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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

I.

INTRODUCCIÓN : GEORGE F.L.P Cantor (1845 - 1918) Fue el primero en hallar una respuesta acertada a los problemas que surgían del estudio de los conjuntos infinitos. Nació en Rusia en 1845, emigrado con su familia a Alemania cuando tenía once años . A los 15 años ingresó al Wiesbaden Gymnasium (Escuela Preparatoria). Su padre trató de persuadirlo a estudiar ingeniería, sin embargo al no tener éxito continuó sus estudios de matemáticas hasta obtener el grado de Doctor en ciencias en 1867, en la Universidad de Berlín. Entre 1874 y 1884 donde aparecieron sus aportaciones más importantes, ponía en tela de juicio los aspectos básicos de los conjuntos infinitos, esencia misma del Análisis Matemático. Fue hasta años después de su muerte que las ideas de Cantor obtuvieron cierto reconocimiento por parte de sus colegas, la importancia de su contribución radica en su percepción del significado del principio de correspondencia uno a uno y sus consecuencias lógicas.

Unión

 A  B = {x/x  A ó x  B} Intersección  A  B = {x/x  A y x  B} Diferencia

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

 A - B = {x/x  A y x  B} Complemento

 B’ = {x/x  A y x  B} ó B’ = {x/x  B} Diferencia Simétrica

 A  B = {x/x  (A - B)  (B -A)

2

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ACADEMIA LOS TRIUNFADORES A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, observamos que los elementos 2y 3 son comunes a ambos conjuntos. El conjunto formado por estos elementos, se escribe: A  B y se lee: “A intersección B”. Notación: A  B = {x/x  A y x  B} Representación Gráfica:

1. UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS Dados dos conjuntos “A” y “B”, se llama reunión de éstos a otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto “A” o al conjunto “B” o a ambos. Así por ejemplo; para: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, diremos que el conjuntos formado por {1; 2; 3; 4; 5} donde están todos los elementos de “A” y de “B”, se llama reunión de “A” con “B” y se simboliza: A  B, y se lee “A unión B”.

A x

Notación: A  B = {x/x  A ó x  B} Representación Gráfica:

A

Propiedades fundamentales de la intersección : 1. Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es única la intersección de ellos. 2. Reflexiva: A  A = A 3. Conmutativa: A  B = B  A 4. Asociativa: (A  B)  C = A  (B  C) 5. De la inclusión: Si: A  B, entonces: A  B = A (ver gráfico) 6. De la exclusión: Si: “A” y “B” son disjuntos entonces: A  B =  (ver gráfico)

B x

x

B

x

Propiedades fundamentales de la reunión: 1. Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es única la reunión de ellos. 2. Conmutativa: A  B = B  A 3. Asociativa: (A  B)  C = A  (B  C) 4. Reflexiva: A  A = A 5. De la inclusión: Si: A  B, entonces: A  B = B (ver gráfico) 6. Del elemento neutro: 1) A   = A 2) A  U = U 2. INTERSECCCIÓN ENTRE CONJUNTOS La intersección de dos conjuntos cualesquiera “A” y “B” es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” y “B”, es decir, está formado por todos los elementos comunes a “A” y “B”. Sean los conjuntos:

7. Del elemento neutro: 1) A   =  2) A  U = A Entre la Reunión y la Intersección de dos conjuntos “A” y “B”, se pueden establecer las siguientes relaciones: Propiedad Distributiva: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Propiedad Absorción: A  (A  B) = A, puesto que: (A  B)  A A  (A  B) = A, puesto que: A  (A  B)

3

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3. DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia de los conjuntos “A” y “B” es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a “A”, pero que no pertenecen a “B”. Se denota por: A – B, que se lee: “A menos B”, ó también “A diferencia B” Así por ejemplo, sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5} Observamos que el elemento 1 está en el conjunto “A” pero no está en el conjunto “B”. Al conjunto formado por 1, se llama diferencia de “A” con “B”.

Representación Gráfica:

A x

x

5. COMPLEMENTO ENTRE CONJUNTOS Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y el conjunto B = {a, c, e}, se observa que “B” es subconjunto de “A” y los elementos “b” y “d”, pertenecen al conjunto “A” y no pertenecen al conjunto “B”. Al conjunto formado por estos elementos: {b, d} se le llama complemento de “B” con respecto a “A” y se denota por: B’ Luego, si “B” está incluido en “A”, la diferencia: “A - B” se llama complemento de “B” respecto a “A”

Notación: A – B = {x/x  A y x  B} Representación Gráfica:

A

B

B x

Notación: B’ = {x/x  A y x  B} ó B’ = {x/x  B}

4. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS Se denomina diferencia simétrica de “A” y “B” al conjunto formado por la unión de “A - B” con “B - A”. Entonces, en A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, se observa que el elemento 1 pertenece al conjunto “A” pero no pertenece a “B” y los elementos 4 y 5 pertenecen al conjunto “B”; pero no pertenecen al conjunto “A”, entonces, al conjunto formado por 1; 4 y 5 se le llama diferencia simétrica de “A” y “B” y se denota por: A  B.

Observación: Si el complemento es respecto al conjunto universal y además se tiene: B  U, entonces: B’ = B = CB = {x/x  U y x  B} Representación Gráfica: x B

Notación: A  B = {x/x  (A - B)  (B - A)}

U  Complemento de “B” respecto a U

4

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ACADEMIA LOS TRIUNFADORES 2. (A B)’ = A’  B’ 9. De Absorción: 1. A  (A’  B) = A  B 2. A  (A’  B) = A  B

Propiedades en la diferencia de conjuntos : 1. 2. 3. 4.

5.

6.

7.

8.

Reflexiva: A  A = A Conmutativa: A  B = B  A Asociativa: (A  B)  C = A  (B  C) De la inclusión: Si: A  B, entonces: 1. A - B =  (ver gráfico) 2. A  B = B – A De la exclusión: Si: “A” y “B” son disjuntos, entonces: 1. A – B = A 2. A  B = A  B Del complemento: 1. (A’)’ = A 2. A  A’ = U 3. A  A’ =  4. ’ = U 5. U’ =  De la diferencia: 1. A – B = A  B’ 2. A – B = B’ – A’ Leyes de Morgan: 1. (A  B)’ = A’  B’

6. RELACIONES ENTRE LOS CARDINALES DE LOS CONJUNTOS 1. Si los conjuntos son disjuntos n(A  B) = n(A) + n(B) 2. Si los conjuntos no son disjuntos: a) Para dos conjuntos cualesquiera “A” y “B”: n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) b) Para tres conjuntos “A”, “B” y “C” cualesquiera: n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(B  C) – n(A  C) + n(A  B  C)

Ejercicios de Aplicaci ón 1. Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {2; 4; 6; 8} C = {1; 3; 4; 5; 6} Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a) A  C = {1; 3; 5; 6} ( ) b) B – A = {6; 8} ( ) c) B  C = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ( ) d) A – C = {2; 5} ( ) e) B  C = {4; 6; 8} ( ) a) FVFVV d) FVFFF

b) FVVFF e) FVVVV

2. Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} ; B = {2; 3; 5; 6} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Indicar verdadero (V) corresponda: a) A’ = {6; 7; 8} b) B’ = {7; 8} c) A’  B = {6; 7} d) B’ – A = {4; 7; 8} e) A’  U = {6; 7; 8} a) VFVVF d) VFFVF

c) FVVVF

5

o falso (F) según ( ( ( ( (

b) VFFFV e) VFVF

) ) ) ) ) c) VFFFF

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3. Si: A = {a, b, e, d} B = {x/x es una vocal} Hallar: A  B a) {a, e} d) {a, u}

8. Dados los conjuntos: A = {x + 2 / x  N; 2 < x < 10} B = {3x / x  N; x  2} ¿Cuántos subconjuntos tiene A - B?

b) {a, i} e) {a}

c) {a, o} a) 4 d) 32

4. Si: A = {a, b, m, t} B = {x/x es una vocal de la palabra martes} Hallar: B – A a) {a, e} d) {a, u}

b) {a, i} e) {a}

B={

c) {a, o}

5 9

2 1

c) {3}

a) 12 d) 31

8

b) 8 e) 64

c) 3

b) 16 e) 15

c) 20

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. A’  B = {2; 3; 4} II. A  C’ = {6; 7; 9} III. (A  B)’  C = {1; 2; 8}

d) {4; 5; 9; 7} e) {4; 5; 9}

7. Dados los conjuntos: A = {x/x  N; 5 < x < 15} B = {x/x  N; 3 < x < 10} ¿Cuántos subconjuntos tiene A  B? a) 4 d) 32

b) 2 e) 5

11. Dados los conjuntos: U = {1; 2; 3; …; 10} A = {x/x  N; 4 < x < 10} B = {x/x  N; 1 < x < 7} C = {1; 2; 5; 8}

7

Hallar: A  B a) {4; 5; 7; 8} b) {4; 5; 2; 1} c) {4; 5; 9; 7; 8}

 N; / x  N; 1 < x < 10}

10. Si: n(A) = 12, n(B) = 18 y n(A  B) = 7 Hallar: n(A  B)

B 4

2

C = {1; 5; 7; 8} Hallar el cardinal de (B  C)  A

6. Dados los diagramas de Venn A

x

a) 1 d) 4

b) {2} e) {5}

c) 16

9. Dados los conjuntos: A = {2x / x  N; 1 < x < 7}

5. Si: U = {x/x  N; 0 < x < 10} A = {x/x  N; 4 < x < 9} B = {x/x  N; 3 < x < 8} Hallar: A’ – B’ a) {1} d) {4}

b) 8 e) 64

a) VFV d) VVV

c) 16

6

b) VVF e) FFV

c) FVV

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12. La región sombreada corresponde a: A

todos les gusta al menos uno de los dos cursos mencionados, ¿a cuántos les gusta sólo historia o sólo lenguaje?

