2) A=6 y B=4

 x=1 2).-Halla el promedio aritmético de los 6 primeros números primos. Solución : Los números mencionados son : 2; 3; 5; 7; 11 y 13 2  3  5  7  11  3 41 Luego : PA   6 6 

 PA  6,8 3

3).-El promedio de A y 10 es 15. El promedio de C y 15 es 10 y el promedio de 10 A, 35B y 15C es 185. Halla el valor de :

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A  10 = 15  A = 20 2 C  15 =10 C =5 PA (C; 15) = 10  2 PA (10A;35B;15C) = 185 10 A  35B  15C = 185 3 10(20) + 35B + 15(5) = 555 35B = 280 B=8 PA (A; 10) = 15 

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5).-Sean a y b dos números enteros positivos diferentes; mayores que la unidad , que cumplen : Solución : 2

Propiedad mg  ma x mh 2 Reemplazando :  mg   

3/2

 729

mg 3 = 729  mg = 9

AB =9  A x B = 81 Como A y B son diferentes entre si y de la unidad :  A = 27 y B=3

11

RAZ. MATEMÁTICO a) 18 A B Luego : ma  = 2

15

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº03 1).- La media aritmética de tres números es 6 y de otros dos números es 16. Hallar la media aritmética de los cinco números. a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

2).- Hallar el valor de “x” ; si el promedio geométrico de los números: 2x; 4x y 8x es 64. a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

3).- Hallar la media armónica de los números: 1; 2; 3 y 6 a) 1,8

b) 2 c) 2,1

d) 3

e) 4

4).- Calcular la media armónica de dos números. Si: MA= 45 y MG= 15. a) 8

b) 10

c) 12

d) 5

e) 6

5).- La edad promedio de 7 personas es de 18 años, si ninguno de ellos tiene más de 20 años. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener una de ellas?. a) 4 b) 5 c) 8 d) 7 e) 6 6).-Hallar 2 números sabiendo que su media aritmética es 5 y su media armónica es 24/5 a) 7 y 3 d) 6 y 4

b) 8 y 2 e) 5 y 4.5

c) 6.5 y 3.5

7).- La edad promedio de 3 personas es 50. Si ninguno de ellos tiene más de 55 años. ¿Cuál es la edad mínima que podría tener una de ellas? a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

c) 30

8).- El promedio geométrico de dos números es 12 y su promedio armónico es 4. Hallar su promedio aritmético.

12

b) 20

c) 36

d) 32

e) 24

9).- La edad promedio de 4 personas es de 22 años, si ninguno de ellos tiene menos de 19 años. ¿Cuál es la máxima edad que puede tener una de ellas?. a) 31 años b) 32 d) 26 e) 33

c) 29

10).- La media geométrica de dos números es 15. Calcular la media aritmética, si la media armónica de dichos números es 9. a) 25 d) 36

b) 12 e) 48

c) 75

11).- El promedio de cinco números pares consecutivos es 16. Hallar el promedio del mayor y el tercero. a) 14 d) 20

b) 16 e) 30

c) 18

12).- El promedio aritmético de: a; b y c es 29. Si b es el promedio aritmético de 12 y 20. Hallar (a + c). a) 72 d) 62

b) 61 e) 51

c) 71

13).- Si: (m.a.)x(m.h) de A y B es 196 y (m.a)x(m.g) de A y B es 245, ¿Cuál es la diferencia entre A y B.? a) 25 d) 21

b) 24 c) 23 e) 22

14).- Encuentre la media aritmética del mayor número de 3 cifras diferentes con el menor número de 4 cifras significativas. a) 1010 d) 2009,8

b) 1005 e) 1049

c) 1110,5

15).- El promedio aritmético de 30 números es 14. Si agregamos un número, el promedio se incrementa en 2 unidades. ¿Qué número estamos agregando?

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Algebra a) 75 d) 78

b) 76 e) 79

22).- La m.a, la m.g y la m.h de 2 números están representados por 3 números enteros positivos, además se cumple:

c) 77

 ma 

mg

16).- Si la media geométrica de dos números es 4 y la media armónica es 32/17. ¿Cuál es el menor de dichos números. a) 10

b) 8

c) 2

d) 1

e) 16

17).- La edad promedio de 5 alumnos del ciclo anual es 17 años. Si ninguno es menor de 15 años. ¿Cuál es la máxima edad que uno de ellos puede tener? a) 25 años d) 23 años

b) 24 años e) 26 años

c) 22 años

18).- El promedio de 20 números consecutivos es 40,5. Hallar el mayor de dichos números. a) 46 d) 51

b) 49 c) 50 e) 47

19).- Si para dos números enteros se cumple que:

mg 

2

 5  mh

Hallar la suma de las mh. De las 4 soluciones de números diferentes que tiene este problema. a) 16

b) 19 c) 14

d) 11

e) 10

20).- la media geométrica de 2 números es 6 2 y se sabe que su media armónica y media aritmética son 2 números consecutivos. Hallar el mayor de los números. a) 10 b) 14 c) 12 d) 16 e) 8 21).- Sean a y b dos números enteros positivos diferentes; mayores que la unidad que 3

cumplen: ¨ma(a, b )xmh(a, b )2  729 Hallar: m.a.(a,b) a) 41 d) 14

b) 9 e) 15

c) 13

 3125 4 ; hallar la diferencia de los números.