C

a) 15 d) 23

B

a) (A  B) – C b) (B - C)  A c) (A - C)  (B - A)

d) A  B  C e) A - B

x  1

B={

x  1

3

2

c) 18

15. De un grupo de 100 turista europeos se sabe que: - 36 visitarán Argentina - 20 visitarán Brasil - 25 visitarán Colombia - 12 visitarán Argentina y Colombia

13. Dado los conjuntos: A={

b) 12 e) 20

 N / x  N; 1 < x < 15}

- 9 visitarán Brasil y Colombia

 N / x  N; 1 < x < 12}

- 10 visitarán Argentina y Brasil - 6 visitarán los tres países mencionados

¿Cuántos subconjuntos tiene: A  B? a) 16 b) 18 c) 8 d) 32 e) 64

a) ¿Cuántos no visitaran estos países? b) ¿Cuántos visitaron Brasil o Argentina pero no Colombia? a) 44 y 4 b) 26 y 31 c) 38 y 31 d) 44 y 31 e) 44 y 17

14. En la sección de 3ro. “B” hay 25 alumnos, se sabe que a 12 alumnos les gusta el curso de historia y los 18 el curso de lenguaje. Si a

Tarea Domiciliaria 1. ¿Qué operación sombreada?

representa

M

la

región

2. ¿Qué operación sombreada? A

Q

representa B

la

región

C

R a) M  Q b) (M  Q)  R c) (M  R)  (Q - R)

d) (Q  R)  (M  Q) e) (Q  R)  M

a) (A  B)  C b) (B  C)  A c) (A  B)  C

7

d) (A  C)  B e) (A - B)  (B  C)

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES 8. Si: A  B. Simplificar: A  [(A  B) – (A  B)]

3. Dado los conjuntos: A = {1; 2; 5; 8; 10} B = {2; 3; 6; 8} C = {x/x  A, x < 7} Hallar el cardinal de (B  C)  A a) 1 d) 4

b) 2 e) N.A.

a) A d) B – A c) 3

b) 14 e) 7

a) 1 d) 4

c) 10

b) 4 e) 8

b) 20 e) 17

b) VFV e) FVF

b) {12; 7} e) {8}

11. ¿Qué operación sombreada?

c) 5

U

A

c) {12; 3}

representa

la

región

B

C

c) 21

7. Indicar (V) ó (F) según corresponda: I. Si: A  B, entonces A  B = B ( II. Si: A  B, entonces A  B =  ( III. Si: A  B =  entonces A – B = A ( a) VVF d) FFV

c) 3 e) 5

a) {12; 5} d) {12}

6. Dados los conjuntos A, B, se sabe que : n(A  B) = 18 n(A - B) = 7 n(A  B) = 13 Hallar: n(A) + n(B) a) 25 d) 23

b) 2

10. Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios. Hallar: AB A = {a + b; 12} B = {b – 4; 2a - b}

5. Si: n(A) = 13 n(B) = 15 n(A  B) = 23 Hallar: n(A  B) a) 3 d) 6

c) A – B

9. Sean los conjuntos: A = {a, b} B = {a, b, {a}, {b}} Hallar el cardinal de P(A)  B

4. Dados los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} A = {2x / x  N; 2 < x < 8} B = {x + 2 / x  N; 2 < x < 8} Hallar la suma de los elementos de A’  B’ a) 12 d) 8

b) B e) 

a) (A  B) – C b) (A  B)  C c) (A - C)  B

) ) )

d) (A - C)  B e) (A  C)  B

12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. (A  B)  (A  B) = A  B II. A  B = A  B; si: A  B = 

c) VFF 8

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A – B = A  B’

III.

a) FVV d) FVF

b) VVV e) FFV

14. Dados los conjuntos: A = {a, {a}, } B = {a, b} Hallar el cardinal de A  P(B)

c) VFV

13. Dados los conjuntos “A” y “B” subconjuntos del universo “U”, se sabe que: n(A’) = 12 n(B’) = 17 n(A  B)’ = 5 n(U) = 28 ¿Cuántos subconjuntos tiene A  B? a) 8 d) 16

b) 32 e) 128

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

15. “A” y “B” son subconjuntos del universo “U” y se cumple que: AB= n[P(B)] = 64 n(A’) = 15 n(A  B) = 10 Hallar: n(U)

c) 64

a) 12 d) 19

b) 13 e) 21

c) 15

TEORÍA DE CONJUNTOS I.

INTRODUCCIÓN La idea de conjunto se adquiere en los comienzos de la vida, al manifestarse una de las virtudes primordiales del espíritu, la diferenciación, se empieza a percibir distintamente los objetos del mundo exterior, y a tener conciencia de la propia personalidad, originándose estos conceptos primarios, desarrollaremos aquí , en forma breve y explícita, lo que suele llamarse “Teoría Intuitiva de Conjuntos”, así como definiciones y consecuencias que derivan inmediatamente de ellos y que servirán como preámbulo al desarrollo profundo de la aritmética. Comenzaremos destacando el trabajo desarrollado por G. Cantor, a quién con justicia se le reconoce como “Creador o padre de la teoría de conjuntos”.

II.

MAPA CONCEPTUAL Nulo o vacío Finitos Unitario Conjuntos

Numerable Infinitos Innumerable 9

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III.

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES elementos no pertenecen al conjunto, existen 2 formas principales para determinar conjuntos.

CONCEPTOS PREVIOS

1. IDEA DE CONJUNTO En matemática Conjunto y Elemento, son conceptos primitivos que no se definen y se consideran conceptos fundamentales. Intuitivamente, un Conjunto es una colección o agrupación de objetos llamados Elementos. Así, por ejemplo: El conjunto de vocales estará formado por las letras “a”, “e”, “i”. “o” y “u” que se llaman elementos del conjunto de las vocales. Generalmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas “A”, “B”, “C”, etc. Y los elementos por letras minúsculas u otros símbolos, separados por comas y encerrados entre llaves. Ejm.: Si llamamos “A” al conjunto de vocales, entonces: A = a, e, i, o, u

1) Por Extensión: Cuando sus elementos están indicados explícitamente, es decir, se mencionan en forma completa los elementos del conjunto. Ejm.: A = {7; 8; 9; 10; 11}; Se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos son: 7; 8; 9; 10 y 11. 2) Por comprensión: Cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a los elementos de dicho conjunto. Así, por ejemplo, del ejercicio anterior: A = {x/x  N; 6 < x < 12} Se lee: “A” es el conjunto de los elementos “x”, tal que “x” es un número natural, además es mayor que 6 pero menor que 12.

2. RELACIÓN DE PERTENENCIA Es un concepto primitivo que relaciona los elementos con los conjuntos; es decir, si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, diremos que “pertenece” a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo “” y en el caso de no pertenecer por “”. Por ejemplo, para el conjunto: A = a, e, i, o, u; diremos: a  A : Se lee “a” pertenece a “A” b  A : Se lee “b” no pertenece a “A” La pertenencia sólo se da entre elemento y conjunto.

4. CARDINAL DE UN CONJUNTO Es el número de elementos diferentes que posee un conjunto finito. Ejm.: Sea: A = {a, e, i, o, u} Entonces: n(A) = 5 Que se lee: El cardinal de “A” es 5 5. CONJUNTOS ESPECIALES 1) Conjunto Vacío o Nulo: Es aquel conjunto que no posee elementos. Se le representa por: { } y se denota por el símbolo: . Es decir: {x/x  x} = { } =  Ejm.: {x/x  N; 5 < x < 6} = { } No existe un “x  N ”que sea mayor que 5 y menor que 6 a la vez.

3. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Se dice que un conjunto está determinado cuando se sabe con precisión qué elementos pertenecen al conjunto y que

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2) Conjunto Unitario: Es aquel que está constituido por un solo elemento. Se le llama también “SINGUETON”. Ejm.: {X/x  N; 5 < x < 7} = {6} Puesto que “6  N” es el único comprendido entre 5 y 7.

2) Igualdad de Conjuntos: Si todos los elementos del conjunto “A” pertenecen al conjunto “B”, y todos los elementos del conjunto “B” pertenecen también al conjunto “A”, entonces se dice que estos 2 conjuntos son iguales. Esta igualdad de los conjuntos “A” y “B” se denota por: A = B. Ejm.: Si: A = {x/x es una letra de la palabra AROMA} B = {x/x es una letra de la palabra MAROMA} Entonces: A = {A, R, O, M} B = {M, A, R, O} Luego: A = B

3) Conjunto Universal: Es un conjunto referencial que contiene a todos los conjuntos considerados y se le denota generalmente por “U”. Así por ejemplo, el conjunto “U” para los siguientes conjuntos: A = {2; 4; 6; 8} y B = {1; 3; 5; 7; 9} U = {x/x  N; 1  x  9} ó U = {x/x  N; x < 10} ó U = {x/x  Z}

Conjunto Potencia: Sea: A = {a, b}; todos los subconjuntos de este conjunto son: {a}; {b}; {a, b};  Al conjunto cuyos elementos son los subconjuntos anteriores, se le llama también conjunto de partes de “A” y se le denota: P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}} En general, el número de subconjuntos se halla con la siguiente relación: 2n; donde “n” es el número de elementos del conjunto.

6. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 1) Inclusión de Conjuntos: ABxAxB Se lee: “A” está incluido en “B”, si y sólo si, para cualquier “x” que pertenece a “A”, éste también pertenece a “B”.

n [P(A)] = 2n(A)

 Además: AB ”A” está incluido en “B” “A” está contenido en “B” “A” es subconjunto de “B”

Ejm.: A = {m, a, r}; Entonces: P(A) = { {m} , {a} , {r} , {m, a} , {m, r} , {a, r}, {m, a, r}, } n[P(A)] = 23 = 8 subconjuntos.

B A “B” incluye a “A” “B” contiene a “A” “B” es superconjunto de “A”

 n[subconjuntos propios de “A”] = 2 – 1

 OBS: “” se lee: para todo

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7. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS  A  Puede representar a los mujeres B  Puede representar a los hombres

1) Diagrama de Venn – Euler: Es una forma ilustrativa y muy práctica para comprender intuitivamente las relaciones entre conjuntos. Ejm: A = {2; 3; 5; 7} B = {2; 3; 4; 5; 6} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Entonces: A

 A  Puede representar capitalinos B  Puede representar provincianos 3) DIAGRAMA LINEAL

B 7

2

4

3 5 1

8

Se utiliza para conjuntos comparables, es decir, para aquellos que cumple: AB

9 6

Ejm.:

U

La interpretación sería:  {7} sólo pertenece a “A”  {2; 3; 5} pertenecen a “A” y a “B”  {4; 6} sólo pertenece a “B”  {1; 8; 9} no pertenecen a los conjuntos “A” y “B”

A = {1; 2; 3} B = {4; 5; 6} C = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Su diagrama sería:

C

A 2) Diagrama de Carroll: general-mente para conjuntos disjuntos. Ejm.:

Se usa representar

Para 2 conjuntos cualesquiera:

A

B

12

B

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Ejercicios de Aplicación 1. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 15}. verdadero (V) o Falso (F), corresponda: i) 7  A ( ) iii) {10}  A ii) 9  A ( ) iv) {15}  A a) VVFF d) VFFF

b) VFFV e) N.A.

Indicar según ( (

5. Si el conjunto “A” es unitario, hallar “a + b”: A = {7- a ; b + 4; 5} a) 3 d) 6

) )

a) 30 d) 33

Indicar ( ( (

) ) )

a) 79 d) 82

3. Dado el conjunto M = {a, {b}, {m}, p}. ¿Cuántas proposiciones son falsas? i) {b}  M iv) {{b}, p}  M ii) b  M v) {{b}, {m}}  M iii) {{m}}  M vi) m  M b) 2 e) 5

c) 32

b) 80 e) 83

c) 81

8. Dado: A = {5; {7}; 9; {2}}. Indicar (V) o (F) según corresponda: i) {5}  A ( ) iii) {9}  A ( ) ii) {7}  A ( ) iv) {5; {2}}  A ( ) a) FVVF d) VFFV

c) 3

b) FVFV e) VVFF

c) FVVV

9. Dado: A = {x/x  N; 5 < x < 12} . Indicar (V) o (F) según corresponda: i) {7; 8; 11}  A iii) {8; 10}  A ( ii) 5  A ( ) iv) n(A) = 6 (

4. Hallar la suma de elementos de cada conjunto: A = {x/x  N; 6 < x < 12} B = {x + 4/ x  Z ; 5 < x < 10} C = {x 2 + 1/ x  Z; 3 < x < 8} a) 40; 41 y 50 b) 43; 49 y 100 c) 45, 46 y 130

b) 31 e) 34

7. Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, hallar “a2 + b 2” A = {a + b; 12} ; B = {4; a - b}

a) VFVFVF b) VFFVVF c) VVVFFF d) VVFFFV e) N.A.

a) 1 d) 4

c) 5

6. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 5 elementos?

c) VVFF

2. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}. (V) o (F), según corresponda: i) {7}  A ( ) iv) {9}  A ii) 9  A ( ) v)   A iii) 7  A ( ) vi) 10  A

b) 4 e) 7

a) VFVF d) FVVF

d) 47; 45 y 129 e) N.A.

13

b) VFVV e) FFVV

c) VFFV

) )

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

10. ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos? A = {c, o, l, e, g, i, o} ; B = {t, r, i, l, c, e} a) 64 y 32 d) 32 y 64

13. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 12}. Indicar (V) o (F), según corresponda, si P(A) representa el conjunto potencia de A. i) {B}  P(A) ( ) ii) {10; 12}  P(A) ( ) iii) 10  P(A) ( ) iv)   P(A) ( ) v)   P(A) ( )

b) 128 y 64 c) 64 y 64 e) 128 y 32

11. Hallar la suma de elementos del conjunto: A = {3a2 + 5 / a  Z; 1 < a < 6} a) 172 d) 156

b) 182 e) 192

a) VVFVF d) VFFVV

c) 148

b) FVVFV e) VVFVV

c) FVFVV

14. Dados los conjuntos: A = {x + 1 / x  Z ; 4 < x < 12} B = {x/3  Z / x  A}

12. Dado el conjunto: A = {7; 9; 11; 13; 15; 17} Determinarlo por comprensión: a) A = {x/x  N; 6 < x < 18} b) A = {x/x = 2n; n  N; 3 < n < 8} c) A = {x/x = n +1; n  N; 6 < n < 17} d) A = {x/x = 2n + 1; n  N; 2 < n < 9} e) A = {x/x = n + 5; n  N; 1 < n < 13}

a) 8 d) 15

b) 6 e) 20

c) 12

15. ¿Cuántos subconjuntos tiene “A”, si A = { 2 x  1  N / x  N; 2 < x < 15}? a) 8 d) 32

b) 4 e) 64

c) 16

Tarea Domiciliaria 1. Si un conjunto tiene 15 subconjuntos propios, ¿Cuántos elementos tiene el conjunto? a) 2 d) 6

b) 4 e) N.A.

3. Dado el conjunto A = {{3; 8}; {5; 7}; 8}; ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son correctas? i) {5; 7}  A ( ) iv) {}  A ( ) ii) {5; 7}  A ( ) v) 3  A ( ) iii) {7}  A ( ) vi) {8}  A ( )

c) 5

2. Calcular la suma de los elementos del conjunto: A = {x/x  N; 7 < 2x + 1 < 15} a) 12 d) 18

b) 15 e) 20

a) 3 d) 2

c) 17

b) 4 e) 1

c) 5

4. Dado el conjunto A = {x 2 + 1 / x  Z; - 3  x  3}

14

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

a. ¿Cuántos subconjuntos tiene “A”? b. Hallar la suma de elementos de “A” a) 16 y 10 d) 32 y 18

9. Hallar la suma de elementos de “A”, si: A = {x 2 + 2 / x  Z; -4 < x < 3} a) 18 b) 29 c) 31 d) 45 e) 22

b) 16 y 18 c) 32 y 16 e) 4 y 16

10. Hallar “n(A) + n(B)”, si se tiene: 5. Dados los conjuntos “A” y “B” subconjuntos del universo “U” A = {x 2 / x  N; 1 < x < 6} B = {x + 2 / x  N; 4 < x < 10} C = {x/x  N ; 1  x  10} Hallar: n(A) + n(B) a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

A = {2x/x  N; x < 9} ; B = a) 10 d) 13

b) 27 e) 26

c) 7

c) 32

12. Dado el conjunto A = {3; {8}; {5; 7}; {3}} Si P(A) representa el conjunto potencia de “A” ¿Cuántas proposiciones son falsas? i) {8}  P(A) iv)   P(A) ii) {{5; 7}}  P(A) v) { }  P(A) iii) n [P(A)] = 32 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. ¿Cuál de los siguientes conjuntos son unitarios? A = {x/x  N; 7 < x < 9} B = {x/x  Q; 7 < x < 8} C = {x + 1 / x  Z; -2 z x < 2} D = {x/x es la capital del Perú} a) Sólo A d) Sólo D

b) Sólo B e) A y D

c) 12

11. Dado el conjunto A = {2; {5}; 3; 2; {5}} Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: i) “A” tiene 8 subconjuntos ii) “A” tiene 31 subconjuntos propios iii) “A” tiene 4 subconjuntos unitarios iv)   P(A) a) VVFV b) FVVV c) FFVV d) VFFV e) VFVV

6. Dado el conjunto A = {k, a, r, i, n, a} ¿Cuántos subconjuntos de “A” tienen dos o más elementos? a) 25 d) 31

b) 11 e) 14

x  4   N; x  A   3 

13. Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, cuántos subconjuntos propios tendrá el conjunto “C” A = { a + b ; 12} B = {2; a - b } C = {x + 1 / x  Z; b < 3x < a}

c) A y B

8. Si los conjuntos “A” y “B” son iguales, hallar: m + p (“m” y “p”  N) A = {10; m2 - 3} ; B = {13; p 2 - 15} a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12

a) 128 d) 256

15

b) 64 e) 512

c) 32

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

APLICACIONES CONJUNTOS

Tres conjuntos

Para este capítulo es necesario tener en cuenta conocimientos previos aprendidos en anteriores capítulos. Los elementos se relacionan con los conjuntos mediante pertenencia. Los conjuntos se relacionan entre si mediante inclusión.  no pertenece a ningún conjunto pero esto incluido como subconjunto en todos los conjuntos. Todo conjunto tiene 2n(A) subconjuntos donde n(A) es la cantidad de elementos. A  B = (A - B)  (B - A) En gráficos: Dos conjuntos A

A

y A

x A

w

= = = =

c

e d

f h

g C

U

U = Conjunto Universal a = elementos que pertenecen solo al Conjunto A e = elementos que pertenecen solo al Conjunto B g = elementos que pertenecen solo al Conjunto C b = elementos que pertenecen a A y B pero no C f = elementos que pertenecen a B y C pero no A d = elementos que pertenecen a A y C pero no B e = elementos que pertenecen a A, B y C a la vez h = elementos que no pertenecen ni a A, ni a B, ni a C

W

U U x z y

b

a

B

x A

B

Conjunto Universal elementos que sólo pertenecen a A. elementos que sólo pertenecen a B. elementos que pertenecen tanto a A como B. = elementos que no pertenecen ni a A ni a B.