a) 20 d) 35

b) 25 e) 40

c) 30

23).- ¿En qué relación están la media aritmética y la media armónica de 2 números sabiendo que la media aritmética es a la media geométrica como 5 es a 3? a) 16/9 b) 7/3 c) 5/2 d) 25/9 e) 25/16 24).- La media aritmética de 3 números es 7, la media geométrica es igual a uno de ellos y su media armónica es igual a 36/7. hallar el menor de los números. a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5 25).- La media aritmética de 2 números que se diferencian en 24, excede a su media geométrica en 4. Hallar el número menor. a) 8 d) 14

b) 10 e) 16

c) 12

26).- La m.h. de 15 números es 16 y la m.h. de otros 35 números es 48. Hallar la m.h, de los 50 números. a) 20 b) 30 c) 40 d) 15 e) 25 27).- Un empleado que diariamente va a su trabajo en la mañana a una velocidad de 60km/h y regresa por la misma vía a una velocidad de 30km/h debido a la congestión del tránsito. ¿Cuál es la velocidad promedio de su recorrido total?. a) 45km/h b) 40 d) 48 e) 50

c) 42

28).- Un aeroplano que vuela alrededor de un pueblo que tiene la forma cuadrada, emplea en cada lado velocidades constantes diferentes

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RAZ. MATEMÁTICO (v1,v2,v3,v4). Si dichas velocidades están en relación con los números 1,2 3 y 4 respectivamente y la velocidad media del aeroplano es su recorrido total es de 192 Km/h, hallar v3. a) 100Km/h b) 200 d) 270 e) 300

c) 240

29).- El promedio aritmético de las edades de 4 hombres es 48. Ninguno de ellos es menor de 45 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos? a) 51 b) 53 c) 57 d) 54 e) 60 30).-La media aritmética de 40 números es 80. Si quitamos 5 de ellos aumenta a 84. ¿Cuál es la media aritmética de los números eliminados?. a) 52 b) 82 c) 76 d) 90 e) 50 31).- La edad promedio de 3 personas es 56 años. Si ninguno tiene más de 59 años.¿Cuál es la edad mínima que podría tener una de ellas? a) 51 b) 50 c) 53 d) 52 e) 54 32).- De los 5 integrantes de un equipo de básquetbol, ninguno sobrepasa de las 30 canastas en un juego. ¿Cuál será la mínima cantidad de canastas que uno de ellos podrá hacer para que el promedio de3l equipo sea 26 canastas por juego?. a) 10 d) 15

b) 12 e) 24

c) 14

33).- El promedio aritmético de 50 números es 38, siendo 45 y 55 dos de los números. Eliminando estos 2 números el promedio de los restantes es. a) 36.6 d) 37.5

b) 37 e) 39.1

c) 38.1

34).- La media aritmética de 10 números diferentes es 45 y la media aritmética de otros

14

15 números es 60. Halla la media aritmética de los 25 números. a) 27 d) 54

b) 50 e) N A

c) 60

35).- Sean a y b dos números enteros y diferentes. Si el producto de la media aritmética por su media armónica es el doble de su media geométrica, entonces el valor de (a +b) es: a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) N. A. 36).- Hallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuarta parte de su producto, por su media aritmética, por su media geométrica y por su media armónica nos da 256. a) 6 b) 4 c) 8 d) 5 e) 10 37).- Si para 2 números enteros diferentes entre sí y de la unidad se cumple: m.a.3xm.h.3 =4096 ¿Cuál es el valor de la m.a.? a)6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 10 38).- Sabiendo que la m.a. y m.g. de a y b son 2 números consecutivos. Hallar ( a  b ) a) d) 1

2

b) 2

c) 4

e) 2 2

39).- La media geométrica de 4 números diferentes es 2 2 . Calcular la media aritmética de dichos números. a) 3.5 b) 3.75 c) 3.25 d) 2.9 e) 4.25 40).- La media geométrica de 30 números es 72, y de otros 60 números es 36. ¿Cuál es la media geométrica de los 90 números? a) 36 3 2 b) 36 2

c) 6 3 2

d) 12 3 2 e) 18 3 2

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Algebra

CLAVES DE RESPUESTAS 1) b 4) d 7) d 10)a 13)d 16)d 19)c 22)c 25)a 28)e 31)b 34)d 37)d 40)a

2) b 5) e 8) c 11)c 14)c 17)a 20)c 23)d 26)b 29)c 32)a 35)c 38)a

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3) b 6) d 9) a 12)c 15)b 18)c 21)e 24)c 27)b 30)a 33)d 36)b 39)b

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