16

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

1. En un avión viajan 120 personas de las cuales:  La tercera parte de ellas beben.  La quinta parte de ellas fuman.  18 personas fuman y beben. ¿Cuántas personas no fuman ni beben? a) 74 d) 48

b) 62 e) 31

5. En una población, el 45% de los habitantes lee las revistas A o B pero no las 2 a la vez; el 75% no lee la revista B; el 50% no lee A y 4 800 personas lee A y B. ¿Cuántos habitantes hay en la población? a) 45 000 d) 32 000

c) 83

b) 38 e) 25

c) 20 a) 60 d) 35

3. Noventa alumnos de 5to año asisten a la clase de computación, 70 a entrenamientos de diferentes deportes y 5 no se interesan ni en computación ni en deportes. Si 30 asisten tanto a deportes como a computación. ¿Cuántos alumnos hay en quinto año? a) 130 d) 165

b) 175 e) 160

c) 4 000

6. Sabiendo que un conjunto tiene 40 elementos y otro conjunto 60 y además la intersección de ellos tiene 30 elementos. Hallar el número de elementos que tiene la intersección de los complementos de estos dos conjuntos, sabiendo que el cardinal de U es 120.

2. Una academia deportiva tiene 80 miembros de las cuales 30 no practican ni atletismo ni bulbito, 20 practican atletismo y 6 practican bulbito y atletismo. ¿Cuántos practican solo uno de estos deportes? a) 30 d) 44

b) 48 000 e) 30 000

b) 50 e) 70

c) 40

7. En una encuesta realizada a 120 alumnos sobre cierta preferencia se obtuvo las respuestas “si” de parte de 80 alumnos y “por supuesto” respondieron 50 alumnos. ¿Cuántos alumnos no respondieron las frases anteriores si el número de alumnos que respondieron “si” “por supuesto” es la cuarta parte de los que dijeron “si” solamente?

c) 135

4. De 300 integrantes de un club deportivo, 160 se inscribieron en natación y 135 se inscribieron en gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especialidades. ¿Cuántos se inscribieron en ambas disciplinas? a) 25 b) 30 c) 35 d) 0 e) 5

a) 5 d) 10

17

b) 6 e) 12

c) 8

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

8. En una competencia atlética conformada por 15 pruebas participaron 50 atletas. Observándose que al final: 4 conquistaron medallas de oro, plata y bronce, 7 conquistaron medallas de oro y plata, 6 plata y bronce, 8 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas no conquistaron medallas? a) 28 d) 22

b) 26 e) 20

doble de los que hablan inglés y francés. ¿Cuántas personas hablan inglés si todos hablan por lo menos uno de estos idiomas? a) 13 d) 24

b) 150 e) 50

a) 3 d) 11

b) 20 e) 17

b) 7 e) 15

c) 8

13. En una fiesta donde habían 70 personas 10 eran hombres que no les gustaba música HEAVY, 20 eran mujeres que gustaban de esta música. Si el número de hombres que gusta de la música HEAVY es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esta música. ¿A cuántos les gusta la música HEAVY?

c) 55

10. De un grupo de turistas:  9 conocen Cuzco o Piura pero no Arequipa, de los cuales 8 conocen Cuzco y 4 conocen Piura.  25 han visitado Arequipa o Piura de los cuales 9 conocen Cuzco.  4 conocen las tres ciudades. ¿Cuántos turistas conocen Arequipa pero no Cuzco? a) 21 d) 15

c) 21

12. De un grupo de 60 personas, 26 hablan francés y 12 solamente francés; 30 hablan inglés y 8 solamente inglés; 28 hablan alemán y 10 solamente alemán. También se sabe que 1 habla los 3 idiomas mencionados. ¿Cuántos hablan inglés y alemán pero no francés?

c) 24

9. En el conservatorio de música hay 250 alumnos; de los cuales 100 estudian guitarra, 120 violín y 100 trompeta, además 54 estudian guitarra y violín; 40 violín y trompeta, 46 guitarra y trompeta; además 10 personas estudian todos los instrumentos. ¿Cuántas personas no estudian ninguno de estos instrumentos? a) 200 d) 72

b) 18 e) 27

a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

c) 30

14. En una estación de transporte, habían 100 personas de las cuales 40 hombres eran provincianos, 30 mujeres eran limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 al número de hombres limeños. ¿Cuántos hombres hay en el aula?

c) 13

11. De un grupo de 39 personas, 5 hablan francés pero no inglés; 10 hablan inglés pero no francés y además se sabe que el número de personas que hablan sólo español es el

a) 40 d) 55

18

b) 45 e) 60

c) 50

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES SUCESIONES

1. CONCEPTO Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (números, letras o gráficos) cuyos términos obedecen a una “Ley de formación”.

Observación: - Si la razón es constante en la sucesión aritmética, se trata de una Progresión Aritmética. - Toda sucesión aritmética o polinomial tiene por ley de formación un polinomio de grado “n”, pudiendo ser lineal, cuadrática, cúbica, etc.

2. CLASIFICACIÓN Las sucesiones se clasifican en:

- Sucesión Lineal (o de primer Orden) Numérica

Notación: Alfabética

t1,

SUCESIÓN

t2,

t3,

t4, . . . tn

Alfanumérica

+r Grafica

t2 = t1 + r t3 = t2 + r = t1 + 2r t4 = t3 + r = t1 + 3r tn = tn – 1 + r = t1 + (n – 1) r De donde se cumple la siguiente relación :

a) SUCESIÒN ARITMÈTICA O POLINOMIAL Es aquella sucesión ordenada de cantidades en la que la diferencia de dos términos consecutivos es una razón. ¿Qué número continúa en la siguiente sucesión:

tn = t1 + (n – 1) r Donde: t1 =primer término. tn = término enésimo, general o último término. n = número de términos. r = razón constante. Dada la sucesión lineal, halla el término enésimo. 6, 11, 16, 21, . . . Solución: 6 , 11 , 16 , 21,. . , t n

1,5, 9, 13, 17, . . . ? Solución: 5, +4

9, +4

13, +4

+r

Donde:

2.1. SUCESIONES NUMÈRICAS Son sucesiones formadas exclusivamente por números cuyos elementos guardan entre si una determinada relación llamada “ley de formación” Se pueden clasificar así:

1,

+r

17, x  x=17+4=21 +4 +4

razón  +5

19

+5 +5

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES Del segundo nivel : 2a = 4  a = 2 Del primer nivel: a+b =1 b =1 - a = 1–2 = -1 De la sucesión : c = t0  c = 3

Utilizando la formula tenemos: tn = 6 + (n – 1)5 = 6 + 5n – 5 tn = 5n + 1

Por fórmula general: tn = an2 + bn + c

- Sucesión Cuadrática (o de Segundo Orden)

 tn = 2n2 – n + 3

En toda sucesión cuadrática, el término enésimo tiene la forma:

b) SUCESIÓN GEOMÉTRICA Es una sucesión ordenada de cantidades en la cual el primer término y la razón son diferentes de cero; y el cociente de dos términos consecutivos es una razón constante.

tn = an2 + bn + c Donde: a, b y c son valores constante. Regla Práctica Sea la sucesión: t0

Halla “x” en:

t1,

t2,

m

t3,

n r

o

t4,

1, 5, 20, 60, x Solución: 1, 5, 20, 60, x  x = 60 x 2 = 120 x5 x4 x3 x2

t5, . . . q  1° nivel

p

r r  2° Nivel (razón constante)

r

Observación: Si la razón es constante en la sucesión geométrica, se denomina Progresión Geométrica.

De donde se cumple que: 2a = r  a = r 2

c) SUCESIÓN ARMÓNICA Es aquella sucesión cuyos recíprocos; es decir, los inversos de sus términos forman una Progresión Aritmética. Sea la sucesión 1 , 1 , 1 , 1 , .... Halla la fórmula

a+b =m  b=m–a c = t0

t0 = término anterior al primero

3

Halla el término general (tn) de la sucesión: 4, 9, 18, 31, 48, ...

9

general del término enésimo.

1

9, 5

4

7

Solución:

Solución: 3, 4, 1

5

18, 9

4

31,

4

,

1 5

,

1 7

,

1 9

, ..., tn

De los denominadores se tiene: 3,5, 7, 9, ....., 2n + 1

17  1° Nivel

13 4

48, ... , tn

3

 tn =

 2° Nivel

20

1 2n  1

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES  La letra que le corresponde es : M (ver tabla)

d) SUCESIONES COMBINADAS Es aquella sucesión en la cual se combinan operaciones para hallar el término siguiente. Halla el número que continúa en la siguiente sucesión : 4,5, 10, 12, 24, 27, x Solución: 4, 5, 10, 12, 24, 27, x +1 x2

+2

x2

¿Cuál es el término que sigue a la sucesión: OQ, MS, JU, . . .? Solución : Se observa que hay dos sucesiones: La primera sucesión:

+3 x2 O,

M,

J, . . .

 x = 27 x 2 = 54 2.2. SUCESIONES ALFABÉTICAS O LITERALES Son sucesiones cuyos términos son letras que guardan una determinada ley de formación, basada generalmente en el número de orden que corresponde a cada letra en la sucesión fundamental del alfabeto, tal como se indica en el siguiente cuadro: A=1 B=2 C=3 D=4 E=5 F=6 G=7 H=8 I =9

J = 10 K = 11 L = 12 M = 13 N = 14 Ñ = 15 O = 16 P = 17 Q = 18

(I)  16 (II) 

R = 19 S = 20 T = 21 U = 22 V = 23 W= 24 X = 25 Y = 26 Z = 27

(I)  18 (II) 

+3

7, +3

-3

20 22 +2

+2

En (I), el número que sigue es: 22 + 2 = 24  La letra que le corresponde es: W (ver tabla)

1 4 7 10 Luego, tenemos la sucesión numérica: 4,

-3

En (II) el número que sigue es: -3 En (I) el número que sigue es: 10 – 3 = 7  La letra que le corresponde es: G (ver tabla) La segunda sucesión: Q, S, U

¿Qué letra sigue en la sucesión A,D,G,J, . . .? Solución: Reemplazando cada letra con el número de orden que le hemos asignado. Así: A, D, G, J, . . .

1,

13 10

Luego el término que sigue es GW. 2.3. SUCESIÓN ALFANUMÉRICAS Es una sucesión formadas por una sucesión numérica y otra alfabética, cuyas relaciones de formación se pueden dar de diferentes formas. Halla los dos términos que siguen en la siguiente sucesión:

10, . . . +3

Entonces el número que sigue es: 10 + 3 = 13

21

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

A, 1, C, 2, F, 3, J, 4, ? , ? Solución: B DE GHI KLMN A, 1,

En la siguiente secuencia, ¿qué figura continúa? ; *

C, 2, F, 3, J, 4, ?, +1

+1

+1

?

*

+1

En la sucesión alfabética, los términos se saltean y van aumentando de 1 en 1. Entonces la letra que sigue es : Ñ.

a)

d)

NÑ

*

* e)

Resolución : - Se observa que la parte sombreada gira de 2 en 2 posiciones en sentido horario. - El cuadrado gira de 2 en 2 posiciones en sentido antihorario. - El “” gira de 3 en 3 posiciones en sentido horario, luego continúa.

PQ

D, 3, G, 5, J, 15, M, 17, O, 51, R, …. +2

x3

+2

x3

c)

*

*

¿Qué número sigue: D, 3, G, 5, J, 15, M, 17, O, 51, R, . . .?

KL

b)

*

En la sucesión numérica, los términos van aumentando de uno en uno. Entonces, el número que sigue es : 5. Luego , los dos términos que siguen son : Ñ, 5.

Resolución : EF HI

*

;

+2

*

En la sucesión alfabética, los términos se saltean de dos en dos. En la sucesión numérica , el término que sigue es : 51 + 2= 53. 2.4. SUCESIONES GRÁFICAS Son aquellas cuyos términos son gráficos

22

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES PRÁCTICA DIRIGIDA

NIVEL I 1).- ¿Qué número continúa? 5;10;40;320;x a)5810 d) 5120

7).- Calcula “x” 8;11;15;20;x

b)5310

c) 5080

a) 24 d) 27

e) 5060

2).- Halla “x” 9;28;65;126;x a) 208 d)203

b) 214 e) 217

c) 216

b)64 e)48

a) 42 d) 40

c)40

a) 50 d) 51

b)2018

c)2706

a)37 d) 39

e)1910

b) 58 e) 56

c) 64

b) 35 e) 29

c) 38

NIVEL II

4; 11; 17; 22; 26; 29;... b) 27 e)29

c) 43

10).- Halla el valor de “n” en : 5; 10; 17; 26;n

5).- ¿Qué número sigue en la secuencia?

a) 31 d) 28

b) 41 e) 24 ó 26

9).- Indica el valor de “x” 9; 8; 16; 15; 30; 29;x

4).- ¿Qué número falta? 1; 2; 18; 146; 658; 1682; ... a)2046 d)2640

c) 26

8).- Calcula “x + y” 14; 1; 15; 1; 16; 2; 17; x ; y

3).- ¿Qué número continúa? 2; 4; 8; 20; 68; ... a)68 d)42

b) 25 e) 23

1).- ¿Qué letra continúa en la siguiente sucesión? U; O; K; G; D; ... c) 30 a) A d) E

b) B e) N.A.

c) C

6).- Calcula los dos números siguientes en: 2).- Halla la letra que falta en: E ; G ; J ; N ; ....

6; 8; 10; 11; 14; 14; x; y Da “x + y” a)35 d) 43

b) 41 e) 101

a) O d) R

c) 44

23

b) P e) S

c) Q

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

3).- ¿Qué letra continúa en: A; C; E; G; ... ? a) H d) K

b) J e) L

10).- Calcula el mínimo común múltiplo de 8 y del número que sigue la sucesión: c) I

12; 18; 15; 14; 18; 10; 21; . . . a) 63 b) 16

4).- ¿Qué letra continúa en: E; H; L; P; ...? a) V d) R

b) Y e) J

c) Z

e) 24

1).- ¿Qué número sigue en 5; 15; 30; 90; 180; . . . a) 360 d) 420

b) 540 e) 120

c) 900

2).- ¿Cuál es el número que sigue en la sucesión: 1; 17; 81; 337; . .

11; 18; 33; 57; 92; 141; 208; 298; . . . b) 467 e) 417

d) 48

NIVEL III

5).- Calcula “x” en la siguiente sucesión: 1; 2; 10; 37; x a) 51 b) 52 c) 118 d) 81 e) 101 6).- ¿Qué número sigue en la sucesión:

a) 307 d) 609

c) 42

a) 975 d) 1289

b) 999 e) 1361

c) 1141

c) 327 3).- Los números que siguen en la sucesión 1; 3; 5; 15; 17; 51; 53; ( ); ( );

7).- Halla el número que sigue: a) 61 y 53 c) 71 y 83 e) 84 y 86

1;1; 1; 2; 4; 8; 3; 9; 27; 4; 16; . . . a) 32

b) 5 c) 0

d) 64

e) 52 4).- ¿Qué número sigue en la sucesión : 8; 18; 39; 73; 123; 193; . . .

8).- El término que continúa en : x+3; -2x+1; 4x-1; -8x-3; . . . es : a) –16x-7 c) 10x-7

b) 158 y 160 d) 159 y 161

a) 288 d) 428

b) 16x+10 d) 16x-5

b) 308 e) 1088

c) 208

e) N.A. 5).- El número que sigue en:

9).- Juan observa grupos de hormigas y nota que el 1ro tiene 3 hormigas, el 2do 7, el 3ro 13, el 4to 21, y así sucesivamente hasta el último grupo que tiene 601 hormigas. ¿Cuántos grupos hay en total? a) 24 b) 23

c) 22

d) 25

6; 30; 28; 196; 193; 1737; . . . a) 3474 d) 2133

e) 26

24

b) 1938 e) 4347

c) 1733

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

6).- Calcula la suma de los dos números siguientes de la sucesión:

SERIES Es la suma de los términos de una sucesión. Al resultado de efectuar la serie se llama valor de la serie.  2 + 4 + 6 + 8 = 20

26; 40; 60; 87; .?. ; .?. a) 122 d) 288

b) 132 e) 248

c) 166 Serie

7).- Calcula (x +y) en la sucesión : -10; -9; y; -4; 0; x; 11 a) 5 b) 7

c) 12

d) –2

e) -12

8).- En la sucesión: 18; 21; 84; 88; 352; 357; P; Q Calcula P + 2Q siendo P y Q los números que continúan respectivamente. a) 3575 d) 4296

b) 5365 e) 4288

c) 6675

9).- Indica el término que corresponde al espacio marcado con el signo (?): 2; 5; (?); 17; 26 a) 7 b) 12

c) 10

d) 8

e) 14

10).- El número que falta en la sucesión es : 20; 21; 18; (?); 16; 25 a) 26 d) 22

b) 25 e) 29



c) 23

SERIES NOTABLES 1. Suma de los “n” primeros números consecutivos. Sn=1+2+3+4+...+n 2. Suma de los cuadrados de los “n” primeros consecutivos.

Valor FÓRMULA

Sn=

Sn2=

n ( n  1) 2

n ( n  1)( 2 n  1) 6

Sn2=12+22+32+42+...+n2 3. Suma de los cubos de los “n” primeros consecutivos.

Sn3=[

n ( n  1) 2

]2

Sn3=13+23+33+43+...+n3 4. Suma de los primeros impares. Si = 1+3+5+7+...+2n-1 ó Si =1+3+5+7+...+A 4. Suma de los “n” pares. Sp=2+4+6+8+...+2n 5. Suma de los productos consecutivos. Spc =1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)

25

Si=n2  A  1    2 

Si= 

2

Sp=n(n+1)

Spc =

n ( n  1 )( n  2 ) 3

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES PROBLEMAS RESUELTOS

1. Calcula : S = 32+42+52+…+102

4. Halla “S” S=1+ + + + 1

1

1

1

2

4

8

16

Solución Factorizando

Solución Completando la suma S = 12+22+32+42+52+...+102- (12+22) n=10  1)( 2 . 10  1) 6

4

2

-(5) S=1+ 1 S  S- S =1



S=380

S 2

2. Calcula :

S=0,1+0,3+0,5+...+8,7

1 2

10S=(44)2



2

(2 x  5 )  1 2

2x-4=36

]2

S=32+42+52+…+102

S=12+22+32+42+52+...+102-(12+22) n=10

S=193,6 S=

10 ( 10  1)( 2 . 10  1)

S=385-5

=182, simplificando

=18 

S=2

Completando la suma

Solución Aplicando la fórmula de los impares: 2



Solución

3. Halla “x” 1+3+5+7+…+(2x-5)=324

 (2 x  5 )  1   2  

=1

5. Calcula :

Solución Multiplicando por 10 a ambos lados 10S = 1+3+5+...+87 10S= [ 87

8

S

2

S = 385-5

a partir del segundo término:

1 2

S=1+ 1 (1+ 1 + 1 + 1 +...) 2

S= 10 (10

+...

2X=40 x = 20

26

6



S=380

-(5)

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02

1).- Calcula : S = 1+4+9+...+256 a) 1450 d) 1245

b) 1350 e) 1243

8).-Halla m+n 1+2+3+...+m=210 1+3+5+...+n=400

c) 1496

a)60 d)54

2).- Calcula : P = 4+8+12+...+60 a) 430 d) 470

b) 450 e) 455

c) 480

b) 38 e) 48

c)49

9).- Calcula: S=0.1+0.3+0.5+0.7+...+9.9

3).- Halla ”x” 1+3+5+7+...+(2x-11)=1600 a) 36 d) 45

b)48 e)59

a) 250 d) 240

c) 40

b) 260 e) 275

c) 350

10).-Calcula: S=0.01+0.04+0.09+...+9

4).- Calcula : S = 14+15+16+...+30 a) 347 d) 355

b) 374 e) 360

a) 93.43 d) 87.41

c) 350

b) 94.55 e)84.51

c) 97.61

11).- Efectúa : 5).- Calcula : S = 17+19+21+...+99 a)2400 d)2436

b)2500 e)2346

E = (1  3 (3 5 6 ... 9 19 12)( 1...4  609 ) 65144 c)2456

a) 10 d) 100

6).- Calcula:

b) 43,2 e) 43,3

a)2750 b)2915 d) 2570 e) 2490 13).- Halla “A”

c) 44,1

7).- Halla: S=10+17+36+73+...+1340 a) 4450 d) 4455

b) 4353 e) 4352

c) 420

12).- Calcula: S=10(11)+11(12)+12(13)+...+20(21)

S = 0,001+0,008+0,027+...+8 a) 44,0 d) 40,2

b) 400 e) 150

) 63

1(99)+2(98)+3(97)+...+A(A)=84575 a) 49 b) 51 c) 52 d) 48 e) 50

c) 4454

27

c) 2810

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

14).- Halla (x+y)en:

20).- Un almacén recibe: el 1er día 6 cajas, el 2do 13, el 3ro 32, el 4to 69 y así sucesivamente hasta el último en que recibe 1005 cajas. ¿Cuántas cajas llegó a almacenar?.

1+2+3+...+x=1275 1+3+5+...+y=1225 a) 118 d) 123

b) 121 e) 119

c) 124

a) 4025 d) 3075

15).- Calcula: S= 1 + 1 + 1 + 2

a) 1 b) 2

4

8

1 16

c) 3

3

a) d)

4 6 2 7

17).- Calcula: a)

5

d)

5

9

8

1 12

+

+... d) 4

e)

1

30 términos

2

a) 455,95 d) 326,45

b) e)

c)

7 2

e)

2

5

1

1

2

10

+

1 50

+

4

1

c)

7

+...

250

1

5

7

a) 300 d)361

10

6

2

1 12

b) 2 e) 5



1 20

 ... 

b) 440 e) 580

3

4

17

1  21  420  10

b) 325 e) 276

c) 351

23).- Hallar la suma:

c) 3

S=17+18+19+...+30 a) 360 d) 391

19).- Ronald recoge naranjas de la siguiente manera: el 1er día 2 naranjas, el 2do 6, el 3ro 12 y así sucesivamente hasta el último en que recogió 110 naranjas. ¿Cuántas naranjas recogió en total? a) 420 d) 520

c) 469,65

22).- Hallar el número de canicas que se observarán en la figura 25.

3

4

S= + b)

b) 295,45 e) 467,65

9

18).- Halla: S=  1  1  a) 1 d) 4

+...

1 48

c) 4078

21).- Hallar la suma total de: E = 1,01 + 2,02 + 3,03 + 4,04 + ...

16).- Calcula: S= 1 +

b) 3425 e) 5220

b) 329 e)282

c) 299

24).- Calcular el valor de: M=1.5+2.6+3.7+...+20.24 a) 3160 d) 3170

c) 380

28

b) 3910 e) 3710

c) 3810

...

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES RELOJES

Instrumento empleado para medir o indicar el paso del tiempo y divide el día en horas, minutos y segundos. 12

H : Horario m : minutero  : ángulo formado por el horario y el minutero

1

11 m

10

2



30°

9

3 H

8

4

7

5 6

5 divisiones (1 división 1min)

Observación: En 1 hora el minutero recorre 60 divisiones, luego: 1h 60 div 60 min 360°  1 div = 1 min = 6°

2.1. RELACIÓN DEL RECORRIDO DEL HORARIO Y MINUTERO En cada hora la relación de recorrido de “H” y “m” es: H



m

2.2. CALCULO DEL ÁNGULO “” 1er CASO : Cuando el minutero adelanta al horario. 12

5 divisiones 60 di vi si ones 3

9

H m

m

1





=

H

11 2

m - 30H

12 6

”m” antes que “H”

Lo cual significa que cada vez que el minutero avance “m” divisiones el horario avanzará “m/12” divisiones.

2do CASO : Cuando el horario adelanta al minutero. 12

12

m

m div.



9

3

H

m 3

9

6

H

”H” antes que “m

m/12 div 6

29

 = 30H - 11 M 2

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

1. CAMPANADAS

ADELANTOS

En general:

HM = HR + AD

Número de campanadas: 3 1° I

4

2°

3°

I

I

n+1 (n-1)° n° I

I

ATRASOS

tiempo de cada intervalo

Donde: HM : Hora marcada HR : Hora real AT : Atraso

HM = HR - AT

Del gráfico: n° Campanadas = n° intervalos + 1

PROBLEMAS RESUELTOS

Ejemplo : 1C

1).- Si el 1 de enero de 1942 cae jueves. ¿Qué día caerá el 1 de mayo del mismo año?

2C

1°

3C

2°

2seg

Donde: HM : Hora marcada HR : Hora real AD : Adelanto

2seg

4C

5C

3° 2 seg

Solución :

4° 2seg

N° de días=31Ene+28Feb+31Mar+30Abr = T

=

4

x

2

=

= 120 días

8seg 

Tiempo = n° de Total intervalos

x

Pero : 120 = 7 + 1  30 de abril es jueves lo cual significa que caerá un día después de jueves, es decir viernes.

Tiempo de cada intervalo

2).- En un determinado mes existen 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos. ¿Qué día será el 26 de dicho mes?

3.1. ADELANTOS Y ATRASOS Estas situaciones se presentan como consecuencia de algún desperfecto en el reloj, por lo que no marcaran la hora correcta. Hora marcada por un reloj atrasado

Hora real

(-) atraso total

Solución : Del calendario.

Hora marcada por un reloj adelantado

L M M J V 1 x x x x 8 x x x x 15 x x x x 22 x 26 x x 29

(+) adelanto total

30

S x x x x x

D x x Siempre x debe haber x 4 semanas x

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

Se observa que es un mes de 31 días y que el 26 cae martes.

Son las 9 5) Un boxeador da 6 golpes en 45s. ¿Cuánto tiempo demora para dar 80 golpes? Solución :

3) Preguntando a José por la fecha de su matrimonio, contestó: la ceremonia se realizó en 1997 cuando la mitrad del tiempo transcurrido de aquel año era igual a la cuarta parte de lo que faltaba por transcurrir, en que fecha y hora se caso : Solución : Año 1997 = 365 días Días transcurridos = x Falta transcurrir = 365 – x Luego :

16

26 I



I

I = 9s

79 x 9 = 711s PRÁCTICA DIRIGIDA 1).- Siendo viernes el mañana del mañana de hace 5 días. ¿Qué día será el anteayer del anteayer de dentro de 4 días?

31 28 31 30 120

a) Lunes d) Martes

b) Jueves e) Sábado

c) Viernes

2).- En un mes hay 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. ¿Qué fecha cae el tercer miércoles de dicho mes?

 Se caso : 02 de mayo a la 4p.m 4) Al mirar un reloj se observa que los 3/5 de lo que falta para acabar el día es igual al tiempo transcurrido. ¿Qué hora es? Solución : H. transcurrida = x Falta transcurrir = 24 – x 3 5

I

66

Luego tiempo total :

3x = 365

 x = 121 días 16 horas

 x=

I

56

5 I = 45  80 = I + 1 I = 79

x = 121 ,666...

Enero Febrero Marzo Abril

I

46

6 golpes y 5 intérvalos

365  x x  2 4

 2x = 365 – x

36

a) 18 d) 21

b) 19 e) 22

c) 20

3).- Si el 1 de enero de 1843 cae jueves. ¿Qué día caerá 1 de mayo del mismo año?

(24 – x)

a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Jueves

5x = 72 – 3x  8x = 72 x=9

31

e) Viernes

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

4).-¿Qué fecha del mes de junio indicara un almanaque cuando hallan transcurrido los 2/3 de lo que falta transcurrir en un mes? a) 11 c) 12

b) 13 d) 10

10).- Un ciego da 20 golpes de bastón en cierto tiempo. ¿Cuántos golpes de bastón dará en el triple de tiempo? a) 60 b) 59 c) 58 d) 61 e) 62 11).- Un boxeador da 5 golpes en 40 segundos. Cuánto se demorará para dar 20 golpes?

e) N.A.

5).- En un determinado mes el primer día cayó martes y el último también. ¿Qué día cayó el 20 de mayo de dicho año? a) Lunes c) Sábado

b) Miércoles d) Jueves

a) 3min 10 seg c) 3min 30seg e) 2min 40seg

e) Martes 12).- Si faltan transcurrir del día tanto como ya pasó hasta hace 6 horas. ¿Qué hora es?

6).- ¿Qué fracción decimal de la hora viene a ser 24 minutos con 36 segundos? a) 0.52 d) 0.41

b) 0.37 e) 0.49

a) 6 pm d) 4 pm

c) 0.71

b) 10 s

c) 11 s

a) 12:00 d) 08:40

e) 13 s

8).- ¿Qué hora es cuando la parte transcurrida del día es igual ala mitad de la parte por transcurrir? a) 9am d) 6pm

b) 1am e) 8am

b) 1440 d) 1200

c) 3 am

b) 13:00 e) 08:30

c) 12:45

14).- Un reloj se adelanta 2 minutos cada 8 minutos, si ahora marca 2H25min y hace 3 horas que se adelanta, la hora correcta es.

c) 3pm a) 2H 40min b) 1H45min c)1H40min d) 8:40 e) 8:30

9).- Faltan 12 minutos para 17 horas en ese instante el angulo formado por las manecillas del reloj es: a) 1000 c) 2640

b) 5 am e) 3 pm

13).- Si las horas transcurridas del día exceden en 4 a los 2/3 de las horas no transcurridas, entonces la hora es :

7).- Un reloj da 6 campanadas en 5 segundos. En cuantos segundos dará 12 campanadas? a) 12 s d) 9 s

b) 3min 20 seg d) 2min 50seg

15).- Si todos los años tendrían 364 días, el cumpleaños de Rosita que nació el 16 de diciembre de 1973 que fue un jueves se festejaría el 2004, el día:

e) 1400 a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Jueves

32

e) N.A.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

16).- ¿qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 2 horas 10 minutos? a) 0° b) 5°

22).- Si faltan para las 9:00 la mitad de los minutos que pasaron desde las 7:00. ¿Qué hora es?

c) 10° d) 15° e) 20°

a) 7:50 d) 8:40

17).- Halla el complemento del suplemento del ángulo que forman las agujas del reloj a las 10H30M. a) 30° d) 75°

b) 45° e) 35°

c) 8:20

23).- ¿A qué hora entre las 1 y las 2 se forma un ángulo recto por primera vez?

c) 60°

a) 1h20 c) 1h21

18).- ¿Qué hora será cuando las agujas de un reloj forman un angulo de 1000 entre las 4 y las 5? a) 4H 15Min c) 3H 6Min

b) 8:10 e) 8:30

e) 1h21

b) 3H 16Min d) 4H 3 7 min

3 11 9 11

min

b) 1h22

min

d) 1h23

8

8 11 9 11

min min

min

11

24).- ¿A qué hora entre las 4 y las 5 las agujas de un reloj se superponen?

11

e) 3H 17 2 min 11

3

a) 4h 20 19).- En qué momento las agujas de un reloj forman un ángulo de 127° entre las 9 y 10 horas. a) 9H 15min c) 9H 26min e) 9H 26min 6s

c) 4h22

b) 4H 52min d) 3H 52min

b) 5 am e) 3 pm

8 11

d) 4h21

3 11 9 11

min min

min

26).- Qué ángulo forman las manecilla de un reloj a las 2h 20’? a) 40° b) 50° c) 55° d) 45° e) 35° 27).- Faltan para las 6 tanto como la mitad del tiempo que transcurrió desde las 4:36. ¿Qué hora es?

21).- Si faltan transcurrir del día tanto como ya pasó hasta hace 6 horas. ¿Qué hora es? a) 6 pm d) 4 pm

11

min

b) 4h21

25).- ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 10h40’? a) 70° b) 75° c) 80° d) 85° e) 90°

20).- Un reloj se adelanta 1min cada 15 min, si ahora marca las 4H20min y hace 1/3 de día que funciona con ese desperfecto, la hora correcta es : a) 4H 28min c) 3H48min e) 4H 6min

9

e) 4h 21

b) 9H 15min 23s d) 9H 6min

11

min

a) 3:36 d) 5:32

c) 3 am

33

b) 5:30 e) 5:42

c) 5:28

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES FRACCIONES

1. CONCEPTO Fracción es el cociente de dos números enteros a, b donde b es diferente de cero.

2.6. DOS FRACCIONES SON INVERSAS, si el numerador de uno es denominador de la otra y viceversa.

Numerador

a b

4 7

Denominador

b

2.1. Si a < b, la fracción se llama PROPIA.

5

;

3

;

6

7

;

2

2

7

; y

9

;

3

5 4

,

11

4

2

2.2. Si a > b, la fracción se llama IMPROPIA.

4

3

, se puede

,

a



a



b

a  b

2.4. Una fracción cuyo numerador y denominador son iguales, representa la UNIDAD. 5 5

 1,

3  3

1 ,

6

3 y

6

6

3 ,

1 y

4

2

,

9

 11 10

, etc.

2 

25 5

 1

3 5

;

40

2



60 3

3

2.10. LA IGUALDAD DE FRACCIONES generalmente se usa para expresar la equivalencia . Así escribimos

a b



c d

a b

es equivalente a

ad = bc

Ejem : son Fracc. homogéneas 2

2

5

7

15

5

3

,

3

2.5. DOS O MÁS FRACCIONES, que tiene igual denominador se llaman HOMOGÉNEAS y si tienen distinto denominador se llaman HETEROGÉNEAS. 5

4

2.9. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES, es el proceso de transformación de una fracción reductible a irreductible mediante la divisibilidad.

escribir. b

porque 2 x 9 = 3 x 6

9

5 a

6

2.8. UNA FRACCIÓN ES IRREDUCTIBLE, si sus términos son primos entre sí.

son fracciones impropias

b

 11

y

11

6



3

son fracciones propias

2.3. UNA FRACCIÓN NEGATIVA

6

;

2.7. DOS FRACCIONES SON EQUIVALENTES, si los productos cruzados de sus términos son iguales.

2. PROPIEDADES Dada la fracción a :

3

7

,y

son Fracc. heterogéneas

34



4 10



2 x 10 = 5 x 4

c d

y

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

2.11. LA DESIGUALDAD DE FRACCIONES se establece con las relaciones “menor que” y “mayor que”. Así : a

c



b

Una fracción impropia es equivalente a otra expresión llamada mixto, es decir, un entero y una fracción. 5

, si : ad < bc

d

Ejem :

 1

4

4

5

1

 1

4

3



4

a

5 6



b

c d

, porque 3 x 6 < 4 x 5

1

4

Para convertir una fracción impropia a mixto, se divide el numerador por el denominador. 77

, si : ad > bc

9

77

9

5

8

Ejem : 77 4



3

1 2

9

, porque 4 x 2 > 3 x 1

a b

d

7

5



b

c



Para restar fracciones se procede de manera semejante que en la suma. a



Ejem :

8

=



3  5

8

3 8



8



c

a



d



c

b

ad  bc



d

bd

Ejem :

bd



9

5

8

ad  bc

d



61



8

3.2. SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES

8

3

7x8  5

8

b



9

c

y

3.1. ADICIÓN DE FRACCIONES. La suma de fracciones se define : Si las fracciones son homogéneas, se suman los numeradores y se escribe el denominador común, si las fracciones son heterogéneas, se transforman en otras equivalentes de igual denominador “dando” el mcm a los denominadores. a

77

Para convertir un mixto a fracción impropia, se procede tal como aparece a continuación

3. OPERACIONES CON FRACCIONES: Sean las fracciones

=8

5 8



8

5  1

3  5 8



8

=

 1



35

2



8

8



9

5



9

( 6 : 6 )5

3

9

8



9

6

8

5



5 9



1



9

3

( 6 : 3 )2

6



3

6

8 9



5 9



3 9



1 3

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

3.3. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES a

Se define :

c

.

b

PROBLEMAS RESUELTOS 1) Simplifica :

ac



d

bd

Para multiplicar fracciones simplificar previamente.

se

a

c

:

b



d

a

d

x

b



recomienda

c

2 

Solución :

1

3 

bc

=

12

2 

b



=

b c

d

ad



1

3 

1

1 1

2 

1

3 

bc

=

12

2 

1

d

1 2

2

a c

12

2 

1 2 

Una división de fracciones puede expresarse como una fracción de fracción.

:.

1 2

1

a

1

1

c0

ad

1

3 

3.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES Se define :

12

2 

2 

12 3 

1

1 1

1

2 

3

2

3.5. POTENCIACIÓN DE FRACCIONES 2Se define : a      b 

n

a



.

a

.

a

a

.

a



b b b  b 

b

a

.

n

Si n = 1, entonces

a      b 

Si n = 0, entonces



a b





2) Se venden

1 3

de una cesta de huevos. Si se

a b

1



1

b

1 1

¿Cuántos huevos habían en la cesta?

a



a b

=1

Solución : 3

x  3 

5

x  x

8

8x + 72 + 15x =24x 3.6. RADICACIÓN DE FRACCIONES

 x = 72 Se define : b

n

 n

a b

0

5

Toda potencia con exponente negativo es igual al inverso de la base con exponente positivo.

a



quiebran 3 y quedan todavía de la cesta.

1

n

2  2

6

8

1

1

12

.

es la base de la potencia y “n” es el exponente. a      b 

3  3

 2 

n

n factores

b

2

 r  r

n



a b

36

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ACADEMIA LOS TRIUNFADORES

3) José puede hacer una obra en 10 días y Pablo podrá hacerlo en 15 días, si trabajan juntos. En qué tiempo lo podrán hacer?

Solución : 2

15

5

30



x 8



40

3 4

Solución : 5

2 x

4

* José demora 10 días.  En un día avanza = 1/10



3

10



12

5 6

Luego:

5

3



6

10  9



4



12

1 12

Por lo tanto : * Pablo demora 15 días  En un día avanza 1/15.

1 12

1



2

24

1

Luego los dos en un día avanzan : 1 10



1 15



3  2 30



8 36



PRÁCTICA DIRIGIDA

1 6

Si los dos trabajan juntos demoran:

1).- Halla: M =

 6 días a) 3,6 d) 2,1

4) Al preguntar a Pepito cuánto había gastado de los S/. 1 200 que le di, él respondió: “Gasté los 5/7 de lo que no gasté”. Si todo lo que gastó fue en galletas, y cada galleta la compró a 0,5 soles. ¿Cuántas compró?

2).- Si:

1  1  1 1   1      6  7  8  1  1  1 1   1      6  7  8  

b) 2,4 e) 3,2 ab bb

1

c) 2,5

es equivalente a

a) 1 d) 4

Solución: Gaste = x No gaste = 1200 - x Luego: x = 5/7 (1200-x) 7x = 6000 – 5x x = 500 Por lo tanto compró:

   1      1   

3 11

b) 2 e) 5

. Halla: b - a c) 3

3).- Efectúa : 1

M=



2

1



3 3

.

1 4

1

8 3

a) 25 d) 30

500 : 0.5 = 1000 galletas 5) ¿Qué parte de dos es lo que le falta a los 2/5 de los 15/8 para ser igual a los 5/4 de los 2/3?

37

b) 27 e) 26

1  3

2 3 . 3 5

2 15 . 2 5 5 .

c) 28

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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4).- Calcula :

9).- Calcula : M= 50 

M=

128 

1

1

8

b) 1.5 e) 1/5

c) 1/3

a) 1/8 d) 17/16

5).- Calcula : E=

  4       5  

1

4

.

.1

5

1 2

.

  5 

1

2

b)3/5 e) 1/4

2

3 4

;

1

;

18

a) 1/2 d) 8/9

c) 2/5

aa 40

a     b  x b 

b)

ab ab

bb 56

5

;

12

8 9

b) 3/4 e) 5/12

a

y

b

c) 1/18

son equivalentes.

a) 12 d) 15

ab ab

d)

ab 2a b

2

ab

b) 10 e) 16

c) 14

2a  b

12).- Halla el valor de :

ab 2

M=

7).- Efectúa : R=

a a

a)

;

11).- Halla (a + b); si son primos entre sí y además:

a  x

e)

c) 2

1

6).- Halla “x”:

c)

b) 8/15 e) 16/17

10).- Cuál de las siguientes fracciones es la mayor:

a) 5/3 d) 5/2

a)

1

1

72

a) 2 d) 1/2

1

1

32

2

b

2

c

2

 2 ab

2

 c

2

b

2

 2 ac

a  b b  c

c) 1

b)

a  b  c

d)

a  b  c

a  b  c

a  b  c

a)

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

   

1

1    1   1   5  



1



2 .3

1

 ... 

3 .4

1 17 . 18

b) 13/31 d) 17/18

e) 15/18

13).- La capacidad de una botella es 3/4 de litro. Calcula los litros que contiene cuando se llenan los 5/8.

8).- Efectúa :  1  5 1   5 

1 .2

a) 10/24 c) 10/31

e) -1

M=

1

1

d)

7 16 7 32

b) e)

15 32

c)

15 16

4 9

14).- Disminuye 121 en sus 9/11. a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

c) 3

38

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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15).- Halla “a”:

a) d)

    0 ,00 a  2 ( 0 ,0 a )  0 , a  0 ,7 3

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

b) 2/5

a) 360 l c) 408 l

e) 14

a)

21

d)

23

4

6

  

a) 16 b) 8

 2 0 ,58 3  

 2 ,3 

b)

31

e)

27

4

c)

23 5

4

b) 2 p.m. e) 11 a.m.

a) 9 800 d) 9 950

b) 20000 e) 60000

7 15

b) 405 l d) 412 l

e) 390 l

c) 9

d) 15

e) 10

b)10 200 e) 9 900

c) 10 110

24).- He gastado 7/8 de mi dinero, pero si en lugar de haber gastado los 7/8 hubiera gastado 3/5 ahora tendría S/. 5 687 más. ¿Cuánto tenía?

c) 9 a.m.

19).- Una piscina está llena hasta sus ¾ partes. Si se sacara 30000 litros quedaría llena hasta la mitad de la cantidad total ¿cuánto le falta para llenarla? a) 3000 d) 25000

1 40

23).- Un jugador pierde en cada uno de los tres juegos sucesivos 1/3 de lo que le queda y en el cuarto juego gana el doble de lo que le quedaba después del tercero, resultando con S/. 8 800. ¿Cuánto tenía al inicio?

18).- Al mirar un reloj se observó que los 3/5 de lo que quedaba del día era igual al tiempo transcurrido. ¿Qué hora es? a) 10 a.m. d) 1 p.m.

e)

c)

1 45

22).- Hay 45 alumnos en la clase de R.M. 2/3 de los alumnos son varones y 1/2 de estos alumnos varones son de ojos verdes. ¿Cuántos alumnos varones de ojos verdes hay en la clase?

c) 6/5

17).- Efectúa : E=

1 47

b)

21).- Después de sacar de un tanque 36 l de agua el nivel de la misma descendió de 2/7 a 2/9. ¿Cuántos litros de agua faltaba para llenarla?

16).- Luis hizo los 3/5 de una obra en 6 días. ¿Qué parte de la obra hizo en un día? a) 5/2 d) 1/10

1 15

a) 20 490 c) 21 760

b) 20 980 d) 21 840 e) 20 680

25).- Un padre de familia recibe cierta cantidad de dinero por escolaridad. Si gasta los 3/5 de lo que recibió y aún le quedan S/. 120, ¿Cuánto recibió por escolaridad?

c) 3600

20).- ¿Cuánto le falta a los 2/3 de 4/15 de 3/5 de 5/3 para ser igual a la mitad de 2/5?

a) 200 c) 300

39

b) 250 d) 350

e) 280

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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PSICOTÉCNICO INFORMACIÓN BÁSICA Son arreglos de números que se encuentran distribuidos en gráficos, obedeciendo a una ley de formación. Para resolver este tipo de problemas primero determinamos la ley de formación y luego calculamos el número desconocido. Para ello utilizamos las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división o combinadas. PROCEDIMIENTO DE LA SOLUCIÓN 1° Se observan y analizan los gráficos que tienen los números completos. 2° Se busca qué operación o serie se utilizó para formar los gráficos con números completos. 3° Encontrada la operación o serie numérica, con ella se aplica en el tercer gráfico para hallar el número faltante. PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Halla el número que falta : 34 (224) 78 11 ( ) 3

Solución : 4 x 3 x 2 = 24 3 x 3 x 2 = 18 2x1x2= 4

Solución: Se trabaja con los extremos para obtener el número central.

3.- Halla x 6 x 5

Asi : 34 + 78 = 112 Luego : 112 x 2 = 224

7 3 4

3 8 3

Solución : Sumamos columnas : 3 + 8 + 3 = 14 7 + 3 + 4 = 14  6 + x + 5 = 14

De igual forma : 11 + 33 = 44 44 x 2 = 8 Rpta = 88

x=3 2.- Que número falta : 4 ( 24) 3 3 ( 18 ) 3 2 ( ) 1

4.-Halla el número que falta en el gráfico:

4

8

40

5

2

1

?

11

6

3

5

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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Solución : Sumamos y restamos en forma alterna, las patas y obtenemos el valor de la cola. 8 – 5 + 2 – 1 =4 Luego: 11 – 6 + 3 – 5 = 3

5). Halla el número que falta: 12 15 24 a) 22

(4) (8) (x)

8 7 1

b) 24

c) 26

d) 28

e) 23

PROBLEMAS PROPUESTOS 6).- Halla el número que falta: BLOQUE I 1).- ¿Qué número falta? 5 (26) 1 4 (18) 2 7 ( ) 3 a) 18 b) 20 c) 52 d) 58

132 143 124 a) 9 b) 12

(12) (98) (x)

120 45 115

c) 14

d) 10

e) 16

e) 56 7).- Halla el número que falta:

2).- ¿Qué número falta? 8 (30) 4 7 (40) 6 9 ( ) 7 a) 61 d) 18

120 30 700

b) 65 e) 20

c) 58

a) 300 d) 700

3).- ¿Qué número falta? 5 (65) 12 8 (45) 5 3 ( ) 7 a) 35 d) 18

b) 26 e) 20

c) 25

a) 20

b) 600 e) 500

c) 400

d) 12

b) 25

c) 30

d) 10

e) 15

d) 28

e) 7

9).- Halla el número que falta: 5 (16) 3 4 (18) 5 6 (x) 8 a) 6

c) 8

40 150 100

8).- Halla el número que falta: 40 (5) 30 120 (20) 80 60 (x) 10

4).- Halla el número que falta: 2 (1 0) 8 3 (7) 4 5 (x) 3 a)9 b)10

(80) (90) (x)

e) 14

41

b) 4

c) 5

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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10).- Qué número falta : 372 715 406 a)7

b)5

(9) (7) ( )

5).- Halla el número que falta: 3 6 9 4 5 11 5 x 13

201 312 211

c) 6

d) 2

a) 4 b) 10 c) 15 d) 8 e) 16 6).- Halla el número que falta: 6 2 3 10 8 x 4 6 2

e) 4

BLOQUE II 1).- ¿Qué número falta? 2 3 6 4 5 20 3 6 x a) 14 d) 18

a) 5 b) 4

b) 24

c) 12 e) 17

b) 12 e) 2

a) 6 b) 5

c) 4

c) 3

3).- Halla el número que falta: 4 6 8 5 4 3 6 5 x c) 4

d) 3

6 x 5

e) 2

4).- Halla el número que falta: 5 8 9 3 4 15 6 7 x c) 7

d) 10

d) 3

e) 2

d) 12

e) 13

9).- Hallar “ x”

a) 5 b) 4

a) 9 b) 8

e) 12

8).- Halla el número que falta: 6 9 7 5 x 6 4 7 5 a) 9 b) 10 c) 8

a) 6 b) 5

d) 10

7).- Halla el número que falta: 8 3 5 9 5 4 7 2 x

2).- ¿Qué número falta? 1 2 2 0 3 4 4 8 2 2 1 x a) 5 d) 4

c) 8

7 3 4

3 8 3

c) 3

d) 2

e) 1

10).- El número que falta en el gráfico es: a) 10 4 b) 12 3 8 c) 36 2 27 ? d) 48 e) 6

e) 12

42

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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BLOQUE III 1).- Halla el número y letra que falta en el gráfico: A

6

G

?

2

D

18

?

a) 62,K d) 36,H

b) 72,M e) 25,R

6).- El número que falta en el gráfico es: a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

c) 54,J

4 ?

8 12

16

7).- Halla el número que falta en el gráfico: 2).- Halla el número que falta en el gráfico: 16

1

a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

?

3

5

7

a) 10 d) 17

3

2

2

b) 15 e) 18

3

c) 16

?

18

4

13

6 9

8).- Halla el número que falta en el gráfico: 3).- El número que falta en el gráfico es: 5

a) 10 b) 9 c) 11 d) 20 e) 35

5 25

6

4

7

?

?

4

5

3

8 2

11 17

a) 3 b) 6

c) 5

d) 7

e) 8

9).- Halla el número que falta en el gráfico: 4).- Halla el número y letra que falta en el gráfico:

3 9

1

D

9

?

2

A

5

G

?

2 3

a) M,14 d) N,14

b) L,14 e) J,13

3

16 25

12 4

2

6

? 7

3

5

c) N,15 a) 30

5).- El número que falta en el gráfico es: a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

4

b) 10

c) 40

d)20

e) 26

12).- El número que falta en el gráfico es: ?

?

10

13

3

7

2

15

3

1

4

a) 23

43

b) 26

c) 21

d) 22

e) 24

1

13

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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44